TÀI LIỆU ôn LUYỆN HSG 11 NHOM 10 TOAN ROI RAC toan roi rac nhom 1 phan 1

Bài Gọi f n số cách chọn dấu cộng,trừ đặt biểu thức: E n Chứng minh rằng: a) f n 1, ( m o d ) n n b) Khi n , ( m o d ) ta có f (n ) 2 n cho E n n n 2 Hướng dẫn giải 1, ( m o d ) để E n a) Giả sử tồn cách đặt dấu +,- với n Khi số chẵn,vì n n (n 1) 0(m od 2) n 0 ,3 (m o d ) ,trái với n 1, ( m o d ) Vậy giả sử sai,ta có điều cần chứng minh b)Ta chứng minh : f ( n ) n n ,thật vậy: Chia tất biểu thức thành n cặp theo dạng: (1 2a 3a Nếu f ( n ) n 2a 3a n a n ) với a i theo ngun lý Dirichlet tồn Do chúng khơng thể chúng Do f ( n ) n n a n ; -1 n n n n 2 biểu thức nằm cặp trên,hiệu (mâu thuẫn !) (1) n Ta chứng minh f ( n ) Xét biểu thức Nếu En En ,gọi An tập hợp số xuất tổng phần tử Nếu An A Nếu An chọn A n A n \ {1} n An An {n n n 2, n { ,n 1, n 4} ; 3} En trước với dấu Ta định nghĩa An sau: Nếu An chọn A Nếu An ta chọn A A n \ { 2} n An n Như với cách chọn Giả sử cho trước tập n 1; n 2; n An 3; n An vào An { ,n An 3, n 1, n 4} 2} ta xây dựng tập Ta thấy tập Do ta An {n An xây dựng từ tập An thêm cặp tập chứa cặp trường hợp xây dựng An xác định En An từ xác định An nhất.Do ánh xạ từ đơn ánh Mặt khác với An Do f ( n f ( n ) Ta có f 4) f ,với En xác định 4k Suy ra: f ( k 3) f (4 k 4) f (4 k An 1) f (4 k 5) k f (3) 4k f (4 k ) f (4 k 4) f (4 k 8) k f (4) k n Vì vậy: f ( n ) Bài a1 (2) a , a , , a n x, a2 x , , a n x x Hướng dẫn giải Giả sử t số vơ tỉ Ta chứng minh số t , t , , n Giả thiết phản chứng khơng có số số thỏa mãn Lập bảng n x n sau: t a1 2t t a1 2t  n t a2 a2  a1 n t  t  2t  a2  an an  n t an t có số thỏa mãn Có hàng n cột Theo giả thiết phản chứng hàng có số hữu tỉ nên có n số hữu tỉ bảng Vì có n cột nên có cột chứa hai số hữu tỉ Khi hiệu chúng số hữu tỉ Vơ lí Bài Trên mặt phẳng có điểm, khơng có điểm chúng thẳng hàng Tìm số màu k nhỏ cho ta tơ màu tất đoạn thẳng nối hai điểm mặt phẳng k màu ( đoạn thẳng tô màu) cạnh tam giác tạo điểm chúng tô hai màu Hướng dẫn giải Dùng định lí Ramsey chứng minh được: Tô màu cạnh đồ thị K ( đồ thị đầy đủ 17 đỉnh) n màu cách tùy ý ln có K3 có ba cạnh màu ( sách đồ thị trình bày chứng minh, học sinh phải chứng minh lại) Khi k Ta chứng minh: màu ta tô cạnh Thật vậy, chia 25 điểm thành tập hợp điểm A1 , A5 Trong K 25 Ai thỏa mãn lấy đỉnh ngũ giác Cạnh ngũ giác tô màu đường chéo tơ màu Sau tập hợp Ai , A j A i coi đỉnh ngũ giác thực việc tô màu nối đoạn thẳng nhóm theo cách tương tự với màu lại Ta chứng minh cách tơ màu thỏa mãn tốn Thật : lấy điểm A, B, C tùy ý Ta xét trường hợp sau: TH1: A, B, C thuộc tập nạo Dễ dàng kiểm tra cạnh tô màu TH2: A, B, C thuộc hai tập hợp khác Giả sử A, B thuộc tập, C thuộc tập hợp khác Khi hai cạnh CA, CB tô màu cạnh AB tô khác màu TH3:A, B, C thuộc ba tập hợp khác Khi trường hợp giống trượng hợp1 Vậy k nhỏ Bài Cho T tập hợp gồm vô hạn số nguyên dương Trên mặt phẳng (P) cho B i i T họ hình trịn khơng tính biên hình trịn Chứng minh hình vng M mặt phẳng (P) m phủ kín họ Bi i T tồn số nguyên dương t , t , , t m T cho M  Bt i i Hướng dẫn giải Giả sử hình vng M khơng thể phủ hữu hạn hình B i Khơng tính tổng qt ta giả sử hình vng M hình vng ABCD A ; , B ;1 , C 1;1 , D 1; Chia hình vng M thành hình vng hai đường thẳng qua tâm M vng góc với cạnh Trong hình vng có hình vng M cho M phủ số hữu hạn hình B i Độ dài cạnh hình vng qua tâm M M 1 Ta lại chia hình vng M thành hình vng hai đường thẳng vng góc với cạnh Trong hình vng có hình vng M cho M Tiếp tục ta dãy hình vng (i) M (ii) M M