ly thuyet va he thong bai tap tu luyen ve quan he giua ba canh cua mot tam giac hay nhat

QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC A Phương pháp giải Bất đẳng thức tam giác Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh cịn lại Trong hình 17.1 ta có: b  c  a  b  c Đảo lại, b  c  a  b  c a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác mở rộng Với ba điểm M, A, B ta ln có: MA  MB  AB Dấu “=” xảy  M thuộc đoạn thẳng AB B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt điểm O nằm hai đầu đoạn thẳng Biết AB  3cm, CD  5cm Chứng minh hai đoạn thẳng AC BD có đoạn thẳng có độ dài nhỏ 4cm Giải (h.17.2) * Tìm cách giải Muốn chứng minh hai đoạn thẳng AC BD có đoạn thẳng có độ dài nhỏ 4cm, ta chứng minh tổng: AC  BD  8cm Ta thấy AC cạnh tam giác AOC, BD cạnh tam giác BOD Vậy cần vận dụng quan hệ ba cạnh tam giác để đánh giá AC BD Hình 17.2 * Trình bày lời giải Xét AOC có AC  OA  OC Xét BOD có BD  OB  OD Cộng vế bất đẳng thức ta được: AC  BD  OA  OB  OC  OD dẫn tới AC  BD  AB  CD Do AC  BD    (cm) Trang Suy hai đoạn thẳng AC BD có đoạn thẳng nhỏ 4cm * Nhận xét: Trong lời giải ta dung tính chất hai bất đẳng thức chiều: Nếu a  b c  d a  c  b  d Ví dụ 2: Chứng minh tam giác, cạnh nhỏ nửa chu vi tam giác Giải (h.17.3) * Tìm cách giải Ta phải chứng minh a  abc Muốn ta chứng minh 2a  a  b  c Trừ a vào hai vế bất đẳng thức ta 2a  a  a  b  c  a, dẫn tới a  b  c Bất đẳng thức nên ta xuất phát từ chứng minh “ngược” lên * Trình bày lời giải Gọi a độ dài cạnh tam giác Gọi b c độ dài hai cạnh lại Theo quan hệ ba cạnh lại tam giác ta có: a  b  c Cộng a vào hai vế bất đẳng thức ta được: a  a  a  b  c dẫn tới 2a  a  b  c Suy a abc * Nhận xét: Trong lời giải ta dùng tính chất sau bất đẳng thức: - Cộng số vào hai vế bất đẳng thức bất đẳng thức chiều - Nhân (hay chia) hai vế bất đẳng thức với số dương bất đẳng thức chiều Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi D, E, F trung điểm AB, BC, CA Chứng minh ba đoạn thẳng AD, AE AF ba cạnh tam giác Giải (h.17.4) Trang * Tìm cách giải Muốn chứng minh ba đoạn thẳng AD, BE, CF ba cạnh tam giác, ta chứng minh ba đoạn thẳng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác chứng minh chúng ba cạnh tam giác * Trình bày lời giải Trên tia đối tia EA lấy điểm K cho EK  EA ABE  KCE (c.g.c)  AB  CK Xét ACK , theo bất đẳng thức tam giác ta có: CA  CK  AK  CA  CK Do AF  AD  AE  AF  AD (vì AC  AF , AB  AD ) Suy AF  AD  AE  AF  AD Ba đoạn thẳng AD, AE, AF thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên chúng ba cạnh tam giác C Bài tập vận dụng  Tính độ dài 17.1 Một tam giác cân có chu vi 40cm cạnh có độ dài 10cm Tính độ dài hai cạnh cịn lại 17.2 Tính chu vi tam giác cân biết độ dài hai cạnh bằng: a) 11cm 20cm; b) 11cm 23 cm 17.3 Ba cạnh tam giác có số đo ba số chẵn liên tiếp (tính xen-ti-mét) Tam giác có chu vi nhỏ bao nhiêu? 17.4 Một đoạn dây thép có độ dài 25cm Hỏi uốn thành hình tam giác có cạnh là: a) 13cm; b) 12cm?  So sánh độ dài với chu vi tam giác 17.5 Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Hãy so sánh độ dài BC với chu vi tam giác AMN 17.6 Chứng minh cạnh lớn tam giác thì: a) Nhỏ nửa chu vi tam giác; Trang b) Lớn chu vi tam giác 17.7 Cho tam giác ABC Gọi D, E, F trung điểm BC, CA AB Chứng minh tổng AD  BE  CF lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tam giác 17.8 Cho hình 17.5 Chứng minh rằng: AB  BC  CD  DE  EA  AD  DB  BE  EC  CA 17.9 Cho hình 17.6 a) Tìm điểm O cho tổng khoảng cách từ O đến A, B, C, D có độ dài nhỏ b) Chứng minh AC  BD  AB  BC  CD  DA 17.10 Cho tam giác ABC có chu vi 2p Lấy điểm M nằm tam giác Chứng minh p  MA  MB  MC  p  Chứng minh bất đẳng thức hình học 17.11 Cho tam giác ABC Vẽ đường thẳng xy chứa tia phân giác góc đỉnh A Trên xy lấy điểm M khác A Chứng minh rằng: AB  AC  MB  MC 17.12 Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AB AC Chứng minh 2 xảy đồng thời BN  AC CM  AB 17.13 Cho đoạn thẳng AB ba điểm M, N, P điểm nằm đường thẳng AB Cho biết MA  NA  PA  MB  NB  PB  s Chứng minh tồn điểm O thỏa mãn MO  NO  PO  s 17.14 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC, BC lấy điểm M, N, K không trùng với đỉnh tam giác cho AM  AN Chứng minh KM  KN  KA Trang 17.15 Tam giác ABC khơng có hai cạnh Độ dài cạnh có số đo số nguyên (tính xen-ti-mét) Biết AB  2cm, BC  3cm Vẽ đường trung trực xy BC, lấy điểm M Xác định vị trí điểm M để tổng MA  MB có giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ Hướng dẫn giải 17.1  Nếu cạnh đáy dài 10cm cạnh bên dài :  40  10 :  15  cm  Ba độ dài 10, 15,15 thỏa mãn bất đẳng thức tam giác 15  15  10  15  15 Vậy độ dài hai cạnh lại là: 15cm; 15cm  Nếu cạnh bên dài 10cm cạnh đáy dài là: 40  2.10  20  cm  Ba độ dài 10, 20, 20 không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Vậy trường hợp bị loại 17.2 a)  Nếu cạnh đáy dài 11cm cạnh bên dài 20cm Ba độ dài 11, 20 ,20 thỏa mãn bất đẳng thức tam giác 20  20  11  20  20 Chu vi tam giác cân là: 11  20  20  51 cm   Nếu cạnh đáy dài 20cm cạnh bên dài 11cm Ba độ dài 20, 11, 11 thỏa mãn bất đẳng thức tam giác 11  11  20  11  11 Chu vi tam giác cân là: 20  11  11  42  cm  b)  Nếu cạnh đáy dài 11cm cạnh bên dài 23cm Ba độ dài 11, 23, 23 thỏa mãn bất đẳng thức tam giác 23  23  11  23  23 Chu vi tam giác cân là: 11  23  23  57  cm   Nếu cạnh đáy dài 23cm cạnh bên dài 11cm Ba độ dài 23, 11, 11 không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Vậy trường hợp bị loại 17.3 Gọi độ dài ba cạnh tam giác n, n + n + (n số tự nhiên chẵn) Trang Theo quan hệ ba cạnh tam giác ta có: n   n  2  n   n  Số chẵn nhỏ lớn Vậy độ dài ba cạnh tam giác 4, 6, (cm) Chu vi nhỏ tam giác    18  cm  17.4 a) Nếu cạnh dài 13cm tổng hai cạnh cịn lại là: 25  13  12  cm  Ta thấy cạnh lớn tổng hai cạnh cịn lại, khơng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Vậy uốn đoạn dây thép thành hình tam giác có cạnh 13cm b) Nếu cạnh dài 12cm tổng hai cạnh cịn lại là: 25  12  13  cm  Đoạn dây thép 13cm uốn thành hai đoạn chẳng hạn 8cm 5cm Rõ ràng   12   thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Vậy uốn đoạn dây théo 25cm thành tam giác có cạnh 12cm 17.5 (h.17.7) Xét MBC ta có: BC  MB  MC 1 Xét MNC ta có: MC  MN  NC  2 Từ (1) (2) suy BC  MB  MN  NC Do BC  MA  MN  NA (vì MA  MB NA  NC ) Suy BC  chu vi AMN 17.6 Gọi a, b, c ba cạnh tam giác ABC Giả sử a cạnh lớn nhất: a  b; a  c a) Theo quan hệ ba cạnh tam giác ta có a  b  c Cộng a vào hai vế bất đẳng thức ta a  a  a  b  c, 2a  a  b  c, suy a  abc b) Vì a  b; a  c nên 2a  b  c Cộng a vào hai vế ta 3a  a  b  c Suy a  abc 17.7 (h.17.8)  Xét ABD ACD, ta có: AD  BD  AB; AD  CD  AC Trang Suy AD  BC  AB  AC  AD  AB  AC  BC 1 Tương tự, 2BE  BC  BA  AC  2 2CF  CA  CB  AB  3 Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:  AD  BE  CF    AB  AC  BC    BC  BA  AC    CA  CB  AB   AB  BC  CA Do AD  BE  CF  AB  BC  CA *  Trên tia đối tia DA lấy điểm K cho DK  DA ABD  KCD (c.g.c)  AB  CK Xét ACK có AK  AC  CK  AC  AB  AD  AB  AC Chứng minh tương tự ta 2BE  BA  BC;2CF  CB  CA Cộng vế ba bất đẳng thức ta  AD  BE  CF    AB  BC  CA Do AD  BE  CF  AB  BC  CA  chu vi ABC ** Từ (*) (**), suy điều phải chứng minh 17.8 (h.17.9) Gọi điểm A1 , B1 , C1 , D1 , E1 điểm hình 17.9 Theo quan hệ ba cạnh tam giác ta có AB  A1 A  A1B; BC  B1B  B1C; CD  C1C  C1D; DE  D1D  D1E; EA  E1E  E1 A Cộng vế bất đẳng thức ta được: AB  BC  CD  DE  EA   A1 A  B1C    A1B  E1E    B1B  C1D   C1C  D1E    D1D  E1 A  AC  BE  BD  CE  DA Trang 17.9 (h.17.10) a) Gọi M điểm bất kì, ta có: MA  MC  AC (dấu “=” xảy  M   AC  ) MB  MD  BD (dấu “=” xảy  M   BD ) Suy MA  MC  MB  MD  AC  BD (khơng đổi) Do tổng MA  MB  MC  MD nhỏ AC  BD M giao điểm O AC BD b) Xét tam giác AOB, BOC, COD, DOA ta có: OA  OB  AB; OB  OC  BC; OC  OD  CD; OD  OA  DA Cộng vế bốn đẳng thức ta được:  OA  OB  OC  OD   AB  BC  CD  DA Suy  AC  BD   AB  BC  CD  DA Do AC  BD  AB  BC  CD  DA 17.10 (h.17.11)  Chứng minh MA  MB  MC  p Xét tam giác MAB, MBC MCA ta có: MA  MB  AB; MB  MC  BC; MC  MA  CA Cộng vế ba bất đẳng thức ta được:  MA  MB  MC   AB  BC  CA Suy MA  MB  MC  AB  BC  CA p   p 2 *  Chứng minh MA  MB  MC  p Gọi D giao điểm tia CM với cạnh AB Xét MDB có MB  MD  DB Cộng thêm MC vào hai vế ta MB  MC  MC  MD  DB Suy MB  MC  CD  DB 1 Xét ADC có CD  AD  AC Cộng thêm DB vào hai vế ta CD  DB  DB  AD  AC Trang  2 Suy CD  DB  AB  AC Từ (1) (2) suy MB  MC  AB  AC Chứng minh tương tự ta được: MC  MA  BC  BA; MA  MB  CA  CB Cộng vế ba bất đẳng thức ta được:  MA  MB  MC    AB  BC  CA Suy MA  MB  MC  AB  BC  CA  p ** Từ (*) (**) suy p  MA  MB  MC  p 17.11 (h.17.12) Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AC AMD  AMC (c.g.c) Suy MD  MC Ta có AB  AC  AB  AD  BD 1 MB  MC  MB  MD  BD  2 Từ (1) (2) suy AB  AC  MB  MC 17.12 (h.17.13) Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử đồng thời xảy BN  AC CM  AB 2 Khi BN  CM   AB  AC  1 Gọi G giao điểm BN CM Xét MBG NCG, theo quan hệ ba cạnh tam giác ta có: BM  GB  GM ; GN  GC  GN Suy BM  CN  GB  GM  GC  GN hay BM  CN  BN  CM Do BN  CM  BM  CN   AB  AC   2 (1) (2) mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai Trang 2 Do khơng thể xảy đồng thời BN  AC CM  AB 17.13 (h.17.14) Gọi O trung điểm AB Ta chứng minh (xem 17.7): MO   MA  MB  ; NO  1  NA  NB  ; PO   PA  PB  2 Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: MO  NO  PO  1 1  MA  NA  PA   MB  NP  PB   s  s  s 2 2 17.14 (h.17.15) Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B ta vẽ tia Ax cho CAx  BAK Trên tia Ax lấy điểm D cho AD  AK AMK  AND (c.g.c)  KM  DN Ta có KAD  KAC  CAD  KAC  BAK  60o AKD có AK  AD KAD  60o nên tam giác  KA  KD Gọi O giao điểm AC với KD Xét ba điểm N, K, D ta có KN  DN  KD (dấu “=” xảy  N  O ) Do KN  DN  KA (vì KA  KD ) 17.15 (h.17.16) Đặt AC  b Theo bất đẳng thức tam giác ta có   b   hay  b  Vì b nguyên nên b 2;3; 4 Mặt khác, tam giác ABC khơng có hai cạnh nên b  4cm Vì M  xy nên ta chứng minh MB  MC Trang 10 Ta có MA  MB  MA  MC Xét ba điểm M, A, C ta có MA  MC  AC  4cm (Dấu “=” xảy  M  O với O giao điểm xy với AC) Suy MA  MB  4cm Do tổng MA  MB có giá trị nhỏ 4cm M giao điểm xy với AC Trang 11 ... dài ba cạnh tam giác n, n + n + (n số tự nhiên chẵn) Trang Theo quan hệ ba cạnh tam giác ta có: n   n  2  n   n  Số chẵn nhỏ lớn Vậy độ dài ba cạnh tam giác 4, 6, (cm) Chu vi nhỏ tam. .. * Tìm cách giải Muốn chứng minh ba đoạn thẳng AD, BE, CF ba cạnh tam giác, ta chứng minh ba đoạn thẳng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác chứng minh chúng ba cạnh tam giác * Trình bày lời giải Trên... vi tam giác 17.5 Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Hãy so sánh độ dài BC với chu vi tam giác AMN 17.6 Chứng minh cạnh lớn tam giác thì: a) Nhỏ nửa chu vi tam giác; Trang b) Lớn chu vi tam