PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Lý thuyết Quy tắc nhân: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau: A C A.C = B D B.D Các tính chất phép nhân phân thức a Giao hoán: b Kết hợp: A C C A = B D D B A C E A C E ÷ = ÷ B D F B D F c Phân phối phép nhân phép cộng: A C E A C A E + ÷= + B D F B D B F B Bài tập Dạng 1: Sử dụng quy tắc nhân để thực phép tính Cách giải: Vận dụng quy tắc nhân phân thức Bài 1: Thực phép tính sau a) 8x y ( x ≠ 0; y ≠ 0) 15 y x b) 9a a − ( a ≠ −3; a ≠ ) a + 6a Lời giải a) x y x.4 y 32 = = 3 15 y x 15 y x 15 xy b) 9a a − 9a ( a + ) ( a − ) ( a − ) = = a + 6a3 6a ( a + ) 2a Bài 2: Nhân phân thức sau a) 3b + 4n m − ÷( m ≠ 0; n ≠ ) 17m 12n b) Lời giải 2b − 18 ( b − 9) ( b + 2) ( b ≠ −2; b ≠ ) a) 2 4n m2 4n ( −7 m ) −n − = ÷= 17m 12n 17 m 12n 13m 3b + b) 2b − 18 ( b − 9) ( b + 2) = ( b + ) ( b − ) ( b − 9) ( b + ) = ( b − 9) ( b + 2) Bài 3: Thực phép tính sau a c e a − b2 a2 a − b (a + b)2 b 2u − 20u + 50 2u − (u ≠ ±5) 5u + 4(u − 5) d 3x − y x + y x + y 15 x − 15 y v + − 12v + 6v − v (v ≠ −3; v ≠ ±2) v2 − 7v + 21 x − 25 x + 10 x + −1 ( x ≠ ; ± ;0) 2 10 x + x − 9x Lời giải c d e 2u − 20u + 50 2u − u −1 = 5u + 4(u − 5) 5(u − 5) v + − 12v + 6v − v3 −(v − 2)2 = v2 − 7v + 21 7(v + 2) 3x − 25 x + 10 x + 5x + =− 2 10 x + x 1− 9x x (3 x + 1) Bài 4: Thực phép tính a b y −1 y3 ( y + y + 1+ )( y ≠ 0, y ≠ 1) 2y y −1 a + 2a − a − 2 ( − + )( a ≠ −5, −2, ±1) 3a + 15 a −1 a +1 a + Lời giải a b y −1 y3 y − y3 − y y3 − ( y + y +1+ )= ( + )= 2y y −1 y y −1 y −1 2y a + 2a − a − 2 1 ( − + )= 3a + 15 a −1 a + a + Bài 5: Thực phép tính a c x3 − y 2y xy + y + y − y − x + xy ( x − y )( x − 4) b x2 x2 − y y2 x+ y −( − − ) 2 x x + xy xy xy + y x + xy + y a 1+ b2 + c − a b + c − (b − c) (1 + ) b + c a 2bc a+b+c 1− b+c Lời giải = a b c x + xy + y x3 − y 1 y + = 2y y−2 ( x − 2)( y − 2) ( x − 2)( x − y ) x2 x2 − y2 y2 x+ y x− y x+ y −( − − ) = + = 2 x x + xy xy xy + y x + xy + y x xy xy a 1+ b2 + c2 − a b + c − (b − c ) (1 + ) b + c = a+b+c a 2bc a + b + c 1− b+c Bài 6: Cho x − ( x − x + x − 1)( x + 1) 2( x + 6) x + x + A = ( x − x + ) + − x +1 x9 + x − 3x − x + ( x + 3)(4 − x ) a Rút gọn A b Chứng minh : −5 ≤ P ≤ Lời giải a x + x − x − x + x − ( x − 1)( x + x + 1) + x(1 − x) 