n M Bi phủ số hữu hạn hình M M n Độ dài cạnh hình vng Bi 0 n hình vng 2 Bi n hình vng có độ dài cạnh Do giả thiết có tính chất sau: (iii) Khơng thể phủ hình vng M n số hữu hạn hình B i Từ tính chất (i) tồn điểm M M n với số nguyên dương n Do M M M M n có đường chéo n M n i0 T nên M cho n Bi với n đủ lớn, điều mâu thuẫn với (iii) Vậy điều giả sử sai tồn số nguyên dương m t , t , , t m T cho M  Bt i i Bài Cho 100 số tự nhiên khơng lớn 100 có tổng 200 Chứng minh từ số chọn số số có tổng 100 Hướng dẫn giải Nếu tất số tất số Khi ta lấy 50 số có tổng 100 Giả sử a1 a1 , a , a1 ta xét 100 số có dạng a2 a , a1 a2 a , , a a2 a 99 200 Nếu có số chia hết cho 100 số 100 số bé 200 Nếu khơng có số chia hết cho 100 100 số phải có hai số đồng dư phép chia cho 100 (vì số dư nhận giá trị từ đến 99) suy hiệu chúng chia hết cho 100 hiệu hai số tổng cần tìm Bài Cho số nguyên a , a , , a với 100 , i vào hai số cặp khơng xuất q k lần Tìm thao tác ta số Hướng dẫn giải Ta xét trường hợp số cạnh cách xa Đặt S a2 a3 a3 a4  a 2014 a 2015 Với cặp 1; a3  a 2015 a2 a4  a 2014 Ta nhận xét Tác động lên cặp 100 lúc chưa tác động S a , a , a , a , , a , a Thì S ta cộng thêm nhỏ cho hữu hạn lần thực k a1 Sau hữu hạn lần tác động tất số ; khơng đổi S 100 1007 Tác động lên cặp a1 , a Tác động lên cặp a 2015 , a1 Bộ Thì S Thì tăng lên đơn vị giảm đơn vị S bị tác động lớn 100.1007 lần a1 , a k 0 0 Ta chứng minh k 0 0 giá trị nhỏ thoả mãn Tác động cặp 1, số lần Tác động cặp , số lần 1 ai   Sau lần tác động vậycác số a1 Bài Chứng minh với số nguyên dương n lớn Sn 1, , , n cho tổng số cịn lại số phương n n Sn n n n S n 2 3n n S n n n n n a ; a 2 n n Hơn với S ta loại bỏ hai số thuộc tập hợp Hướng dẫn giải loại hai số thuộc S n gọi S tổng số lại 1, , , n n để số lần tác động suy điều phải chứng minh 0 0 Xét tập a nên  a 2014 a2 n ln tồn cách xóa hai số từ n Cuối cần chứng minh đoạn 3n ; n 2 có số phương m n 2 3n n 2 n m 3n 14n m 2 n 2 2n n n m n n 21 n ( Bất đẳng thức sai với Cuối ta cần kiểm tra với n xét tập S3 1, , n xét tập S4 1, , , n ta loại bỏ hai số 3n n ta loại bỏ hai số và 1,0 Phản chứng: Thật giả sử khơng tồn số phương thuộc đoạn nói nghĩa với ta có : Sn ) m N * Bài Cho hình vng có cạnh 6cm 2014 đường trịn bán kính cm Đặt tất đường trịn vào 38 hình vng Chứng minh tồn đường thẳng cắt 18 đường tròn cho Hướng dẫn giải Chia hình vng 117 đường thẳng song song cách song song với cạnh hình vng, cách khoảng cm Khi hình vng chia thành 118 dải hình chữ nhật có chiều rộng 118 cm, chiều dài chiều dài hình vng 118 Hình trịn có đường kính cm, 19 19 > nên đường trịn bị cắt đường thẳng 118 Vì 2014 = 118 17 + nên theo nguyên lí Dirichlet tồn đường thẳng cắt 18 đường tròn Bài Cho m , n hai số nguyên dương Trong bảng kích thước m n có dán k ngơi (mỗi có nhiều sao) Ta thực cơng việc có hình mà có ngơi ta dán thêm ngơi vào cịn lại Tìm giá trị nhỏ k cho ban đầu bảng có k ngơi sau hữu hạn bước thực việc dán thêm bảng có ngơi Hướng dẫn giải Sau lần thực thuật tốn hình 2 với ngơi hình thành Nếu ban đầu khơng có hình 2 với ngơi sau bước thực có hai hình 2 với đầy đủ ngơi hình thành Do sau mn-k bước thực có mn-k+1 hình có hình 2 với ngơi có ban đầu mn-k hình Mặt khác, tồn (m-1)(n-1) hình m Từ n k m mn n k 2 * * * * * * * với ngơi hình thành bảng, Hình vẽ sau ví dụ k= m+n * * * có đủ hình thành Bài 10 Cho số nguyên n Chứng minh họ gồm n 1 tập hợp không rỗng phân biệt tập 1, , , n tìm ba tập hợp mà chúng hợp hai tập lại Hướng dẫn giải Với n=2 ,ta có {1;2}={1}U{2} Với