PHÉP CỘNG PHÂN THỨC đại số

PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Kiến thức cần nhớ Cộng hai phân thức mẫu: Muốn cộng hai phân thức có mẫu ta cộng tử thức với giữ nguyên mẫu thức A C A+C + = B B B Ví dụ: x2 − x x3 − x x −1 + + 2 x + x +1 x + x +1 x + x +1 Cộng hai phân thức khác mẫu: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta làm theo hai bước: - Bước 1: Quy đồng mẫu thức - Bước 2: Cộng phân thức mẫu vừa tìm Các tính chất - Giao hốn: A C C A + = + B D D B A C E C A E ( + )+ = +( + ) B D F D B F - Kết hợp: - Cộng với số 0: A A +0 = B B B Bài tập dạng toán Dạng 1: Cộng phân thức đại số thông thường Cách giải: Sử dụng kết hợp quy tắc cộng phân thức nêu phần lý thuyết Bài 1: Thực phép tính sau A= a C= c) x2 4x + x+2 + ( x ≠ −2) = x + 12 x + 12 B= 3a + 2a + + ( a ≠ 0, b ≠ ) 5a 2b 5a 2b D= 11y − y +  1 + y≠± ÷ y −1 y −1  2 B= 3a + 2a + 5a + + = 5a 2b 5a 2b 5a 2b b) mn − 3n 7mn + 3n + ( m, n ≠ 0) 2m n 2m n3 d) Lời giải A= a) C= c) x2 4x + x+2 + ( x ≠ −2) = x + 12 x + 12 b) mn − 3n 7mn + 3n + ( m, n ≠ 0) 2m n 2m n3 D= d) 11 y − y + 14 y + = 2 y −1 y −1 y −1 Bài 2: Thực phép tính sau A= a) C= c) − x + 2y x − + + ( x ≠ 0; y ≠ 0) x y x y x3 y B= b) u + 10 u − 18 u +  1 + + u ≠ ± ÷ u−2 u−2 u −4 2 x−2 x +1 + + ( x ≠ ±1) x −1 x −1 x − 2x +1 Lời giải A= − x + y x − x ( − x ) + y y ( x − ) x − x + − 10 y + xy + + = + + = x y x3 y x y 8x3 y 8x y 8x3 y x3 y B= u + 10 u − 18 u + 2u − + + = u − u − u2 − u − C= x−2 x +1 3x − x + + + = x − x − x − x + ( x + 1) ( x − 1) a) b) d) Bài 3: Thực phép cộng phân thức sau A= a 3xy x− y + + x− y x − y x + xy + y B= b −1 p q + + ( q ≠ ±2 p ) 2 p + q p − q p + q3 C= c x−2 x +1 + + ( x ≠ ±1) x −1 x −1 x − 2x +1 Lời giải A= xy x− y x + xy + y 3xy ( x − y )2 x + y + xy + + = + + = = 2 3 3 3 3 x− y x − y x + xy + y x −y x −y x −y x −y x− y B= −1 p q −4 x + x − 12 y + xy + + + ( q ≠ ± p ) = p + q p − q p3 + q x3 y C= x−2 x +1 3x − x + + + ( x ≠ ±1) = x −1 x −1 x − 2x + ( x + 1)( x − 1) a b c Dạng 2: Cộng phân thức đại số có sử dụng quy tắc đổi dấu Cách giải: Thực theo hai bước A −A = B −B - Bước 1: Áp dụng quy tắc đổi dấu phân thức: - Bước 2: Thực tương tự dạng Bài 4: Sử dụng quy tắc đổi dấu để thực phép tính sau A= a 3x − x x + − x + + ( x ≠ 1) x −1 1− x x −1 5y + + + ( y ≠ ±2 ) y + y − − y2 B= b) Lời giải x − x x + − x 3x − x x + − x ( x − 