2( x + 6) (2 x + 1) A= ( x + 1) + − x3 + ( x − x )( x + 1) x + ( x + 3)(4 − x) x − ( x − 1)( x + 1)( x − x + 1) 2( x + 6) (2 x + 1) = + − ( x − x )( x + 1) x + ( x + 3)(4 − x ) x +1 ( x − 1)( x + 1) 2( x + 6) (2 x + 1) x − + x + − x − 12 (2 x + 1) = +1− = x + ( x + 3)(4 − x) x2 +1 ( x + 3)(4 − x) ( x + 1)( x + 1) = x − x + 12 (2 x + 1) ( x + 3)(4 − x)(2 x + 1) −(2 x + 1) = = x + ( x + 3)(4 − x) ( x + 1)( x + 3)(4 − x) x2 +1 b Vì (2 x + 1) ≥ 0; x ≥ ⇒ −(2 x + 1) ≤ ⇒ A ≤ 0∀x A − (−5) = +) Xét −(2 x + 1) ( x − 2)2 + = ≥ ⇒ A ≥ −5 x2 + x2 + Dạng 2: Rút gọn biểu thức Cách giải: Sử dụng hợp lý quy tắc học: Quy tắc cộng, trừ, nhân phân thức để tính tốn *) Chú ý: - Đối với phép nhân có nhiều hai phân thức, ta nhân tử thức với mẫu thức với - Tính tốn biểu thức dấu ngoặc trước (nếu có) Bài 7: Rút gọn biểu thức a t + 4t + t 3t + A= ( t ≠ −1) 2t + 12t + t + 4t + B= b y −1 y3 y + y + + ÷( y ≠ 0; y ≠ 1) 2y y −1 Lời giải A= a) Ta có: ( t + 4t + 8) t.3 ( t + 1) = 3t t + 4t + t 3t + = 2t + 12t + t + 4t + ( t + 1) ( 12t + 1) ( t + 4t + ) ( 12t + 1) b) Ta có: y −1 y y − y3 − y3 y3 − B= y + y + + + ÷= ÷= 2y y −1 y y −1 y −1 2y Bài 8: Thực phép tính sau A= x + x + 3x x + x + ( x ≠ ±1) x3 − x + x + x3 + B= a + 2a − a − − + ÷( a ≠ −5; −2; ±1) 3a + 15 a −1 a +1 a + a) b) Lời giải A= x + x + 3x x2 + x + 3x = x −1 x +1 x + 2x + x −1 B= a + 2a − a − ( a − 1) ( a + 1) ( a + ) − + − + ÷= ÷ 3a + 15 ( a + 5) a −1 a +1 a + a −1 a +1 a + a) b) ⇒B= ( a − 1) ( a + 1) ( a + ) − + = ( a + 1) ( a + ) − ( a − 1) ( a + ) + ( a − 1) ( a + 1) ÷ 3( a + 5) 3( a + 5) ( a + 5) ( a + 5) a −1 a +1 a + ⇒B= Bài 9: M= Tính hợp lý biểu thức sau: 1 1 1 ( x ≠ ±1) − x + x + x + x + x + x16 Lời giải Áp dụng đẳng thức M= Ta có: ⇒M = a − b2 = ( a − b ) ( a + b ) 1 1 1 1 1 = 16 2 1− x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x − x + x + x + x + x16 1 = 16 16 1− x 1+ x − x 32 Bài 10: Rút gọn biểu thức P = xy, biết ( 3a − 3b3 ) x − 2b = 2a ( a ≠ b ) ( 4a + 4b ) y = ( a − b ) ( a ≠ −b ) Lời giải ( a + b) Biến đổi ( a − b) ( a + b) ( a − b) 3( a − b) x= ;y= ⇒ P = x y = = 3 3 4( a + b) 3( a − b ) ( a − b ) ( a + b ) ( a + ab + b ) 2 Bài 11: Tính giá trị biểu thức sau a b x2 + y x − y A= − 1÷ x −y 2y Với x = 15, y = -15 x2 y2 x+ y B = − ÷ + ÷ x x + xy + y x− y y C = ( x − y − z + yz ) c x+ y+z x+ y−z Với x = 15, y = Với x = 8,6 ; y = 2, z = 1,4 Lời giải a b x2 + y x − y y A= − 1÷ = = 15 x+ y x −y 2y x y x+ y B = − ÷ + ÷= 2x + y = x x + xy + y x− y y C = ( x − y − z + yz ) c x+ y+z x+ y+ z = x − ( y − z ) = ( z + x) − y = 96 x+ y−z x+ y−z BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Làm tính nhân a) x − 49 −1 x ≠ ; x ≠ 7÷ 2x +1 − x b) 3y2 − y 1− y4 2 y ≠ ±1; y ≠ ÷ y −1 ( − y ) 3 Lời giải a) Ta có : b) Ta có : 3( x + 7) x − 49 −1 =− x ≠ ; x ≠ 7÷ 2x +1 − x 2x +1 y ( y + 1) 3y2 − y 1− y4 = y −1 ( − y ) ( y − 2) 2 y ≠ ±1; y ≠ ÷ 3 Bài 2: Thực phép nhân phân thức sau a) a − a − 7a − ( a ≠ −1; 2;3) a + a − 5a + b) b2 ( 4b + 12 ) ( b ≠ −3) 2b + 12b + 18 Lời giải a) b) a − a − a − a − ( a + 1) ( a − ) a − = = a + a − 5a + a + ( a + ) ( a − ) a + b ( b + 3) b2 ( b + 3) 2b b2 b + 12 = = = ( ) 2b + 12b + 18 b+3 ( b + 6b + ) ( b + 3) Bài 3: Thực phép tính sau a) b) m3 − m +1 − ÷( m ≠ −2; m ≠ 1) 2m + m − m + m + u3 2001 − 2u u3 u + 16 + ( u ≠ −2; u ≠ 2017 ) u − 2017 u + u − 2017 u + Lời giải a) m3 − m +1 − ÷ = ( m ≠ −2; m ≠ 1) 2m + m − m + m + b) u3 2001 − 2u u3 u + 16 u3 + = ( u ≠ −2; u ≠ 2017 ) u − 2017 u + u − 2017 u + u + Bài 4: Rút gọn biểu thức ( 5a A = mn ( 4a biết 5 − 25 ) m = a + a ≠ ± ÷ 2 + ) n = 6a + 15a ( a ≠ −1) Lời giải m= Biến đổi ( a + 1) 3a ( 2a + ) 21a ;n = ⇒ A = mn = ( a + 1) ( 2a − ) ( a + ) ( 2a − ) ( a − a + 1) Bài 5: Tìm phân thức T thỏa mãn đẳng thức sau x x + x + x + 14 x + 16 x + 18 T = x x + x + x + x + 16 x + 18 x + 20 với mẫu thỏa mãn khác Lời giải Ta có: x x + x + x + 14 x + 16 x + 18 1 x + 20 T = ⇒ T = ⇒T = x x + x + x + x + 16 x + 18 x + 20 x + 20 2 ... Rút gọn biểu thức Cách giải: Sử dụng hợp lý quy tắc học: Quy tắc cộng, trừ, nhân phân thức để tính tốn *) Chú ý: - Đối với phép nhân có nhiều hai phân thức, ta nhân tử thức với mẫu thức với - Tính... y ( y + 1) 3y2 − y 1− y4 = y −1 ( − y ) ( y − 2) 2 y ≠ ±1; y ≠ ÷ 3 Bài 2: Thực phép nhân phân thức sau a) a − a − 7a − ( a ≠ −1; 2;3) a + a − 5a + b) b2 ( 4b + 12 ) ( b ≠ −3) 2b +... + ) 21a ;n = ⇒ A = mn = ( a + 1) ( 2a − ) ( a + ) ( 2a − ) ( a − a + 1) Bài 5: Tìm phân thức T thỏa mãn đẳng thức sau x x + x + x + 14 x + 16 x + 18 T = x x + x + x + x + 16 x + 18 x + 20