GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A Lý thuyết: Biểu diễn đại lượng biểu thức chứa ẩn Trong thực tế, nhiều đại lượng biến đổi phụ thuộc lẫn Nếu kí hiệu đại lượng x đại lượng khác biểu diễn dạng biểu thức biến Giải toán cách lập phương trình Bước 1: Lập phương trình - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình Bước 3: So sánh điều kiện kết luận Bước 4: (Kết luận) Trong giá trị ẩn tìm bước 3, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho B Các dạng tập: Dạng 1: Bài toán chuyển động Phương pháp: S T Áp dụng công thức: S V T; V ; T S V (Với S quãng đường; V vận tốc; T thời gian) Lưu ý: cần chuyển đổi cho đơn vị có tính thống (VD: thời gian phút cần đổi giờ) Bài 1: Một ô tô từ Tp Hồ Chí Minh đến Bình Dương với vận tốc 45km/h, từ Bình Dương quay Tp Hồ Chí Minh với vận tốc 50km/h Tính quãng đường từ Tp Hồ Chí Minh đến Bình Dương? Biết thời gian thời gian 20 phút Giải Gọi quãng đường từ Tp Hồ Chí Minh đến Bình Dương x (km) x Thời gian từ Tp Hồ Chí Minh đến Bình Dương là: Thời gian từ Bình Dương Tp Hồ Chí Minh là: x (giờ) 45 x (giờ) 50 Theo thời gian thời gian 20 phút nên ta có: x x 20 10 x x 3x 450 x 150 km 45 50 60 450 Vậy quãng đường từ Tp Hồ Chí Minh đến Bình Dương 150km Bài 2: Một tơ từ A đến B với vận tốc 72km/h quay với vận tốc 60km/h nên thời gian hết thời gian 20 phút Tính quãng đường AB Giải +) Gọi quãng đường AB x (km) x Thời gian từ A đến B là: Thời gian từ B A là: x (giờ) 72 x (giờ) 60 Theo thời gian thời gian 20 phút ( giờ) nên ta có: x x 18 x 15 x 60 72 1080 3x.3 1080.4 x 4320 x 480 km Vậy quãng đường AB 480km Bài 3: Hai thành phố A B cách 450km Một ô tô từ A đến B với vận tốc không đổi thời gian dự định Khi đi, ô tô tăng vận tốc dự kiến 5km/h nên đến B sớm so với thời gian dự định Tính vận tốc dự kiến ban đầu ô tô? Giải +) Gọi vận tốc ô tô dự định ban đầu v (km/h) Thời gian ô tô từ A đến B với vận tốc v là: 450 (giờ) v +) Khi đi, ô tô tăng vận tốc dự kiến 5km/h nên thời gian ô tô hết quãng đường AB là: 450 (giờ) v5 +) Theo đề xe đến B sớm 30 phút so với thời gian dự định nên ta có: 450 60 450 450 v 450 v 60 v v5 v v 455 v 450 v 5 v2 455v 450v 2250 v2 5v 2250 v2 45v 50v 2250 v v 45 50 v 45 v 50 v 45 v 50 v 50(ktm) v 45 v 45 (tm) Vậy vận tốc dự kiến ban đầu ô tô 45km/h Dạng 2: Bài tốn tìm số Phương pháp: Cần dựa vào kiện toán để thực Lưu ý: a1a2 a3 a1.100 a2 10 a1 Bài 1: Hiệu hai số dương 22 Biết số gấp đơi số Tìm hai số dương Giải +) Gọi số dương thứ x x Số dương thứ hai y y x Khi ta có: y x 22 y 22 x +) Theo số gấp đơi số kia, nên ta có: y x 22 x x 22 x x x 22 (thỏa mãn) Với x 22 , suy y 44 Vậy hai số dương cần tìm 22 44 Bài 2: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng trước chữ số vào đằng sau số tăng gấp 33 lần Giải +) Gọi số tự nhiên có ba chữ số a1a2 a3 (với a1 , a2 , a3 9; a1 0; a1, a2 , a3 N ) +) Theo ta có: 1a1a2 a3 33a1a2 a3 10000 10a1a2 a3 33a1a2 a3 10005 23a1a2 a3 a1a2 a3 435 Vậy số tự nhiên cần tìm 435 Bài 3: Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 101 lấy số lớn chia cho số nhỏ thương dư Giải +) Gọi số tự nhiên thứ là: x Số tự nhiên thứ hai 101 x +) Theo lấy số lớn chia cho số nhỏ thương dư 1, nên ta có: x 4 x 101 x 101 x 101 x x 404 4x 5x 405 x 81 Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 81 20 Dạng 3: Bài tốn công việc, suất Phương pháp: A N T T A N (Với A khối lượng công việc; N suất; T thời gian) Bài 1: Một công nhân giao làm số sản phẩm thời gian định Người dự định làm ngày 48 sản phẩm Sau làm ngày, người nghỉ ngày, nên để hoàn thành kế hoạch, ngày người phải làm thêm sản phẩm Tính số sản phẩm người giao Giải Gọi x số sản phẩm người giao x Thời gian dự định người làm xong số sản phẩm giao với suất 48 sản phẩm là: x 48 (ngày) Sau làm ngày, người nghỉ ngày, sau người phải làm thêm sản phẩm Vì thời gian người làm xong sản phẩm sau nghỉ ngày là: x 48 x 48 48 54 (ngày) Vậy ta có: x x 48 x 2.54 x 48 11 48 54 48 54 x 60 x x 60 x x 480 48 54 Vậy số sản phẩm giao làm 480 sản phẩm Bài 2: Một xưởng sản xuất dự định sản xuất lô hàng gồm 300 sản phẩm, trước tiến hành sản xuất, xưởng bổ sung thêm công nhân nên số sản phẩm phải làm người giảm sản phẩm so với dự kiến Hỏi lúc dự định, xưởng có công nhân Giải +) Gọi số công nhân dự định lúc ban đầu x (người), (với x ) Số sản phẩm công nhân làm là: 300 (sản phẩm) x Sau xưởng bổ sung thêm công nhân số sản phẩm công nhân làm là: 300 x5 +) Theo số sản phẩm người giảm sản phẩm so với dự kiến nên ta có phương trình: 300 300 300 x 5 300 x 3x x x x5 x 25(ktm) 500 x x 5 x x 500 x 20 (tm) Vậy số công nhân dự định lúc ban đầu 20 (người) Dạng 4: Bài tốn dịng nước Phương pháp: Chuyển động tàu, thuyền chịu tác động dịng nước: V xu«i V thùc V dòng nước V ngược V thực - V dòng níc Bài 1: Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B 4h ngược dòng từ bến B bến A 5h Tính khoảng cách hai bến, biết vận tốc dòng nước 2km/h Giải +) Gọi khoảng cách hai bên s (km) x Vận tốc thực ca nô vth vth Vận tốc dòng nước vnc (km/h) +) Theo ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B 4h, nên ta có: S vth vnc t S vth (1) Theo ca nô ngược dòng từ bến B đến bến A 5h, nên ta có: S vth vnc t S vth (2) +) Từ (1) (2) ta có: vth 2 vth 2 4vth 5vth 10 vth 18 Khoảng cách hai bên AB: S AB 18 80 km Vậy khoảng cách hai bến 80km Bài 2: Một tàu chở hàng chạy ngược dịng 60km, sau chạy xi dịng 48km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/giờ Tính vận tốc thực tàu chở hàng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dòng Giải +) Gọi vận tốc thực tàu v (km/giờ), (với v ) Thời gian tàu chở hàng chạy ngược dòng là: Thời gian tàu chở hàng chạy xi dịng là: 60 (giờ) v2 48 (giờ) v2 +) Theo thời gian xi dịng thời gian ngược dịng nên ta có phương trình: 60 48 1 v2 v2 60 v 48 v v v 60v 120 48v 96 v2 v2 12v 220 v2 10v 22v 220 v v 10 22 v 10 v 10(ktm) v 22 v 10 v 22 (tm) Vậy vận tốc thực tàu 22 km/h Dạng 5: Bài toán liên quan đến phần trăm (%) Lưu ý: a% A có nghĩa là: a A 100 Bài 1: Năm ngoái tổng dân số Tp Hà Nội Tp Hồ Chí Minh 16 triệu Năm dân số Tp Hà Nội tăng 1,15%, cịn dân số Tp Hồ Chí Minh tăng thêm 1,2% Tuy vậy, số dân Tp Hà Nội năm nhiều Tp Hồ Chí Minh 400700 người Tính số dân năm ngối thành phố Giải +) Gọi x số dân năm ngoái Tp Hà Nội x 16000000 Số dân năm ngối Tp Hồ Chí Minh 16.000.000 x +) Số dân Tp Hà Nội năm nay: 1,15 x x 1, 0115 x 100 Số dân Tp Hồ Chí Minh năm nay: 1, 16000000 x 16000000 x 1,012 16000000 x 100 +) Dân Tp Hà Nội năm nhiều Tp Hồ Chí Minh 400700 người nên ta có: 1,0115x 