HSG toan 8 dang 12 HINH HOC TONG HOP

thuvienhoclieu.com DẠNG 12: HÌNH HỌC TỔNG HỢP A.Bài tốn Bài 1: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E , F , G , H trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA M giao điểm CE DF a) Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vng b) Chứng minh DF ⊥ CE ∆MAD cân c) Tính diện tích ∆MDC theo a Bài 2:Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N 1) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC = EF 1 = + AM AN 3) Chứng minh : AD Bài 3:Cho tam giác ABC nhọn Dựng phía ngồi hai tam giác ABE ; ACF , lại dựng hình bình hành AEPF Chứng minh PBC tam giác Bài 4: Cho tam giác ABC có BC = 15cm, AC = 20cm, AB = 25cm a) Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC b) Gọi CD đường phân giác ∆ACH Chứng minh ∆BCD cân 2 2 2 c) Chứng minh: BC + CD + BD = 3CH + BH + DH Bài 5:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M,N thứ tự trung điểm BC AC.Các đường trung trực BC AC cắt O.Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt H a) Nối MN , ∆ AHB đồng dạng với tam giác nào? b) Gọi G trọng tâm ∆ ABC , chứng minh ∆ AHG đồng dạng với ∆ MOG ? c) Chứng minh ba điểm H , O , G thẳng hàng ? Bài 6:Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB BC a) Tính diện tích tứ giác AMND b) Phân giác góc CDM cắt BC E Chứng minh DM = AM + CE Bài 7:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BD, CE hai đường cao tam giác cắt điểm H Chứng minh rằng: a) HD.HB = HE HC b) ∆HDE : ∆HCB c) BH BD + CH CE = BC Bài 8:Cho tam giác ABC Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ đường thẳng song song với cạnh AB BC cắt BC E AB F Hãy xác định vị trí M AC cho hình bình hành BEMF có diện tích lớn Bài 9:Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB = CK Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AC lấy điểm M bất kỳ, cho M khác A C Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE = CM a) Gọi O trung điểm cạnh BC Chứng minh ∆OEM vuông cân b) Đường thẳng qua A song song với ME , cắt tia BM N Chứng minh : CN ⊥ AC c) Gọi H giao điểm OM AN Chứng minh tích AH AN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh AC Bài 11:Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE , CF cắt H HD HE HF + + a) Tính tổng AD BE CF b) Chứng minh : BH BE + CH CF = BC c) Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác d) Trên đoạn DEF HB, HC lấy điểm M , N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định Bài 12: Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a) Chứng minh AB = AC.BD b) Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC = CM c) Từ M kẻ MH vng góc AB I Chứng minh BC qua trung điểm MH Bài 13: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh rằng: BD.DC = DH DA HD HE HF + + = AD BE CF b) Chứng minh rằng: c) Chứng minh rằng: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d) Gọi M , N , P, Q, I , K trung điểm đoạn thẳng BC , CA, AB , EF , FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI , PK đồng quy điểm Bài 14: Cho tam giác ABC cân A có AB = AC = b; BC = a Đường phân giác BD tam giác ABC có độ dài cạnh bên tam giác ABC Chứng minh 1 b − = b a ( a + b) rằng: Bài 15: Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD ) Gọi O giao điểm AC BD; đường kẻ từ A B song song với BC AD cắt đường chéo BD AC tương ứng F E Chứng minh: EF / / AB a) AB = EF CD thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com b) Gọi S1 , S2 , S3 S4 theo thứ tự diện tích tam giác OAB, OCD, OAD OBC Chứng minh S1.S2 = S3 S Bài 16: Cho tam giác ABC (cân A) vẽ đường cao AH, đường cao BK a) Tìm cặp tam giác vng đồng dạng ? Giải thích ? b) Cho AH = 10cm, BK = 12cm Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC c) Gọi I giao điểm AH BK, tìm điều kiện tam giác ABC để tam giác BCI tam giác ? Bài 17: Cho hình vng ABCD cạnh a điểm N cạnh AB Cho biết tia CN cắt tia DA E, tia Cx vng góc với tia CE cắt tia AB F Gọi M trung điểm đoạn thẳng EF a) Chứng minh CE = CF; b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng; c) Chứng minh ∆EAC đồng dạng với ∆MBC; d) Xác định vị trí điểm N cạnh AB cho tứ giác ACFE có diện