1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

HSG toan 8 dang 7 MIN MAX

52 4 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 52
Dung lượng 1,41 MB

Nội dung

thuvienhoclieu.com DẠNG 7: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT A Bài tốn Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x − 1) ( x − 1) ( x − x − 1) + 2017 2 Bài 2: a) Tìm GTLN : x + y + xy − x − y + 2015 ( x + 1) b) Tìm GTLN : x + x + x + Bài 3: Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ ( GTNN ) biểu thức A = a ( a + 2b ) + b ( b − a ) Bài 4: Cho a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ của: 1 1 P = ( a + b + c)  + + ÷ a b c Cho số thực x thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị Bài 5: x2 − x2 P= + − x2 + x2 nhỏ biểu thức Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = ( x − 2012 ) + ( x + 2013) 2015 A= , x −3 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức với x số nguyên Bài 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 14 x − x + B= 3x + x + a) A = x + + x + − x + b) A = ( x + 3x + ) 2 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x − 1) ( x − 3) ( x − ) ( x − ) + 10 Tìm giá trị nhỏ của: ( x ) ( Bài 10: Bài 11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 13 x + y + xy − y − 16 x + 2015 Bài 12: Tìm giá trị nhỏ lớn Bài 13: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − 2a + 3a − 4a + Bài 14: Tìm giá trị nhỏ E = x − x + Bài 15: 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − xy + y − y + b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: Bài 16: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B= ( x + 1) x + x2 + x + A = x + y + xy − x − y + 18 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 17: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau (nếu có): M = x2 + 4x + Bài 18: Tìm giá trị nhỏ B = x + y + xy − x + 2028 x4 + x2 − x2 + M= + − x + x − x + x + x2 + Bài 19: Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn M Bài 20: Cho x, y > thỏa mãn x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ 24 + x y Bài 21: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = xy ( x − ) ( y + ) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 2045 H = x2 + y + 2 Bài 22: Tìm giá trị nhỏ P = x + y − ( x + y ) − 2010  x +1 x2 + x − x2  P= : + + ÷ x − 2x +  x x −1 x  Bài 23: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P x > Bài 24: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 25: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 2010x + 2680 x2 + ( ) A = ( x − 1) ( 2x − 1) 2x2 − 3x − + 2017 Bài 26: Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức : A= x2 + x + x2 − x + Bài 27: 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − 2xy + 2y − 4y + 3( x + 1) B= x + x + x+ b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P = x − 2006 + x − 2007 + 2006 Bài 28: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= 2010x + 2680 x2 + Bài 29: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 30 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A, biết: 4 2 A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) ( x − 3) x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z = Bài 31 Cho 1 P= + + 16 x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 Bài 32 Tìm giá trị nhỏ : A = x − xy + y − 12 x + y + 45 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com x + x + 10 B= x + 2x + Bài 33.Tìm giá trị lớn biểu thức: Bài 34 Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện ≤ a, b, c ≤ a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a2 + b2 + c2 3x2 − x + C= x2 + Bài 35 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: 2 Bài 36 Cho a + b = Tính