HSG toan 8 dang 1 CHIA HET

thuvienhoclieu.com DẠNG 1: CHIA HẾT A.Bài toán A =  n3 ( n2 − ) − 36n  M7   với ∀n ∈ ¢ Câu 1: Chứng minh rằng: 2008 2010 Câu 2: Chứng minh rằng: 2009 + 2011 chia hết cho 2010 Câu 3: a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm số nguyên n để n + chia hết cho n + Câu 4: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Câu 5: Chứng minh n + 17n chia hết cho với n ∈ ¢ Câu 6: Chứng minh rằng: A = + + 32 + 33  + + 311   chia hết cho 40 Câu 7: Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Chứng minh với số tự nhiên n A = Câu 8: Chứng minh 11 a) + chia hết cho 17 19 19 b) 19 + 69 chia hết cho 44 n+2 + 26.5n + 82 n +1 M 59 a − a M30 ( a ∈ ¢ ) Câu 9: Chứng minh Câu 10: Cho a, b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư b chia cho dư Hỏi tích a.b chia cho dư ? S = a13 + a2 + a33 + + an Câu 11: Cho số nguyên a1 , a2 , a3 , , an Đặt P = a1 + a2 + a3 + + an Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho 30 21 Câu 12: a) Chứng minh rằng: 21 + 39 chia hết cho 45 n+ n n +1 b) Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n ta có: + 26.5 + M59 Câu 13: Chứng minh: 10 11 12 a) A = + + chia hết cho b) B = ( 6n + 1) ( n + ) − ( 3n + ) ( 2n − 1) chia hết cho 2, với n ∈ Z c) C = 5n + 15n + 10n chia hết cho 30, với n ∈ Z 2 d)Nếu a = x − yz; b = y − xz; c = z − xy D = ax + by + cz chia hết cho ( a + b + c ) e) E = x − x − x + 12 x + bình phương số nguyên, với x ∈ Z f) F = ( x + x − 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 −2 chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n g) G = x + x + chia hết cho x + x + , với n ∈ N thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 14: Chứng minh rằng: B = n + 6n − 19n − 24 chia hết cho (Câu 2b đề 10) Câu 15: Chứng minh: Với n số tự nhiên chẵn biểu thức: A = 20n + 16n − 3n − chia hết cho 323 Câu 16: Chứng minh M = n + 4n + 6n + 4n + n chia hết cho 16, với n ∈ Z Câu 17: a) Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho n+2 n n +1 b)Chứng minh với số tự nhiên n A = + 26.5 + M59 Câu 18: Cho a1 , a2 , , a2016 số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 3 Chứng minh rằng: A = a1 + a2 + + a2016 chia hết cho Câu 19: Cho hai số nguyên, số thứ chia cho dư 1, số thứ hai chia cho dư Hỏi tổng bình phương chúng có chia hết cho không ? 2008 2010 Câu 20: Chứng minh 2009 + 2011 chia hết cho 2010 Câu 21: Chứng minh rằng: A = + + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40 10 Câu 22: Chứng minh 11 − chia hết cho 100 Câu 23: Chứng minh chia hết cho 20092008 + 20112010 Câu 24: Chứng minh rằng: 11 a) + chia hết cho 17 2010 19 19 b) 19 + 69 chia hết cho 44 Câu 25: a)Chứng minh rằng: n + 3n + 2nM6 với số nguyên n 2n3 + n + 7n + 1M( 2n − 1) b)Tìm số nguyên n cho: Câu 26: Cho số tự = 10a + b ( a, b ∈ ¥ , < b < 10 ) nhiên n > Chứng minh n tích ab chia hết cho Câu 27: Cho n số nguyên dương, chứng minh 16 n – 15n – chia hết cho 225 2008 2009 2010 Câu 28: Chứng minh + + chia hết cho Câu 29: Chứng minh n − n chia hết cho với số tự nhiên n 21 24 Câu 30: Chứng minh − − − chia hết cho 1930 Chứng minh rằng: A = ( 2n − 1) ( 2n + 1) chia hết cho với số tự nhiên n Câu 31: Tìm số có chữ số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Câu 32: Chứng minh vơi số tự nhiên m, n 10n + 9n + 20n + 20n + tối giản thuvienhoclieu.com m= n2 + n + n phân số n +1 Trang thuvienhoclieu.com Câu 33: Chứng minh Câu 34: Chứng minh Câu 35: Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + nguyên dương dư chia hết cho 24 với n∈ ¢ A chia hết cho với giá trị n Tìm số nguyên thỏa mãn 2 Chứng minh Nếu 13 a5 − aM30( a ∈ ¢ ) a chia n − 2n − n + 2n b chia Câu 36: Chứng minh rằng: 13 dư ( a2 + b2 ) chia hết cho 13 A =  n3 n2 − − 36n M7   với ∀n ∈ ¢ Câu 37: Hãy chứng minh : A = n3 ( n − ) − 36n chia hết cho 210 với số tự nhiên n Câu 38: Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho n+2 n n +1 Chứng minh với số tự nhiên n A = + 26.5 + M59 Câu 39: Cho a1 , a2 , , a2016 số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 3 Chứng minh rằng: A = a1 + a2 + + a2016 chia hết cho Câu 40: Cho hai số nguyên, số thứ chia cho dư 1, số thứ hai chia cho dư Hỏi tổng bình phương chúng có chia hết cho khơng ? Câu 41: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho 5 Câu 42: Chứng minh với số nguyên x, y ta có: x y − xy chia hết cho 30 Câu 43: Hãy viết thêm vào bên phải số 43 hai chữ số để nhận số có chữ số chia hết cho 10n + 9n + Câu 44: Chứng minh vơi số tự nhiên n phân số 20n + 20n + tối giản Câu 45: a + 4a + A= a + 2a − 4a − Tìm a ∈ ¢ để A số nguyên a) Cho b) Tìm số tự nhiên n để n + chia hết cho n + Câu 46: Chứng minh tổng lập phương ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ∈ ¢ thỏa a + b5 + c5 ) M30 ( a + b + c = mãn Chứng minh: Câu 47: Cho a, b, c Câu 48: Chứng minh với số tự nhiên n thìA = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M 59 Câu 49: a Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B A = 3xn-1y6 - 5xn+1y4 B = 2x3yn b Xác định giá trị a,b c để đa thức P(x) = x + ax2 + bx + c chia hết cho (x – 3)3 Câu 50: Chứng minh số có dạng A = n + 6n + 11n + 6n chia hết cho 24 với số tự nhiên n Câu 51: Chứng minh n + 7(7 + 2n ) chia hết cho 64 với n số nguyên lẻ 2017 Câu 52: Chứng minh không tồn số nguyên a thỏa mãn (2017 + 1) chia hết a + 11a Câu 53: Cho số tự nhiên n > Chứng minh 2n = 10a + b (a, b ∈ N , < b < 10) tích ab chia hết cho Câu 54: Chứng minh ∀n ∈ ¥ * n + n + hợp số Câu 55: Chứng minh với số tự nhiên x biểu thức A = x − x ln chia hết cho 30 Câu 56: Chứng minh rằng: c) + chia hết cho 17 11 d) 19 + 69 chia hết cho 44 19 19 Câu 57: Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh Câu 58: Chứng minh n + 17 n chia hết cho với n ∈ ¢ a, b, c số Cho a + b5 + c5 − ( a + b + c ) chia hết cho 30 Câu 59: nguyên Chứng minh Câu 60: Cho số tự nhiên a, b, c Chứng minh a + b + c chia hết cho 3 3 2 a + b + c + 3a + 3b + 3c chia hết cho Câu 61: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Tìm số nguyên n để n + chia hết cho n + Câu 62: Chứng minh với thuvienhoclieu.com số n nguyên dương thì: Trang thuvienhoclieu.com 5n ( 5n + 1) − 6n ( 3n + 2n ) M 91 Câu 63: Chứng minh 11 − chia hết cho 100 10 Câu 64: Chứng minh rằng: 2009 2008 + 20112010 chia hết cho 2010 2014 Câu 65: Cho a1 , a2 , , a2013 số tự nhiên có tổng cộng 2013 3 Chứng minh rằng: B = a1 + a2 + + a2013 chia hết cho Câu 66: Tìm a, b cho f ( x) = ax3 + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x) = x + x − Câu 67: Chứng minh với số nguyên a a + 5a chia hết cho 3 Q = n + ( n + 1) + ( n + ) M với n ∈ ¥ * Câu 68: Chứng minh rằng: 3 B HƯỚNG DẪN Chứng minh rằng: với ∀n ∈ ¢ 2 A =  n3 ( n − ) − 36n  M7 A =  n3 ( n − ) − 36n      Lời giải Ta có: = n  n ( n − ) −   n ( n − ) +  = n ( n3 − n − ) ( n3 − n + ) = n ( n3 − n − 6n − ) ( n3 − n − 6n + ) = n ( n − 1) − ( n + 1)   n ( n − 1) − ( n − 1)  = n ( n + 1) ( n − n − ) ( n − 1) ( n + n − ) = n ( n + 1) ( n + ) ( n − ) ( n − 1) ( n − ) ( n + 3) Do A tích số ngun liên tiếp ⇒ AM7 ∀n ∈ ¢ 2008 2010 Câu 69: Chứng minh rằng: 2009 + 2011 chia hết cho 2010 Lời giải Ta có: 20092008 + 20112010 = ( 20092008 + 1) + ( 20112010 − 1) Vì 20092008 + = ( 2009 + 1) ( 2009 2007 − ) = 2010 ( ) Vì 20112010 − = ( 2011 − 1) ( 20112009 + .) = 2010 ( .) thuvienhoclieu.com chia hết cho 2010 (1) chia hết cho 2010 (2) Trang thuvienhoclieu.com Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Câu 70: a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm số nguyên n để n + chia hết cho n + Lời giải Gọi số phải tìm a b , ta có a + b chia hết cho a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) = ( a + b ) ( a + b ) − 3ab    Ta có: Vì a + b chia hết ( a + b ) − 3ab chia hết cho Do vậy, ( a + b ) ( a + b ) − 3ab   chia hết cho n5 + 1M( n3 + 1) ⇔ ( n5 + n − n + 1) M( n3 + 1) ⇔ n ( n3 + 1) − ( n − 1) M( n + 1) ⇔ ( n − 1) ( n + 1) M( n + 1) ( n − n + 1) ⇔ n − 1Mn − n + ⇒ n ( n − 1) Mn − n + n − n Mn − n + ⇒ ( n − n + 1) − 1M( n − n + 1) Hay ⇒ 1Mn − n + Xét hai trường hợp: n = +)n2 − n + = ⇔ n − n = ⇔  n = + )n − n + = −1 ⇔ n − n + = 0, khơng có giá trị n thỏa mãn Câu 71: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Lời giải Gọi số phải tìm a