thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com DẠNG 13 TOÁN RỜI RẠC A Bài toán Bài 1 Cho là số tự nhiên lẻ Chứng minh chia hết cho Bài 2 Hình vuông có 3x3 ô (như hình bên ), chứa 9 số mà tổng các số ở mỗi hàng[.]
thuvienhoclieu.com DẠNG 13: TỐN RỜI RẠC A.Bài tốn Bài 1: Cho số tự nhiên lẻ Chứng minh chia hết cho Bài 2: Hình vng có 3x3 (như hình bên ), chứa số mà tổng số hàng, cột, đường chéo gọi hình vng kỳ diệu Chứng minh số tâm (x) hình vng kỳ diệu trung bình cộng hai số cịn lại hàng, cột , đường chéo X Bài 3: Trong bảng vng kích thước 8x8 gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô Chứng minh với cách đánh dấu ln có đánh dấu khơng có điểm chung (hai có điểm chung hai có chung đỉnh chung cạnh) Bài 4: Một giải bóng chuyền có đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội thi đấu với trận) Biết đội thứ thắng trận, …., đội thứ thắng trận thua trận thua trận, đội thứ thắng trận thua trận Chứng minh Bài 5: Làm để đem lít nước từ sơng tay có can, can có dung tích lít, can có dung tích lít khơng can có vạch chia dung tích ? Bài 6: Trong đề thi có tốn Có 25 học sinh người giải Biết rằng: - Trong số thí sinh khơng giải A số sinh giải B nhiều gấp hai lần số thí sinh giải C - Số thí sinh giải A nhiều số thí sinh giải A thêm khác người - Số thí sinh giải A số thí sinh giải B cộng với số thí sinh giải C Hỏi có thí sinh giải B? Bài 7: Trong lớp học bạn An hoàn thành tập mà giáo viên giao cho giết thời gian cách liệt kê bảng số nguyên Bận bắt đầu ghi số nguyên đó; để có số tiếp theo, An cộng nhân chữ số số đứng liền trước Cứ tiếp tục thế, nhận số ghi số lẻ Hỏi có số An chọn, biết không chữ số thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 8: Cho hình vng ABCD đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình ABCD vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng số qua điểm Bài 9: Cho hình vng ABCD có 13 đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng 13 đường thẳng qua điểm Bài 10: Cho đa giác gồm 1999 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn ba đỉnh sơn màu tạo thành tam giác cân B.Lời giải Bài 1: Cho số tự nhiên lẻ Chứng minh chia hết cho Lời giải Ta có: Vì ba số tự nhiên liên tiếp nên có a b c d e f g h i ba số chia hết cho Do Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với suy Bài 2: a b c d e f g h i Hình vng có 3x3 (như hình bên ), chứa số mà tổng số hàng, cột, đường chéo gọi hình vng kỳ diệu Chứng minh số tâm (x) hình vng kỳ diệu trung bình cộng hai số cịn lại hàng, cột , đường chéo X Lời giải Giả sử hình vng kỳ diệu điền số a,b,c,d,e,f,g,h,i hình vẽ Đặt S = a + b +c + d + e + f + g + h + i thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com S Suy d + e + f = b + e + h = a + e + i = c + e + g = (1) Suy (d + e + f ) + (b + e + h) + (a + e + i) + (c + e + g)= 4S ❑S + 3e= S ❑ e= S (2) ⇒ ⇒ Từ (1) (2) suy ra: d + f = b + h = a + i = c + g = 2S =2 e (đpcm) Bài 3: Trong bảng vng kích thước 8x8 gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô Chứng minh với cách đánh dấu ln có đánh dấu khơng có điểm chung (hai có điểm chung hai có chung đỉnh chung cạnh) Lời giải Chi 64 ô vuông bảng 8x8 thành loại hình vẽ (các loại đánh số giống nhau) Khi theo cách chia rõ ràng ô loại điểm chung Khi đánh dấu 13 điểm bất kỳ, 13 điểm thuộc loại vừa chia Vì 13 = 4.3 + nên theo nguyên lý Dirichle tồn thuộc loại, khơng có điểm chung Suy đpcm 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 Bài 4: Một giải bóng chuyền có đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội thi đấu với trận) Biết đội thứ thắng …., đội thứ thắng trận thua trận thua trận, đội thứ thắng trận thua trận, trận Chứng minh Lời giải Mỗi đội bóng thi đấu với đội bóng khác hai đội gặp trận nên đôi thi đấu trận (với i = 1;2;3; ;8) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Mặt khác, tổng số trận thắng đôi tổng số trận đấu nên : (2) Từ (1) (2) suy đpcm Bài 5: Làm để đem lít nước từ sơng tay có can, can có dung tích lít, can có dung tích lít khơng can có vạch chia dung tích ? Lời giải Ký hiệu trạng thái can lít có a lít với can lít có lít với Khi việc lấy lít nước từ sơng diễn tả qua trạng thái sau: Bài 6: Trong đề thi có tốn Có 25 học sinh người giải Biết rằng: - Trong số thí sinh khơng giải A số sinh giải B nhiều gấp hai lần số thí sinh giải C - Số thí sinh giải A nhiều số thí sinh giải A thêm khác người - Số thí sinh giải A số thí sinh giải B cộng với số thí sinh giải C Hỏi có thí sinh giải B? Lời giải Gọi số học sinh giải A, b số thí sinh giải B, c số thí sinh giải C, d số thí sinh giải B C khơng giải A Khi số thí sinh giải A thêm hai B C : Theo ta có: Từ đẳng thức ta có: Bài 7: Trong lớp học bạn An hoàn thành tập mà giáo viên giao cho giết thời gian cách liệt kê bảng số nguyên Bận bắt đầu ghi số nguyên đó; để có thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com số tiếp theo, An cộng nhân chữ số số đứng liền trước Cứ tiếp tục thế, nhận số ghi số lẻ Hỏi có số An chọn, biết khơng q chữ số Lời giải Ta gọi số thỏa mãn đề số chấp nhận Các chữ số số chấp nhận phải số lẻ, khơng tích chúng chẵn Như có số chấp nhận có chữ số Khơng thể có số chấp nhận gồm chữ số tổng tích chữ số chúng số chẵn Tương tự số chấp nhận có chữ số Ta xét số chấp nhận gồm ba chữ số (tổng tích chữ số số chấp nhận gồm ba chữ số phải số lẻ, chúng khơng thể có hai chữ số, nên tổng tích chữ số khơng thể vượt q Như số chấp nhận gồm chữ số có thể: Hoặc gồm chữ số 1, Hoặc gồm hai chữ số 1, số lại chữ số 3,5,7 Hoặc gồm chữ số chữ số Do có số chấp nhận có chữ số Tương tự , ta tính số chấp nhận gồm chữ số Tổng chữ số không vượt 45 số chấp nhận nên tích không vượt 9, khả xảy : Hoặc gồm chữ số Hoặc gồm chữ số chữ số Hoặc gồm chữ số chữ số Hoặc gồm ba chữ số hai chữ số Do số số chấp nhận gồm chữ số: số Vậy số số thỏa mãn đề là: số Bài 8: Cho hình vng ABCD đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng số qua điểm Lời giải Các đường thẳng cho khơng thể cắt cạnh kề hình vng, chúng chia hình vng thành tam giác ngũ giác (chứ chia hình vng thành hai tứ giác) Do đó, đường thẳng (trong số chín đường thẳng) cắt hai cạnh đối hình vng khơng qua đỉnh hình vng thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Giả sử đường thẳng cắt hai cạnh đối N A E B J M BC AD điểm M N D F C Bài 9: Cho hình vng ABCD có 13 đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng 13 đường thẳng qua điểm Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com E A H P Q D B M N F C G Đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác nên đường thẳng phải cắt hai cạnh đối hình vng khơng qua đỉnh hình vng trung điểm Xét đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác, cắt Nên tỉ số diện tích hai tứ giác tạo thành Nếu tỉ số diện tích hai tứ giác tạo thành N Như N cố định có điểm vai trò điểm N M, N, P,Q hình vẽ Có 13 đường thẳng đường phải qua điểm phân biệt Theo nguyên tắc Dirichle tồn đường thẳng qua điểm điểm M,N,P,Q Bài 10: Cho đa giác gồm 1999 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn ba đỉnh sơn màu tạo thành tam giác cân Lời giải Ta có đa giác 1999 cạnh nên có 1999 đỉnh Do phải tồn đỉnh kề P Q sơn màu – màu đỏ (Theo nguyên lý Dirichle) Vì đa giác cho đa giác có số đỉnh lẻ, nên phải tồn đỉnh nằm đường trung trực đoạn thẳng Giả sử đỉnh Nếu A tơ màu đỏ ta có tam giác tam giác cân có đỉnh tô màu đỏ Nếu A tô màu xanh, lúc gọi B C đỉnh khác đa giác kề với P Q Nếu hai đỉnh B C tơ màu xanh tam giác ABC cân có đỉnh tơ màu xanh thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Nếu ngược lại, hai đỉnh B C mà tô màu đỏ tam giác BPQ tam giác CPQ tam giác cân có đỉnh tơ màu đỏ thuvienhoclieu.com Trang