nam dang toan pho bien ve phan tich da thuc thanh nhan tu dai so toan 8 co loi giai

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A Lý thuyết: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp B Các dạng tập: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3  x2  x b) 3x2 y  xy  12 x2 y c) 2xy  x  y   x  y  x  d) x2  y  x  y Giải a) Ta có: x3  x2  x  x  x2  3x   b) Ta có: 3x2 y  xy  12 x2 y  3xy  x  y  4xy  c) Ta có: xy  x  y   x  y  x   2xy  x  y   x  x  y   x  x  y  y  x  d) Ta có: x2  y  x  y  x2   y    x  y    x  y  x  y    x  y    x  y  x  y  1   x  y  x  y  1 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a)  x     x b) 3xy  y  3x  c) x2  xy  y d) x2  y  5x  y Giải a) Ta có:  x  2   x   x  2   x       x    x      x   x   1 x   1   x   x  3 x  1 b) Ta có: 3xy  y  3x   3xy  3x   y  3x  y  1   y  1   y  1 3x   c) Ta có: x2  xy  y  x2  xy  3xy  y  x  x  y   y  x  y    x  y  x  y  d) Ta có: x2  y  5x  y   x  y  x  y    x  y    x  y  x  y  5 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a)  x  22   x2     x  2 b) x2  xy  y c) x2  x  y  y d) x  x  y   y  x  y  Giải a) Ta có:  x  22   x2     x  2   x  2   x2  4   x2  4   x  2 2   x  2   x   x     x   x     x   2   x  2 x   x     x   x   x    x  x  2  x  x  2  x  x   x  2  4x2 b) Ta có: x2  xy  y  x2  y  xy  y   x2  y   y  x  y    x  y  x  y   y  x  y    x  y  x  y  y    x  y  x  y  c) Ta có: x2  x  y  y  x2  y  x  y   x  y  x  y    x  y    x  y  x  y   d) Ta có: x  x  y   y  x  y    x  y  x  y    x  y  x  y    x  y  Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức Lưu ý: Với số toán chưa tường minh để áp dụng đẳng thức ta phải thực “thêm, bớt” số hạng tử để xuất dạng áp dụng đẳng thức Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  x  b) x3 12 x2  24 x 16 c)  x  y    x  y  c) x4  x2  Giải 1 1 a) Ta có: x  x   x  x    x   4  2 2 b) Ta có: x3  12 x2  24 x 16   x3  x2  12 x  8   x3  3.x 2  3.4.x  23    x   c) Ta có:  x  y    x  y  3   x3  3x2 y  3xy  y3    x3  3x y  3xy  y   x y  y  y  3x  y  d) Ta có: x4  x2    x4  x2  1   x4  x2   x2       x  1  x   x   x  x   x   Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử b) x3  x2 16 a) x4  c) 2 a  b 36 d) x2  x  y  y Giải a) Ta có: x4   x4  x2   x2   x2  4  x2   x   x  x   x    x  x   x  x   b) Ta có: x3  6x2 16  x3  x2  12 x  12 x  24     x    12  x     x    x    12   x    x  x  8 2 1 1 1 1 c) Ta có: a  b2   a    b    a  b   a  b  36  6  6  2  6 d) Ta có: x2  x  y  y  x2  x   y  y 1   x  x  1   y  y  1   x  1   y  1   x   y  1 x   y  1 2   x  y  x  y   Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a)  x  a   25 b) 125a3  75a2 15a  c) x8  x4  d) x7  x2  x  Giải a) Ta có:  x  a   25   x  a   52   x  a  5 x  a  5 2 b) Ta có: 125a3  75a2 15a     5a    5a   3.5a   1  5a  3 c) Ta có: x8  x4   x8  x4   x4   x4  1  x   x4   x2  x4   x2    x  x  1 x  x  1 d) Ta có: x7  x2  2x 1  x7  x  x2  x 1  x  x6  1   x  x  1  x  x3  1 x3  1   x  x  1  x  x3  1  x  1  x  x  1   x  x  1     x  x  1 x  x3  1  x  1      x  x  1  x  x   x  1    