TÀI LIỆU ôn LUYỆN HSG 11 TUYỂN tập các DẠNG bài tập TRONG đề THI HSG môn TOÁN lớp 11

TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI HSG MƠN TỐN LỚP 11 Phần Lượng giác: A Phương trình lượng giác ta n Giải phương trình: x  ta n x ta n    s in  x      x 1 Tính tổng nghiệm phương trình sau  ;1 0   s in x.co s x  s in x  c o s x     s in  x     Giải phương trình: c o s x  s in x  c o s x  s in x Giải phương trình: s i n x c o s Giải phương trình sau: a) cos x  c o s x  s in x  s in x  c o s x  x  b) s in x c o s x  Giải phương trình: Giải phương trình: s in x c o s x  s in x  c o s x  c o s x   Giải phương trình: Giải phương trình:    cos  x    cos x   c o s x  s in x  1 s in x  c o s x  cos x  s in x  cos x 3      c o s x  s in x c o s  x   s i n x          2010 2010 2012 2012 s in x  cos x   s in x  cos x  10 Giải phương trình: 11 Giải phương trình: ta n x   cos x s in 13 Giải phương trình: s in x  s in 16 Giải phương trình: cos x s in x  c o s x x x    s in x   c o s x  s in x   s in x  c o s x       1     3x    3x s in    s i n x   s i n x   c o s                 2  s in x   c o s x  s i n x 1  c o s x   c o s x   2 19 Giải phương trình: 2x s in 18 Giải phương trình:  cos x   c o t x  ta n 15 Giải phương trình: 17 Giải phương trình:  cot x x  s in x  s in x   s in x  s in x  s in x  12 Giải phương trình: 14 Giải phương trình:  cot x s in x 1  c o s x   c o s x s in s in x  1 x   20 Giải phương trình: s in x  c o s x  c o s x  s in x  21 Giải phương trình: 1   x  3x cos    cos x    s in   22 Giải phương trình: ta n x  s in x  c o t x 23 Giải phương trình: s in x x s in x  c o s s in x    x   cos       2 x  s in x   c o s    s in x    24 Giải phương trình: cos x  25 Giải phương trình: s in x  c o s x c o s x ta n x  ta n  26 Giải phương trình: cos 27 Giải phương trình:  s in x   2 x   ( c o t x  1) s in x x co s x.co s x  s in x  cos x  cos x 28 Tính tổng nghiệm phương trình sau khoảng  ;   3      c o s x  s in x c o s  x    s in  x    4     29 Giải phương trình: s in x  c o t x  s in x  30 Giải phương trình: 31 Giải phương trình: 32 Giải phương trình: 33 Giải phương trình:       s in  x    s in x s in  x       s in x  c o s x   cos x  s in x  c o s x s in x   c o s x  ta n x  cos    s in  x     x  cos cos 34 Giải phương trình: x 1 x s in x  c o s x  s in x  (  cos x  ) cos x   35 Giải phương trình: 0 s in 36 Giải phương trình:    s in  x    s in x  c o s x   s in x  s in x   37 Giải phương trình: 1  c o s x  c o s x  38 Giải phương trình: 3     s in   x  co s x co s x  co s  x       39 Giải phương trình: cos x  cos x   40 Giải phương trình:   x  2015 cos ta n x  c o s 3 x  2015    s in  x     x    c o t x  s in x  s in x 1 41 Giải phương trình: s in x  42 Giải phương trình: s in 43 Giải phương trình:  44 Giải phương trình: cos x c o s x  s in   cos x  s in  45 Giải phương trình: x  x  48 Giải phương trình:  c o s x  s in x  s in x  cos x   cos x  cos x   s in x ta n x  s in x   s in x  c o s x   s in x 49 Giải phương trình: c o s x   c o s x  c o s x  50 Tính tổng nghiệm phương trình sau đoạn  ;1 0   : s in x.co s x  7   s in  x      s in x  c o s x  3   cos  x     51 Giải phương trình: 3 ta n x   cos x ta n x   ta n x  cos x  52 Giải phương trình:   s in x    s in x    c o s