tích gấp lần diện tích hình vng ABCD Bài 18: Hình vng ABCD có E F thuộc tia đối CB DC cho DF = BE Từ E kẻ đường song song với AF từ F kẻ đường song song với AE Hai đường giao I Tứ giác AFIE hình ? Bài 19: 19.1: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G Chứng minh: a) Tứ giác EGFK hình thoi b) AF2 = FK.FC c) Chu vi tam giác EKC không đổi E thay đổi BC 19.2: Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b đường phân giác 1 + = góc A AD = d Chứng minh rằng: b c d Bài 20: Cho tam giác ABC vuông A có AH đường cao Gọi M, N giao điểm ba đường phân giác tam giác AHB AHC MN cắt AB, AH, AC I, E, K a) Chứng minh : BM vng góc với AN b) Chứng minh : ME.NK = MI NE c) Biết diện tích tam giác ABC S Tính diện tích lớn tam giác AIK theo S µ Bài 21: Cho tam giác ABC cân A, có A = 20 Trên AB lấy điểm D cho · AD = BC Tính số đo BDC ? Bài 22: Cho tam giác ABC cân A, có BC = a không đổi Gọi I trung điểm · · BC Lấy P ∈ AB Q ∈ AC cho PIQ = ABC Vẽ IK ⊥ AC ( K ∈ AC ) a) Chứng minh tích BP.CQ không đổi b) Chứng minh · PQC · PI tia phân giác góc BPQ , QI tia phân giác thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com c) Gọi chu vi tam giác APQ b, chứng minh b = AK Tính b theo a · BAC = 60 Bài 23: a) Cho tam giác ABC , gọi M, N trung diểm BC , AC Gọi O, G, H giao điểm ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến tam giác ABC Tính tỉ số GH : GO b) Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 2a, CD = a Hãy dựng điểm M đường thẳng CD cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích · Bài 24: Cho hình thoi ABCD có góc ABC = 60 Hai đường chéo cắt O, E thuộc tia BC cho BE ba phần tư BC , AE cắt CD F Trên đoạn thẳng AB CD lấy hai điểm G H cho CG song song với FH BG.DH = BC a) Chứng minh : b) Tính số đo góc GOH Bài 25: Cho tam giác ABC , ba điểm M , N , P thuộc cạnh BC , CA, AB BM CN AP BM = = & < BC CA AB BC Chứng minh hai tam giác ABC cho MNP có µ µ Bài 26: Tứ giác ABCD có B + D = 180 CB = CD Chứng minh AC tia phân giác góc A Bài 27: Một tam giác có đường cao đường trung tuyến chia góc đỉnh thành ba phần Tính góc tam giác Bài 28: Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Gọi M , N trung điểm AB, BC Gọi P giao điểm AN với DM a) Chứng minh : tam giác APM tam giác vng b) Tính diện tích tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD tam giác cân Bài 29: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC , vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng AB AC E F a) Chứng minh DE + DF = AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N trung điểm EF Ký hiệu S X diện tích hình X Chứng minh S FDC ≥ 16 S AMC S FNA Bài 30: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy khơng có điểm chung với hình bình hành Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ đường vng góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy Tìm hệ thức liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ DD’ Bài 31: Cho tam giác ABC có G trọng tâm đường thẳng d không cắt cạnh tam giác Từ đỉnh A, B, C trọng tâm G ta kẻ đoạn AA’, BB’, CC’ GG’ vng góc với đường thẳng d Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’ thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Bài 32: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác a b HA ' HB ' HC ' + + =1 Chứng minh: AA' BB ' CC ' ; AA ' BB ' CC ' + + ≥9 Chứng minh: HA' HB ' HC ' ; Bài 33: Cho tam giác ABC (AC > AB) Lấy điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE, BC Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D E Bài 34: Cho hình vng ABCD M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD a) Chứng minh DE = CF; DE ⊥ CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? Bài 35: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH ⊥ AC Gọi M trung điểm AH, K trung điểm CD, N trung điểm BH a) Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành; b) Tính góc BMK Bài 36: Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm E F.Chứng minh S DEF ≤ S ABC Với vị trí hai điểm E F S DEF đạt giá trị lớn nhất? Bài 37: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC F a) Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân; b) Tính độ dài EF biết AB = 5cm, CD = 10cm Bài 38: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D, đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E a) Chứng minh DE // BC b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh ID = IE µ Bài 39: Cho tam giác vuông cân ABC, A = 90 Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD ⊥ CM , BD cắt CA E Chứng minh rằng: a) EB.ED = EA.EC; b) BD.BE + CA.CE = BC · c) ADE = 45 Bài 40: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F.Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI G Chứng minh rằng: a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi; b) ∆AKF : ∆CAF , AF = FK FC ; c) Khi E thay đổi BC, chứng minh: EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Bài 41: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác góc · · BAC + BDC · BKC = ACE DBE cắt K Chứng minh rằng: Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD Gọi O giao điểm hai đường chéo, K giao điểm AD BC Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự M, N Cmr: MA MB = a) ND NC ; c) MA = MB, NC = ND MA MB = b) NC ND Bài 43: Cho hình thang ABCD (AB // CD) AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự E F Tính độ dài EF, biết DE = 10 Bài 44: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi I điểm cạnh BC Đường thẳng qua I song song với AC cắt AB K Đường thẳng qua I song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự D, E Chứng minh DE =BK Bài 45: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự trung điểm CD,CB Gọi O OD = OF giao điểm AE DF ; OA = 4OE; Chứng minh ABCD hình bình hành Bài 46: Đường thẳng qua trung điểm cạnh đối AB, CD tứ giác ABCD IA KB = cắt đường thẳng AD, BC theo thứ tự I, K Cmr: ID KC Bài 47: Qua M thuộc cạnh BC tam giác ABC vẽ đường thẳng song song với hai cạnh Chúng cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự H, K Cmr: AH AK + a)Tổng AB AC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC b)Xét trường hợp tương tự M chạy đường thẳng BC không thuộc đoạn thẳng BC Bài 48: Cho tam giác ABC cạnh a, M điểm tam giác ABC MA + MB + MC > a Chứng minh rằng: Bài 49: Cho hình vuông ABCD Trên tia đối CB DC, lấy điểm M, N cho DN = BM Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN từ N với AM cắt F Cmr: a Tứ giác ANFM hình vng; · · Điểm F nằm tia phân giác MCN ACF = 90 ; Ba điểm B, O, D thẳng hàng tứ giác BOFC hình thang ( O trung điểm AF ) Bài 50: Cho tam giác ABC vuông cân A, đường trung tuyến BM Lấy điểm D cạnh BC cho BD = 2DC Cmr: BM vng góc với AD Bài 51: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a Chứng minh : AE = AB ; b c thuvienhoclieu.com b thuvienhoclieu.com Gọi M trung điểm BE Tính ·AHM Bài 52: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB, AC a Chứng minh: BD.CE.BC = AH ; b Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vng cân Bài 53: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, cạnh BH lấy điểm M · · đoạn CH lấy điểm N cho AMC = ANB = 90 Chứng minh rằng: AM = AN Bài 54: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD ACF vuông cân B C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Cmr: a) AH =AK ; b) AH = BH CK Bài 55: Cho tam giác ABC, đường thẳng cắt cạnh BC, AC theo thứ tự D E cắt cạnh BA F Vẽ hình bình hành BDEH Đường thẳng qua F song song với BC cắt AH I Cmr: FI = DC Bài 56: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD đường trung tuyến AM Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vng góc với AB, IK vng góc với AC Gọi N giao điểm HK AM Cmr : NI vng góc với BC Bài 57: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt cạnh AB, AC theo thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Cmr: HM vng góc với PQ Bài 58: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự trung điểm AD BC Gọi E điểm thuộc tia đối tia DC, K giao điểm EM AC Cmr: MN tia phân giác góc KNE Bài 59: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC M cắt cạnh đáy AB K Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD I cắt cạnh AB F Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC P Cmr: a) MP / / AB