1) A= + + = − + = = x −1 x −1 1− x x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 a) B= b) 5y + 2 5y + y+2 + + = + − = = y+2 y−2 4− y y + y − ( y − 2) ( y + 2) ( y − 2) ( y + 2) y − Bài 5: Thực phép cộng phân thức sau a − a a − a − 5a A= + + ( a ≠ 3) a −3 3−a a −3 B= b) 3 − 3b 3b − 11b −  1 + + b ≠ 0; b ≠ ÷  2b 2b − 2b − 4b  2 Lời giải − a a − a − 5a − a a − a − a ( a − ) A= + + = − + = = a−3 a −3 3− a a−3 a −3 a−3 a −3 a−3 a) B= b) − 3b 3b − 11b − − 3b 3b − 11b − −4b + −1 + + = − + = = 2b 2b − 2b − 4b 2b − 2b 2b ( − 2b ) 2b ( 2b − 1) b Bài 6: Cộng phân thức sau A= 1 v + + ( v ≠ ±4 ) v + 8v + 16 8v − v − 16 v − 16 B= m m 4mn + − ( m ≠ ±2n ) m − 2n m + n n − m a b) Lời giải a) v − 32v 1 v 1 v ⇒ A = A= + + = − + v + 8v + 16 8v − v − 16 v − 16 ( v + ) ( v − ) ( v − ) ( v + ) ( v2 − 16) B= b) m m 4mn m m 4mn 2m + − = + + = 2 m − 2n m + 2n n − m m − n m + n m − 4n m − 2n Bài 7: Thực phép tính sau A= a b) x2 + + + ( x ≠ 1) x −1 x + x +1 1− x r +1 32r 1− r B= + 2+ ( r ≠ 0; r ≠ ± s ) r − rs s − r r + rs Lời giải a) x2 + x2 + A= + + = + − = 2 x − x + x + 1 − x ( x − 1) ( x + x + 1) x + x + x − x + x + B= b) r +1 32r 1− r r +1 32 1− r −32 r + s + + + = + + = r − rs s − r r + rs r ( r − s ) ( r − s ) ( s + r ) r ( r + s ) ( r − s) ( r + s) Bài 8: Sử dụng quy tắc đổi dấu để thực phép tính sau A= a) b) 1− 2x 2x + + 2x 2x −1 2x − 4x2 2x +1 32 x − 2x B= + + 2 2x − x − 4x 2x + x C= 1 v + + (v ≠ ±4) v + 8v + 16 8v − v − 16 v − 16 D= x − ( x − 1)2 x − ( x − 1)2 x ( x − 1) − + + ( x + 1)2 − x x ( x + 1)2 − x − ( x + 1) E= 1 + + 2 2 (b − c )(a + ac − b − bc) (c − a )(b + ab − c − ac ) (a − b)(c + bc − a − ab) c) d) e) 2 Lời giải a) − 2x 2x 1− 2x 2x (1 − x) − x + A= + + = − + = 2x 2x −1 2x − 4x2 2x − x x(1 − x) x(1 − x) ⇒ A= B= b) c) d) 2x +1 32 x 1− 2x + + [MTC : x(2 x + 1)(2 x − 1)] 2 2x − x 1− 4x 2x + x 1 v v3 − 32v C= + + (v ≠ ±4) = v + 8v + 16 8v − v − 16 v − 16 (v − 16) x − ( x − 1) x − ( x − 1)2 x ( x − 1) − D= + + =1 ( x + 1) − x x ( x + 1) − x − ( x + 1) E= e) − 4x = x(1 − x) x 1 + + 2 2 (b − c )(a + ac − b − bc) (c − a )(b + ab − c − ac ) (a − b)(c + bc − a − ab) Ta có: (b − c)(a + ac − b − bc) = (b − c)(a − b)(a + b + c);(c − a)(b + ab − c − ac ) = (c − a )(b − c )(a + b + c ) (a − b)(c + bc − a − ab) = (a − b)(c − a )(a + b + c) ⇒ E = c−a+ a−b+b−c =0 (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a) Dạng 