n>=2, giả sử có 2n+1 tập khơng rỗng tập {1,2, ,n+1} Nếu 2n-1+1 tập hợp chúng khơng chứa n+1, theo giả thiết quy nạp ta có đpcm Nếu 2n-1+2 tập hợp chứa n+1 bỏ n+1 khỏi tập hợp ta áp dụng giả thiết quy nạp Nếu có 2n-1 tập khơng chứa n+1 có 2n-1 tập chứa n+1 (có nhiều phần tử) tập {n+1} Loại bỏ n+1 tập ta 2n tập khác rỗng tập {1,2, ,n}, chúng phải có hai tập trùng nhau, gọi A Do AU{n+1}=B 1, , , n (đpcm) Bài 11 Một khu rừng có dạng hình vng với chiều dài 1km Trong khu rừng có 4000 thơng, to có đường kính 0,5 m Chứng minh khu rừng có nhât 560 mảnh đất , diện tích mảnh 200m2 khơng có thơng Hướng dẫn giải Vì 1km = 1000m = 48.20 + 47.0,6 + 5,9 1000m = 95.10 + 94.0,52 + 2.0,56 Chia cạnh hình vng thành 48 đoạn, đoạn dài 20m , khoảng cách đoạn 0,6m, hai đầu hai đoạn đoạn dài 5,9m Chia cạnh lại thành 95 đoạn, đoạn dài 10m, khoảng cách đoạn 0,52m, hai đầu hai đoạn đoạn dài 0,56m Như có tất 48.95 = 4560 mảnh có diện tích 200m2 Vì có 4000 đường kính khơng q 0,5m nên cịn 560 mảnh (mỗi mảnh có diện tích 200m2 Bài 12 Có 1650 học sinh xếp thành 22 hàng 75 cột Biết với hai cột bất kì, số cặp học sinh hàng giới tính khơng vượt 11 Chứng minh số học sinh nam không vượt 920 người Hướng dẫn giải Gọi a i số học sinh nam hàng thứ i, suy số học sinh nữ hàng i a i Số cặp học sinh giới tính hàng thứ i là: Ca i C 75 Do đó, từ điều kiện tốn ta có: 22 22 Ca i i C 75 22 1C 75ai i Cùng với BĐT Cauchy-Schwart ta được: 30525 2ai i 75 1650 22 22 2 75 22 i 75 36300 i 22 Suy 22 2ai 75 191 191 i 1650 921 i Bài tốn chứng minh hồn tồn Bài 13 Cho n số nguyên dương Cho 2n điểm phân biệt đường tròn gán giá trị số 1,2, ,2n (2 điểm khác gán giá trị khác nhau) theo cách Mỗi dây cung nối điểm điểm gán giá trị độ chênh lệch dương đầu mút Chứng minh ta chọn n dây cung đơi khơng cắt cho tổng giá trị dây cung n2 Hướng dẫn giải Bổ đề:Trên trịn có 2n điểm phân biệt Người ta tơ màu 2n điểm màu màu xanh đỏ cho có n điểm tơ màu xanh n điểm tô màu đỏ điểm khác màu nối dây cung Khi với cách tơ màu ln tồn n dây cung mà khơng có dây cung cắt Chứng minh: Ta chứng minh bổ đề quy nạp Dễ thấy bổ đề với n=1 Giả sử bổ đề với n=m Xét n=m+1: Do điểm tô màu nên phải tồn điểm kề mà chúng tô khác màu Ta chọn dây cung có đầu mút điểm Theo giả thiết quy nạp tồn cách chọn m cung số dây cung có đầu mút điểm 2m điểm cịn lại mà khơng có dây cung cắt Rõ ràng khơng có dây cung m dây cung cắt dây cung vừa chọn phía Như tồn cách chọn m+1 dây cung mà khơng có dây cung cắt nhau, Bổ đề chứng minh Trở lại tốn: Ta tơ điểm có giá trị 1,2,…,n màu đỏ, điểm n+1,…,2n màu xanh Khi theo bổ đề tồn cách chọn n dây cung mà dây cung có đầu mút tô màu khác chúng đôi không cắt Tổng giá trị dây cung bằng: (ĐPCM) Bài 14 Cho số nguyên dương n Chứng minh tập hợp X tập không giao cho không tập chúng chứa ak ak ak 1 với k ; 3; , n Hướng dẫn giải 1; ; 3; ; n n phần tử n a , a , , a n chia thành hai với a1 a2 an Đặt Sk k k 1; k n k k 2 ; ; k ; Tk  Tk T k Dễ dàng thấy 1; k với k Ta chứng minh S T ak ak S i , a1 ak ta có  a ; a ; ; a n S, T a , a , , a n Tức tồn Khi ta có S T Si ak i n  Si cho ak ak ak S ak ak ak , ak j gồm phần tử S không chứa phần tử , với k Sn Vậy ak với a1 a2 ; 3; , n an n i ak ak ak 1 n (1) Suy tồn n S j, i j Si phần tử thuộc chứa phần tử số phần n ak S j j 1; ak với k ak ak S  S   S Tj 1 j j a , a , , a n với T a1 a2 an ak ak không chứa phần tử ak 1 với k ; 3; , n a , a , , a n với a1 a2 cho | A| an ; 3; , n S, T tập cần tìm X Bài 15 Chứng minh chia số từ đến 15 thành hai tập A mà tổng số B tích