b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng c) DC = AB.MI Bài 60: Một đường thẳng qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD E cắt đường thẳng BC, DC theo thứ tự K, G CMR: a) AE = EK EG ; 1 = + b) AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi qua A tích BK.DG có giá trị không đổi Bài 61: Cho tam giác ABC đều, điểm D, E theo thứ tự thuộc cạnh AC, AB cho AD = BE Gọi M điểm thuộc cạnh BC Vẽ MH // CD, MK //BE (H ∈ AB; K ∈ AC) Cmr: Khi M chuyển động cạnh BC tổng MH + MK có giá trị khơng đổi Bài 62: Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác BD cắt đường cao AH I a Chứng minh: tam giác ADI cân b Chứng minh: AD.BD = BI DC thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Từ D kẻ DK vng góc BC K Tứ giác ADKI hình gì? Chứng minh điều Bài 63: Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỉ số Cmr: AE = DF; AE ⊥ DF c AB = CD Bài 64: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, Gọi E,F theo thứ tự trung điểm AB,CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE Tính diện tích tứ giác EMFN theo S Bài 65: Cho hình bình hành ABCD, M trung điểm BC Điểm N cạnh CD cho CN =2 ND Gọi giao điểm AM, AN với BD P, Q Cmr: S APQ = S AMN Bài 66: Cho góc xOy điểm M cố định thuộc miền góc Một đường thẳng quay quanh M cắt tia Ox, Oy theo thứ tự A,B Gọi S1, S theo thứ tự diện tích tam giác MOA, MOB 1 + S Cmr: S2 không đổi Bài 67: Cho tam giác ABC Các điểm D,E,F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỉ số 1:2 Các điểm I, K theo thứ tự chia cạnh ED, FE theo tỉ số 1:2 Chứng minh: IK //BC Bài 68: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC a Chứng minh IK// AB b Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự E, F Cmr: EI =IK = KF Bài 69: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Trên tia HC lấy điểm K cho AH = HK Vẽ KE ⊥ BC ( E ∈ AC ) · a Gọi M trung điểm BE Tính BHM GB AH = b Gọi G giao điểm AM vói BC Chứng minh: BC HK + HC µA = 900 Bài 70: Cho tam giác ABC, , đường cao AH, đường trung tuyến BM cắt AH · I Giả sử BH = AC Chứng minh: CI tia phân giac ACB µ Bài 71: a) Cho tam giác ABC có A = 120 , AB = 3cm, AC = 6cm Tính độ dài đường phân giác AD 1 = + b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn AD AB AC Tính · BAC Bài 72: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm , đường trung tuyến BD CE vng góc với Tính độ dài BC Bài 73: Cho hình vng ABCD Trên tia BC lấy điểm M nằm đoạn BC tia CD lấy điểm N nằm đoạn CD cho BM = DN Đường vng góc với MA M đường vng góc với NA N cắt F Chứng minh: a AMFN hình vng; b CF vng góc với CA thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Bài 74: Cho hình vng ABCD có giao điểm đường chéo O Kẻ đường thẳng d qua O Chứng minh rằng: Tổng bình phương khoảng cách từ bốn đỉnh hình vng đến đường thẳng d số khơng đổi Bài 75: Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm O tam giác vẽ OD ⊥ BC ( D ∈ BC ) , OE ⊥ CA ( E ∈ CA ) , OF ⊥ AB ( F ∈ AB ) Tìm vị trí điểm O để tổng OD + OE + OF đạt giá trị nhỏ 2 µ µ Bài 76: Cho hình thang vng ABCD có A = D = 90 , AB = 7cm, DC = 13cm, BC = 10cm Đường trung trực BC cắt đường thẳng AD N Gọi M trung điểm BC Tính MN Bài 77: Cho tam giác ABC vng A Dựng AD vng góc với BC D Đường FD EA = phân giác BE cắt AD F Chứng minh: FA EC Bài 78: Cho tam giác ABC Kẻ phân giác ngồi góc B cắt AC I D ( theo thứ tự A, I, C, D ) Từ I D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB M N a Tính AB MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI E cắt BD F Chứng minh: BI IC = AI IE CE = CF Bài 79: Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BA, tia Cy lấy điểm E cho CE = CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh BC a) Chứng minh CA = CK ; BA = BL b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I, J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh IHJ tam giác vuông cân Bài 80: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành đoạn thẳng BD = 2cm, DC = 4cm Đường trung trực AD cắt đường thẳng BC K Tính độ dài KD Bài 81: Cho tam giác ABC có AM đường trung tuyến, AD đường phân giác Biết AC = 9cm, AB = 6cm, diện tích tam giác ABC 24cm Tính diện