PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Lý thuyết Phép cộng phân thức đại số a) Cộng hai phân thức mẫu thức Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức, ta cộng tử thức với giữ nguyên mẫu thức b) Cộng hai phân thức có mẫu thức khác Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức cộng phân thức có mẫu thức vừa tìm Chú ý: Phép cộng phân thức có tính chất sau: +) Tính chất giao hốn: A C C A B D D B A C E A C E +) Tính chất kết hợp: B D F B D F Phép trừ phân thức đại số a) Phân thức đối Hai phân thức gọi đối tổng chúng A C A C B D B D b) Phép trừ Quy tắc: Muốn trừ phân thức C C A A cho phân thức , ta cộng với phân thức đối , D D B B cụ thể: A C A C B D B D Phép nhân phân thức đại số a) Quy tắc Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau: A C A.C B D B.D b) Tính chất Phép nhân phân thức có tính chất +) Giao hốn: A C C A B D D B A C E C A E +) Kết hợp: B D F D B F Phép chia phân thức đại số a) Phân thức nghịch đảo Hai phân thức gọi nghịch đảo tích chúng Nếu A B A phân thức khác , đó: B A B B A phân thức Nghịch đảo phân thức A B A B phân thức Nghịch đảo phân thức B A b) Phép chia Muốn chia phân thức C A A cho phân thức khác 0, ta nhân với phân thức nghịch đảo D B B C : D A C A D C : , với 0 B D D C D B Các dạng tập: Dạng 1: Cộng phân thức đại số Phương pháp: Bước 1: Thực quy đồng mẫu thức Bước 2: Cộng tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức rút gọn phân thức vừa tìm Bài 1: Thực phép tính x 1 y xy 3x 10 x3 y xy a) b) x3 y x y c) x2 y 2x2 y 5x2 y x2 y d) x 1 x 1 Giải a) MTC 10 x3 y xy 10 x3 y xy Ta có: 6 b) MTC xy Ta có: x y x 1 y.2 y 3x y xy 3x xy.3 3x.2 y xy c) MTC x2 y Ta có: x3 y x y x3 y 5x y x2 y x2 y x2 y d) MTC x2 x y x y 5x y x y 14 x Ta có: x 1 x 1 x2 x 1 Bài 2: Thực phép tính a) x y 3xy x y x xy y x y b) 5x x 2x 2x x c) x 4x 2x d) x2 y y xy 10 x3 y Giải a) Ta có: x3 y3 x y x xy y MTC x y x xy y x y 3xy x y x xy y x y Khi x y 3xy 2 x xy y x y x xy y x y x y x y 3xy x xy y x y x xy y x y xy x y x y x xy y 2x x y x y x xy y x xy x y x xy y x 2x xy y b) MTC x2 Khi đó: 5x x 2x 2x x 3.x x x 2x 3x x x 4 2 2x 2x x c) MTC x x 4 Ta có: x 4x 2x 24 x 2x x x 4 x 4 2x x 4 x x 4 x d) MTC 10 x3 y x2 y y Ta có: xy 10 x3 y 4x y x y 3 10 x3 y x2 y x2 y x2 x2 10 x3 y 10 x3 y Dạng 2: Trừ phân thức đại số Phương pháp: Bước 1: Thực quy đồng mẫu thức Bước 2: Trừ tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức rút gọn phân thức vừa tìm Bài 1: Thực phép tính a) c) x 2x xy xy 6x x 1 x 1 3x x 1 x 1 b) 3xy y xy 2x 2x d) 2x 3x x 4 x2 Giải a) Ta có: x 3 x 3 xy b) Ta có: c) Ta có: x 2x xy xy x x x 1 xy xy y 3xy y xy 3xy y xy xy y y x 1 y 2x 2x 2x 2x 2x 6x x 1 x 1 3x x 1 x 1 x 3x 1 x 3x 3x 3 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x