số A ( | A | số phần tử tập hợp A ) Hướng dẫn giải A Bài 16 Cho đa giác đỉnh 2n điểm A1 , A , , A n Tìm n A1 A A n , (n A1 , A , , A n B 2, | B | 13 , n nguyên) nội tiếp đường trịn (O) Biết số tam giác có nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm Hướng dẫn giải A Chứng minh tương tự ta có tập a , a , , a n Điều này, mâu thuẫn với (1) Vậy X ak ak k X   S n Suy ak tập cần tìm Áp dụng nguyên lý Dirichlet, tồn tập S ; ; k ; 3; , n Khi ta có tử Ta chứng minh phản chứng Giả sử Nếu k n  Sk; S Bài 17 Cho bảng vng có 100 100 vng , ô điền dấu + Ta thực phép biến đổi sau: đổi dấu toàn hàng cột bảng ( dấu + thành dấu - , dấu - thành dấu +) Hỏi sau số lần thực phép biến đổi bảng có 98 dấu - không? Hướng dẫn giải Giả sử sau số lần biến đổi bảng có 98 dấu Gọi xi số lần đổi dấu hàng thứ i ( i = 1, ,100 , tính từ xuống) Gọi yj số lần đổi dấu cột thứ j ( j = 1, ,100 , tính từ trái sang phải) Gọi m số lẻ số x1; x2 ; ; x100 n số lẻ số y1; y2 ; ; y100 Ta có m , n , 1, .1 0 Ta có số lượng dấu - bảng m(100-n) + n( 100-m) = 100m +100n - 2mm Bảng có 98 dấu - nên ta có 100m +100n - 2mm = 98 m m 50 (n 50) m n 50 50 n 50 50 7 (*) 50 57 mà 57 số nguyên tố nên m-50  57 n-50 Ta có m-50 , n-50 0; ; ; ;  57 nên m-50 = n-50 = mâu thuẫn với (*) Vậy bảng khơng thể có 98 dấu - Bài 18 Với số nguyên dương m, kí hiệu C(m) số nguyên dương k lớn cho tồn tâp S gồm m số nguyên dương để số nguyên chạy từ đến k thuộc S tổng hai phần tử thuộc m (m S (hai phần tử không thiết phân biệt) Chứng minh: 6) C (m ) m (m 3) Hướng dẫn giải Trước tiên ta tính thử vài giá trị ban đầu C(m) để cảm nhận toán Dễ thấy: C(1)=2; C(2)=4; C(3)=8 Nhận xét: Việc tính C(m) quy việc đếm số phần tử tập A xác định bởi: A S (S S) ; S +) (2 điểm) Chứng minh: | A | |S | |S S C (m ) S | |S | x y | x, y m (m S 3) |S | C |S | | S | (| S | 3) m (m 3) Chú ý : Để đánh giá số phần tử tập S+S ta chia hai trường hợp x trùng y x khác y Rõ ràng {1;2;3; ;k} tập A nên ta đpcm m (m +) (2 điểm) Chứng minh: 6) C (m ) Ta tập B cho với số nguyên chạy từ đến m(m+6)/4 thuộc B tổng hai số (khơng thiết phân biệt) thuộc S(m) Khi C(m)>=m(m+6)/4 Xét hai trường hợp sau: TH1: m = 2n (1 điểm) Xét tập B(m) = {1; 2; 3; ; n; 2n+1; 3n+2; ; (n+1)n+n} gồm m phần tử dễ thấy tập B (B B) chứa dãy số liên tiếp từ đến (n+1)n + 2n rõ ràng (n+1)n + 2n = 2n(2n+6)/4 TH2: m = 2n+1(1 điểm) Khi ta xây dựng tập B(m)={1;2;3; ; n+1;2n+3;3n+5; ;(n+1)n+2n+1}gồm m phần tử tập B (B B) chứa dãy số liên tiếp từ đến (n+1)n+3n+2 rõ ràng (n+1)n+3n+2 > (2n+1)(2n+7)/4 Từ hai TH ta đpcm Bài 19 Cho tập hợp số nguyên liên tiếp sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10}, , tập hợp chứa nhiều tập hợp trước phần tử, phần tử tập hợp lớn phần tử cuối tập hợp trước đơn vị Gọi Sn tổng phần tử tập hợp thứ n Tính S999 Hướng dẫn giải Ta thấy tập hợp thứ n chứa n số nguyên liên tiếp mà số cuối n n n Khi Sn tổng n số hạng cấp số cộng có số hạng đầu n n u1 , công sai d (coi số hạng cuối tập hợp thứ n số hạng đầu cấp số cộng này) Ta có Vậy S 999 Sn n u1 9 9 9 n d n n 498501999 Bài 20 Có học sinh đứng thành hàng dọc, lần thầy giáo thổi cịi có học sinh đổi chỗ cho Hỏi sau 2015 lần thầy giáo thổi cịi, ta thấy tất học sinh đứng trở lại vị trí ban đầu hay khơng ? Hướng dẫn giải Đánh số từ đến n cho bạn học sinh hàng dọc lúc đầu Ký hiệu tập hoán vị Gọi Xét ánh xạ mà ngun vị trí cịn lại Cho hoán vị thu từ Cặp gọi nghịch cách đổi chỗ hai vị trí kề giữ Xét ánh xạ Là hợp thành ánh xạ Dễ thấy giữ ngun vị trí cịn lại Gọi số nghịch hoán vị thu từ cách đổi vị trí Ta có Do (2) Từ (1) (2) suy (mod2) (3) Giả sử thứ tự học sinh sau lần thổi cịi thứ k thầy giáo Ta có với Theo (3) ta có (mod2) Do (vì Nếu k lẻ Vậy sau 2015 lần thổi còi, tất học sinh khơng thể đứng trở lại vị trí ban đầu Bài 21 Lấy ngẫu nhiên 498 số nguyên dương khơng vượt q 1000 Chứng minh có số có tổng chia hết cho 111 Hướng dẫn giải Xét tập S={1,2,…,1000} ta phân hoạch S sau: A={1000}, B={111;222;…;999} Và chia tập T=S\(AUB) thành tập có phần tử mà tổng 999 sau: T1={1;998}, T2={2;997}, T3={3;996},…, T495={499;500} Như S chia thành 497 tập con, 498 số chọn ngẫu nhiên phải có số rơi vào tập hợp Hai số chia hết cho 111 có tổng 999 nên tổng chúng chia hết cho 111 Bài 22 Trong ô bàn cờ ta viết số nguyên dương Hiệu hai số nằm hai kề (có chung cạnh) số bé n Chứng minh có 1007 vng chứa số Hướng dẫn giải Ta xét toán tổng quát: Trong ô bàn cờ n2 n2 ta viết số nguyên dương Hiệu hai số nằm hai kề (có chung cạnh) số bé n Chứng minh có n + vuông chøa số Giải: Trên bàn cờ ta gọi a số bé b số lớn Chúng nằm cách nhiều n2 – ô vuông theo chiều ngang n2 – vng theo chiều thẳng đứng Do tồn đường từ ô đến ô gồm không 2n2 – ô vuông Hiệu hai số nằm hai kề (có chung cạnh) số bé n, nên ta có: b – a 2(n2 - 1)n Mặt khác tất số nguyên dương nằm bàn cờ nằm a b nên nhiều có 2(n2 - 1)n số khác Từ n4> (2(n2 - 1)n + 1) n n nên phải có nhiều vng chứa số Hay có n + 2 ô vuông chưa số ta thu toán cho Cho Bài 23 Các số nguyên viết vào 4 ô bảng vuông 2 Mỗi hàng cột có nhiều giá trị khác Chứng minh tồn số ngun có mặt cột hàng Hướng dẫn giải Giả sử giá trị ghi vào bảng bi số hàng khác mà i có mặt Gọi T i 1, , , n Gọi số cột khác mà số ô đánh số i , ta có Ti T i Mỗi cột hàng có khơng q giá trị khác nhau, nên Giả sử với i , ta có Khi đó: bi , bi a i bi A i | 1, bi i 1, n 441 có mặt Ti a i bi bi Vậy Mặt khác đặt a i bi i , bi ,B 3n n 2 3n 21 i | bi 2, với cột có 21 hàng có khơng q giá trị khác nên tồn giá trị xuất hàng, giá trị thuộc A nên xuất nhiều hai cột Do có tất 21 cột nên số giá trị không 21 11 A 11 Tương tự B 1, nên n A B 22 Mâu thuẫn nhận suy điều phải chứng minh Bài 24 Cho số n tự nhiên lớn Ta đánh số cạnh, đường chéo n- giác nguyên dương nhỏ r (nguyên dương) cho: i) Mọi số nguyên dương từ đến r đánh số ii) Với tam giác nhỏ Ai A j Ak A1 A A n số có cạnh đánh số số cạnh lại đánh số a) Xác định số nguyên dương r lớn mà điều thực b) Khi r lớn nhất, có cách đánh số thỏa mãn Hướng dẫn giải a Xét đỉnh V mà từ có cạnh đánh số r k cạnh đánh số r, đỉnh phải tồn tồn tam giác có Gọi A tập đỉnh từ V đánh số r | A| k B tập đỉnh cịn lại ( gồm V) |B | n k Khi + Mọi cạnh nối từ điểm thuộc A đến điểm thuộc B đánh số r, giả sử có X thuộc A, Y thuôc B mà |XY| < r Y V | X V | r , | Y V | r , điều kiện ii) nên | X Y | r Mâu thuẫn + Mọi cạnh nối điểm A đánh số nhỏ r, X ,Y + Mọi cạnh nối điểm B đánh số nhỏ r, | YV | r A X ,Y B | X V | | YV | mà | XY | r r nên |XY| < r | XV | r Mâu thuẫn Chứng minh quy nạp giá trị lớn r n-1 Giả sử với đa giác i cạnh, số số dung nhiều k-1 n Xét đa giác n+1 đỉnh, giả sử V,A,B đỉnh tập nói đến trên, Ta có r | A| |B | 1 k (n k 1) n Điều phải chứng minh b 2,0 Nhận xét: Nếu đa giác có n cạnh tập A có k phần tử tập A có nhiều k-1 số dung tập B có nhiều n-k-1 số dung Vậy để đánh số từ đến n-1 cho đoạn tạo từ đa giác, ta phải chọn k-1 số số {1, , , n 2} để đánh số cho đoạn tạo từ điểm tập A n k số lại tập để đánh số cho đoạn tạo từ điểm thuộc tập B Mặt khác, số cách chọn tập A,B cho | A| k ,| B | n k k Cn Từ ta có hệ thức truy hồi sau ( với f(n) số cách đánh số trường hợp đa giác có n cạnh): k n k f (n) C Cn k f (k ) f (n k) n n n !