tích tam giác ADM Bài 82: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB AC theo thứ tự E F a)Chứng minh điểm D chuyển động cạnh BC tổng DE + DF có giá trị khơng đổi b)Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF K Chứng minh K trung điểm EF Bài 83: Cho tam giác ABC, I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng vng góc với CI I cắt AC, BC theo thứ tự M, N Cmr: a) Tam giác AIM đồng dạng với tam giác ABI AM  AI  = ÷ b) BN  BI  Bài 84: Cho tam giác ABC cân A có BC = 2a, M trung điểm BC Lấy · µ =B điểm D, E theo thứ tự thuộc cạnh AB, AC cho DME a) Cmr: BD.CE không đổi thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com b) Cmr: DM tia phân giác góc BDE c) Tính chu vi tam giác AED ABC tam giác Bài 85: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M nằm A D Gọi I, K theo thứ tự trung điểm MB MC Gọi E giao điểm DI AB, F giao điểm DK AC Cmr: EF //IK Bài 86: Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo Lấy điểm G, · H thứ tự thuộc cạnh BC, CD cho GOH = 45 Gọi M trung điểm AB Cmr: a) Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB; b) MG //AH Bài 87: Cho tam giác ABC hình bình hành AEDF có E ∈ AB, F ∈ AC , D ∈ BC Tính diện tích hình bình hành, biết S EBD = 3cm , S FDC = 12cm Bài 88: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AD, DC Gọi I, H theo thứ tự giao điểm AF với BE, BD 2 Tính S EIHD Bài 89: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD, AB < CD ) Gọi O giao điểm AC với BD I giao điểm DA với CB Gọi M N trung điểm AB CD OA + OB IA + IB = a Chứng minh: OC + OD IC + ID b Chứng minh: Bốn điểm I ; O; M ; N thẳng hàng c Giả sử 3AB = CD diện tích hình thang ABCD S Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo S Bài 90: Cho hình vng ABCD, tia đối tia CD lấy điểm E Đường thẳng qua A vng góc với BE F, cắt DC G Gọi H, I, J, M, K giao điểm GF với BC, EF với HD, EA với HC, AB với HD, AE với DH DG GF BC.EF = ; CE = GF Từ suy DG + CE ≥ 2CD 90.1.a) Chứng minh: AD EF EG ≥ 3CD S ABCD b) Tìm GTLN S AEG 90.2.a) Chứng minh: ∆BHA = ∆CEB ∆DAE = ∆CDH b) Chứng minh: AE ⊥ DH c) Chứng minh: AI / / DJ / / GB d) Chứng minh: ∆AFB đồng dạng với ∆ABH ; ∆AFD đồng dạng với ∆ADH · Từ có nhận xét AFD ·ADH 90.3.a) Chứng minh: KD = KI KH b) Chứng minh: EJ.EK HJ = HK HD.EC c) Chứng minh: HJ HC.EK = EI EF.HK BM 90.4 Chứng minh: Khi E thay đổi tia đối tia CD CJ khơng đổi 90.5 Qua này, em khai thác thêm nhiều tính chất thú vị thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 193: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a) Chứng minh OM = ON 1 + = b) Chứng minh AB CD MN c) Biết SAOB= 20152 (đơn vị diện tích); SCOD= 20162 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Lời giải B A M O N C D OM OD ON OC = = a) Lập luận để có AB BD , AB AC OD OC = Lập luận để có DB AC OM ON = ⇒ AB AB ⇒ OM = ON OM DM OM AM = = b) Xét ∆ABD để có AB AD (1), xét ∆ ADC để có DC AD (2) 1 AM + DM AD + = = =1 AD AD Từ (1) (2) ⇒ OM.( AB CD ) 1 ( + ) =1 Chứng minh tương tự ON AB CD 1 1 ( + )=2 + = ⇒ AB CD MN từ có (OM + ON) AB CD c) Từ ΔCBH : ΔEAH ( cmt) 2 SΔCBH SΔCBH  BC   BC  = = ⇒ ÷ ÷ =4 SΔEAH  AE  , mà SΔEAH (gt)  AE  nên BC2 = (2AE)2 ⇒ BC = 2AE ⇒ E trung điểm AB, F trung điểm AD ⇒ Chứng minh S AOD = S BOC ⇒ S AOB S DOC = ( S AOD ) Thay số để có 20152.20162 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2015.2016 Do SABCD= 20152 + 2.2015.2016 + 20162 = (2015 + 2016)2 = 40312 (đơn vị DT) Bài 194: Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H∈ BC) Trên tia đối tia HB lấy điểm D cho HD = HA Qua D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC E 1.Chứng minh CD.CB = CA.CE Tính số đo góc BEC Gọi M trung điểm đoạn BE Tia AM cắt BC G thuvienhoclieu.com Trang Chứng minh: Lời giải thuvienhoclieu.com GB HD = BC AH + HC a) Xét ∆ ABC ∆ DEC Có ∠ BAC = ∠ EDC = 900 ∠ C chung ⇒ ∆ ABC đồng dạng với ∆ DEC (g.g) CA CD = ⇒ CB CE ⇒ CD.CB = CA.CE (Đpcm) b) Xét ∆ ADC ∆ BEC có: CD CA = CE CB (Chứng minh trên) ∠ C chung ⇒ ∆ ADC đồng dạng với ∆ BEC (c.g.c) ⇒ ∠ BEC = ∠ ADC ( cặp góc tương ứng) (1) Lại có: HA = HD (gt) ⇒ ∆ AHD vuông cân H ⇒ ∠ ADH = 450 ⇒ ∠ ADC = 1350 (2) Từ (1) (2) ⇒ ∠ BEC = 1350 