b, ta có a + b chia hết cho a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) = ( a + b ) ( a + 2ab + b ) − 3ab  = ( a + b ) ( a + b ) − 3ab    Vì a + b chia hết ( a + b ) − 3ab chia hết cho Do ( a + b ) ( a + b ) − 3ab   chia hết cho Câu 72: Chứng minh n + 17n chia hết cho với n ∈ ¢ Lời giải n3 + 17n = n3 − n + 18n = n ( n − 1) ( n + 1) + 18n thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vì n ( n − 1) ( n + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, ( 2,3) = nên chia hết cho 18nM6 , suy điều phải chứng minh Câu 73: Chứng minh rằng: A = + + 32 + 33  + + 311   chia hết cho 40 Lời giải A = + + 32 + 33  + + 311    = ( + + 32 + 33 ) + ( 34 + 35 + 36 + 37 ) + ( 38 + 39 + 310 + 311 ) = (1+ + 32 + 33 ) + 34 ( + + 32 + 33 ) + 38 ( + + 32 + 33 )    = 40  +  34 40 + 38 40 ( )    = 40 + 34 + 38  40   40 Vậy AM Câu 74: a) Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho n+2 n n +1 b) Chứng minh với số tự nhiên n A = + 26.5 + M59 Lời giải a) Ta phải chứng minh A = n + ( n + 1) + ( n + ) M9 với n ∈ ¢ 3 A = n3 + n3 + 3n + 3n + + n3 + 6n + 12n + = 3n3 + 9n + 15n + = 3n3 − 3n + 9n2 + 18n + = 3n ( n − 1) ( n + 1) + ( n + 2n + 1) n + 2n + 1) M9 n n − 1) ( n + 1) M3 ⇒ 3n ( n − 1) ( n + 1) M9 Nhận thấy ( ( Vậy AM9 b)5n + + 26.5n + 82 n +1 = 25.5n + 26.5n + 8.82 n = 5n ( 59 − ) + 8.64n = 59.5n + ( 64n − 5n ) n n 59.5n M59 ( 64 − ) M( 64 − ) = 59 n+2 n n +1 Vậy + 26.5 + M59 Câu 75: Chứng minh 11 a) + chia hết cho 17 19 19 b) 19 + 69 chia hết cho 44 Lời giải 85 + 211 = ( 23 ) + 211 = 215 + 211 = 211 ( 24 + 1) = 211.17 a)Ta có: chia hết cho 17 b)Ta có: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 1919 + 6919 = ( 19 + 69 ) ( 1918 − 1917 , 69 + + 6918 ) = 88 ( 1918 − 1917 , 69 + + 6918 ) chia hết cho 44 Câu 76: Chứng minh a − a M30 ( a ∈ ¢ ) Lời giải a − a = a ( a − 1) = a ( a − 1) ( a + 1) = a ( a + 1) ( a − 1) ( a − ) + 5   = a ( a + 1) ( a − 1) ( a − ) ( a + ) + 5a ( a + 1) ( a − 1) Do tích số ngun liên tiếp chia hết cho số nguyên liên 6, = tiếp ln có ba số ngun liên tiếp mà tích chúng chia hết cho ( ) a a + 1) ( a − 1) ( a − ) ( a + ) M30 5a a + 1) ( a − 1) M30 Suy ( ( Vậy a − a M30 Câu 77: Cho a, b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư b chia cho dư Hỏi tích a.b chia cho dư ? Lời giải a chia cho dư nên tồn số tự nhiên m cho a = 5m + (1) b chia cho dư nên tồn số tự nhiên n cho b = 5n + (2) Từ (1) (2) suy a.b = ( 5m + 3) ( 5n + ) = = ( 5mn + 2m + 3n + 1) + Suy a.b chia cho dư S = a13 + a23 + a33 + + an Câu 78: Cho số nguyên a1 , a2 , a3 , , an Đặt P = a1 + a2 + a3 + + an Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho Lời giải HD: Xét hiệu: S − P Chứng minh: a − a = ( a − 1) a ( a + 1) M6 với số nguyên a Sau sử dụng tính chât chia hết tổng suy đpcm 30 21 Câu 79: a) Chứng minh rằng: 21 + 39 chia hết cho 45 n+2 n n +1 b) Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n ta có: + 26.5 + M59 Lời giải 30 21 a) Chứng minh rằng: 21 + 39 chia hết cho 45 30 21 HD: Đặt M = 21 + 39 Nhận xét 45 = 5.9 mà hai số nguyên tố (1) Vậy để c/m M M45 ta cần c/m M M5 M M9 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ( M = 2130 + 3921 = ( 2130 − 130 ) + 3921 − ( −1) Thật vậy, 21 (Vì ( − 130 ) M( 21 − 1) M 30 ( 39 21 − ( −1) 21 21 ) M5 (2) ) M( 39 − ( −1) ) M5 ) 30 21 Mặt khác, 21M3 ⇒ 21 M9 39M3 ⇒ 39 M9 Do đó, M M9 (3) Từ (1), (2) (3) suy đpcm * Chú ý: (a n − b n ) M( a − b ) n+2 n n +1 b) Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n ta có: + 26.5 + M59 Ta có: 64 ( Vì ( n 5n + + 26.5n + 82 n +1 = 51.5n + 8.64n = 59.5n + ( 64 n − 5n ) M59 − 5n ) M( 64 − ) ) Suy đpcm Câu 80: Chứng minh: 10 11 12 a) A = + + chia hết cho b) B = ( 6n + 1) ( n + 5) − ( 3n + ) ( 2n − 1) chia hết cho 2, với n ∈ Z c) C = 5n + 15n + 10n chia hết cho 30, với n ∈ Z 2 d) Nếu a = x − yz; b = y − xz; c = z − xy D = ax + by + cz chia hết cho ( a + b + c) e) E = x − x − x + 12 x + bình phương số nguyên, với x ∈ Z f) F = ( x + x − 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 −2 chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n g) G = x + x + chia hết cho x + x + , với n ∈ N Lời giải Chứng minh: 10 11 12 a) A = + + chia hết cho Ta có: A = 210 + 211 + 212 = 210 + 210.2 + 210.22 = 210 ( + + 22 ) = 210.7 M7 10 11 12 Vậy, A = + + chia hết cho b) B = ( 6n + 1) ( n + ) − ( 3n + ) ( 2n − 1) chia hết cho 2, với n ∈ Z Ta có: B = ( 6n + 1) ( n + ) − ( 3n + ) ( 2n − 1) = = 24n + 10 = ( 12n + ) M2 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vậy, B = ( 6n + 1) ( n + 5) − ( 3n + ) ( 2n − 1) chia hết cho 2, với n ∈ Z c) C = 5n + 15n + 10n chia hết cho 30, với n ∈ Z Ta có: C = 5n + 15n + 10n = = 5n ( n + 1) ( n + ) Vì 5M5 n ( n + 1) ( n + ) M6 mà ( 5, ) = nên 5n ( n + 1) ( n + ) M30 Vậy, C = 5n + 15n + 10n chia hết cho 30, với n ∈ Z 2 d) Nếu a = x − yz; b = y − xz; c = z − xy D = ax + by + cz chia hết cho ( a + b + c) Ta có: D = ax + by + cz = ( x − yz ) x + ( y − xz ) y + ( z − xy ) z = = x + y + z − xyz = = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) Vậy, D = ax + by + cz chia hết cho ( a + b + c ) e) E = x − x − x + 12 x + bình phương số nguyên, với x ∈ Z = ( x − x3 + x ) − ( x − 12 x ) + E = x − x − x + 12 x + Ta có: = ( x − x ) − ( x − x ) + 32 = ( x − x − 3) = ( x − 3) ( x + 1)  Vậy, E = x − x3 − x + 12 x + = ( x − ) ( x + 1)  2 bình phương số nguyên, với x∈Z f) Ta có F = ( x + x − 1) F = ( x + x − 1) Xét x = Vậy, 2018 2018 + ( x − x + 1) + ( x − x + 1) r = ( 12 + − 1) F = ( x + x − 1) 2018 2018 2018 2018 −2 − = ( x − 1) Q ( x ) + r + ( 12 − + 1) + ( x − x + 1) 2018 chia hết cho ( x − 1) −2 2018 −2=0 chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n g) G = x + x + chia hết cho x + x + , với n ∈ N G = x8 n + x n + = x8 n + x n + − x n = ( x n + 1) − ( x n ) = ( x n + x n + 1) ( x n − x n + 1) Ta có: (1) x n + x n + = x n + x n + − x n = ( x n + 1) − ( x n ) = ( x n + x n + 1) ( x n − x n + 1) ( ) Mặt khác, Từ (1) (2) suy G = x8 n + x n + = ( x n + x n + 1) ( x n − x n + 1) ( x n − x n + 1) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta có: Vì 20092008 + 20112010 = ( 2009 2008 + 1) + ( 20112010 − 1) 20092008 + = ( 2009 + 1) ( 2009 2007 − ) = 2010.( .) Vì chia hết cho 2010 (1) 20112010 − = ( 2011 − 1) ( 20112009 + .) = 2010 ( ) chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có đpcm Câu 91: Chứng minh rằng: 11 e) + chia hết cho 17 19 19 f) 19 + 69 chia hết cho 44 Lời giải 85 + 211 = ( 23 ) + 211 = 215 + 211 = 211 ( + 1) = 211.17 Ta có: Rõ ràng kết chia hết cho 17 Áp dụng đẳng thức a n + b n = ( a + b ) ( a n −1 − a n− 2b + a n−3b − − ab n−2 + b n−1 ) Ta có: với n lẻ 1919 + 6919 = ( 19 + 69 ) ( 1918 − 1917.69 + + 6918 ) = 88 ( 1918 − 1917.69 + + 6918 ) chia hết cho 44 Câu 92: a) Chứng minh rằng: n + 3n + 2n M6 với số nguyên n Lời giải Ta có: n3 + 3n + 2n = n ( n + 3n + ) = n ( n + n + 2n + ) = n ( n + n ) + ( 2n + )  = n ( n + 1) ( n + ) Vì n số nguyên nên: n; n + 1; n + ba số ngun liên tiếp Do có số chia hết cho 2, số chia hết cho ⇒ n ( n + 1) ( n + ) M6 hay n + 3n + 2nM6 với số nguyên b)Tìm số nguyên n cho: n 2n3 + n + 7n + 1M( 2n − 1) Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Để 2n + n + 7n + 1M2n − 5M2n − hay 2n − Ư ( )  2n − = −5  n = −2  2n − = −1 n =  ⇔ ⇔  2n − = n =    2n − = n = 3 Vậy n ∈ { −2;0;1;3} 2n + n + 7n + 1M2n − n > Chứng Câu 93: Cho số tự nhiên 2n = 10a + b ( a, b ∈ ¥ , < b < 10 ) tích ab chia hết cho minh Lời giải n Ta có: = 10a + b ⇒ b M2 ⇒ ab M2 (1) Ta chứng minh abM3 (2) n n Thật , từ đẳng thức = 10a + b ⇒ có chữ số tận b Đặt n = 4k + r ( k , r ∈ ¥ , ≤ r ≤ ) n k r ta có: = 16 2n − 2r = r ( 16k − 1) M 10 ⇒ 2n r Nếu r = tận Suy b = 2r ⇒ 10a = 2n − 2r = 2r ( 16k − 1) M ⇒ aM3 ⇒ abM3 Từ ( ) ( ) suy abM6 Câu 94: Cho n số nguyên dương, chứng minh 16n – 15n – chia hết cho 225 Lời giải Với n = ta có: 16 – 15 – = M225 Giả sử toán với n = k tức ta có: 16k – 15k – M225 Ta chứng minh toán với n = k + Thật vậy: 16k+1 – 15(k+1) – = 16.16k – 15k – 15 – = 16k (15 + 1) – 15k – 15 – = (16 k – 15k – 1) + 15(15k – 1) = (16 k – 15k – 1) + 225 A(k) M225 Vậy 16n – 15n – chia hết cho 225 với n số nguyên dương 2008 2009 2010 Câu 95: Chứng minh + + chia hết cho Lời giải 22008 + 22009 + 2010 = 22008 ( + + ) = 