x 53 Giải phương trình: s in x 54 Giải phương trình: s i n 55 Giải phương trình: s in x   s in x  c o s x  ta n x cos x  s in x  c o s x   2x  2 cos  x  s in x  ta n x   56 Giải phương trình: s i n x  3x 3x   cos  s in    cos x  2  57 Giải phương trình: s in x  c o s x c o s x  s in x c o s x  58 Giải phương trình:       3 s in  x   s in x  c o s  x   cos x      B Hệ thức lượng tam giác Cho tam giác ABC có góc thỏa mãn điều kiện: cos A cos B cos C  s in A s in B s in C  Chứng minh tam giác ABC vuông Cho A, B, C ba góc tam giác Chứng minh rằng: s in A  s in B  cos C  x    47 Giải phương trình:  s in x  c o s x    s in x c o s x  s in x  c o s x  3 s in x  2  ta n x  c o t x 46 Giải phương trình: 2  cos x  3  Cho tam giác ABC có góc thỏa mãn: c o s A  c o s B  c o s C  (c o s A c o s B  c o s B c o s C  c o s C c o s A ) Chứng minh tam giác ABC Cho A, B, C góc tam giác ABC Chứng minh rằng: s in A  cos A  s in B  cos B s in C  cos 1 C Cho tam giác ABC thỏa mãn:  A  B  C  Tính góc tam giác biểu thức sau P  cos 4C  cos 2C  cos A  cos B đạt GTNN: Giả sử A, B, C, D số đo góc ABCD a) Chứng minh rằng: tứ giác lồi DAB,ABC ,BCD,CDA s in A  s in B  s in C  s in A  B  C b) Tìm GTLN biểu thức P   s in A  s in B  s in C  s in D Chứng minh tam giác ta ln có: s in A  s in B  s in C  25 8 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I thỏa mãn:  cos B 2c  a  s in B 4c  a a) Chứng minh tam giác ABC b) Gọi D, E, F tiếp điểm BC, CA,AB với đường tròn ( I) BE cắt đường tròn ( I) điểm thứ hai K Biết B E  K trung điểm BE Tính độ dài cạnh tam giác ABC Tam giác ABC có góc thỏa mãn: s in B  s in C  Tìm GTNN biểu thức P  c o t A  c o t B  c o t C 10.Cho tam giác ABC thỏa mãn: 11.Nhận dạng tam giác biết: a) s in ( A  B ) c o s ( A  B ) b) c) cos( B  C ) s in A  s in (C  B ) cos A  cos B d) e)  ta n A  ta n 2  s in A s in B  ta n B cos C  12  cos A  cos B  cos C   2  cos A  cos B  cos C   s i n B  (   s i n C  ( B  c o s C ) s in A  c o s B ) s in A  ta n s in B s in C  s in C 1 A Chứng minh tam giác ABC f) s in A  s in B  cos A  cos B s in g) A s in  cos A (ta n A  ta n B ) B  s in A  s in B cos B C ta n 12.Chứng minh trung tuyến tam giác ABC vng góc với khi: c o t C  (c o t A + c o t B )  b  a  a c  2  c  b  b a 13.Cho tam giác ABC thỏa mãn: Chứng minh góc tam giác lập thành cấp số nhân 14.Tính số đo góc tam giác ABC biết 2 cos A  cos B  cos C  15 Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức : cos A sin B sin C  (sin A  cos B  cos C )  17  Tính góc tam giác 16 Cho tam giác ABC thỏa mãn: s in A  cos B  cos C s in B  s in C Chứng minh tam giác ABC vuông A 17 Cho tam giác ABC , M trung điểm BC H trực tâm Chứng minh rằng: MA  MH 2  AH  BC 18 Tìm giá trị lớn biểu thức s in M  2 A  s in B  s in C 2 A, B, C góc cos A  cos B  cos C tam giác ABC ta n 19 Tam giác ABC thỏa mãn 5 A  ta n B  ta n C ta n A  ta n B  ta n C Chứng minh tam giác ABC  20 Cho tam giác ABC có góc A, B, C a) Tìm GTNN biểu thức M    cos2 A  cos2 B   cos2C b) Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC 1  s in A  s in B  (c o t A  c o t B  c o t C )  s in C 21 Chứng minh với tam giác ta có: cos A cos B cos A cos  B cos B cos C cos B cos  C cos C cos A cos 2 s in A  cos cos 22.Cho tam giác ABC thỏa mãn: F  C A cos  cos  A   