x  x  1 x5  x  x  x  1 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x4  81 b) x8  98x4  c) x7  x2  d) x7  x5  Giải a) Ta có: 4x4  81  4x4  36x2  81  36x2   x    36 x   x     x  2   x   x  x   x    x  x   x  x   b) Ta có: x8  98x4    x8  x4  1  96 x4   x  1  16 x  x  1  64 x  16 x  x  1  32 x   x   8x   16 x  x   x    x  8x  1  16 x  x  1   x  8x  1   x3  x  2   x4  x3  8x2  x  1 x  x3  8x  x  1 c) Ta có: x7  x2    x7  x    x  x  1  x  x6  1   x  x  1  x  x3  1 x3  1   x  x  1  x  x  1  x  x  1 x3  1   x  x  1   x  x  1  x  x  1  x3  1  1   x  x  1 x5  x  x  x  1 d) x7  x5    x7  x    x5  x2    x2  x  1  x  x3  1 x3  1  x  x3  1   x  x  1   x2  x  1  x  1  x4  x   x2  x  1  x  x  1   x  x  1   x  x  1  x5  x4  x2  x    x3  x   1   x  x  1 x5  x  x3  x  1 Lưu ý: Các đa thức có dạng x3m1  x3n   Ví dụ như: x7  x2  ; x7  x5  1; x8  x4  ; x5  x  1; x8  x  ; … có nhân tử chung x2  x  Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2  x  y  y b) 3x3  xy  12 xy  y c) x3  x2  xy  y3  y d) 16 x4  8x2  y  Giải a) Ta có: x2  x  y  y  x2  y   x  y    x  y  x  y    x  y    x  y  x  y  2 b) Ta có: 3x3  xy  12 xy  y  3x3  12 xy  xy  y  3x  x2  y   y  x  y   3x  x  y  x  y   y  x  y    x  y   3x3  xy  y  c) Ta có: x3  x2  xy  y3  y  x3  y3  x2  xy  y   x  y   x  xy  y    x  xy  y    x  xy  y   x  y  1 d) Ta có: 16 x4  8x2  y    x    x    y    2  `   2x    y2   2x    y  2x    y 2    x   y  x   y  Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) ax2  2bxy  2bx2  axy b)  x2  x c) x2  x  y  y  d) x4  5x3  20 x 16 Giải a) Ta có: ax2  2bxy  2bx2  axy  ax2  2bx2  axy  2bxy   a  2b  x  xy  a  2b    a  2b   x  xy   x  a  2b  x  y  b) Ta có:  x2  x   x2  x     x  1    x  1  x  1    x   x  c) Ta có: x2  x  y  y   x2  x   y  y    x  1   y  1   x   y   x   y   2   x  y  1 x  y  3 d) Ta có: x4  5x3  20 x  16  x4  16  5x3  20 x   x4  24    5x3  20 x    x   x    5x  x     x  4 x   5x    x    x  1 x   Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2  y  x  y b) x3  y 1  3x2   x  y  1  y3 c) a2 x  a2 y  x  y d) x  x  1  x  x  5   x  1 Giải a) Ta có: x2  y  x  y   x2  y    x  y    x  y  x  y    x  y    x  y  x  y   b) Ta có: x3  y 1  3x2   x  y  1  y3  x3  y  3x y  3xy  x  y   x3  3x y  3xy  y    x  y    x  y    x  y    x  y   x  y   1     x  y  x  y  1 x  y  1 c) Ta có: a2 x  a2 y  x  y   a x  a y    x  y   a2  x  y    x  y    x  y   a2   d) Ta có: x  x  1  x  x  5   x  1 2 2   x  x  1   x  1   x  x  5   x  1  x  5  x  x  5     x  5  x  1  x    x  5  x  3x  1   Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  x  4 x  6 x  10  128 b) x4  6x3  x2  6x  Giải a) Ta có: x  x  4 x  6 x  10  128   x  x  10   x   x    128   x  10 x    x  10 x  24   128 (*) Đặt x2  10 x  12  t , phương trình (*) trở thành:  t  12 t  12  128  t  144  128  t  16  t  4t  4   x2  10 x  8 x2  10 x  16   x   x  8  x  10 x  8 b) Giả sử x  ta có:   x  x3  x  x   x  x  x     x x     x  x  x  Đặt t  x  6       6x    7 x    (*) 1 x   t  , phương trình (*) trở thành: x x    6  x  x     x      x  t   