7.2 2008 M7 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 96: Chứng minh n − n chia hết cho với số tự nhiên n Lời giải n3 − n = ( n − 1) n ( n + 1) Ta có: chia hết cho tích số ngun liên tiếp n − 1) n ( n + 1) Ta có ( chia hết cho số liên tiếp có số chẵn 2,3 = Mà ( ) Vậy n − n chia hết cho 21 24 Câu 97: Chứng minh − − − chia hết cho 1930 Lời giải Đặt a = , b = −2 , c = ( −1) Ta có: 321 − 224 − 68 − = ( 37 ) + ( −28 ) + ( −1) − 3.37 ( −28 ) ( −1) 3 = a + b3 + c − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) a + b + c = 37 + ( −28 ) + ( −1) = 1930 Mà Chứng minh rằng: nên suy đpcm A = ( 2n − 1) ( 2n + 1) chia hết cho với số tự nhiên n Lời giải Chứng minh rằng: Theo giả thiết n A = ( − 1) ( + 1) n n chia hết cho với số tự nhiên n số tự nhiên nên 2n − 1, 2n , 2n + ba số tự nhiên liên tiếp Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết Mặt khác, Vậy, ( ,3) = n nên A = ( − 1) ( + 1) n n (2 n − 1) ( 2n + 1) M (2 n − 1) n ( n + 1) M3 chia hết cho với số tự nhiên n Câu 98: Tìm số có chữ số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Lời giải Gọi số có ba chữ số cần tìm abc Ta có: Vì abc = ( 98a + 7b) + 2a + 3b + c abcM7 ⇒ 2a + 3b + cM (3) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Mặt khác, Do Với Với b− c Do (4),k ết hợp với (3) suy nhận giá trị b − c = −7 ⇒ c = b + b − c = ⇒ b = c + 770,581,392 Với a + b + cM7 b − cM7 −7;0;7 Kết hợp với (4) ta chọn số Đổi vai trò b c 707;518;329 thỏa mãn trường hợp ta cặp số thỏa mãn Câu toán b− c = 0⇒ b = c 1≤ a + 2b ≤ 27 mà (4) nên nên a + 2b a + 2bM7 nhận giá trị Từ ta chọn 12 số thỏa mãn 7;14;21 133;322;511;700;266;455 ;644;833;399; 588; 777;966 Vậy có 18 số thỏa mãn Câu toán: 707;518;329;770;581;392 ;133;322;511;700 ;266 ;455;644;833;399;588;777;966 10n + 9n + Câu 99: Chứng minh vơi số tự nhiên n phân số 20n + 20n + tối giản Lời giải Gọi ƯCLN d 10n + 9n + 20n2 + 20n + ⇒d 10n2 + 9n + 4Md 20n2 + 18n + 8Md ⇒ ⇒ ⇒ 2n + M d  2 20n + 20n + 9Md 20n + 20n + 9Md Mặt khác số tự nhiên lẻ 2n + 1Md ⇒ 4n + 4n + 1Md ⇒ 20n + 20n + 5Md ⇒ 4Md 2 , mà d lẻ nên d=1 Vậy phân số tối giản Câu 100: Chứng minh Lời giải ( n4 − 2n3 − n2 + 2n chia hết cho 24 với n∈ ¢ ) n4 − 2n3 − n2 + 2n = n n3 − 2n2 − n + = n  n ( n − 2) − ( n − 2)  ( ) = n n2 − ( n − 2) = n ( n − 1) ( n + 1) ( n − 2) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com n ( n − 1) ( n + 1) ( n − 2) tích số ngun liên tiếp phải có số chia hết cho 2, số chia hết cho số chia hết cho Nên Vậy n ( n − 1) ( n + 1) ( n − 2) M2.3.4 = 24 n4 − 2n3 − n2 + 2nM24 Câu 101: Chứng minh Lời giải ( ) ( )( a5 − aM30( a∈ ¢ ) ) a5 − a = a a4 − = a a2 − a2 + = a( a + 1) ( a − 1) ( a − 4) + 5   = a( a + 1) ( a − 1) ( a − 2) ( a + 2) + 5a( a + 1) ( a − 1) Do tích số nguyên liên tiếp chia hết cho số nguyên liên tiếp ln có ba số ngun liên tiếp mà tích chúng chia hết cho Suy Vậy a( a + 1) ( a − 1) ( a − 2) ( a + 2) M30 ( 6,5) = 5a( a + 1) ( a − 1) M30 a5 − aM30 Câu 102: a) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + giá trị nguyên dương b)Nếu a chia 13 dư Chứng minh A chia hết cho với n b chia 13 dư a2 + b2 chia hết cho 13 n2 + n + m= n +1 c)Tìm số nguyên m, n thỏa mãn Lời giải A = n3 + 3n2 + 3n + 1+ 2n + = ( n + 1) + 2( n + 1) = = n ( n + 1) ( n + 2) + 3( n + 1) Khi đó: cho ; 3( n + 1) M3 n ( n + 1) ( n + 2) tích số nguyên dương liên tiếp nên chia hết ⇒ A M3 a = 13k + 2,b = 13n + thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ( ) a2 + b2 = ( 13k + 2) + ( 13n + 3) = = 13 13k2 + 4k + 13n2 + 4n + M 13 2 Thực chia n2 + n + 1 m= = n+ n +1 n +1 Để m nguyên với n nguyên n + 1∈ U (1) = { ±1} n + = ⇒ n = ⇒ m =  Khi  n + = −1 ⇒ n = −2 ⇒ m = −3 Câu 103: Chứng minh rằng: ( ) A =  n3 n2 − − 36n M7   với ∀n ∈ ¢ Lời giải Ta có: ( ) A =  n3 n2 − − 36n   ( ) ( ) ( )( ) ( = n  n n2 − − 6  n n2 − + 6 = n n3 − 7n − n3 − 7n +    3 = n n − n − 6n − n − n − 6n + = n  n2 − − 6( n + 1)  n n2 − − 6( n − 1)     2 = n ( n + 1) n − n − ( n − 1) n + n − = n ( n + 1) ( n + 2) ( n − 3) ( n − 1) ( n − 2) ( n + 3) ( )( ( tích ) ( ) ) ( ) Do A ) số nguyên liên tiếp ⇒ A M7 ∀n ∈ ¢ Câu 104: Hãy chứng minh : A = n3 ( n − ) − 36n chia hết cho 210 với số tự nhiên n Lời giải A = n3 ( n − ) − 36n = ( n − ) ( n − ) ( n − 1) n ( n + 1) ( n + ) ( n + ) Đây tích số nguyên liên tiếp nên có 2, bội 3, bội 5, bội 2,3,5, ) = AM2.3.5.7 ) ⇒ AM210 Mà ( nên ( Câu 105: Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho n+2 n n +1 Chứng minh với số tự nhiên n A = + 26.5 + M59 Lời giải A = n3 + ( n + 1) + ( n + ) M9 b) Ta phải chứng minh với n ∈ ¢ thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com A = n3 + n3 + 3n + 3n + + n3 + 6n + 12n + = 3n3 + 9n + 15n + = 3n3 − 3n + 9n + 18n + = 3n ( n − 1) ( n + 1) + ( n + 2n + 1) Nhận thấy Vậy AM9 n ( n − 1) ( n + 1) M3 ⇒ 3n ( n − 1) ( n + 1) M9 ( n + 2n + 1) M9 b)5n + + 26.5n + 82 n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82 n = 5n ( 59 − ) + 8.64n = 59.5n + ( 64 n − 5n ) n n 59.5n M59 ( 64 − ) M( 64 − ) = 59 n+2 n n +1 Vậy + 26.5 + M59 Câu 106: Cho a1 , a2 , , a2016 số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 3 Chứng minh rằng: A = a1 + a2 + + a2016 chia hết cho Lời giải Dễ thấy a − a = a ( a − 1) ( a + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Xét hiệu: A − ( a1 + a2 + + a2016 ) = ( a13 + a23 + + a2016 ) − ( a1 + a2 + + a2016 ) = ( a13 − a1 ) + ( a23 − a2 ) + + ( a2016 − a2016 ) Các hiệu chia hết cho , A chia hết cho Câu 107: Cho hai số nguyên, số thứ chia cho dư 1, số thứ hai chia cho dư Hỏi tổng bình phương chúng có chia hết cho không ? Lời giải Cho hai số nguyên, số thứ chia cho dư 1, số thứ hai chia cho dư Hỏi tổng bình phương chúng có chia hết cho khơng ? Câu 108: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Lời giải Gọi số phải tìm a b, ta có a + b chia hết cho a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) = ( a + b ) ( a + 2ab + b ) − 3ab  = ( a + b ) ( a + b ) − 3ab    Vì Ta có: a + b chia hết ( a + b ) − 3ab chia hết cho Do ( a + b ) ( a + b ) − 3ab   chia hết cho Câu 109: Chứng minh với số nguyên x, y ta có: x y − xy chia hết cho 5 30 Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta có: x5 y − xy = xy ( x − y ) = xy ( x − − y + 1) = xy ( x − 1) − xy ( y − 1) x ( x − 1) = x ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) Ta có: ⇒ xy ( x − 1) M 30 Tương tự, ta có: ⇒ x5 y − xy M 30 chia hết cho 2, xy ( y − 1) M 30 Câu 110: Hãy viết thêm vào bên phải số 43 hai chữ số để nhận số có chữ số chia hết cho Lời giải Vì ( 3,7 ) = , theo tốn ta có 43abM21 Vì 4300 chia 21 dư 16 nên ab ≡ −16(mod 21) hay ab chia 21 dư Vậy ab = 21q + Cho q = ⇒ ab = 05 , số 4305 Cho q = ⇒ ab = 26 , số 4326 Cho q = ⇒ ab = 47, số 4347 Cho q = ⇒ ab = 68 , số 4368 Cho q = ⇒ ab = 89, số 4389 10n + 9n + Câu 111: Chứng minh vơi số tự nhiên n phân số 20n + 20n + tối giản Lời giải 2 Gọi d ƯCLN 10n + 9n + 20n + 20n + 10n + 9n + 4Md 20n + 18n + 8Md ⇒ ⇒ ⇒ 2n + 1Md 2 20n + 20n + 9Md 20n + 20n + 9Md ⇒ d số tự nhiên lẻ 2 Mặt khác: 2n + 1Md ⇒ 4n + 4n + 1Md ⇒ 20n + 20n + 5Md ⇒ 4Md , mà d lẻ nên d = Vậy phân số tối giản a + 4a + A= a + 2a − 4a − Tìm a ∈ ¢ để A số nguyên Câu 112: a) Cho b) Tìm số tự nhiên n để n + chia hết cho n + Lời giải A= a−2 a) Rút gọn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Để A nguyên b) ⇔ a = 1 ⇔ 1M ( a − 2) ⇒  a = a − nguyên n5 + 1Mn3 + ⇔ n ( n3 + 1) − ( n − 1) M ( n3 + 1) ⇔ ( n + 1) ( n − 1) M( n3 + 1) ⇔ ( n + 1) ( n − 1) M ( n + 1) ( n2 − n + 1) ⇔ ( n − 1) M( n2 − n + 1) ( v ×n+1≠ 0) +) Nếu n = ⇒ 0M n − 1) < n ( n − 1) + < n − n + ( n > +) Nếu nên khơng thể xảy ⇔ n − 1Mn − n + Vậy n = Câu 113: Chứng minh tổng lập phương ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải Ta có ba số tự nhiên liên tiếp n, n + 1, n + ( n ∈ ¥ ) Khi ta có: n + ( n + 1) + ( n + ) = ( n − 1) n ( n + 1) + 9nM Câu 114: 3 ( ) a + b + c M30 a + b + c = ∈ ¢ Cho a, b, c thỏa mãn Chứng minh: Lời giải Ta có: ( )( ) ( )( a − a = a a − a + = a a − a − + ) = ( a − ) ( a − 1) a ( a + 1) ( a + ) + ( a − 1) a ( a + 1) a − ) ( a − 1) a ( a + 1) ( a + ) Do ( tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 5, chia hết cho 30 Lại có ( a − 1) a ( a + 1) chia hết ( a − 1) a ( a + 1) chia hết cho 30 Từ suy a − a chia hết cho 