( n 2)! k f (k ) k !( k 1) ! (n f (n k) k ) !( n k 1) ! ( Có 2f(n) theo cách đếm vậy, số C nk C nk f (k ) f (n k) tính lần ) n Đặt f (x) x !( x 1) ! g ( x ) ta có: 2(n 1) g ( n ) g (k ) g (n k Chứng minh kết quy nạp n !( n f (n ) k ) 1) ! n Bài 25 Cho số nguyên dương m , n ; bảng hình vng kích thước n n gọi bảng “ m hoàn thiện” tất điền số nguyên không âm (không thiết phân biệt) cho tổng số hàng cột m Hỏi có tất cách lập bảng “2015-hồn thiện” kích thước 3x3 cho số nhỏ số ô đường chéo nằm vị trí tâm bảng? (Ơ đường chéo bảng vị trí giao dịng có số thứ tự tính từ xuống cột có số thứ tự tính từ trái sang nhau; ô tâm bảng 3x3 ô dòng thứ cột thứ 2) Hướng dẫn giải Ta giải toán trường hợp lập bảng “ m hồn thiện” kích thước 3x3 Gọi x, y, z, t số điền đường chéo vị trí dịng cột , số cịn lại xác định hình bên x m z y t x y t m y x t z m y x t z z t Vì số điền khơng âm phải thỏa y số nhỏ số đường chéo nên điều kiện sau x, y, z,t x t y 0; t x m t m; z; y x m in t z; z y t y t m; x, y, z Các điều kiện rút gọn lại thành Khi y 2y t z x y Ta thấy bốn số không âm số x, y, z, t m thỏa mãn * t y z m in x y; y x, y, z ; x t t m z; x y 2015 t z; x t , ta kết 2019 * theo thứ tự tăng dần xác định tương ứng với cách lập bảng “ m m m; z Áp dụng với t hoàn thiện” Do vậy, số cách lập Bài 26 Cho m , n, k S Gọi 1, , , n (i) A k (ii) a số nguyên dương thoả mãn tập hợp tất tập X A m 1 k n k m Xét tập hợp thoả mãn đồng thời hai tính chất sau: S ; m, j , a A, i j Hãy xác định số phần tử tập hợp j; i, j X 1, k Hướng dẫn giải Giả sử Đặt A b1 Vì X ,A a1 , b2 a1 a2 a2 Suy tập m , , b i B ak n; k a i j m, a1 a2 m , , b k j phần tử tập hợp 1, , , n ak ak i tập có b1 , b , , b k tập có với a , a , , a k k n; k m nên a j m, b2 bk k m i k b1 phần tử tập k j n 1, , , n k k m m Gọi Y tập tất Khi ánh xạ f : X Y A  B Khi f song ánh Thật ● f đơn ánh: Vì với ● f tồn ánh: Giả sử Đặt A A X b1 , b f Vì ta có A1 , A B B X Y A2 b1 , b , , b k m , , b k A X , A1 k m B1 , B Y Y , B1 B2 Ta có f A1 f A2 a , a , , a k bi im bi i m m nên k Cn k m Bài 27 Hội khỏe Phù Đổng năm 2014 có tổ chức thi đấu môn thể thao chạy 100m, nhẩy xa, nhẩy cao, bắn cung quy định điều kiện cho đội tham gia sau: Mỗi vận động viên đội thi đấu mơn thể thao Mỗi đội lựa chọn số vận động viên cho môn tùy ý (nhưng tổng số vận động viên 20) Tại lễ khai mạc, đội xếp thành hàng dọc, vận động viên chạy 100m cầm cờ đỏ đứng đầu, đến vận động viên nhảy xa cầm cờ vàng đến vận động viên nhảy cao cầm cờ xanh cuối vận động viên bắn cung cầm cờ tím Giả sử số đội tham dự đủ lớn, hỏi có tối đa loại hàng dọc (phân biệt theo độ dài màu hàng) Hướng dẫn giải Ta thấy hàng tương ứng với số (a, b, c, d) với a,b,c, d 20 a b 20 c d để số lượng vận động viên thi đấu môn chạy 100m, nhẩy xa, nhẩy cao, bắn cung tương ứng Với số ta đặt tương ứng với dãy nhị phân 23        1 1 1 1 a b phân khác có tối đa C c 1771 23 Dễ thấy tương ứng song ánh có C 23 dãy nhị d loại hàng dọc khác Bài 28 Có 2n đèn L1, L2,…, L treo thành hàng theo thứ tự đó, đèn hai trạng thái tắt bật Mỗi giây ta đồng thời thay đổi trạng thái đèn sau: đèn Li đèn kề (chỉ có đèn kề với L1 L , có hai đèn kề với đèn cịn lại) trạng thái Li chuyển sang trạng thái tắt, ngược lại Li chuyển sang trạng thái bật Ban đầu tất đèn tắt trừ đèn bên trái bật Chứng minh sau số hữu hạn lần thay đổi trạng thái cuối tất đèn tắt Hướng dẫn giải Kí hiệu đèn từ trái qua phải L , L , , L Giả sử ban đầu L1 bật, đèn khác tắt Ta chứng minh n n n rằng: Sau n lần thay đổi trạng thái tất đèn bật sau n lần thay đổi trạng thái tất đèn tắt Với n = dễ thấy mệnh đề Giả sử mệnh đề với n = k Ta chứng minh mệnh đề với n = k + Thật vậy: Sau k lần thay đổi trạng thái tất đèn L , L , , L bật tất đèn k L k ,L k , , L Sau lần thứ k k tắt hai đèn L k ,L k bật đèn cịn lại tắt Do sau k đổi tất đèn bật suy sau k 1 lần thay đổi trạng thái tất đèn bật sau k lần thay đổi trạng thái tất đèn tắt Bài 29 Mỗi điểm mặt phẳng tô hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn tam giác mà ba đỉnh trọng tâm màu Hướng dẫn giải Lấy điểm tùy ý cho khơng có điểm thẳng hàng mặt phẳng Khi dùng hai màu để tơ điểm nên theo nguyên lý Dirichlet phải tồn ba điểm số màu Giả sử điểm A, B, C màu đỏ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Nếu G có màu đỏ ta tam giác có đỉnh trọng tâm màu đỏ Nếu G có màu xanh Kéo dài GA, GB, GC đoạn AA', BB', CC' cho AA'=3GA, BB'=3GB, CC'=3GC Gọi M, N, P tương ứng trung điểm BC, CA, AB AA'=3GA=6GM, suy AA'=2AM Tương tự BB'=2BN, CC'=2CP Do tam giác A'BC, B'CA, C'AB tương ứng nhận A, B, C làm trọng tâm Mặt khác ta có tam giác ABC, A'B'C' có trọng tâm G Có hai trường hợp xảy a) Nếu A', B', C' có màu xanh, tam giác A'B'C' trọng tâm G có màu xanh b) Nếu điểm A', B', C' màu đỏ Không giảm tổng quát, giả sử A' đỏ Khi tam giác A'BC trọng tâm A có màu đỏ Bài 30 Cho bố trí vòng tròn quanh ba cạnh tam giác, vịng góc, hai vịng cạnh, số từ đến viết vào vòng tròn cho i Tổng số cạnh ii Tổng bình phương số cạnh tam giác Tìm tất cách thỏa mãn yêu cầu Hướng dẫn giải Lấy bố trí số, gọi x , y , z số góc S1 , S tổng bốn số, tổng bình phương bốn số cạnh Do điều kiện cho ta có: 3S1 x y z k k x y z 45 (1) 3S2 x y z k k x y x, y, z y z (m o d 3) Nếu ( x, y, z) Nếu S2 (2) 285 - Từ m od Lấy phương trình (1) theo m od ta suy | (x y z) Do hay (3, , ) 137 tất chia hết cho khơng có số chia hết cho Bởi nguyên lý Pigeouhole có hai số đồng dư x z đẳng thức (2) ta suy S2 (1, , ) 1( m o d ) S2 137 17 suy có số cạnh lẻ Điều khơng thể số lẻ viết khe Vì Vì ( x, y, z) m in 2 (2, 5, 8) 126 ;7 S2 126 nên nằm cạnh với 8, tức nằm cạnh chứa 5 126 , nên số phải nằm cạnh chứa số Như lần số cạnh phải ( , , , ); (5 ,1, , ); (8 , , 3, ) tổng bình phương số cạnh 126 Cuối ta thử lại số thỏa mãn Bài 31 Cho số nguyên n Tìm số lớn cặp gồm phần tử phân biệt tập tổng cặp khác số nguyên khác không vượt n Hướng dẫn giải Giả sử có k cặp thỏa mãn đề Gọi S tổng k cặp đó, S Dễ thấy S n (n 1) (n k 1) nk k (k 1) Do đó, - Vì 2k k (2 k 1; ; ; n 1) cho k (2 k 1) nk k (k 1) 2n k 2n Bây ta xây dựng cặp thỏa mãn đề sau Trường hợp 1: Số có dạng n 5k 5k Khi ấy, 2n 2k Ta xét cặp sau (4k 1; k ), ( k ; k ;1), (3 k ; k ), (3 k 1; k 1), ( k 1; k 1) cặp thỏa mãn đề Rõ ràng dãy có 2k Trường hợp 2: Số có dạng n 1), (3 k 5k 5k 5k Khi ấy, 2n 2k Ta xét cặp sau (4k Dãy có 2k 2; k 1) , ( k 1; k ), , (3 k ;1), (3 k 1; k 1), (3 k ; k ), , ( k 1; k 1) thỏa mãn đề Vậy số lớn cặp thỏa mãn đề 2n Bài 32 Sắp xếp chín học sinh lớp 11 (hoặc giới Nam giới Nữ) đứng cách đường tròn Chứng minh tồn sáu học sinh giới đứng sáu đỉnh hai tam giác Hướng dẫn giải Gọi học sinh H1, H2, H9 đứng chín đỉnh đa giác chín cạnh Vì có học sinh đứng đỉnh nên có đỉnh có học sinh giới (hoặc Nam Nữ) Để cho tiện, ta giả sử đỉnh có học sinh Nam đứng (tương tự học sinh Nữ) Gọi tam giác có đỉnh mà học sinh Nam đứng tam giác Nam, có C5 10 tam giác Nam Bây ta chứng minh có hai tam giác Nam nhau: Chín