HSG toan 8 dang 13 TOAN ROI RAC

thuvienhoclieu.com DẠNG 13: TỐN RỜI RẠC A.Bài tốn Bài 1: Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n  n chia hết cho 24 Bài 2: Hình vng có 3x3 (như hình bên ), chứa số mà tổng số hàng, cột, đường chéo gọi hình vng kỳ diệu Chứng minh số tâm (x) hình vng kỳ diệu trung bình cộng hai số lại hàng, cột , đường chéo Bài 3: Trong bảng ô vng kích thước 8x8 gồm 64 vng đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô Chứng minh với cách đánh dấu ln có đánh dấu khơng có điểm chung (hai ô có điểm chung hai ô có chung đỉnh chung cạnh) Bài 4: Một giải bóng chuyền có đội bóng tham gia thi đấu vịng trịn lượt (hai đội thi đấu với trận) Biết đội thứ thắng a1 trận thua b1 trận, đội thứ thắng a2 trận thua b2 trận, …., đội thứ thắng a9 trận thua b9 trận 2 2 2 2 Chứng minh a1  a2  a3   a9  b1  b2  b3   b9 Bài 5: Làm để đem lít nước từ sơng tay có can, can có dung tích lít, can có dung tích lít khơng can có vạch chia dung tích ? Bài 6: Trong đề thi có tốn A, B, C Có 25 học sinh người giải Biết rằng: - Trong số thí sinh khơng giải A số sinh giải B nhiều gấp hai lần - số thí sinh giải C Số thí sinh giải A nhiều số thí sinh giải A thêm khác - người Số thí sinh giải A số thí sinh giải B cộng với số thí sinh giải C Hỏi có thí sinh giải B? Bài 7: Trong lớp học bạn An hoàn thành tập mà giáo viên giao cho giết thời gian cách liệt kê bảng số nguyên Bận bắt đầu ghi số nguyên đó; để có số tiếp theo, An cộng nhân chữ số số đứng liền trước Cứ tiếp tục thế, nhận số ghi số lẻ Hỏi có số An chọn, biết khơng q chữ số Bài 8: Cho hình vng ABCD đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình ABCD vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng số qua điểm thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 9: Cho hình vng ABCD có 13 đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng 13 đường thẳng qua điểm Bài 10: Cho đa giác gồm 1999 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn ba đỉnh sơn màu tạo thành tam giác cân B.Lời giải Bài 1: Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n  n chia hết cho 24 Lời giải Ta có: n3  n  n  n  1  n  1 Vì n  1; n; n  ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số chia hết cho Do n  n M (2) Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với  1 ;   suy n  n  M24 a d g b e h c f i  dpcm  Bài 2: Hình vng có 3x3 (như hình bên ), chứa số mà tổng số hàng, cột, đường chéo gọi hình vng kỳ diệu Chứng minh số tâm (x) hình vng kỳ diệu trung bình cộng hai số cịn lại hàng, cột , đường chéo a d g b e h c f i Lời giải Giả sử hình vng kỳ diệu điền số a,b,c,d,e,f,g,h,i hình vẽ Đặt S = a + b +c + d + e + f + g + h + i Suy d + e + f = b + e + h = a + e + i = c + e + g = (1) Suy (d + e + f ) + (b + e + h) + (a + e + i) + (c + e + g)= S + 3e= (2) Từ (1) (2) suy ra: d + f = b + h = a + i = c + g = (đpcm) Bài 3: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Trong bảng vng kích thước 8x8 gồm 64 vng đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô Chứng minh với cách đánh dấu ln có đánh dấu khơng có điểm chung (hai có điểm chung hai có chung đỉnh chung cạnh) Lời giải Chi 64 ô vng bảng 8x8 thành loại hình vẽ (các ô loại đánh số giống nhau) Khi theo cách chia rõ ràng loại khơng có điểm chung Khi đánh dấu 13 điểm bất kỳ, 13 điểm thuộc loại vừa chia Vì 13 = 4.3 + nên theo nguyên lý Dirichle tồn thuộc loại, ô điểm chung Suy đpcm 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 Bài 4: Một giải bóng chuyền có đội bóng tham gia thi đấu vịng trịn lượt (hai đội thi đấu với trận) Biết đội thứ thắng a1 trận thua b1 trận, đội thứ thắng a2 trận thua b2 trận, …., đội thứ thắng a9 trận thua b9 trận 2 2 2 2 Chứng minh a1  a2  a3   a9  b1  b2  b3   b9 Lời giải Mỗi đội bóng thi đấu với đội bóng khác hai đội gặp trận nên đôi thi đấu trận   bi  (với i = 1;2;3; ;8) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a12  a2  a32   a9    a1     a2     a3     a9  2 2  16  a1  a2  a3   a9   576 (1) Mặt khác, tổng số trận thắng đôi tổng số trận đấu nên : a1  a2  a3   a9  9.8  36 (2) Từ (1) (2) suy đpcm Bài 5: Làm để đem lít nước từ sơng tay có can, can có dung tích lít, can có dung tích lít khơng can có vạch chia dung tích ? Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ký hiệu  a; b  trạng thái can lít có a lít với  a  can lít có b lít với  b  Khi việc lấy lít nước từ sông diễn tả qua trạng thái sau:  0;0    0;9    4;5   0;5   4;1   0;1   1;9    4;6  Bài 6: Trong đề thi có tốn A, B, C Có 25 học sinh người giải Biết rằng: - Trong số thí sinh khơng giải A số sinh giải B nhiều gấp hai lần - số thí sinh giải C Số thí sinh giải A nhiều số thí sinh giải A thêm khác - người Số thí sinh giải A số thí sinh giải B cộng với số thí sinh giải C Hỏi có thí sinh giải B? Lời giải Gọi a số học sinh giải A, b số thí sinh giải B, c số thí sinh giải C, d số thí sinh giải B C khơng giải A Khi số thí sinh giải A thêm hai B C : 25  a  b  c  d Theo ta có: b  d  2 c  d  a   25  a  b  c  d a  b  c Từ đẳng thức ta có: 4b  c  26 b      d  b  2c   c  Bài 7: Trong lớp học bạn An hoàn thành tập mà giáo viên giao cho giết thời gian cách liệt kê bảng số nguyên Bận bắt đầu ghi số nguyên đó; để có số tiếp theo, An cộng nhân chữ số số đứng liền trước Cứ tiếp tục thế, nhận số ghi số lẻ Hỏi có số An chọn, biết khơng q chữ số Lời giải Ta gọi số thỏa mãn đề số chấp nhận Các chữ số số chấp nhận phải số lẻ, khơng tích chúng chẵn Như có số chấp nhận có chữ số Khơng thể có số chấp nhận gồm chữ số tổng tích chữ số chúng số chẵn Tương tự số chấp nhận khơng thể có chữ số thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta xét số chấp nhận gồm ba chữ số (tổng tích chữ số số chấp nhận gồm ba chữ số phải số lẻ, chúng có hai chữ số, nên tổng tích chữ số vượt Như số chấp nhận gồm chữ số có thể: Hoặc gồm chữ số 1, Hoặc gồm hai chữ số 1, số lại chữ số 3,5,7 Hoặc gồm chữ số chữ số Do có    13 số chấp nhận có chữ số Tương tự , ta tính số chấp nhận gồm chữ số Tổng chữ số không vượt 45 số chấp nhận nên tích khơng vượt q 9, khả xảy : Hoặc gồm chữ số Hoặc gồm chữ số chữ số Hoặc gồm chữ số chữ số Hoặc gồm ba chữ số hai chữ số Do số số chấp nhận gồm chữ số:    10  21 số Vậy số số thỏa mãn đề là:  13  21  39 số Bài 8: Cho hình vng ABCD đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng số qua điểm Lời giải Các đường thẳng cho khơng thể cắt cạnh kề hình vng, chúng chia hình vng thành tam giác ngũ giác (chứ chia hình vng thành hai tứ giác) Do đó, đường thẳng (trong số chín đường thẳng) cắt hai cạnh đối hình vng khơng qua đỉnh hình vng Giả sử đường thẳng cắt hai cạnh đối BC AD điểm M N thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 9: Cho hình vng ABCD có 13 đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng 13 đường thẳng qua điểm Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác nên đường thẳng phải cắt hai cạnh đối hình vng khơng qua đỉnh hình vng E , F , G , H trung điểm AB, BC , CD, DA Xét đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác, cắt HF N NF Nên tỉ số diện tích hai tứ giác tạo thành NH NH   NF Như N cố định có điểm vai trị Nếu tỉ số diện tích hai tứ giác tạo thành điểm N M, N, P,Q hình vẽ Có 13 đường thẳng đường phải qua điểm phân biệt M , N , P, Q 13  3.4  Theo nguyên tắc Dirichle tồn đường thẳng qua điểm điểm M,N,P,Q Bài 10: Cho đa giác gồm 1999 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn ba đỉnh sơn màu tạo thành tam giác cân Lời giải Ta có đa giác 1999 cạnh nên có 1999 đỉnh Do phải tồn đỉnh kề P Q sơn màu – màu đỏ (Theo nguyên lý Dirichle) Vì đa giác cho đa giác có số đỉnh lẻ, nên phải tồn đỉnh nằm đường trung trực đoạn thẳng PQ Giả sử đỉnh A Nếu A tơ màu đỏ ta có tam giác APQ tam giác cân có đỉnh A, P, Q tô màu đỏ Nếu A tơ màu xanh, lúc gọi B C đỉnh khác đa giác kề với P Q Nếu hai đỉnh B C tô màu xanh tam giác ABC cân có đỉnh tô màu xanh Nếu ngược lại, hai đỉnh B C mà tơ màu đỏ tam giác BPQ tam giác CPQ tam giác cân có đỉnh tơ màu đỏ thuvienhoclieu.com Trang ... vuông bảng 8x8 thành loại hình vẽ (các ô loại đánh số giống nhau) Khi theo cách chia rõ ràng ô loại khơng có điểm chung Khi đánh dấu 13 điểm bất kỳ, 13 điểm thuộc loại vừa chia Vì 13 = 4.3 +... thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Trong bảng ô vuông kích thước 8x8 gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô Chứng minh với cách đánh dấu ln có đánh dấu khơng có điểm chung (hai...thuvienhoclieu.com Bài 9: Cho hình vng ABCD có 13 đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng 13 đường thẳng qua điểm Bài 10: Cho đa