30 5 Tương tự b − b chia hết cho 30 c − c chia hết cho 30 Từ suy (a ) ( ) ( ) ( + b5 + c5 − ( a + b + c ) = a − a + b5 − b + c − c ) chia hết cho 30 5 Mà a + b + c = nên a + b + c chia hết cho 30 Câu 115: Chứng minh với số tự nhiên n thìA = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M 59 Lời giải 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n) 59.5n M59 vaø 8(64n – 5n) M(64 – 5) = 59 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vaäy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M59 Câu 116: a Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B A = 3xn-1y6 - 5xn+1y4 B = 2x3yn b Xác định giá trị a,b c để đa thức P(x) = x + ax2 + bx + c chia hết cho (x – 3)3 Lời giải a) Điểu kiện để A chia hết cho B n − ≥ n + ≥ n ≥  ⇒ ⇒n=4  ≥ n n ≤   4 ≥ n Vậy với n = đa thức A chia hết cho đơn thức B y − x Khi A:B = (3x y – 5x y )(2x y ) = 4 b) Chia P(x) cho (x – 3)3 ta thương x + dư R(x) = (a + 54)x2 + (b-216)x + 243 + c P(x) ÷ (x - 3)3 ⇒ R (x) ≡ cho ta a + 54 = ⇒ a = -54; b – 216 = ⇒ b = 216; c + 243 = ⇒ c = -243 Câu 117: Chứng minh số có dạng A = n + 6n + 11n + 6n chia hết cho 24 với số tự nhiên n Lời giải A = n + 6n3 + 11n + 6n = n(n + 1)(n + 2)( n + 3) Vì n; n + 1; n + ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn số chia hết cho Do n( n + 1)(n + 2)M3 Vì n; n + 1; n + 2; n + bốn số tự nhiên liên tiếp nên có số chẵn liên tiếp, số chẵn liên tiếp có số chia hết cho 2, số chia hết cho Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) M8 Vì ƯCLN(3;8) =1 nên A = n + 6n + 11n + 6n chia hết cho 24 Câu 118: Chứng minh n + 7(7 + 2n ) chia hết cho 64 với n số nguyên lẻ Lời giải 2 2 Ta có x + y − 20( x + y ) + 2213 = ( x − 10) + ( y − 10) + 2013 ≥ 2013 với x, y ⇒P= 2012 2012 ≤ ( x − 10) + ( y − 10) + 2013 2013 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 2012 P = 2013 x = 10 y = 10 2012 Vậy Max P = 2013 x = 10 y = 10 2017 Câu 119: Chứng minh không tồn số nguyên a thỏa mãn (2017 + 1) chia hết a + 11a Lời giải 2017 Giả sử tồn số nguyên a thỏa mãn (2017 + 1) chia hết a + 11a A = a + 11a = (a − a ) + 12a = a(a − 1)(a + 1) + 12a ta có (a − 1); a;( a + 1) số nguyên liên tiếp nên tồn số bội suy (a − 1)a (a + 1) M3 Vì 12a chia hết AM3 (1) 2017 2017 Mặt khác 2017 + = (2016 + 1) + chia cho dư (2) Từ (1) (2) dẫn đến điều giả sử sai, tức khơng có số ngun thỏa mãn điều kiện toán cho Câu 120: Cho số tự nhiên n > Chứng minh 2n = 10a + b (a, b ∈ N , < b < 10) tích ab chia hết cho Lời giải Ta có 2n  10a  b  b M  ab M2 (1) Ta chứng minh ab M3 (2) Thật vậy, từ đẳng thức 2n  10a  b  2n có chữ số tận b Đặt n  4k  r (k, r N, ≤ r ≤ 3) ta có: 2n  16k2r Nếu r  2n  16k tận  b   ab M6 Nếu ≤ r ≤ 2n  2r  2r(16k  1) M10  2n tận 2r suy b  2r  10a  2n  2r  2r(16k  1) M3  a M3  ab M3 Từ (1) (2) suy ab  Câu 121: Chứng minh ∀n ∈ ¥ * n + n + hợp số Lời giải Ta có: n3 + n + = n3 + + n + = ( n + 1) ( n − n + 1) + ( n + 1) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com = ( n + 1) ( n − n + ) n + >  ∀ n ∈ ¥ * Do nên n − n + > .Vậy n + n + hợp số Câu 122: : Chứng minh với số tự nhiên x biểu thức A = x − x chia hết cho 30 Lời giải A = x5 − x = x ( x − 1) = x ( x − 1) ( x + 1) = ( x − 1) x ( x + 1) ( x + 1) Vì ( x − 1) x ( x + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên AM6 (1) ⇒ AM +) Nếu xM ⇒ AM +)Nếu x : dư ( x − 1) M ⇒ AM +)Nếu x : dư ( x + 1) M ⇒ ( x + 1) M ⇒ AM x : x : +)Nếu dư dư với x ( 5,6 ) = (2) Vậy AM 30 Từ (1) (2) suy AM Câu 123: Chứng minh rằng: 11 + chia hết cho 17 19 19 19 + 69 chia hết cho 44 Lời giải 85 + 211 = ( 23 ) + 211 = 215 + 211 = 211 ( 24 + 1) = 211.17 Ta có: Rõ ràng kết chia hết cho 17 Áp dụng đẳng thức a n + b n = ( a + b ) ( a n −1 − a n− 2b + a n−3b − − ab n− + b n−1 ) với n lẻ 19 + 69 = ( 19 + 69 ) ( 19 − 19 69 + + 69 ) Ta có: = 88.