6t   x  x     x  t  3   xt  3x  2 2   1    x  x    3x    x  3x  1 x    Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: x4  x3  x2  x   x4   x3  x   9 x  x  1  x  x  3x  1   3x  1   x  3x  1 2 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a)  x2  y  z   x  y  z 2   xy  yz  zx 2 b)  x4  y  z    x2  y  z    x2  y  z   x  y  z    x  y  z  2 Giải a) Ta có:  x2  y  z   x  y  z    xy  yz  zx  2   x  y  z    xy  yz  zx   x  y  z    xy  yz  zx  (*) Đặt a  x2  y  z , b  xy  yz  zx , phương trình (*) trở thành: a  a  2b   b2  a  2ab  b2   a  b    x  y  z   xy  yz  zx  2 b) Ta có:  x4  y  z    x2  y  z    x2  y  z   x  y  z    x  y  z  2 Đặt a  x4  y  z , b  x2  y  z , c  x  y  z , ta có: 2a  b2  2bc  c  2a  2b2  b2  2bc  c   a  b2   b  c  Mặt khác ta có: a  b2  x  y  z   x  y  z   x4  y  z   x4  y  z  2x2 y  y z  2z x2   2  x y  y z  z x  b  c2  x2  y  z   x  y  z   x2  y  z   x  y  z  xy  yz  2zx   2  xy  yz  zx  (1) Do đó: (1)   a  b2    b  c2   4 x2 y  y z  z x2  x2 y  y z  z x  8x yz  8xy z  8xyz  8xyz  x  y  z  Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a)  x  y    y  z    z  x  3 b)  a  b  c    a  b  c   4c 2 Giải a) Đặt x  y  a , y  z  b , z  x  c  a  b  c  ta có:  x  y   y  z    z  x 3  a  b3  c   a  b   3a 2b  3ab2  c3     a  b  c   a  b    a  b  c  c  3a 2b  3ab  3ab  a  b   3 x  y  y  z  x  y  y  z   3 x  y  y  z  x  z  b) Ta có:  a  b  c    a  b  c   4c 2   a  b  c    a  b  c  2c  a  b  c  2c    a  b  c    a  b  3c  a  b  c    a  b  c  a  b  c  a  b  3c    a  b  c  2a  2b  2c    a  b  c  a  b  c  Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2  x  b) x2  11x  c) x3  x2  5x  d) x2  y  x  xy  y Giải a) Ta có: x2  4x   x2  x  3x   x  x  1  3 x  1   x  1 x  3 b) Ta có: x2  11x   x2  x  x   x  3x  1  3 3x  1   3x  1 x  3 c) Ta có: x3  2x2  5x   x3  x2  x2  x  4x   x2  x  1  x  x  1   x  1   x  1  x  x   d) Ta có: x2  y  x  xy  y  x2  xy  y  x  y   x  y    x  y    x  y  x  y   Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3x2  x  b) x3  5x  c) x3  x2  x d) x3  x2  13x  Giải a) Ta có: 3x2  x   3x3  3x  x   3x  x  1   x  1   x  1 3x  1 b) Ta có: 2x3  5x   2x3  2x2  2x2  2x  3x   x  x  1  x  x  1  3 x  1   x  1  x  x  3 c) Ta có: x3  x2  x  x  x2  x    x  x  x  3x    x  x  x    3 x     x  x  3 x   d) Ta có: 2x3  x2  13x   2x3  4x2  5x2  10x  3x    x    x  x  3   x    x  x  x     x  2  x  x  1  3 x  1    x   x  1 x  3 Lưu ý: Khi thực tách đa thức để nhóm thành nhân tử chung ta thực bước sau: Bước 1: Thực nhẩm nghiệm đa thức (thường nghiệm x  1 ; x  2 thỏa mãn) Ví dụ: 3x2  x  , với x  thay vào ta     x  nghiệm đa thức Bước 2: Thực tách đa thức để có nhân tử chung nghiệm đa thức Ví dụ: Thực tách đa thức để có x  nhân tử chung 3x2  x   3x  3x  x   3x  x  1   x  1   x  1 3x  1 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3  x2  11x  b) x3  5x2  c) 6a2  6ab  11a  11b d) m3  7m2  6m Giải a) Nhận xét: Thực nhẩm nghiệm ta thấy x  1 nghiệm phương trình, nhân tử chung  x  1 Ta có: x3  4x2  11x   x3  x2  3x2  3x  8x   x2  x  1  3x  x  1   