giá trị nhỏ biểu thức a + b x2 − 8x + P= x2 + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: Bài 37 Bài 38 Tìm giá trị lớn biểu thức C = − x + x Bài 39 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 P= + + x +x y +y z +z Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 40: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x + y + z = M= 1 + + 16 x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 Bài 41: Cho a > 0;b > 0và a + b = 10 Tìm giá trị nhỏ Q= 1 + a2 b2 Bài 42: Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( ) A = ( x − 2) ( x − 5) x2 − 7x − 10 Bài 43: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + 2x + 3x + 2x + 2 Bài 44: Cho hai số không âm a b thỏa mãn: a + b = a + b Tính giá trị lớn biểu thức: S= a b + a+ b+ Bài 45: Cho x,y,z số dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 + + 16x 4y z P = ( x − 2012) + ( x + 2013) Bài 46: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Bài 47: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = xy ( x − 2) ( y + 6) + 12x2 − 24x + 3y2 + 18y + 2045 x4 + x2 − x2 + M= + − x + x4 − x2 + x4 + 4x2 + Bài 48: Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn M thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com x + 2y ≥ Bài 49: Cho x,y > thỏa mãn H = x2 + 2y2 + 24 + x y Tìm giá trị nhỏ Bài 50: Bài 51: Cho P = a +b +c Tìm giá trị nhỏ a, b, c ∈ [ 0;1] P = x2 + y2 − 4( x + y ) − 2010 a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức 2 Bài 52: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − xy + y − y + ( x + 1) x + x2 + x + Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 2010 x + 2680 A= x2 + Bài 53: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 54: Tìm giá trị x để biểu thức: B= P = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài 55: Tìm giá trị nhỏ P = x + y − ( x + y ) − 2010 Bài 56: Tìm giá trị nhỏ E = x – x + Bài 57: Tìm giá trị nhỏ M = 4x2 + 4x + 2 Bài 58: Tìm GTLN GTNN biểu thức: Bài 59: Tìm giá trị biến x để: a) P= A= x2 + x + x2 + Q= x2 + 2x + đạt giá trị lớn b) A= x−4 (2− x−4) x2 + x + x2 + 2x + đạt giá trị nhỏ Bài 60: : a) Tìm GTLN b) Tìm GTNN biểu thức Bài 61: Tìm GTNN của: 16 + 2007, x > x −3 a) ; x + 2000 C= ,x > x c) A= x+ b) B= B= 9x + − x x , với < x < x − x + 2018 ,x ≠ 2018 x ; Bài 62: Cho hai số x y thoả mãn điều kiện: 3x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = 3x + y ; b Tìm giá trị lớn biểu thức N = xy a Bài 63: a) Cho x, y số dương thoả mãn x + y = Q= + x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 b) Tìm GTLN A = − x − y + xy + x + y 3 Bài 64: a) Cho x + y = , tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y 2 b) Tìm GTNN B = x + y + xy − x + y + 2023 2 Bài 65: a) Tìm GTNN A = x + y biết x + y = thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com B = x4 + ( − x ) b) Tìm GTNN c) Tìm GTNN C = ( x − 1) ( x − 3) ( x + ) ( x + ) D ( x) = x ( x + 2019 ) với x > d) Tìm GTLN Q = ( x − 3) − x − + Bài 66: Tìm giá trị nhỏ giá trị x tương ứng Bài 67: Cho x, y > thỏa mãn x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ H = x2 + y2 + 24 + x y GTLN 2 Bài 68: Cho hai số không âm a b thỏa mãn: a + b = a + b Tính giá trị lớn biểu thức: S= a b + a +1 b +1 2 Bài 69: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = a3 b3 M= + 2016a + 2017b 2017 a + 2016b Tìm giá trị nhỏ 4 Bài 70: Cho x, y, z số thực khơng âm Tìm giá trị nhỏ của: x + y + z biết x + y + z = P = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Bài 71: Tìm giá trị x để biểu thức: có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài 72: Tìm giá trị nhỏ biểu thức L = x − x + x − 12 x + 20 Bài 73: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 