đỉnh đa giác chia đường trịn ngoại tiếp thành cung H iH i cung , i =1 ,8 H H 1; ta gọi cung “mảnh” Khơng tính tổng qt, gọi cung H ij không chứa điểm H k H iH jH (i j tam giác có k k i H iH j H jH k H kH i Hơn số h i j số mảnh ); tương tự ta định nghĩa cho số h jk , h k i , Tương ứng với tam giác h ij + h jk + h k i H iH jH k với ba ( h ij ; h jk ; h k i ) Chẳng hạn với tam giác với đỉnh H 1, H 3, H Ta nhận thấy rằng: ta gọi tam giác h ij H 3H 1H h jk hki tương ứng với ba (2;3;4) theo thứ tự Như vậy, tam giác ứng với ba số định nghĩa, tam giác không ứng với ba khác Từ đó, ta xây dựng song ánh lớp tam giác với tập hợp ba số nguyên dương có thứ tự (a , b , c ) với a b c ; a + b + c = Có bẩy ba số thỏa mãn là: (1,1, ), (1, , ), (1 ,3 ,5 ), (1 ,4 ,4 ), (2 ,2 ,5 ), (2 ,3 ,4 ) (3,3,3) Tức có lớp tam giác Vì có 10 tam giác Nam (Ba đỉnh tam giác học sinh Nam), nên có lớp có hai tam giác Nam; có sáu học sinh giới, đứng sáu đỉnh hai tam giác Bài 33 Một quân cờ di chuyển bàn cờ 6 theo ba cách: lên ô, sang bên phải ô, xuống bên trái ô Hỏi quân cờ qua tất ơ, ô lần quay lại ô kề bên phải ô xuất phát không? Hướng dẫn giải Sau bước, tổng thứ tự hàng cột chứa quân cờ giảm tăng lên Như vậy, xét theo modulo Do có 2016 chia hết cho 3, tổng tăng bước bước, kết thúc ô kề bên phải xuất phát tổng tăng đơn vị Do đó, 2016 2 mâu thuẫn Vậy quân cờ qua tất ô, ô lần quay lại ô kề bên phải ô xuất phát Bài 34 Trên mặt phẳng, kẻ vô hạn ô vuông (dạng bàn cờ) ô vuông điền hai số cho hình chữ nhật có kích thước 2x3 có hai điền số Xét hình chữ nhật có kích thước 2016x2017 Tính tổng số có Hướng dẫn giải Nhận xét : Mọi hình chữ nhật có kích thước 1x3 chứa có số Thật vậy, giả sử tồn hình chữ nhật có kích thước 1x3 có số có số khác Khơng tính tổng qt ta giả sử hình chữ nhật AKHD kích thước 1x3 có hai điền số (nếu khơng khơng có chứa số ba ô điền số hình chữ nhật có kich thước 2x3 có điền số 1) Có thể cho coi hai ô chứa số AKHD ô (Nếu khác lập luận tương tự) Xét hình chữ nhật BFNA có kích thước 2x3 có hai chứa số ô 1,2,4,5 ô điền số Xét hình chữ nhật BCHK, từ giả thiết ô 1,2,4,5 điền số nên ô 3,6 phải điền số Xét hình chữ nhật ECDM kích thước 2x3, ta thấy 3,6,8 điền số nên dẫn đến mâu thuẫn Trường hợp AKHD điền số 1, lập luận tương tự ta dẫn đến mâu thuẫn Vậy giả thiết phản chứng sai hay ta có điều phải chứng minh Vì 2016=3x672 nên hình chữ nhật kich thước 2016x2017 chia thành 672x2017 hình chữ nhật có kích thước 1x3 Vậy tổng số điền hình chữ nhật là: 672.2017=1355424 Bài 35 Trong hội nghị, đại biểu bắt tay đại biểu khác Người ta đếm tất 97 lần bắt tay Hỏi hội nghị có tối đa đại biểu Hướng dẫn giải Gọi n số đại biểu Ta xây dựng đồ thị G với đỉnh đại biểu, hai đỉnh nối với cạnh hai đại biểu tương ứng hai đỉnh bắt tay với Khi đồ thị G có 97 cạnh Theo bổ đề bắt tay, đồ thị, tổng số bậc đỉnh hai lần số cạnh, 97 x2 6n n 32 Vậy hội nghị có tối đa 32 đại biểu  ... vng chia thành 11 8 dải hình chữ nhật có chiều rộng 11 8 cm, chiều dài chiều dài hình vng 11 8 Hình trịn có đường kính cm, 19 19 > nên đường tròn bị cắt đường thẳng 11 8 Vì 2 014 = 11 8 17 + nên theo... ban đầu Bài 21 Lấy ngẫu nhiên 498 số nguyên dương không vượt 10 0 0 Chứng minh có số có tổng chia hết cho 11 1 Hướng dẫn giải Xét tập S= {1, 2,… ,10 0 0} ta phân hoạch S sau: A= {10 0 0}, B= {11 1 ;222;…;999}... i ( i = 1, ,10 0 , tính từ xuống) Gọi yj số lần đổi dấu cột thứ j ( j = 1, ,10 0 , tính từ trái sang phải) Gọi m số lẻ số x1; x2 ; ; x100 n số lẻ số y1; y2 ; ; y100 Ta có m , n , 1, .1 0 Ta có