phep nhan va phep chia cac phan thuc dai so

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I Phương pháp giải Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau: A C B D AC B.D Phép nhân phân thức có tính chất:  Giao hoán: A C B D A C E B D F  Kết hợp: C A ; D B A C E ; B D F  Phân phối phép cộng: A C B D E F A C B D A E B F Phân thức nghịch đảo Hai phân thức gọi nghịch đảo tích chúng Tổng quát, phân thức A A B phân thức khác B B A 1, A phân thức nghịch đảo B B A Phép chia Quy tắc Muốn chia phân thức đảo A C : B D A A C cho phân thức khác 0, ta nhân với phân thức nghịch B B D C D C A D với D B C II Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực phép tính sau: a) P 12x 4x x 360x 150 b) P x 3y 4x 2y 3x y x y 12x 3x x 360x 150 x 3y x 3y 3x y x y Giải Tìm cách giải Nhận thấy biểu thức có phân thức chung Do nên vận dụng tính chất phân phối phép nhân nhằm đưa tốn dạng đơn giản Trình bày lời giải a) Dùng tính chất phân phối, ta có: P 12x 4x x 360x 150 3x 360x 150 12x x x 30 12x 30 b) Dùng tính chất phân phối, ta có: x 3y 4x 3x y x P 2y y x 3y x y x 3y 3x y 3x y x y x 3y x y Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: R 3a2 2ab b2 3a2 : 2a2 ab b2 3a2 4ab b2 2ab b2 (Tuyển sinh 10, Trường PTNK, ĐHQGTP.Hồ Chí Minh, năm học 2004 - 2005) Giải R R a b 3a b 2a b a b : a b 3a b a b 3a b 3a b a 2a b a b b 3a b a b a b 3a b 3a b 2a b Ví dụ 3: Cho x y z Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến số: x P y xy z y yz z x z x zx y Giải Tìm cách giải Khai thác điều kiện toán, nhận thấy với điều kiện cân z x z y Do bậc mẫu phân tích thành nhân tử xy z xy z x y z có lời giải sau: Trình bày lời giải Thay x y z vào mẫu số, ta được: xy z xy z x y z z x z y tương tự ta có: yz x x y x z zx y x y y z Từ suy ra: P P x x y z y z y z x y x z z x x y y z Ví dụ 4: Cho a b c Chứng minh tích sau khơng phụ thuộc vào biến số: a) M 4bc a2 4ca b2 4ab c2 bc 2a2 ca 2b2 ab 2c2 b) N a b b c c a Giải a) Ta có: 4bc a2 bc 2a2 4bc b c bc a2 b2 bc a2 ab c 4ca b2 Tương tự ta có: ca 2b2 4ab c2 ab 2c2 a b 2bc c2 c a b c ab ac a b a c (1) (2) b a b c (3) c a c b Từ (1) (2), (3) ta có: M 4bc a2 4ca b2 4ab c2 bc 2a2 ca 2b2 ab 2c2 a b a b 2 b c b c 2 c a c a 2 Vậy giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị biến b) Ta có: N a b b c c a a b b c c b a c c a a b abc Vậy giá trị biểu thức N không phụ thuộc vào giá trị biến Ví dụ 5: Cho x số thực âm thỏa mãn x2 x2 23 Tính giá trị biểu thức A x3 x3 Giải Tìm cách giải Do kết luận có dạng đẳng thức a3 b3 , nên để tính giá trị biểu thức, Với suy nghĩ ấy, khai thác điều kiện để tìm x x cần tính x có lời giải sau: Trình bày lời giải Từ giả thiết x Vì x nên x x2 23 x x 2 x2 23 x x 25 Từ x x3 Ta có: A x x x 3x x 3 110 Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức với n số nguyên dương: A 2 2 1 1.4 2.5 3.6 nn Giải Tìm cách giải Với phép nhân biểu thức theo quy luật, thường xét phân thức có dạng tổng qt Sau phân tích thành nhân tử tử mẫu dạng tổng quát Cuối thay giá trị từ đến n vào biểu thức rút gọn Trình bày lời giải k2 3k k k k k Xét k k k k Thay k 1; 2; 3; ;n ta được: A 2.3 3.4 4.5 n n 1.4 2.5 3.6 n n 2.3.4 n 3.4.5 n 1.2.3 n 4.5.6 n Ví dụ Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn 3n n a b c b c c a a b Tính giá trị biểu thức: a b b c c c a a b Giải Tìm cách giải Quan sát phần giả thiết kết luận toán, nhận thấy có nhiều điểm giống Do vậy, để không phức tạp vận dụng giả thiết tạo hạng tử phần kết luận Sau cộng lại Trình bày lời giải Ta có: a b c b c c a a b a b c b c c a b a a2 b2 bc ca b c c a a b Tương tự: b c a ac a2 b2 bc b c c a c a b c b a (1) c2 a2 ab bc a b b c c a (2) a b c b2 c2 ca ab a b b c c a (3) a Cộng vế (1); (2) (3) b b c c a c a b Nhận xét Từ kết ta thấy a b, c dấu bạn giải tồn sau: Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn a b c b c c a a b Chứng minh ba số sau