c) Ta có : ∠ BEC = 1350 (cm ý b) Mà ∠ BEC + ∠ BEA =1800 ⇒ BEA = 450 ABE vuông cân A Mà M trung điểm BE nên tia AM tia phân giác góc BAC GB AB = Suy ra: GC AC (t/c đường phân giác tam giác) (3) Mà ∆ ABC đồng dạng với ∆ DEC (cm ý a) AB ED = ⇒ AC DC (4) Lại có ED // AH (Cùng vng góc với BC) AH ED = ⇒ HC DC (hệ định lí Talet) Mặt khác AH = HD (gt) AH ED HD = ⇒ HC DC = HC (5) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = Từ (3), (4) (5) ⇒ GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC Bài 195: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ), kẻ đường cao AH đường trung tuyến AM ( H , M ∈ BC ) Gọi D, E hình chiếu H AB, AC Chứng minh rằng: a) DE = BH HC b) AH = AD.DB + AE EC c) DE vng góc với AM Giả sử diện tích tam giác ABC lần diện tích tứ giác ADHE Chứng minh tam giác ABC vuông cân Lời giải A E O D B H C M a) Chứng minh: DE = BH HC Xét ∆AHB ∆CHA · · µ · · Có AHB = AHC = 90 , B = CAH (vì phụ với BAH AH HB = ⇒ AH = BH CH ⇒ ∆AHB  ∆CHA (g-g) ⇒ CH HA µ µ µ Lại có AH ⊥ BC , HE ⊥ AC , HD ⊥ AB nên D = H = E = 90 ⇒ Tứ giác ADHE hình chữ nhật ⇒ DE = AH ⇒ DE = DH CH b Chứng minh: AH = AD.DB + AE EC Chứng minh ∆HDB  ∆ADH ⇒ HD = AD.DB Chứng minh ∆AHE  ∆ ACH ⇒ HE = AE.EB Mà tứ giác ADHE hình chữ nhật nên DH = AE Do HD + HE = AE + HE = AH = AD.DB + AE.EC ( Định lý Pytago áp dụng vào tam giác vuông AEH ) c) Chứng minh: DE ⊥ AM Gọi O giao điểm AH DE , Tứ giác ADHE hình chữ nhật nên · OA = OE ⇒ ∆ OAE cân O ⇒ HAE = ·AED ∆ ABC vng A , có M trung điểm BC nên MA = MB = MC ⇒ ∆ MAC cân · · M ⇒ MAC = MCA 2 2 · · · ⇒ ·AED + MAC = HAE + MCA = 900 ⇒ DE ⊥ AM thuvienhoclieu.com Trang Theo giả thiết S ABC = 2S ADHE thuvienhoclieu.com S = 4S ADE hay AED = (1) S ABC S AED AE AD ( AE AC ).( AD AB ) AH = = = ( AB AC ) ( AB AC ) Ta có S ABC AB AC AH AH AM = = ≤ = (2) ( AH BC ) BC BC AH AM = ⇔ AH = AM ⇔ H ≡ M BC BC Từ (1) (2) nên ∆ ABC vuông cân A Bài 196: Cho hình chữ nhật ABCD,AB = 2A D Trên cạnh AD lấy điểm M, cạnh ⇒ BC lấy điểm P cho AM = CP Kẻ BH vng góc với AC H Gọi Q trung điểm CH , đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC N a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Khi M trung điểm AD Chứng minh BQ vng góc với NP 1 = + AP 4AF2 c) Đường thẳng A P cắt DC điểm F Chứng minh AB Lời giải a) Chứng minh DH / /BK(1) Chứng minh ∆AHD = ∆CKB ⇒ DH = BK (2) Từ (1) (2) suy tứ giác MNPQ hình bình hành b) Gọi E trung điểm BK , chứng minh QE đường trung bình ∆ KBC 1 QE = BC = A D BC ⊥ AB) 2 nên QE / /BC ⇒ QE ⊥ AB (vì Chứng minh A M = QE AM / /QE ⇒ AMQE hình hành ( ) Chứng minh Xét ∆AQB có BK QE hai đường cao tam giác nên E trực tâm tam giác nên AE đường cao thứ ba tam giác AE ⊥ BQ ⇒ BQ ⊥ NP AE / /NP / /MQ c) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vẽ tia Ax vng góc với AF Gọi giao Ax với CD G Chứng minh ⇒ · D = BA · P GA (cùng phụ với · PAD) ⇒ ∆ABP ( g.g) AP AB = = ⇒ AG = AP AG A D = 2SAGF ) Ta có: ∆ AGF vng A có AD ⊥ GF nên AG.AF = AD.GF ( ⇒ A G2.AF2 = AD2.GF2 ( 1) 2 2 2 Ta chia hai vế (1) cho AD AG AF mà AG + AF = GF (đl Pytago) 1 1 1 = + ⇒ = + 2 2 2 AD AG AF 1  1  AF  AB÷  AP ÷     4 1 1 ⇒ = + ⇒ = + 2 2 AB AP AF A B A P 4A F2 ⇒ Bài 197: Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh : EA.EB = ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi DH ⊥ BC ( H ∈ BC ) c) Kẻ Gọi P,Q trung điểm đoạn thẳng BH ,CH Chứng minh CQ ⊥ PD Lời giải EB ED ∆EBD : ∆ECA ( g − g) ⇒ EC = EA ⇒ EA.EB = ED.EC d) Chứng minh MI ⊥ BC ( I ∈ BC ) ∆BIM : ∆BDC ( g.g) e) Kẻ Ta có : BM BI ⇒ = ⇒ BM.BD = BI.BC (1) BC BD thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com CM CI ∆ACB : ∆ICM ( g − g) ⇒ = ⇒ CM.CA = CI.BC (2) BC CA Tương tự: BM.BD + CM.CA = BI.BC + CI.BC = BC.( BI + CI ) = BC Từ (1) (2) suy (Không đổi) f) ∆ BHD : ∆ DHC(g.g) ⇒ BH BD 2BP BD BP BD = ⇒ = ⇒ = DH DC 2DQ DC DQ DC · · ∆DPB : ∆CQD g.g ⇒ BDP = DCQ Chứng minh được: Mà ( ) · · · · BDP + PDC = 900 ⇒ DCQ + PDC = 900 ⇒ CQ ⊥ PD ) Đường Bài 198: Cho tam giác ABC vng A có AM phân giác ( thẳng qua M vng góc với BC cắt đường thẳng AB N Chứng minh M ∈ BC MN = MC Lời giải Kẻ MH ⊥ AB H , MK ⊥ AC K ⇒ AHMK hình vng ⇒ MH = M K (1) · · Ta có: MCA = MNA (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) (2) ( ) ⇒ MN = MC Từ (1) (2) Bài 199: Cho hình vng ABCD có cạnh 20cm Trên cạnh CD lấy điểm M Đường thẳng vng góc với BM M cắt AD N a) Cho MC = 15cm Tính diện tích tam giác BMN b) Xác định vị trí M cạnh CD để ND có độ dài lớn Lời giải ⇒ ∆MHN = ∆MKC ch − cgv thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a) Hai tam giác vuông BCM MDN có: · · · N CBM = DM (cùng phụ với BMC) ND MD = (*) MC BC MC.MD 15.