sin  A sin B 2 C  s in  sin B sin C  sin C sin A    2 B B  cos  cos 2 C A Tìm GTLN biểu thức: Phần Giới hạn hàm số Tìm giới hạn sau: li m x 1  x  x x Tìm giới hạn sau:  2017 x  2018 x  li m x x 3 Tìm giới hạn sau: x   x  li m x 1 x1 Tìm giới hạn sau:  x  2x  li m x Tìm giới hạn sau: x  2x  li m 2x   x Tìm giới hạn sau: x 1 x Tìm giới hạn sau: li m 1 x x li m  x x li m x 3x   1 1 1   1 2x  li m 1 2x  x x x 10 Tìm giới hạn sau: 2x 1  x x1 Tìm giới hạn sau: 6x   2x  2x  x  li m x1 Tìm giới hạn sau: x 1  2x  x x  3x 11 Tìm giới hạn sau: 12 Tìm giới hạn sau: x 3x   li m x  li m 1 x x x  x2  1 2x  x  2012 31 2x x  2x  3x  li m 1 x  x 16 Tìm giới hạn sau: li m x 1 17 Tìm giới hạn sau:  2012 li m x 15 Tìm giới hạn sau: li m x1 x   x  14 Tìm giới hạn sau: 2018 x x 13 Tìm giới hạn sau: x  x  x  li m x 3x   x 2018  2x 1 4x 1 2x 2x   x  2018 x  2017 ( x  1) 4x 1 18 Tìm giới hạn sau:  9x Phần Dãy số tốn liên quan Tìm số hạng tổng qt dãy số ( u n ) , biết dãy số (u n ) x  19 Tìm giới hạn sau: 49 x 1 2x  li m x 20 Tìm giới hạn sau:  x   x  li m x 16 x  x   3x x  20   li m    x  x   x  , xác định sau:  u  1  u2   u n  u n 1  u n 1  , n   Cho dãy số xác định (u n ) u  s i n 1; u n  u n   s in n n Chứng minh (u n ) dãy số bị chặn  u1    2n un  , n N  u n 1  n 1 n 1  Cho dãy số a) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số b) Tìm n để n u n số phương Cho dãy số Cho dãy số có (u n ) a) Chứng minh: li m  i 1  u1  0 , u  0  u n 1  u n  , n N un2   u n  1,  n  N n b) Tìm (u n )  (u n ) *  u1   2018 un  un   u n 1  , n N  2017 u  u  n n  có (u n ) * * dãy số tăng 2017 ui  Cho dãy số  x n  xác định sau;  x1    2018   x   xn   , n   n 1 x n    Chứng minh dãy số có giới hạn tìm lim n  xn , n  N , n  7 Cho dãy số xác định (u n ) Hãy tính giá trị tổng: Cho dãy số Tính (u n ) un li m Cho dãy số n  u1   ,1  n   2018 n u    u k  n 1 n k 1  u  u  u   u 1 không xác định sau:   u  1; u     u n   3u n 1  u n  ,  n  N * (u n ) xác định Tìm công thức tổng quát un  u1   sau:  un    2un  u n 1    (u n ) , n  N * 10 Cho dãy số ( u n ) có u  ; u n   Hãy tính giá trị tổng: S n  u  u 11 Cho dãy số un  n  1, n   u   u n xác định sau: u  1; u n   n  u n 1  un  , n  Chứng minh dãy số ( u n ) có giới hạn tìm giới hạn 12 Cho dãy số ( u n ) xác định công thức:  u1     u n   u n  un  16 , n  a) Tìm cơng thức tổng qt số hạng b) Tính tổng: u1 13 Cho dãy số 12 (u n )  có u2 11  u3 10   un u1 2  u1    n u n    ,n   u n 1   n 1  Tìm số hạng tổng quát u n 14 Cho dãy số ( u n ) xác định bởi:  u1    n n  u n  u  u     Tìm  li m   u n  ,  n  1, n  N n  n  u n  15 Cho dãy số  a n  thỏa mãn: Tìm n li m a n  a     n  2 a  n2a  n n 1   n   a n a n  ,  n  1, n  N 16 Cho dãy số (u n ) xác định Tìm cơng thức tổng qt 17 Cho dãy số Gọi Sn   u1     u n   u n  1,  n  N xác định tổng n số hạng đầu dãy 18 Cho dãy số Tìm (u n ) un   u   1; u  , n   n u  u  u   n 1 n2  n (u n ) li m n u n 19 Cho dãy số 20 Cho dãy số Tìm li m Sn 3n  14   u1     u  u   u n  n u n  n  N * (u n ) Tìm giới hạn : xác định (u n ) * xác định  u1    un , n  N  u n 1  u n  2018   u1 un  u2 li m      u3 u n 1   u2 (u n ) xác định * u0  2018  ,1  n  n 1 u    u k  n n k 0  2018 Hãy tính giá trị A  n  u n n0 21 Cho dãy  x n  xác định  x1    x n 1     xn  xn a) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số  x n  b) Chứng minh số xn x2n  biểu diễn tổng bình phương số nguyên liên tiếp 22 Cho dãy số (u n ) xác định Hãy tìm số hạng tổng quát 23 Cho dãy số (u n ) un  u1    un  , n  N  u n 1   tìm li m u n xác định sau: *   u  1; u     u n   3u n 1  u n ,  n  N * Tìm giới hạn: 24 Cho dãy số  u u n n   u n 1 li m  n   Chứng minh dãy số (u n ) 27 Cho dãy số (u n )   u1     u n 1  u n  ,  n  N có * * khơng đổi n thay đổi u  ; u n   u n  n  5, n  tính giá trị tổng: S n  u  u  u   u n xác định u    un  u n 1  u n  ,n  N  u  n n 1  (u n ) u1  thỏa mãn: Tìm số hạng tổng quát * Tìm cơng thức un  u  u   u n   1      2015 u u2 un  P  u u u n 29 Cho dãy số li m  u1  ; u   u n u n   u n 1  , n  N  u  u n n2  u n   u u u n   28 Cho cấp số nhân, công bội q > , Tính (u n ) xác định (u n ) 26 Cho dãy số xác định sau: (u n ) Tìm số hạng tổng quát dãy số 25 Cho dãy số     (u n ) xác định u  1, u n   un un  , n  1, , Tính giới hạn sau:  u    u    u n   2018n 30 Cho dãy số xác định sau: u1  2 , u n 1  u n  u n ,  n  N * Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn 31 Cho dãy số (u n ) xác định Tìm cơng thức tổng quát 32 Cho Tìm un  u1  1   u n 1  u n   n ,  n  N      Pn              ( n  1) ( n  )   lim U n  33 Cho dãy số n Gọi U n số hạng tổng quát (u n ) xác định sau:   u  1; u     u n   u n   u n  1,  n  N 10 * Pn Tìm giới hạn: 34 Cho dãy số un li m n  n xác định sau: (u n )  u1    n n 1 u , n  N n   u n 1  n  * Tìm cơng thức tổng qt giới hạn dãy số 35 Cho dãy số Đặt n Sn   k 1 36 Cho dãy số xác định sau: (u n ) Tìm giới hạn: (u n ) lim n  uk xác định Chứng minh rằng: 1  u1   u2   u1     u n    u u u n ,  n  N * Sn  u  1, u   un  u n 1 *   2, n  N , n   u u n 1  n   un 37 Cho hai số thực dương a, b (a > b) hai dãy số  u n  ,  v n  xác định sau:  u  a , v1  b   u n  ; v n 1   u n 1   u n v n , n  N * Chứng minh hai dãy số  u n  ,  v n  có giới hạn hữu hạn 38 Cho dãy số  x n  thỏa mãn: x1  x n 1  li m u n  li m v n xn  xn   xn  xn  thuộc số nguyên dương Chứng minh dãy  x n  có giới hạn hữa hạn 39 Cho dãy số (u n ) xác định a) Chứng minh rằng: u2n  n 1   u1   n  (  1) , n  N  u n 1  u n  n 1  n    n  n * , n  b) Chứng minh dãy số cho có giới hữu hạn tìm giới hạn 40 Cho dãy số dương (u n ) thỏa mãn  u1   2 u n  3u n   u  , n  N  n 1 u  n  Tìm giới hạn dãy số./ 11 * n   với n Phần Quy tắc đếm, Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp– Xác suất– Nhị thức Niu tơn A Quy tắc đếm – Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần Từ chữ số 0, 2, 3, 5, 6, lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, hai chữ số khơng đứng cạnh Có cách xếp chữ từ chữ MAYMAN thành hàng cho cách xếp chữ giống khơng đứng cạnh Có số tự nhiên có chữ số cho số có chữ số xuất lần, chữ số lại xuất khơng q lần Có cách chia 100 bút chì cho bạn cho bạn có bút chì? Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho số số lẻ chữ số đứng vị trí thứ ( tính từ hàng đơn vị) chia hết cho 6? Có số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác đôi nhỏ 600000 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên có chữ số đơi khác hai chữ số kề khơng số lẻ? Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên chẵn, số gồm chữ số đôi khác mà tổng chữ số cuối nhỏ tổng chữ số đầu đơn vị 10 Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B học sinh lớp 11C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh chọn khơng q lớp Hỏi có cách chọn vậy? 11 Có số tự nhiên gồm chữ số khác có chữ số chẵn chữ số lẻ? 12 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho chữ số 1, 2, đứng kề B Xác suất Cho lục giác A B C D E F Viết chữ A , B , C , D , E , F vào thẻ (Mỗi thẻ ghi chữ cái) Lấy ngẫu nhiên đồng thời thẻ Tính xác suất chọn thẻ cho đoạn thẳng nối điểm ghi thẻ đường chéo lục giác A B C D E F Gọi M tập tất số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác có dạng a a a a a a Chọn ngẫu nhiên số từ tập M Tính xác suất để số chọn số chẵn, đồng thời thỏa mãn a  a  a  a  a  a Viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để viết số có tổng chữ số Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Tính xác suất học sinh ngồi đối diện khác trường Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hoit thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, phong bì câu hỏi, thí sinh chọn phong bì số để xác đinh câu hỏi Biết câu hỏi dành cho thí sinh nhau, Tính xác suất để câu hỏi A chọn B chọn giống Trong kì thi chọn học sinh giỏi Tỉnh năm 2016, phịng thi có 24 em học sinh có 12 em học sinh trường Trước giám thị gọi thí sinh vào phịng thi, u cầu em xếp ngẫu nhiên hàng dọc Tính xác suất để em xếp hàng dọc khơng có hai học sinh trường đứng cạnh 1 12 Xếp ngẫu nhiên học sinh gồm nam nữ vào bàn hàng ngang (mỗi bàn có hai chổ ngồi) Tính xác suất để có bàn mà bàn gồm nam nữ Đội tuyển học sinh giỏi tỉnh khối 11 trường THPT Lê Quảng Chí năm 2017-2018 có 20 bạn học sinh tham dự, có bạn học sinh thi mơn Hóa,2 bạn học sinh thi môn Lý.Giáo viên phụ trách muốn chọn ngẩu nhiên bạn học sinh làm đại diện Tính xác suất để bạn học sinh chọn có bạn học sinh thi môn Lý mơn Hóa Chọn ngẫu nhiên ba số đơi khác từ tập hợp A  {1; ; ; 0} Tính xác suất để ba số chọn khơng có hai số tự nhiên liên tiếp 10 Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn nhẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị 11 An có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh Bình có viên bi màu đỏ, viên bi màu vàng viên bi màu xanh Mỗi người chọn ngẫu nhiên viên bi người xem Tính xác suất để viên bi chọn màu 12 Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để số chọn chia hết cho 13 Gọi S tập hợp ước nguyên dương số 10800 Lấy ngẫu nhiên số thuộc S, tính xác suất để số chia hết cho 14 Gọi X tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đôi khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số từ tập X Tính xác suất để số chọn chứa chữ số lẻ? 15 Một hộp chứa số tự nhiên có chữ số lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số lấy gồm chữ số khác nhau, có chữ số 4? 