1,012 16000000 x 400700 1,0115x 1,012 x 400700 16000000.1,012 2,0235x 400700 16000000.1,012 2, 0235 x 16592700 x 16592700 8200000 2, 0235 Vậy dân số năm ngoái Tp Hà Nội 8200000 (người), dân số năm ngoái Tp Hồ Chí Minh 16000000 8200000 7800000 (người) Bài 2: Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai tổ I sản xuất vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, cuối tháng hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất chi tiết máy Giải +) Gọi số chi tiết máy làm tháng đầu tổ I là: x (chi tiết máy) x 800 Số chi tiết máy làm tháng đầu tổ II là: 800 x (chi tiết máy) +) Trong tháng thứ hai tổ I sản xuất vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy, ta có phương trình: x 15 20 x 800 x 800 x 945 100 100 x 0,15x 800 x 800 x 0, 945 1,15x 1, 800 x 945 1,15x 960 1, x 945 0,05x 15 x 300 Vậy tháng đầu tổ I sản xuất 300 chi tiết máy, tổ II sản xuất 500 chi tiết máy Bài 3: Một lượng dung dịch có chứa 15% đường Nếu pha thêm 140g nước thu dung dịch chứa 8% đường Hỏi ban đầu dung dịch có gam Giải +) Gọi khối lượng dung dịch cho x (g), x Lượng đường dung dịch là: 15 3x x 100 20 +) Lượng dung dịch sau pha thêm là: x 140 (g) Tỉ số đường lượng dung dịch là: +) Theo ta có phương trình: 3x 20 x 140 3x 3x 20 x 140 100 20 x 140 25 3x.25 40 x 140 75x 40 x 5600 x 160 (thỏa mãn điều kiện) Vậy khối lượng dung dịch cho là: 160g Dạng 6: Các loại tốn liên quan đến kiến thức hình học Phương pháp: Thường áp dụng cơng thức tính diện tích, chu vi: +) Diện tích, chu vi hình chữ nhật: S a.b; P a b +) Diện tích, chu vi hình vng: S a2 ; P 4a Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 4m Nếu tăng chiều dài 2m giảm chiều rộng 3m diện tích giảm 26m2 Tính diện tích mảnh vườn Giải Gọi chiều rộng hình chữ nhật x (m) Khi chiều dài hình chữ nhật x (m) Diện tích hình chữ nhật: S x x 4 x2 x Theo tăng chiều dài 2m giảm chiều rộng 3m diện tích giảm 26m2 ta có: x 2 x 3 x2 4x 26 (*) (*) x x 3 x x 26 x2 x 3x 18 x2 x 26 x x Vậy hình chữ nhật có chiều rộng 8m chiều dài 12m cạnh đáy Nếu giảm cạnh đáy 2cm, tăng chiều cao thêm 3cm diện tích tăng thêm 15cm2 Tính chiều cao cạnh đáy? Bài 2: Một tam giác có chiều cao Giải +) Gọi độ dài cạnh đáy x (cm), (điều kiện: x ) Thì chiều cao x (cm) +) Diện tích lúc đầu là: x x (cm2 ) Diện tích lúc sau là: x x cm2 4 +) Theo đề diện tích tăng thêm 15cm2 nên ta có: 3 x 2 x x x 15 4 3x 3x 3x 3x 15 2 3x 3x 3x 3x 3 15 18 8 x 24 (thỏa mãn điều kiện) Vậy cạnh đáy có độ dài 24 (cm) Chiều cao có độ dài : 24 18(cm) Bài 3: Hình chữ nhật có diện tích 150m2 Nếu giảm chiều dài 2m tăng chiều rộng thêm 3m hình chữ nhật trở thành hình vng Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật Giải Gọi x (m) độ dài chiều dài hình chữ nhật y (m) độ dài chiều rộng hình chữ nhật Điều kiện: x 0, y +) Theo diện tích hình chữ nhật 150m2 , ta có: x y 150 y 150 (1) x +) Nếu giảm độ dài chiều dài lên 2m: x (m) Tăng độ dài chiều rộng thêm 3m: y (m) Thì hình chữ nhật trở thành hình vng, ta có phương trình: x 2 y 3 (2) Thay giá trị y từ (1) (2), ta có được: x 2 150 150 3x x 2 x x x2 x 150 3x x2 5x 150 x2 10 x 15x 150 x 10 x 15 x 10 x 10 x 15 x 10 x 10(ktm) x 15 x 15 (tm) Với x 15 y 150 150 10 x 15 Vậy kích thước hình chữ nhật có chiều rộng 10m chiều dài 15m