d) Ta có: 2x 3x x 4 x2 2x 3x 2x 3x 2 x x 4 x x x 2 x 3x x 1 x 4 x x x x Lưu ý: Khi thực phép trừ học sinh thường mắc sai lầm sau Thực Thực sai x x x 3 x 3 xy xy xy x 2x x 2x xy xy xy x xy x xy Bài 2: Thực phép tính a) x 2x y 2x y 4x y b) 3x x x 2x c) x2 8 x 2 x 3x x d) x 2x x x x2 Giải a) MTC x y Ta có: x 2x y 2x y 4x y 2x 2x y 4x y 2x 2x y 4x y y 4x y b) MTC x 1 x 1 Ta có: 3x x x 2x 2 3x 1 x x 1 3x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x2 x x x2 x x2 5x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 c) MTC 3x x 2 Ta có: x2 8 x 2 x 3x x x2 8 x x x 3x x 3x 8 x 8 x x 3x x 3x x x 2 3x x 4x x x x x 3x x 3x d) MTC x 3 x 3 Ta có: x 2x x x x2 x 2x x x x2 9 x 2x x x x 3 x 3 x 3 x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 2x x 3 x 3 x x 3x x 1 x 3 x 3 x x 3x x 2 x x x 3 x 3 x 3 x 3 Dạng 3: Nhân phân thức đại số Phương pháp: Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với Bài 1: Thực phép tính a) c) y 2x2 x2 y 3x x 2 2x x 1 b) 3x yx xy y 5x d) 2x 2x x x x2 Giải a) Ta có: y x y.2 x x y 3 x2 y x y x y b) Ta có: 3x yx xy y yx xy 3x yx x y y 5x y.5 x 20 20 c) Ta có: 3x x 2 x 1 x x 2 x 1 x 3x 3 x x 1 x 2 x 1 x 2 2x 2x x x x2 d) Ta có: 4x x x x x 2 x x x 3 x 3 x x 2 x 3 2 x 3 x x 3 x 3 x Bài 2: Thực phép tính a) 2x x x 3 x2 x x2 b) x 1 4x x 25 4x2 2x 2x c) x x x3 3x x x2 d) x x x 3x Giải a) Ta có: 2x x 25 x x 3 2 x 3 x 5 x 5 x x 3 2 x 3 x 5 x 5 x 5 x 3 x 5 x 5 x 3 x x x x 1 x 1 x 1 b) Ta có: x 1 4x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 c) Ta có: 4x2 2x 2x x x x3 x2 x 2x x x 1 x 1 x x 1 4x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 d) Ta có: x x 1 3x x x2 2 x x x 3x 3x 3x x x2 2 x x 3x x x x 3x x 1 x 1 x2 x x x x x 1 x 1 x 1 3x 1 x2 x x 3 x 1 x x 1 3x 1 x x 3 x 1 3x 1 x x 3 Dạng 4: Chia phân thức đại số Phương pháp: Bước 1: Thực nghịch đảo phân thức Bước 2: Thực nhân phân thức với Bài 1: Thực phép tính a) 3x x : x2 x2 b) xy x y : x y x2 y 2 x 1 x x : d) x 4 2 x 3x c) x : 2x Giải 3x x 3x 2 x a) Ta có: : x2 x2 x2 x 3x 2 x2 1 x 2 3x b) Ta có: xy x y xy x y : x y x y x y x2 y3 xy x y x y x y x y 2 x y 3xy 3x x x c) Ta có: x : 2x 1 3x 2 x 2 x x 1 2x 3 x 2 2x x2 x 2x 2 x : d) Ta có: x 4 2 x x x2 x x 1 2 x x x x x 1 x 1 x 2 x x x x 1 2 x 2 x Bài 2: Thực phép tính x3 xy x y b) : x xy y x3 y x y x xy y a) : xy x2 c) x 3x x : : x 2x 2x d) x x 3x : x x x3 Giải a) Ta có: x y x xy y : xy x2 x 2y 2x2 xy x xy y x y x xy x y 2x y x 2y x3 xy x y b) Ta có: : x xy y x3 y x3 xy x3 y x xy y x y 3 x x y x y x xy y x xy y 2x y x 4x2 y x y 2x y x x y x y x y x x y x y 2x y c) Ta có: x 3x x : : x 2x 2x x 2x 2x x 3x x x x x 2 x x 3 x 1 d) Ta có: x x 3x : x x x3 2x y 3 x x x 3 x x : : x x 3 x3 x 2 x x 3 x x x 3 x x 3 x x 1 3 x 2