( 20− 15) ⇒ ND = = = 3,75( cm) BC 20 ⇒ A N = A D − ND = 20− 3,75 = 16,25( cm) ⇒ ∆BCM : ∆MDN ⇒ Ta có: S∆BMN = SA BCD − SBCM − SDMN − SABN 1 = 202 − 20.15− 5.3,75− 20.16,25 = 78,125(cm2) 2 b) Đặt MC = x ( ≤ x ≤ 20) x.( 20 − x) 20x − x2 ( x − 10) ≤ = = = 5− ( *) ⇒ ND = MC.MD BC 20 20 20 Từ ⇒ Độ dài ND lớn ND = 5cm x = 10 hay M trung điểm CD Vậy để độ dài ND lớn vị trí M trung điểm CD Bài 200: Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E BC ( cho BE = CM a) Chứng minh : ∆ OEM vuông cân b) Chứng minh: ME / /BN M ≠ B,C c) Từ C kẻ CH ⊥ BN ( H ∈ BN ) Chứng minh ba điểm O,M ,H thẳng hàng Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a) Xét ∆OEB ∆ OMC Vì ABCD hình vng nên ta có: OB=OC Và µ =C ¶ = 450 ,BE = CM(gt) ⇒ ∆OEB = ∆OMC c.g.c B ( ) 1 ¶ ¶ ⇒ OE = OM O1 = O3 ¶ ¶ · Lại có: O + O3 = BOC = 90 tứ giác ABCD hình vng ¶ +O ¶ = EOM · ⇒O = 900 kết hợp với OE = OM ⇒ ∆OEM vuông cân O b) Từ giả thiết tứ giác ABCD hình vuông ⇒ AB / /CD AB = CD +) A B/ /CD ⇒ AB/ /CN ⇒ A M BM = MN MC (định lý Ta let) (*) * Mà BE = CM(gt) AB = Cd ⇒ AE = BM thay vào ( ) AM AE = ⇒ ME / /BN Ta có: MN EB (Ta let đảo) c) Gọi H ' giao điểm OM BN · · Từ ME / /BN ⇒ OME = OH 'E (cặp góc so le trong) · Mà OME = 45 ∆ OEM vng cân O · 'B = 450 = C ¶ ⇒ ∆OMC : ∆BMH '(g.g) ⇒ MH ⇒ Vậy OM MH ' = , · · = CMH ' (hai góc đối đỉnh) OB MC kết hợp OMB · · 'C = 450 ⇒ ∆OMB : ∆CM H '(c.g.c) ⇒ OBM = MH · 'C = BH · 'M + M · H 'C = 900 ⇒ CH ' ⊥ BN BH ( ) Mà hay điểm O,M ,H thẳng hàng (đpcm) Bài 201: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) Các đường cao AE,BF,CG cắt H Gọi M trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng a vng góc với HM, a cắt AB,AC I K a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC CH ⊥ BN H ∈ BN ⇒ H ≡ H ' thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK ,b cắt AH, AB theo thứ tự N D Chứng minh NC = ND,HI = HK AH BH CH + + >6 c) Chứng minh HE HF HG Lời giải CE CA = CF CB a) Ta có CE CA µ = , C ∆ ABC ∆ EFC Xét có CF CB chung ⇒ ∆ ABC : ∆ EFC(cgc) b) Vì CN / /IK ,HM ⊥ IK ⇒ HM ⊥ CN ⇒ M trực tâm ∆ HNC ⇒ MN ⊥ CH mà CH ⊥ AD (H trực tâm ∆ABC) ⇒ MN / /AD ∆AEC : ∆BFC(g.g) ⇒ Do M trung điểm BC ⇒ NC = ND IH AH HK AH = (Vi IH / /DN) = (Vi KH / /CN) DN AN CN AN ⇒ IH = IK AH SAHC SABH SAHC + SABH SAHC + SABH = = = = HE SCHE SBHE SCHE + SBHE SBHC c) Ta có: BH SBHC + SBHA CH SBHC + SAHC = ; = HF SAHC HG SBHA Tương tự ta có: ⇒ AH BH CH SAHC SABH SBHC SBHA SBHC SAHC + + = + + + + + ≥6 HE HF HG SBHC SBHC SAHC SAHC SBHA SBHA Dấu " = " xảy ∆ ABC mà theo gt AB < AC nên không xảy dấu Bài 202: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA ', BB ', CC ', H trực tâm HA ' HB ' HC ' + + a) Tính tổng AA ' BB ' CC ' thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com b) Gọi AI phân giác tam giác ABC ; IM , IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN BI CM = BN IC AM ( AB + BC + CA) ≥ 2 c) Chứng minh rằng: AA ' + BB ' + CC ' Lời giải S HAB HA '.BC HA ' = = S ABC AA '.BC AA ' a) S HAB HC ' S HAC HB ' = ; = S CC ' S BB ' ABC Tương tự: ABC ⇒ HA ' HB ' HC ' S HBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC , ABI , AIC : BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC ⇒ = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN CM = BN IC AM c) Vẽ Cx ⊥ CC ' Gọi D điểm đối xứng A qua Cx Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC , AD = 2.CC ' Xét điểm B, C , D ta có : BD ≤ BC + CD ∆ BAD vuông A nên : AB + AD = BD thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ⇒ AB + AD ≤ ( BC + CD ) 2 AB + 4CC '2 ≤ ( BC + AC ) 2 4CC '2 ≤ ( BC + AC ) − AB Tương tự: AA '2 ≤ ( AB + AC ) − BC 2 BB '2 ≤ ( AB + BC ) − AC 2 ( AA '2 + BB '2 + CC '2 ) ≤ ( AB + BC + AC ) Chứng minh được: AB + BC + AC ) ( ⇔ ≥4 AA '2 + BB '2 + CC '2 Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC , AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC = BC ⇔ ∆ ABC Bài 203: 1) Cho hình vng ABCD , gọi M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E.