74: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 2010 x + 2680 x2 + B = xy ( x − ) ( y + ) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 2045 Bài 75: Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= x y z + + y+z z+x x+ y x2 + x + A= x2 + Bài 76: Tìm GTLN GTNN biểu thức: Bài 77: Tìm giá trị biến x để: P= a) x2 + 2x + đạt giá trị lớn Bài 78: a) Tìm GTLN b) Q= x2 + x + x2 + 2x + đạt giá trị nhỏ A= x−4 (2− x−4) b) Tìm GTNN biểu thức Bài 79: Tìm GTNN của: B= 9x + − x x , với < x < thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 16 x − x + 2018 A= x+ + 2007, x > B= ,x ≠ x−3 2018 x a) ; b) ; x + 2000 C= ,x >0 x Bài 80: Cho hai số x y thoả mãn điều kiện: 3x + y = c) 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y ; b) Tìm giá trị lớn biểu thức N = xy Bài 81: a) Cho x, y số dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ Q= + x y biểu thức 2 b) Tìm GTLN A = − x − y + xy + x + y 2 Bài 82: a) Tìm GTNN A = x + y biết x + y = b) Tìm GTNN B = x4 + ( − x ) c) Tìm GTNN C = ( x − 1) ( x − 3) ( x + ) ( x + ) x D ( x) = ( ) với x > d) Tìm GTLN 3 Bài 83: : a) Cho x + y = , tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y 2 b) Tìm GTNN B = x + y + xy − x + y + 2023 x + 2019 Q = ( x − 3) − x − + Bài 84: Tìm giá trị nhỏ tương ứng giá trị x Q= 1 + 2 a b Bài 85: Cho a > 0; b > a + b = 10 Tìm giá trị nhỏ Bài 86: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 87: Cho hai số không âm a b thỏa mãn: a + b2 = a + b Tính giá trị lớn biểu thức: Bài 88: Cho x,y,z số dương thỏa mãn x + y + z =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Bài 89: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 2 A= 2010 x + 2680 x2 +1 Bài 90: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 91: a Tìm giá trị lớn tổng x + y + z biết x + 5y = 21 2x + 3z = 51 với x, y, z ≥ 4x + b Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức B = x + Bài 92: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 93: Tìm giá trị lớn biểu thức P = x − x − x2 − − P= 2012 x + y − 20( x + y ) + 2213 2 Bài 94: Cho số a, b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b2 + c2 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com x , y Bài 95: Cho hai số dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu 1 Q = (1 − )(1 − ) + xy x y thức: Bài 96: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = − xy , x, y 2013 2013 1006 1006 số thực thoả mãn điều kiện: x + y = x y Bài 97: a) Cho thoả mãn a1 , a2 , , a2 m , m ∈ N * Tìm GTNN biểu thức b) Cho a1 < a2 < < a2 m A = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m−1 + x − a2 m a1 , a2 , , a2 m −1 , m ∈ N , m ≥ Tìm GTNN biểu thức thoả mãn a1 < a2 < < a2 m −1 B = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m − + x − a2m −1 Bài 98: 2 Cho m, n số thực thay đổi cho m + n ≤ Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = m + n + mn + Bài 99: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức K= − 4x x2 + Bài 100: Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= Bài 101: Cho số thực dương x,y,z P= Bài 102: Cho hai số (x −y ) x,y 1 + + 16x 4y z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức x + y + z = x+ y + z = 1 + + x +x y +y z +z thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ + 4x y + x − 2y = 2 biểu thức 2 A = x2 + y2 2 Bài 103: Tìm giá trị nhỏ P = x + y − ( x + y ) − 2010 Bài 104: Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z = 1 1 P= + + 16 x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 1 + + = a , b , c + a + b + c số dương thỏa mãn: Tìm giá trị Bài 105: Cho lớn biểu thức Q = abc thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 6a − 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a + 25b : Cho Bài 106 M = x + y − xy − x + y + : Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 107 Bài 108: Cho a, b > a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2  1  1 M = 1 + ÷ + 1 + ÷  a  b Bài 109: 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − xy + y − y + b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: B= ( x + 1) x3 + x + x + c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + xy + x − y + 2013 Bài 110: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x − ) ( x − ) ( x − x − 10 ) B HƯỚNG DẪN Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( x − 1) ( x − 1) ( x − 3x − 1) + 2017 Lời giải a) A = ( x − 1) ( x − 1) ( x − x − 1) + 2017 = ( x − x + 1) ( x − x − 1) + 2017 = ( x − x ) − + 2017 = ( x − x ) + 2016 ≥ 2016 2 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com x = ⇔ x − 3x = ⇔ x ( x − 3) = ⇔  x =  Dấu " = " xảy x = Amin = 2016 ⇔  x =  Vậy 2 x + y + xy − x − y + 2015 Bài 2: a) Tìm GTLN : ( x + 1) b) Tìm GTLN : x + x + x + Lời giải a) P= x + y + xy − x − y + 2015 2 Bài P = x + y + xy − x − y + 2015 2 P = ( x + xy + y ) − ( x + y ) + + y − y + + 2010 = ( x + y ) − 4( x + y ) + + ( y − 1) + 2010 2 = ( x + y − ) + ( y − 1) + 2010 ≥ 2010 MinP = 2010 ⇔ x = ; y = 2 Suy ( x + 1) 3( x + 1) 3 ( x + 1) = = = 2 Q= x + x + x + x ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x + b) 2 Q đạt GTLN ⇔ x + đạt GTNN mà x + ≥ ⇒ GTLN C ⇔ x = 2 Bài 3: Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ ( GTNN ) biểu thức A = a ( a + 2b ) + b ( b − a ) Lời giải Do: 1 + x, b = + y 2 với x + y = A = a ( a + 2b ) + b ( b − a ) = a + b3 + ab = a + b a + b =1⇒ a = Ta có: 2 1  1  =  + x ÷ +  + y ÷ = + x2 + y2 ≥ 2  2  1 ⇒ GTNN ( A ) = ⇔ x = y = ⇔ a = b = 2 Bài 4: Cho a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ của: 1 1 P = ( a + b + c)  + + ÷ a b c thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải a a b b c c a b a c b c P = + + + + + + + + = +  + ÷+  + ÷+  + ÷ b c a c a b b a  c a c b ⇒ P ≥3+ 2+ 2+ =9 Vậy Pmin = ⇔ a = b = c Cho số thực x thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị Bài 5: x2 − x2 P= + − x2 + x2 nhỏ biểu thức Lời giải Đặt x = a,0 ≤ a ≤ Biểu thức cho trở thành: a 1− a a 1− a 2 + = +1+ +1− = + −2 − a 1+ a − a 1+ a − a 1+ a     3 = 2 − 1÷ =  − 1  ( − a) (1+ a)   + a(1− a)  3  ⇒ P ≤  − 1÷ = 2  *) Vì ≤ a ≤ P= a = x = a = ⇔  x =  Đẳng thức xảy  x = MinP = ⇔  x = Vậy *) ≤ a ≤ nên a − a hai số không âm Áp dụng BĐT Cô si ta có:   ( a + − a ) = ⇒ P ≤  − 1÷ = a( 1− a) ≤  ÷ 4 2+ ÷   1 x2 = ⇔ x = a =1− a ⇔ a = 2 hay Đẳng thức xảy Vậy MaxP = ⇔x= Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = ( x − 2012 ) + ( x + 2013) Lời giải Ta có: 2 P = ( x − 2012 ) + ( x + 2013) = x − 4024 x + 4048144 + x + 4026 x + 4052169 2 1  = x + x + 8100313 =  x + ÷ + 8100312,5 ≥ 8100312,5 2  thuvienhoclieu.com ∀x Trang 10 thuvienhoclieu.com 1000 ⇔ x = 10 x Dấu “=” ( thỏa x > ) GTNN ( C ) = 300 ⇔ x = 10 ⇔ x2 = Suy Bài 80: Cho hai số x y thoả mãn điều kiện: 3x + y = 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y ; b) Tìm giá trị lớn biểu thức N = xy Lời giải 2 c Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y Từ x + y = ⇔ y = −3x + , M = 3x + y = x + ( −3x + 1) = 3x + x − x + Khi đó, 1 1    = 12 x − x + = 12  x − x + ÷ = 12  x − 2.x + + ÷ 12  16 48    1 1  = 12  x − ÷ + ≥ 4 4  1 ⇔ x= ; y= 4 Dấu “=” 1 GTNN ( M ) = ⇔ x = ; y = 4 Suy d Tìm giá trị lớn biểu thức N = xy Từ x + y = ⇔ y = −3x + ,   N = xy = x ( −3x + 1) = −3 x + x = −3  x − x ÷   Khi đó, 1  1 1   = −3  x − 2.x + − ÷ = −3  x − ÷ + ≤ 36 36   12 12   1 ⇔ x− =0⇔ x= 6 Dấu « = » 1 GTLN ( N ) = ⇔ x = 12 Suy Bài 81: a) Cho x, y số dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ Q= + x y biểu thức 2 e Tìm GTLN A = − x − y + xy + x + y Lời giải a) Ta có : Q=  8  3 + =  + x ÷+  + y ÷− x y x  y  ≥2 x + y − = 2.4 + 2.3 − = x y thuvienhoclieu.com Trang 38 thuvienhoclieu.com 2 x + y = 8  = 2x x = x ⇔ ⇔ y =1  = 3y y   x, y > Dấu “=” Suy GTNN(Q) = ⇔ x = 2, y = 2 b) Ta có: A = − x − y + xy + x + y ⇒ A = − ( x − xy + y ) − ( x − x + 1) − ( y − y + 1) + 2 2 = − ( x − y ) + ( x − 1) + ( y − 1)  + ≤   ⇒ A ≤1 Dấu “=” ⇔ x = y = Suy GTLN(A) = ⇔ x = y = 2 Bài 82: a) Tìm GTNN A = x + y biết x + y = b) Tìm GTNN B = x4 + ( − x ) c) Tìm GTNN C = ( x − 1) ( x − 3) ( x + ) ( x + ) D ( x) = d) Tìm GTLN x ( x + 2019 ) với x>0 Lời giải 2 a) * Cách : Ta có: x + y = ⇔ x + xy + y = 16 (1) 2 Ta lại có: ( x − y ) ≥ ⇔ x - xy + y ≥ (2) 2 2 Từ (1) (2) suy x + y ≥ 16 ⇔ x + y ≥ 2 Vậy giá trị nhỏ A = x + y = ⇔ x = y = * Cách 2: Ta có : x + y = ⇔ y = − x A = x + y = x + ( − x ) = = x − x + 16 = = ( x − ) + ≥ Suy x − = x = ⇔ ⇔ Dấu “=”  y = − x  y = GTNN ( A ) = ⇔ x = y = Vậy, b) Ta có : B = x + ( − x ) = = ( x − x + 1) + ( x − x + 1) + = ( x − 1) + ( x − 1) + ≥ 2  x2 −1 = ⇔ ⇔ x =1 x − =  Dấu “=” Suy GTNN (B ) = ⇔ x = c) Ta có: C = ( x − 1) ( x − ) ( x + ) ( x + ) = = ( x + x − ) ( x + x − 21) Đặt t = x + x − 13 ( ý : −13 = ( −5) + ( −21) ) thuvienhoclieu.com Trang 39 Khi đó, thuvienhoclieu.com C = ( t + ) ( t − ) = t − 64 ≥ −64  x = −2 + 17 ⇔ t = ⇔ x + x − 13 = ⇔ ⇔ ( x + ) = 17 ⇔ ⇔   x = −2 − 17 Dấu “=” x D ( x) = ( x + 2019 ) với x > d) Tìm giá trị x để biểu thức sau đạt GTLN: *Cách 1: Đặt a = 2019 Khi D ( x) = x ( x + a) ( x + a) = − ( x + a ) + 4ax 4a ( x + a ) ( x + a) − ( x − a) = 4a ( x + a ) 2 ( x − a) ≤ 1 = − 4a 4a ( x + a ) 4a ( Vì a > 0, x > ) Dấu “=” ⇔ x − a = ⇔ x = a 1 = ⇔ x = a = 2019 4a 4.2019 Suy a = 2019 > *Cách 2: Đặt 1 2 ≤ ( x − a ) ≥ ⇔ ( x + a ) ≥ 4ax ⇔ ( x + a ) 4ax GTLN ( D ( x ) ) = Ta có: D ( x) = x ≤ x = 4ax 4a ( ) Suy Dấu “=” ⇔ x − a = ⇔ x = a x+a GTLN ( D ( x ) ) = ( Vì a > 0, x > nên 4ax > ) ( Vì a > 0, x > ) 1 = ⇔ x = a = 2019 4a 4.2019 Suy 3 Bài 83: : a) Cho x + y = , tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y 2 b) Tìm GTNN B = x + y + xy − x + y + 2023 Lời giải a) Ta có: A = x + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) = x − xy + y = x2 − x ( − x ) + ( − x ) ( Vì x + y = ) ( Vì y = − x ) 1  = 3 x2 − x + ÷ 3  1 1  = 3 x − ÷ + ≥ 2 4  Dấu “=” 1 GTNN ( A ) = ⇔ x = y = 4 Suy ⇔ x= y= 2 b) Tìm GTNN B = x + y + xy − x + y + 2023 2 Ta có: B = x + y + xy − x + y + 2023 = ( x + xy + y ) + ( y + y + ) + ( x − x + 1) + 2018 = ( x + y ) + ( y + ) + ( x − 1) + 2018 ≥ 2018 2 thuvienhoclieu.com Trang 40 thuvienhoclieu.com Dấu “=” 2 x + y = x =  ⇔ y + = ⇔   y = −2 x −1 =  Suy GTNN ( B ) = 2018 ⇔ x = y = −2 Q = ( x − 3) − x − + Bài 84: Tìm giá trị nhỏ tương ứng giá trị x Lời giải Ta biết: A =A Đặt: X = x − , X ≥ Q = X − X + = ( X − 2) + ≥ Khi biểu thức (*) viết thành: Dấu “=” xảy ⇔ X = 2 x − = ⇔ 2x − = ⇔   x − = −2 2x − = ⇔ 2x = ⇔ x = *) x − = −2 ⇔ x = ⇔ x = *)  x = ⇔ x =  Vậy minP = Bài 85: Cho a > 0; b > a + b = 10 Tìm 2 giá trị nhỏ Lời giải Q= 1 + 2 a b Ta có: 1 + ≥2 a b ab 1 ≥4⇒ + ≥ = ( a + b2 )  a12 + b12 ÷ ≥ 2ab ab a b 10 MinQ = ⇔ a = b = 5 Vậy a + b ≥ 2ab; Bài 86: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Ta có: Vì x2 + x + = Suy : Dấu xảy Bài 87: Cho hai số không âm a b thỏa mãn: a + b2 = a + b Tính giá trị lớn biểu thức: Lời giải Ta có: thuvienhoclieu.com Trang 41 thuvienhoclieu.com Chứng minh với hai số dương x,y Do đó: Vậy GTLN S 1, dạt a = b = Bài 88: Cho x,y,z số dương thỏa mãn x + y + z =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Lời giải Ta có: Theo BĐT si ta có : Dấu xảy y = 2x Tương tự : Dấu xảy z = 4x Dấu xảy z = 2y Suy ra: Dấu “=” xảy Vậy: Min P = Bài 89: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Lời giải Ta có: Vậy Min P = 8100312,5 A= Bài 90: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải 2010 x + 2680 x2 +1 335 ( x + 3) 2010 x + 2680 −335 x − 335 + 335 x + 2010 x + 3015 A= = = −335 + ≥ −335 2 x +1 x +1 x2 + Vậy giá trị nhỏ A −335 x = −3 Bài 91: a Tìm giá trị lớn tổng x + y + z biết x + 5y = 21 2x + 3z = 51 với x, y, z ≥ 4x + b Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức B = x + Lời giải a) Cộng vế với vế đẳng thức x + 5y = 21 2x + 3z =51 ta 3(x + y + z) + 2y = 72 Như 3(x + y + z) lớn 2y nhỏ Mặt khác y ≥ nên 2y nhỏ y = ⇒ x = 21 z = Do 3(x + y + z) lớn 72 ⇒ x + y + z lớn 24 x = 21; y = z = x + x + − x − ( x + 2) 4x + = − ≥ −1 ⇒ minB = -1 với x = -2 x2 + x +1 b) Ta có x + = Vậy giá trị nhỏ B B = -1 x = -2 Mặt khác ta lại có 4x + x2 + = x + − x + x − 4( x + 1) − (4 x − x + 1) (2 x − 1) = = 4− ≤4 2 x +1 x +1 x +1 2 2 thuvienhoclieu.com Trang 42 thuvienhoclieu.com ⇒ maxB = với x = Vậy giá trị lớn B B = x = P = x − x − x2 − − Bài 92: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Ta có P = x4 − x − x2 −1 − = ( x − 1)2 − x − − 10 49 49 = ( x − − )2 − ≥− 4 Đẳng thức xảy − Vậy Min P = x2 −1 − 10 =0⇔ x=± 2 49 10 x = ± P= 2012 x + y − 20( x + y ) + 2213 2 Bài 93: Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải 2 2 Ta có x + y − 20( x + y) + 2213 = ( x − 10) + ( y − 10) + 2013 ≥ 2013 với x, y 2012 2012 ≤ ( x − 10) + ( y − 10) + 2013 2013 2012 P = 2013 x = 10 y = 10 2012 Vậy Max P = 2013 x = 10 y = 10 ⇒P= Bài 94: Cho số a, b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu P = a + b2 + c2 Lời giải thức 1  a − ÷ ≥ 2 Ta có:  với a ⇔ a2 − a + ≥ với a ⇔ a2 + ≥ a với a (1) b2 + ≥ b Tương tự: với b (2) c2 + ≥ c với c (3) Cộng vế với vế (1), (2) (3) ta : ≥ a+b+c 3 a+b+c = a + b2 + c2 ≥ nên: P = Vì a + b2 + c2 + thuvienhoclieu.com Trang 43 thuvienhoclieu.com Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P đạt a = b = c = Bài 95: Cho hai số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = (1 − 1 )(1 − ) + xy x y Lời giải 1 Q = (1 − )(1 − ) + xy x y = = 1− 1 x2 + y − + + xy = − + 2 + xy 2 2 2 y x x y x y x y 1− ( x + y ) − xy 1 − xy + 2 + xy = − 2 + 2 + xy = + xy + 2 x y x y x y x y xy x + y ≥ xy ⇒ ≥ xy ⇒ Áp dụng BĐT AM-GM ta có Q = + xy + ≥4 xy (*) 31 = + ( xy + )+ xy 16 xy 16 xy Áp dụng BĐT AM-GM kết hợp (*) ta có: Q ≥ 1+ 31 37 + ×4 = 16 ⇔ x= y= 37 MinQ = x=y= Vậy Đẳng thức xảy Bài 96: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = − xy , x, y 2013 2013 1006 1006 số thực thoả mãn điều kiện: x + y = x y Lời giải Tìm giá trị nhỏ biểu thức số thực thoả mãn điều kiện: Ta có: x 2013 Mặt khác: +y 2013 (x 2013 = 2x 1006 1006 +y y ) 2013 Từ (2) (3) suy ra: Hay : ⇒( x P = − xy , x, y x 2013 + y 2013 = x1006 y1006 2013 +y ) 2013 (2) = 4x 2012 y 2012 (3) ≥ 4x 2013 y 2013 x 2012 y 2012 ≥ x 2013 y 2013 x 2012 y 2012 (1 − xy ) ≥ Đẳng thức xảy khi: Do P = − xy ≥ xy = ⇔ x 2013 y 2013 = (4) thuvienhoclieu.com Trang 44 thuvienhoclieu.com Từ (1) (4) ta có: =1 x =  x y ⇔  2013 2013 =2 y =1  x + y 2013 2013 Vậy Min (P) = x = y =1 Bài 97: a) Cho a1 , a2 , , a2 m , m ∈ N * Tìm GTNN biểu thức b) Cho a1 < a2 < < a2 m A = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m−1 + x − a2 m a1 , a2 , , a2 m −1 , m ∈ N , m ≥ Tìm GTNN biểu thức a) Ta có: thoả mãn thoả mãn a1 < a2 < < a2 m −1 B = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m − + x − a2m −1 Lời giải A = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m −1 + x − a2 m = x − a1 + x − a2 + + x − am + am +1 − x + am + − x + + a2m − x ≥ ( x − a1 ) + ( x − a2 ) + + ( x − am ) + ( am +1 − x ) + ( am +2 − x ) + + ( a2 