16 Cho tập X số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Chọn ngẫu nhiên số từ X, tính xác suất để số chọn bé 4653 17 Một hộp có 15 viên bi kích thước, có viên bi đỏ, viên bi trắng, viên bi vàng Người ta chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi Tính xác suất để viên bi lấy không đủ màu 18 Viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để viết số có tổng chữ số 19 Một bàn có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chổ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Tính xác suất học sinh ngồi đối diện khác trường 20 Một hộp đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để lấy viên bi đỏ C Nhị thức Niu tơn Xét khai triển:   x    x    x   a  a x  a x   a x Tính a2  1  2   2 2013 2013  Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15 a) Tính a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15 b) Tìm hệ số a10 Cho khai triển đa thức   x  Tính tổng: 2016  a o  a1 x  a x S  a  a  a   a Cho khai triển:   x  10 x  x  1 2   a x  a o  a1 x  a x 13 2016   a14 x 14 Hãy tìm giá trị a6 Với n nguyên dương Chứng minh rằng: Cn Cn  11 n Cn  1   Cn 1 n n 1  1 1 n Chứng minh với số tự nhiên n khác ta ln có: 2 2 2015 2016 1008 ( C ) -( C ) + ( C ) -( C ) + .-( C ) + ( C ) = C n Tìm hệ số 15 x khai triển Niu – tơn biểu thức nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: k 1 k 1 Từ tính tổng: Cn +3 Cn k 1 Chứng minh: C n  C n   C n    C k k Cn C n +2  2  x -  , x   p + + p Cn k 1 + + n p -1 3 10 Cho khai triển nhị thức   x  a0  n số Cn n -1 =2031120 (k ; n  N ; k  n ) S     n ( n  1) n 1 biết Cn Chứng minh + + + n = ( C + C + C + + C n + ) + C n + n  0, n Cn Cn  C k 1 x a   a n  n 12 Tìm n 3  a  a x   a n x ( n  2; n  N ) biết n số lớn số n số nguyên dương thỏa mãn a ; a ; ; a n 11 Tìm hệ số x khai triển: ( x  x  ) Biết n số tự nhiên thỏa mãn: 2n2 c n  c n  c n  c n   c n n 2n  c2n  128 12 Cho n số tự nhiên, n  Chứng minh đẳng thức sau: 2 n C n   n   C n   n   C n   C n 2 n2 n 1  Cn  n ( n  1) n2 13 Tìm hệ số lũy thừa lớn x khai triển: 14 Cho k số tự nhiên thỏa mãn  k  1 Chứng minh rằng: C 50 C k2 1  C 15 C k2 011   C 55 C k2 0151  C k2 15 Chứng minh với số tự nhiên n khác ta ln có: C n  C n  C n   (3 n  1) C n  (3 n  ).2 n 16 Xác định hệ số 17 Tính: S  C 2015  x khai triển   C 2015  C 2015    18 Cho khai triển:   x  x   x a) Tính tổng: a  a  a   b) Chứng minh đẳng thức sau: 1 1 n  biết n C n   C n    C n   20 1 C 2015 2014 2015 2010 x  x n 1  2011  a  a x  a x  a 4 1 x 4042110 a 4042110 2000 2011 C 1 a 1  C 1 a  C 1 a 0  C 1 a 0   C 1 a  C 1 a   1 19 ( Hà Tĩnh 2013) Cho khai triển:   x  x   x Chứng minh đẳng thức sau C 1 a 20 Tìm hệ số x khai triển 10  11  a  a x  a x  a 1 x 10 11 110  C 1 a  C 1 a  C 1 a   C 1 a  C 1 a 1  1 1  x  x  14 2n biết n số tự nhiên thỏa mãn: n C n   C n    C n   21 Tìm hệ số số hạng chứa x 2014 1 22 Cho số nguyên dương n thỏa mãn:   A2 A4 23 Cho số nguyên dương n thỏa mãn: C n  C n  n  1   A3 Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức : nhị thức:  x   f (x)    x  x    khai triển 13  Cn 2x  1 15 2015 An 2x2  x 2014 n 1 Tìm số hạng chứa x khai triển n 24 Cho số nguyên dương n thỏa mãn: C n  C n  C n   n C n  n n Tìm hệ số x khia triển thành đa thức: f ( x )    x   25 ( Bình Định 2017): Cho n số tự nhiên khác Chứng minh rằng: Cn   n C n   Cn  n n 1  x 2  x n 1 26 ( Nghệ An: 2015) Cho số nguyên dương thỏa mãn: A2   A3 A4   Tìm số hạng chứa x An 2015 2014  2015 khai triển nhị thức Niu – tơn 27 ( Vĩnh phúc 2016) Tính tổng A2   A3 A4 n    2x  x  n 1 A2016 28 ( Hà Tĩnh 2015) Cho khai triển   x   a  a x   a n x n với n số tự nhiên thỏa mãn: Cn  Cn C n  Cn C n n   n Cn C n 1 n  78 Tìm số lớn số a , a , , a n k 1 29 ( Hà Tĩnh 2014) Tìm số nguyên dương n, k biết n