( 1918 − 1917.69 + + 6918 ) chia hết cho 44 Câu 124: Lời giải Ta có: Vì ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số chia hết cho (1) Do (2) 19 19 18 17 thuvienhoclieu.com 18 Trang thuvienhoclieu.com Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với (1); (2) suy Câu 125: n3 + 17 n = n3 − n + 18n = n ( n − 1) ( n + 1) + 18n Vì n ( n − 1) ( n + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, ( 2,3) = nên chia hết cho 18nM , suy điều phải chứng minh Câu 126: Học sinh biến đổi a − a = ( a − ) ( a − 1) a ( a + 1) ( a + ) + 5a ( a − 1) ( a + 1) 30; b5 − bM30; c − cM30 , kết luận Lập luận a − aM Câu 127: A = a + b + cM ⇒ AM6; B = a + b + c + 3a + 3b + 3c C = B + A = a + 3a + 2a + b3 + 3b + 2b + c + 3c + 2c = a ( a + 1) ( a + ) + b ( b + 1) ( b + ) + c ( c + 1) ( c + ) a ( a + 1) ( a + ) , b(b + 1)(b + 2) , c(c + 1)(c + 2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho ⇒ C M6 ⇒ B M Gọi số phải tìm a b , ta có a + b chia hết cho a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) = ( a + b ) ( a + b ) − 3ab    Ta có: Vì a + b chia hết ( a + b ) − 3ab chia hết cho Do vậy, ( a + b ) ( a + b ) − 3ab   chia hết cho n5 + 1M ( n3 + 1) ⇔ ( n5 + n2 − n2 + 1) M( n3 + 1) ⇔ n ( n3 + 1) − ( n − 1) M ( n3 + 1) ⇔ ( n − 1) ( n + 1) M ( n + 1) ( n − n + 1) ⇔ n − 1Mn − n + ⇒ n ( n − 1) Mn − n + n − nMn − n + ⇒ ( n − n + 1) − 1M ( n2 − n + 1) Hay ⇒ 1Mn − n + Xét hai trường hợp: n = +)n − n + = ⇔ n − n = ⇔  n = +)n − n + = −1 ⇔ n − n + = 0, khơng có giá trị n thỏa mãn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 128: A = 5n ( 5n + 1) − 6n ( 3n + 2n ) = 25n + 5n − 18n − 12n A = ( 25n − 18n ) − ( 12n − 5n ) A chia hết cho A = ( 25n − 12n ) − ( 18n − 5n ) A chia hết cho 13 Do ( 13,7 ) = nên A chia hết cho 91 Câu 129: 1110 − = ( 11 − 1) ( 119 + 118 + + 11 + 1) = 10 ( 119 + 118 + + 11 + 1) 10 Vì 10M 119 + 118 + + 11 + 1) ( Và có chữ số tận (hàng đơn vị ) ( 11 + 11 + + 11 + 1) chia hết cho 10 Nên 10 Vậy11 − chia hết cho 10 Ta có: Vì Câu 130: 20092008 + 20112010 = ( 20092008 + 1) + ( 20112010 − 1) 20092008 + = ( 2009 + 1) ( 20092007 − ) = 2010.( ) chia hết cho 2010 (1) 20112010 − = ( 2011 − 1) ( 20112009 + .) = 2010.( .) Vì chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Câu 131: Dễ thấy a − a = a (a + 1)( a − 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 B − ( a1 + a2 + + a2013 ) = ( a13 + a23 + + a2013 ) − ( a1 + a2 + + a2013 ) Xét hiệu = ( a13 − a1 ) + ( a23 − a2 ) + + ( a2013 − a2013 ) chia hết cho 2014 Mà a1 , a2 , ., a2013 số tự nhiên có tổng 2013 Do B chia hết cho 3 Câu 132: Tìm a, b cho f ( x) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x) = x + x − Lời giải *g ( x) = x + x − = ( x − 1) ( x − ) * f ( x) = ax + bx + 10 x − 4Mg ( x) ⇔ f ( x) = ax + bx + 10 x − = ( x − 1) ( x − ) Q ( x ) (1) Thay x1 = 1; x2 = vào ( 1) ta có: a + b + = 8a + 4b + 16 = ⇒ a = b = −8 thuvienhoclieu.com ( ∀x ∈ ¡ ) Trang thuvienhoclieu.com a = f ( x ) = ax3 + bx + 10 x − 4Mg ( x ) ⇔  b = −8 Vậy Câu 133: Chứng minh với số nguyên a a + 5a chia hết cho Lời giải a + 5a = a − a + 6a = a ( a − 1) + 6a = a ( a − 1) ( a + 1) + 6a Vì a (a − 1)(a + 1) tích số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 2, số chia hết cho mà ( 2,3) = nên a ( a − 1) ( a + 1) chia hết cho 6a chia hết cho Nên a + 5a chia hết cho Q = n3 + ( n + 1) + ( n + ) M với n ∈ ¥ * Câu 134: Chứng minh rằng: 3 Q = n + n + + n + ( ) ( ) Lời giải 3 = n3 + ( n3 + 3n + 3n + 1) + ( n3 + 6n + 12n + ) = ( n3 + 3n + 5n + 3) 3 2 Đặt C = n + 3n + 5n + = n + n + 2n + 2n + 3n + = n ( n + 1) + 2n ( n + 1) + ( n + 1) = n ( n + 1) ( n + ) + ( n + 1) Ta thấy n ( n + 1) ( n + ) chia hết cho 3( tích số tự nhiên liên tiếp) Và ( n + 1) M3 ⇒ C chia hết cho Nên Q = 3C chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang ... 38. 40 = 40 ( + 34 + 38 ) M40 Vậy AM40 10 Câu 89 : Chứng minh 11 − chia hết cho 10 0 Lời giải 11 10 − = ( 11 − 1) ( 11 9 + 1 18 + + 11 + 1) = 10 ( 11 9 + 1 18 + + 11 + 1) Vì 10 M10 11 Và ( Nên + 1 18. .. chia hết cho A = ( 25n − 12 n ) − ( 18 n − 5n ) A chia hết cho 13 Do ( 13 ,7 ) = nên A chia hết cho 91 Câu 12 9: 11 10 − = ( 11 − 1) ( 11 9 + 1 18 + + 11 + 1) = 10 ( 11 9 + 1 18 + + 11 + 1) 10 Vì 10 M... 11 9 + 1 18 + + 11 + 1) ( Và có chữ số tận (hàng đơn vị ) ( 11 + 11 + + 11 + 1) chia hết cho 10 Nên 10 Vậy 11 − chia hết cho 10 Ta có: Vì Câu 13 0: 200920 08 + 2 011 2 010 = ( 200920 08 + 1) + ( 2 011 2 010