Đường thẳng AH cắt DC F d) Chứng minh BM = ND e) Tứ giác EMFN hình f) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC · · 2) Cho tam giác ABC có BAC = 90 , ABC = 20 Các điểm E F 0 · · · nằm cạnh AC, AB cho ABE = 10 ACF = 30 Tính CFE Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 4.1 µ · a) Do ABCD hình vng nên ⇒ A1 + MAD = 90 (1) µ · mà AMHN hình vng ⇒ A2 + MAD = 90 (2) µ µ Từ ( 1) ; ( ) suy A1 = A2 µ =D µ = 900 ∆ AND = ∆ AMB c g c ⇒ B ( ) Do đó, BM = ND ¶ b) Do ABCD hình vng ⇒ D2 = 90 Ã +D ả = 900 + 900 = 1800 ⇒ N , D, C ⇒ NDC =D thẳng hàng Gọi O giao điểm hai đường chéo AH , MN hình vng AMHN ⇒ O tâm đối xứng hình vng AMHN ⇒ AH đường trung trực đoạn MN, mà E , F ∈ AH ⇒ EN = EM FM = FN (3) ả =M ả O =O ¶ ⇒ EM = FN (4) ∆EOM = ∆FON OM = ON ; N ( ) Từ ( 3) ; ( ) ⇒ EM = NE = NF = FM ⇒ MEMF hình thoi (5) c) Từ (5) suy FM = FN = FD + DN Mà DN = MB ⇒ MF = DF + BM Gọi chu vi tam giác MCF p cạnh hình vng a Ta có: P = MC + CF + MF = MC + CF + BM + DF (Vì MF = DF + MB ) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com = ( MC + MB ) + ( CF + FD ) = BC + CD = a + a = 2a Do đó, chu vi tam giác MCF không đổi M thay đổi BC 4.2 · 0 · · Xét ∆ABC có BAC = 90 , ABC = 20 ⇒ ACB = 70 · = 900 , ·ACF = 300 ⇒ FC = AF ∆ACF có CAF Gọi D trung điểm BC G điểm AB cho GD ⊥ BC BD BA ∆ABC : ∆DBG ⇒ = BG BC Khi đó, · · · GCB = GBC = 200 ⇒ GCF = 200 · · Do CG BE tia phân giác BCF ABC nên: FC BC BA AE = ; = FG BG BC EC 1 FC BC BD BA AE AF AF AE = = = = = ⇒ = FG FG BG BG BC EC FG EC Do đó, · · Từ suy CG / / EF (Định lý Talet đảo) ⇒ CFE = GCF = 20 Bài 204: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) có AD tia phân giác · BAC Gọi M N hình chiếu D AB AC , E giao điểm BN DM , F giao điểm CM DN 1) Chứng minh tứ giác AMDN hình vng EF / / BC 2) Gọi H giao điểm BN CM Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆NFA H trực tâm ∆ AEF 3) Gọi giao điểm AH DM K, giao điểm AH BC O, giao BI AO DM + + >9 điểm BK AD I Chứng minh : KI KO KM Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 1) *Chứng minh tứ giác AMDN hình vng · · · +) Chứng minh AMD = 90 ; AND = 90 ; MAN = 90 Suy tứ giác AMDN hình chữ nhật · +)Hình chữ nhật AMDN có AD phân giác MAN nên tứ giác AMDN hình vng *Chứng minh EF // BC FM DB = (1) +) Chứng minh : FC DC DB MB = (2) Chứng minh: DC MA MB MB AM = DN ⇒ = (3) MA DN Chứng minh MB EM = (4) DN ED Chứng minh EM FM = ⇒ EF / / BC Từ ( 1) , ( ) , ( ) , ( ) suy ED FC 2) Chứng minh ∆ANB : ∆NFA AN DN = (5) AN = DN AB AB Chứng minh suy DN CN = (6) Chứng minh AB CA CN FN = (7) Chứng minh CA AM FN FN = (8) AM AN AM = AN Chứng minh Suy thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com AN FN = ⇒ ∆ANB : ∆NFA ( c.g c ) AB AN Từ (5) (6) (7) (8) suy *chứng minh H trực tâm tam giác AEF · · Vì ∆ANB : ∆NFA nên NBA = FAN 0 · · · · Mà BAF + FAN = 90 ⇒ NBA + BAF = 90 Suy EH ⊥ AF , Tương tự: FH ⊥ AE , suy H trực tâm ∆ AEF 3) Đặt S AKD = a, S BKD = b, S AKB = c Khi đó: S ABD S ABD S ABD a + b + c a + b + c a + b + c + + = + + S AKD S BDK S AKB a b c b a a c  b c = +  + ÷ +  + ÷+  + ÷ a b c a c b b a + ≥2 a b Theo định lý AM-GM ta có: a c b c + ≥2 ; + ≥2 c b Tương tự : c a BI AO DM + + ≥9 Suy KI KO KM Dấu " = " xảy ∆ ABD tam giác đều, suy trái với giả thiết thuvienhoclieu.com Trang ... tam giác OGB; b) MG //AH Bài 87 : Cho tam giác ABC hình bình hành AEDF có E ∈ AB, F ∈ AC , D ∈ BC Tính diện tích hình bình hành, biết S EBD = 3cm , S FDC = 12cm Bài 88 : Cho hình vng ABCD có độ... BN  BI  Bài 84 : Cho tam giác ABC cân A có BC = 2a, M trung điểm BC Lấy · µ =B điểm D, E theo thứ tự thuộc cạnh AB, AC cho DME a) Cmr: BD.CE không đổi thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com b)... thuvienhoclieu.com Trang Bài 117: thuvienhoclieu.com A BC ( AB < AC ) , Cho tam giác trọng tâm G Qua G vẽ đường thẳng d cắt AB AC + cạnh AB,AC theo thứ tự D E Tính giá trị biểu thức AD AE Bài 1 18: