H c3 03 tinh chat duong phan giac cua tam giac

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Tốn Họa TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC I KIẾN THỨC CƠ BẢN  Định lý: Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn Þ DB AB = DC AC ∆ABC AD  phân giác  Tính chất với phân giác ngồi AE A D ABC ( không cân ) II BÀI TẬP Bài 1: Tính độ dài x , y EB AB = EC AC hình vẽ sau: Hình Hình ABC AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm, Bài 2: Cho tam giác có đường phân BD CE I giác cắt AD, DC a) Tính độ dài AE , BE b) Tính độ dài ABC AB = BC A BC Bài 3: Cho tam giác cân có Đường phân giác góc cắt M, C BA N MN AC đường phân giác góc cắt Chứng minh // ΔABC AD BE CF Bài 4: Cho có , , đường phân giác Chứng minh rằng: AE CD BF     =1 EC DB FA Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Tốn Họa µ A µ D Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Phân giác cắt đường chéo BD AC M N Chứng minh: MN song song với AD Bài 6: Cho ΔABC có phân giác a) Tính tỉ số diện tích AD ΔABD , biết AB = m, AC = n ΔACD theo m n ∆ADC DE ∆ADB DF b) Vẽ phân giác vẽ phân giác Chứng minh rằng: AF CD.BE = AE BD.CF · AM AMB AB D , trung tuyến , đường phân giác cắt , · AMC AC E đường phân giác cắt Bài 7: Cho ΔABC a) Chứng minh b) Gọi c) Tính d) I DE / /BC giao điểm DE ΔABC , biết AM DE Chứng minh DI = IE BC = 30cm,AM = 10cm phải thêm điều kiện để ta có e) Chứng minh ΔABC cân biết DE = AM ? MD = ME Bài 8: Cho ∆ABC vuông cân A Đường cao AH đường phân giác BE cắt CE = 2.HI I Chứng minh rằng: Tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC , đường phân giác AD Biết BC = 10cm 2AB = 3AC Tính độ dài đoạn thẳng BD CD KQ: BD = cm; CD = 4cm Bài 2: Gọi AI đường phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự đường AN BI CM = BN IC AM phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: Bài 3: Cho tam giác ABC có chu vi 18cm Đường phân giác góc B cắt MA NA = ; = MC NC AC M , đường phân giác góc C cắt AB N Biết , tính độ dài cạnh tam giác ABC Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Tốn Họa KQ: AB = 4cm; AC = 6cm, BC = cm Bài 4: Cho tam giác ABC vng A, a) Tính độ dài DA, DC b) Tia phân giác · BIM = 900 µ C AB = 6cm,AC = 8cm, đường phân giác BD cắt BD I Gọi M trung điểm BC Chứng minh KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Bài 1: Hình Hình ΔABC AM a) Xét có đường phân giác nên: 15 24 15.4 = = Þ x= = 20 ( cm) x 32 Hay b) Xét ΔABC AD đường phân giác nên: DB = DC DC Mà trung điểm đoạn thẳng nên: có MB AB = MC AC DB AB = DC AC (1) (2) Bồi dưỡng lực học môn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Toán Họa Từ (1) (2) suy ra: y = ⇒ y = 8 ( cm ) 16 Bài 2: a) Theo tính chất đường phân giác: AD BA AD CD = = ⇒ = = DC BC 3 AD = 2cm,CD = 3cm Do đó, b) Ta có: Theo tính chất đường phân giác: AE CA AE EB = = ⇒ = = EB CB 6 11 AE = Do đó, Bài 3: AM 20 24 cm, BE = cm 11 11 phân giác Cµ CN µ A nên BM AB = CM AC BN BC = AN AC phân giác nên AB = BC Lại có: AB BC BN BM = ⇒ = ⇒ MN AC AC AN CM AC Suy ra: // Bài 4: Xét giác ta có: AE AB = EC BC CD AC = DB AB BF BC = FA AC ΔABC , áp dụng tính chất đường phân (1) (2) (3) Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Tốn Họa Nhân (1), (2), (3) theo vế ta được: Bài 5: AE CD BF AB AC BC = =1 EC DB FA BC AB AC Gọi O giao điểm BD AC Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có: CD CN = AD AN Tương tự, ; BM CN = DM AN AB = CD Mà , suy Từ đó, ta có: BM CN BD CA DO AO +1 = +1 ⇔ = ⇔ = DM AN DM AN DM AN Suy AB BM = AD DM MN / / AD Bài 6: a) Vẽ đường cao AH SDABD BD AB m = = CD AC n b) Ta có: BE BD = AE AD Þ SDACD Vậy AF AD = CF CD (do DE (do DF ∆ABC Vì ΔABC có phân giác AD nên: AH BD BD m = = = CD n AH CD phân giác phân giác · ADB · ADC ) ) AF CD BE AD CD BD = =1 CF BD AE CD BD AD Þ AF CD.BE = AE BDCF Bài 7: a) Ta có Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Toán Họa BD MB = AD MA CE MC = AE MA Mà ⇒ (do (do MD ME phân giác phân giác · AMB · AMC ) ) BC MB = MC M ( trung điểm ) BD CE = ⇒ DE / /BC AD AE b) Xét ∆ABM ∆ACM DI EI  AI  = = ÷ BM CM  AM  c) Ta có: Ta lại có: Mà BD MB = AD MA BM AM = DI AI có DI / /BM EI / /CM BM = CM ⇒ DI = EI Mà ( BD IM = AD AI DI / /BM (do DI / /BM ⇒ ) BM IM = AM AI ) BM AI + IM IM BM AM + BM = = 1+ = 1+ = DI AI AI AM AM Þ DI = BM AM 15.10 150 = = =6 AM + BM 10 + 15 25 Þ ED = 2DI = 2.6 = 12 d) Để ta cần tứ giác ADME ) hình chữ nhật · DM / /AE, EM / /AD,BAC = 900 Hay Khi DE = AM (do DI = IE = DE · BAC = 900 ⇒ ∆ABM, ∆ACM AM = MB = MC cân (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ) M Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Tốn Họa ⇒ MD ⊥ AB,ME ⊥ AC Mà AB ⊥ AC ∆ABC Vậy Suy vuông đường cao DE / /BC ∆ABC DM / /AE,EM / /AD A DE = AM Suy tứ giác ADME hình chữ nhật DM = EM e) Khi Mà (đường phân giác tam giác cân đồng thời đường cao có Bài 8: AI ∆DME M MI DI = IE cân có trung tuyến ( ) nên đồng thời ⇒ MI ⊥ DE (cmt) nên MI ⊥ BC vừa đường trung tuyến vừa đường cao nên tam giác cân Ta có µ · · · µ = 45° + B µ = 45° + 1C µ = AEI · AIE = BAH + ABI = (A + B) 2 Suy ∆AIE cân A ⇒ AI = AE B (1) Áp dụng tính chất đường phân giác ∆ABH ∆BAC IH BH AB BH EC BC AB BC = ⇒ = = ⇒ = IA BA AI IH EA BA AE EC ta có: (2); (3) Từ (2) (3) suy ra: BH BC = (4) IH EC Vì ∆ABC vng cân A nên Từ kết hợp với (4) suy H I A E C BC = 2.BH EC = 2.IH Bồi dưỡng lực học mơn Tốn ...PHÁT TRIỂN TƯ DUY H? ??C MƠN TỐN [Document title] Tốn H? ??a µ A µ D Bài 5: Cho h? ?nh bình h? ?nh ABCD Phân giác cắt đường chéo BD AC M N Chứng minh: MN song song với AD Bài 6: Cho ΔABC có phân giác... đường phân giác cắt Bài 7: Cho ΔABC a) Chứng minh b) Gọi c) Tính d) I DE / /BC giao điểm DE ΔABC , biết AM DE Chứng minh DI = IE BC = 30cm,AM = 10cm phải thêm điều kiện để ta có e) Chứng minh ΔABC... 8: Cho ∆ABC vuông cân A Đường cao AH đường phân giác BE cắt CE = 2.HI I Chứng minh rằng: Tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC , đường phân giác AD Biết BC = 10cm 2AB = 3AC Tính độ dài đoạn thẳng