a, b, c tồn số không âm số không dương III Bài tập vận dụng x2 x2 2x x 1.1 Rút gọn biểu thức: A x 1.2 Chứng minh với x 0; x A x2 x x2 x x2 x x x2 x x3 x x x 1.4 Cho biểu thức: P biểu thức sau có giá trị khơng phụ thuộc vào biến 3x x x x2 y2 y 4x2 4x2 y y2 : 2y2 xy x2 x2 y xy x x y 2y x 1.3 Rút gọn biểu thức: A 7x 10 x : x x 2x 2 x2 x x3 1 : 2x x x a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P với 1.5 Cho P x3 x2 x x3 x 2x : x2 x x2 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên 1.6 Cho A x y xy x x2 y y2 : xy x xy2 x y : x y a) Rút gọn A b) Tìm x, y để A y 1.7 Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện x2 Tính giá trị biểu thức A x3 B x3 x5 x5 x2 x 1.8 Thực phép tính: a) A 14 34 54 74 14 4 4 b) B 24 94 174 114 194 4 294 304 4 ; 4 1.9 Cho hai số thực a, b thỏa điều kiện ab 1, a b Tính giá trị biểu thức: P a b 1.10 Cho x a3 b3 b2 a b c2 a2 ;y 2bc a2 b2 a2 b c b c a b a b a2 Tính giá trị biểu thức P xy x y 1.11 Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn: a b c Chứng minh a3 b3 c3 chia hết cho 1.12 Rút gọn biểu thức với n số tự nhiên: a) B 7 7 , với n 1 6.12 7.13 8.14 nn b) C 22 22 22 22 , với n 1 1.5 2.6 3.7 nn Hướng dẫn giải – đáp số 1.13 Ta có: x A x x x2 2x x2 x2 2x 4 x2 x x x x3 x2 7x 10 x : x x 2x 2x 7x 10 : x x 2x 4x x3 2x2 3x 7x 10 x : 2 x 2x x x 2x 4x2 16 x x2 x x2 2x x a2 b2 c2 x x x x2 2x x2 x 2x x x 1.14 Ta có: x x2 A x x2 x x x x3 x x x x3 x3 x x x x x Vậy biểu thức A x2 x x x2 x x x x 2 không phụ thuộc vào biến 1.15 Ta có A x2 2 x2 y y2 y : y 2y x x x y x y x2 x x y 2y x x2 y2 y 2x : y 2y x y2 x x2 y x y 2y x 2x2 x y 2 x2 x y y x y x y 2x x y x 2x y y 1.16 x a) Ta có: P 3x x P x x2 x3 3x2 x x 1 x2 x x2 3x 1 2x2 4x x x2 x x3 x2 x x2 x b) P x2 2 x2 x x3 x2 2 1.17 : 2x x x 4x x x2 dấu không xảy Vậy P x x (ĐK: x 1;0 ) x2 x : 2 x x x x : x a) Ta có: P x2 x3 x 2x : x2 x x2 x x3 x2 x x2 x x x x : x x x2 2 x : x x x2 x x2 x x x ĐK: x 0, x x2 x b) Ta có P x x x Z x Z Z x x Ư(2) suy ra: x 1 -1 -2 x -1 Kết hợp với tập xác định x 2;3 ta P Z 0;1; x 1.18 x a) Ta có: A y x2 xy x y xy y y2 : xy x xy2 x x2 xy y2 : xy x y x x y2 y x x2 xy y2 x2 xy y2 x : : xy x y x x y x y y x x A ĐK: xy 0, x 1.19 Từ x Ta có x x x2 x x x2 x : y x y x2 xy x : x x y x y y y y x xy x y y : x y x x y x y y x b) A 1 x x2 3.7 x3 x3 x x x x x5 x 21 x (vì x 0) x3 x3 21 126 x5 x5 126 A 18 Ta có: x2 B 123 1.20 x3 x2 x3 7.18 x5 x a) Xét k4 k k2 2 k 4k2 k2 2k k2 2k Áp dụng kết với k 1,3,5, ,19 Ta có: A 02 22 42 62 82 102 22 42 62 82 102 122 1 20 162 182 182 202 1 401 b) Tương tự câu a, áp dụng công thức: k 4 k k 2 2 1241 Ta kết B 1.21 Với ab 1, a b , ta có: a3 P a b a3 a2 ab a b a2 b3 a b a2 b3 b2 a b b2 a b a2 a2 b2 a b b 2ab a b a2 b2 b2 a2 b2 a2 b2 a b a b b2 a2 b2 a a b ab a b b2 a2 a ab a b a2 6a b 6a b a b b2 a2 b2 a b a2 b2 a b b 2 Vậy P , với ab 1, a b 1.22 Xét x b2 2bc c2 2bc a2 b c 2bc a2 b c a b c 2bc a b2 Xét y 2bc c2 b2 2bc c2 b c a b c a Vậy P xy x y x y 1 1.23 Ta có: a c a b a2 c b2 b a2 c2 Từ (1) (2) b2 a2 c2 abc 2a b c Ta có: a3 b3 c3 abc a b 1 b2 ab 2a b c 4bc b c a b c a c2 bc (1) ca (2) a b c c3 3ab a b a b c 3abc a b c 1.24 a) Xét k k k2 6k k k k k k k thay k 6;7;8; ; n ta được: B 5.13 6.14 7.15 n n 6.12 7.13 8.14 n n 5.6.7 n 13.14.15 n 6.7.8 n 12.13.14 n 6n 12n 22 b) Xét k k k2 4k 22 k k k k k 2 thay k 1;2;3; ; n ta được: C n 32 42 52 1.5 2.6 3.7 n n 3.4 n 6n n 1.2 n n n 3ab c 3abc ... y 2y x 1.3 Rút gọn biểu thức: A 7x 10 x : x x 2x 2 x2 x x3 1 : 2x x x a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P với 1.5 Cho P x3 x2 x x3 x 2x : x2 x x2 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x nguyên để P... Tính giá trị biểu thức P xy x y 1.11 Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn: a b c Chứng minh a3 b3 c3 chia hết cho 1.12 Rút gọn biểu thức với n số tự nhiên: a) B 7 7 , với n 1 6.12 7.13 8.14 nn b)