m − x ) = ( am +1 + am + + + a2 m ) − ( a1 + a2 + + am ) Dấu “=” Vậy, ⇔ am ≤ x ≤ am+1 GTNN ( A ) = ( am +1 + am+ + + a2 m ) − ( a1 + a2 + + am ) b) Ta có: Dấu “=” ⇔ am ≤ x ≤ am+1 B = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m − + x − a2 m −1 = x − a1 + x − a2 + + x − am + am +1 − x + am + − x + + a2 m −1 − x ≥ ( x − a1 ) + ( x − a2 ) + + ( x − am −1 ) + + ( am +1 − x ) + ( am +2 − x ) + + ( a2 m −1 − x ) = ( am +1 + am +2 + + a2 m −1 ) − ( a1 + a2 + + am −1 ) Dấu “=” Vậy, ⇔ x = am GTNN ( B ) = ( am +1 + am + + + a2 m −1 ) − ( a1 + a2 + + am −1 ) Dấu “=” ⇔ x = am 2 Bài 98: Cho m, n số thực thay đổi cho m + n ≤ Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = m + n + mn + Lời giải 2 Cho m, n số thực thay đổi cho m + n ≤ (1) Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = m + n + mn + (2) thuvienhoclieu.com Trang 45 thuvienhoclieu.com Từ (2) ta có: Do đó: 2Q = ( m + n ) + 2mn + 2Q + m + n = m + n + 2m + 2n + 2mn + 2 = ( m + n + 1) + ≥ Suy ra: (do (1)) 2Q ≥ − ( m + n ) ≥ −4 Dấu “=” xảy ⇒ Q ≥ −2  m = −2  m2 + n = n = ⇔ ⇔  m = m + n + =   n = −2 Vậy Min Q = -2 m =-2, n =1 m =1, n = -2 Bài 99: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức Lời giải Ta có: K= − 4x x2 + 2 − x x − x + − x − ( x − ) − ( x + 1) ( x − ) −1 K= = = = − ≥ 2 2x + 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2 Dấu “=” Suy ⇔ x−2=0⇔ x = GTNN ( K ) = Ta có: −1 ⇔ x=2 2 − x x + − x − x − ( x + ) − ( x + x + 1) K= = = 2x + 2 ( x + 1) ( x + 1) = ( x + 1) − ( x + 1) ( x + 1) Dấu “=” ⇔ 2x +1 = ⇔ x = Suy GTLN ( K ) = ⇔ x = Bài 100: Cho x,y,z ( x + 1) = 2− 2 ( x + 1) ≤2 −1 −1 số thực dương thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= thuvienhoclieu.com 1 + + 16x 4y z Trang 46 thuvienhoclieu.com Vì x+ y + z = = Ta có: nên: M= 1  1 1 + + = + + ÷( x + y + z ) 16x 4y z  16x 4y z  y  x z  y z  21  x + + + + + ÷+ ÷ 16  4y 16x   z 16x ÷   z 4y  y 16x2 + 4y2 ( 4x − 2y ) + 2.4x.2y ( 4x − 2y ) x 1 + = = = + ≥ ( ∀x,y > 0) 4y 16x 64xy 64xy 64xy 4 Tương tự: Từ Lời giải x z y z + ≥ ; + ≥ 1( ∀x,y > 0) z 16x z 4y 21 1 49 M ≥ + + + 1= 16 16 Vậy GTNN M Dấu "= " xảy  x =  4x = 2y = z    ⇔  x + y + z = 1⇒  y =  x,y,z >    x =  49 ⇔ x = ;y = ;z = 16 7 Bài 101: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x+ y + z = 1 + + x +x y +y z +z Lời giải a) P= = 1 1 1 + + = + + x + x y + y z + z x ( x + 1) y ( y + 1) z ( z + 1)  1 1  1 1 1 1  − + − + − =  + + ÷−  + + ÷ x x + y y + z z +  x y z   x + y + z + 1 Áp dụng BĐT xảy Ta có: 1 + + ≥ a b c a+ b+ c với 1  1 ≤  + ÷ a+ b  a b  a,b,c dương, dấu ⇔ a= b= c 1 1  1 1  1 1  ≤  + 1÷; ≤  + 1÷; ≤  + 1÷ x+1  x  y +1  y  z +  z  Bởi : thuvienhoclieu.com Trang 47 thuvienhoclieu.com  1 1  1   1 1  1  P =  + + ÷−  + + ÷ ≥  + + ÷−  + 1+ + 1+ + 1÷ y z   x y z   x + y + z + 1  x y z   x  1 1 3 9 3 =  + + ÷− ≥ − = − =  x y z  4 x+ y + z 4 Vậy ⇔ x= y = z =1 MinP = Bài 102: Cho hai số (x −y ) (x −y ( ⇔(x ) thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ + 4x y + x − 2y = 2 biểu thức x,y A = x2 + y2 Lời giải + 4x y + x − 2y = ⇔ x + y4 − 2x2y2 + 4x2y2 + x2 − 2y2 = 2 2 ) ( ⇔ x4 + 2x2y2 + y4 + x2 − 2y2 = ⇔ x2 + y2 ) ) ( ) − x2 + y2 + = −3x2 + + y2 − = −3x2 + Ta có: ( ) −3x2 + 1≤ 1∀x ⇒ x2 + y2 − ≤ ⇔ −1≤ x2 + y2 − 1≤ 1⇔ ≤ A ≤ x = A = 0⇔  ⇔ x = y = x + y = x = x = A = 2⇔  ⇔  2 x + y =  y = Vậy Vậy minA = ⇔ x = y = x = maxA = ⇔   y = 2 Bài 103: Tìm giá trị nhỏ P = x + y − ( x + y ) − 2010 Lời gải 2 P = x + y − ( x + y ) − 2010 = ( x − x + ) + ( y − y + ) − 2018 = ( x − ) + ( y − ) − 2018 ≥ −2018 Vậy Pmin = −2018 ⇔ x = y = 2 Bài 104: Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z = Lời gải thuvienhoclieu.com Trang 48 thuvienhoclieu.com  1 1 1  y x   z x  z + + = ( x + y + z)  + + ÷=  + ÷+  + ÷+  + 16 x y z  16 x y z   16 x y   16 x z   y y x + ≥ ⇔ y = 2x 16 x y Theo BĐT cô si ta có: P= y  21 ÷+ z  16 z x z y + ≥ ⇔ z = x; + ≥ ⇔ z = y 4y z Tương tự 16 x z 49 ⇒P≥ x = ; y = ;z = 16 Dấu xảy 7 1 + + = a, b, c số dương thỏa mãn: + a + b + c : Cho Tìm giá trị Bài 105 lớn biểu thức Q = abc Lời gải Ta có: 1 b c =1− +1− = + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c 1+ b 1+ c Tương tự: ≥2 1+ b ac ; ≥2 ( + a) ( + c) + c ≥8 ( + a) ( + b) ( + c) bc ( + b) ( + c) ab ( + a ) ( + b) a 2b c ( + a) ( + b) ( + c) abc ≥8 ( + a) ( + b) ( + c) ( + a) ( + b) ( + c) a = b = c  ⇔ ⇔a =b=c = 1 1 + a = + b = + c = " = " Dấu xảy 2 Bài 106: Cho 6a − 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a + 25b Lời gải Đặt x = 2a, y = −5b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 1 4a + 25b ≥ ( 3x + y ) ≤ ( x + y ) ( + 1) ⇒ x + y ≥ 10 hay 10 Dấu xảy  b = −  50 ⇔ = ⇔ y = x ⇔ −15b = 2a ⇔ 6a = −45b ⇔  x y a =  20 2 M = x + y − xy − x + y + Bài 107: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 49 thuvienhoclieu.com 4M = x + y − xy − x + y + 2 = ( x − y − 1) + y + y + 2 1  = ( x − y − 1) +  y + y + ÷+ 9  1  = ( x − y − 1) +  y + ÷ + 3   y = −  ⇔ x =  Giá trị nhỏ 4M  x=   ⇔  y = −1  Nên giá trị nhỏ M Bài 108: Cho a, b > a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2  1  1 M = 1 + ÷ + 1 + ÷  a  b Lời giải 2  a+b  a+b M = 1 + ÷ + 1 + ÷ (Vi a   b   a + b = 1) b  a  M = 2 + ÷ +2+ ÷ a  b  4b b 4a a M =4+ + +4+ + a a2 b b2  b2 a  a b M = +  + ÷+  + ÷≥ + + 4.2 = 18(Co − si ) b  b a a ⇔ a = b & a + b =1⇔ a = b = Dấu " = " xảy MinM = 18 ⇔ a = b = Vậy Bài 109: 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − xy + y − y + b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: B= ( x + 1) x3 + x + x + c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + xy + x − y + 2013 2 Lời giải a) Ta có: thuvienhoclieu.com Trang 50 thuvienhoclieu.com A = x − xy + y + y − y + + 2 = ( x − y ) + ( y − 2) + 2 Do ( x − y ) ≥ 0; ( y − ) ≥ 2 A = x − y + y − +1≥1 ( ) ( ) Nên 2 Dấu " = " xảy ⇔ x = y = Vậy GTNN A ⇔ x = y = ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) B= = = = 2 x + x + x + x ( x + 1) + x + ( x + 1) ( x + 1) x + b) ≤ 2 x + x + ≥ Do nên Dấu " = " xảy ⇔ x = Vậy GTLN B ⇔ x = c) Ta có: A = x + y + xy + x − y + 2013 = x + x ( y + 1) + y + y + + y − y + + 2003 B= = ( x + y + 1) + ( y − 3) + 2003 2 Nhận thấy với x, y ta có: ( x + y + 1) ≥ 0; ( y − 3) ≥ ⇒ A ≥ 2003 Dấu " = " xảy x = −4, y = Vậy Giá trị nhỏ A 2003 đạt x = −4, y = 2 Bài 110: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( x − ) ( x − ) ( x − x − 10 ) A = ( x − ) ( x − ) ( x − x − 10 ) Lời giải = ( x − x + 10 ) ( x − x − 10 ) Đặt x − x = t , ta có biểu thức: A = ( t − 10 ) ( t + 10 ) = t − 100 ≥ −100 Dấu " = " xảy ⇔ t = x = ⇔ x2 − x = ⇔  x = x = x = Với  A đạt giá trị nhỏ −100 thuvienhoclieu.com Trang 51 thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Trang 52 ... x x  x  x 20 18  20 18   20 18  20 18  20 17 20 17 1 = − ≥ ÷ + 20 182  x 20 18  20 18 1 ⇔ − = ⇔ x = 20 18 x 20 18 Dấu “=” ( thỏa x ≠ ) 20 17 GTNN ( B ) = 20 182 ⇔ x = 20 18 Suy c) C= x + 2000 ,x...  x  x 20 18  20 18   20 18  20 18  20 17 20 17 1 = − ≥ ÷ + 20 182  x 20 18  20 18 1 ⇔ − = ⇔ x = 20 18 x 20 18 Dấu “=” ( thỏa x ≠ ) 20 17 GTNN ( B ) = 20 182 ⇔ x = 20 18 Suy c) C= x + 2000 ,x > x... 20 07 = ( x − ) + + 2010 ≥ x −3 x −3 ( x − 3) Suy GTNN ( A ) = 20 18 ⇔ x = b) B= x − x + 20 18 ,x ≠ 20 18 x 2 = 2 1 1 1 1     − 2× × + = ữ 2ì ì + ữ − ÷ + 20 18 20 18 x x  x  x 20 18  2018

Ngày đăng: 12/10/2022, 19:50

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

  • Đang cập nhật ...

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w