x  1   x  1  x  3x  8 b) Nhận xét: Thực nhẩm nghiệm ta thấy x  nghiệm phương trình, nhân tử chung  x   Ta có: 2x3  5x2   x3  x2  x2  2x  2x   x2  x  2  x  x  2   x  2   x  2  x2  x  2 c) Nhận xét: Thực nhẩm nghiệm ta thấy a  b nghiệm phương trình, nhân tử chung  a  b  Ta có: 6a2  6ab  11a  11b  6a  a  b   11 a  b    6a  11 a  b  d) Nhận xét: Thực nhẩm nghiệm ta thấy m  6 m  1 nghiệm phương trình, nhân tử chung  m   Ta có: m3  7m2  6m  m3  6m2  m2  6m  m2  m    m  m     m2  m   m    m  m  1 m   Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử a)  x  1 x  2 x  3 x  4  b) x4  4x3  2x2  4x  Giải a) Ta có:  x  1 x  2 x  4 x  5    x  1 x   x   x  5    x  3x   x  3x  10   (*) Đặt t  x2  3x  , phương trình (*) trở thành:  t  3t  3   t    t 1  t 1t  1   x2  3x   1 x  3x   1   x  3x  8 x  3x   b) Ta có: x  x3  x  x   x  x  x     x 1  x2     1   x2   x2     x     x   x   x Đặt t  x   x   t  , phương trình (*) trở thành: x   x  t    4t   x  t   4t    x t  4t    x t  2 2 (*)    x  x      x  x  1 x   Lưu ý: Khi thực phân tích thành nhân tử phương pháp đặt ẩn phụ ví dụ trên, thường gặp dạng sau: +) Dạng:  x  a  x  b  x  c  x  d   t +) Dạng: ax4  bx3  cx2  bx  a Dạng 6: Tìm x với điều kiện cho trước Phương pháp: Áp dụng cách phân tích đa thức thành nhân tử chung, ta đưa biểu thức dạng A.B  , xảy trường hợp: A  giải ta giá trị x B  TH1:  A  giải ta tìm giá trị x B  TH2:  B  giải ta giá trị x A  TH3:  Bài 1: Tìm x , biết: a) x  x  1   x 1  b) x2   x  1  c) x3  x  3x2   d) x2  3x  4   x  Giải a) Ta có: x  x  1   x 1   x2  x  x   x  x   x  x   x  x  3     x   x  Vậy x  x  thỏa mãn điều kiện tốn b) Ta có: x2   x  1    x   x  1   x   x  1    x  1 x 1    x  1 3x  1     x  x     Vậy x  1 x  thỏa mãn điều kiện tốn c) Ta có: x3  x  3x2    x  x2  1   x2  1    x  1  x  3   x   (do x2   với x ) x Vậy x  thỏa mãn điều kiện tốn d) Ta có: x2  3x  4   x   x2  3x    3x      x    3x     3x   (do x   với x ) x Vậy x  thỏa mãn điều kiện tốn Bài 2: Tìm x biết: a) x2  2018x  2017  b) x3  8x2   x Giải a) Ta có: x2  2018x  2017   x2  x  2017 x  2017   x  x  1  2017  x  1    x  1 x  2017    x 1  x     x  2017   x  2017 Vậy x  x  2017 thỏa mãn điều kiện tốn b) Ta có: x3  8x2   x  x2  x  8   x  8    x  8  x  1    x  8  (do x2   với x )  x 8 Vậy x  thỏa mãn điều kiện toán Lưu ý: Đối với b học sinh thường mắc sai lầm cách giải sau: Ta có: x3  8x2   x  x2  x  8    x  8  x2  1  phương trình vơ nghiệm Vì vậy: Đối với toán tương tự ta phép rút gọn giá trị ln khác Cịn trường hợp cịn lại phải nhóm thành nhân tử chung  ...  b) Ta có: x8  98x4    x8  x4  1  96 x4   x  1  16 x  x  1  64 x  16 x  x  1  32 x   x   8x   16 x  x   x    x  8x  1  16 x  x  1   x  8x  1  ... x  2017 thỏa mãn điều kiện tốn b) Ta có: x3  8x2   x  x2  x  8? ??   x  8? ??    x  8? ??  x  1    x  8? ??  (do x2   với x )  x ? ?8 Vậy x  thỏa mãn điều kiện toán Lưu ý: Đối với... trình (*) trở thành:  t  12 t  12  1 28  t  144  1 28  t  16  t  4t  4   x2  10 x  8? ?? x2  10 x  16   x   x  8? ??  x  10 x  8? ?? b) Giả sử x  ta có:   x  x3  x 