3: Tính giá trị biểu thức tổng phân thức Cách giải: Thực theo bước Bước 1: Thực phép cộng phân thức đại sô Bước 2: Thay giá trị biến vào phân thức tính Bài 9: Rút gọn tính giá trị biểu thức sau A= a x2 2( x − 5) 50 + x + + x + 25 x x ( x + 5) B= b Cho biểu thức x = −2 2 4x + + ( x ≠ 0; x ≠ 1) x + x + x − x − x3 +) Rút gon biểu thức B +) Tính giá trị biểu thức x=2 Lời giải A= x2 2( x − 5) 50 + x x + + + = = x + 25 x x( x + 5) 5 B= 2 4x + + ( x ≠ 0; x ≠ 1) = = x + x +1 x − x 1− x x( x − 1)( x + x + 1) a b Bài 10: A= Rút gọn tính giá trị biểu thức + + a + a + 5a + 4a + 15a + 14 Lời giải với a =1 A= = 3 + + = + + a + a + 5a + 4a + 15a + 14 a + (a + 2)( a + 3) ( a + 2)(4a + 7) 4a + 26a + 37 67 = (a + 2)(a + 3)(4a + 7) 132 Bài 11: Tính giá trị biểu thức sau A= a B= b C= c 1 + y − xy x − xy xy = −1 3a − 2b 3b − a + 2a + b − x 2x − y + y−2 x−6 , biết a − 2b = , biết , biết 3y − x = d Cho x, y, z số khác A= Tính x + y + z = 2017 x3 y3 z3 + + ( x − y )( x − z ) ( y − z )( y − x) ( z − x)( z − y ) Lời giải A= a 1 −1 + = =1 y − xy x − xy xy B= b Ta có 3a − 2b 3b − a 3a − 2b 3b − a + = + = 1+1 = 2a + b − 2a + a − 2b −a + 2b + b 3y − x = ⇒ x = 3y − ⇒ C = c Ta có d MTC : Tử số = x 2x − y y − 2x − x − + = + = 3+1 = y−2 x−6 y−2 x−6 ( x − y )( x − z )( y − z ) x3 ( y − z ) − y ( x − z ) + z ( x − y ) = x3 ( y − z ) − y ( x − z ) + z [ ( x − z ) + ( z − y ) ] = ( y − z )( x − z ) − ( x − z )( y − z ) = ( x + y )( y − z )( x − z )( x + y + z ) ⇒ A = x + y + z = 2017 Dạng 4: Rút gọn biểu thức có điều kiện Bài 12: Cho a, b, c thỏa mãn A= Tính giá trị abc = 2018 2018a b c + + ab + 2018a + 2018 bc + b + 2018 ac + c + Lời giải A= abc.a b c ac c + + = + + =1 ab + abc.a + abc bc + b + abc ac + c + ac + c + ac + c + ac + c + Bài 13: A= Cho a, b, c ≠ a + b + c = Rút gọn : a2 b2 c2 + + a − b2 − c2 b2 − c2 − a2 c2 − a − b2 Lời giải Ta có: a + b + c = → b + c = − a → (b + c ) = a → a − b − c = 2bc Tương tự: b − c − a = 2ac; c − a − b = 2ab → A = Vì: a2 b2 c2 a3 + b3 + c3 3abc + + = = = 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc a + b + c = (a + b) − 3ab(a + b) + c = (a + b + c) [ ] − 3ab(a + b) = 3abc Bài 14: a + b + c = 3abc Cho a, b, c ≠ 3 Tính giá trị : Lời giải Ta có: a b c A = (1 + )(1 + )(1 + ) b c a a + b3 + c − 3abc = ⇔ ( a + b)3 − 3ab( a + b) + c − 3abc = ⇔ ( a + b + c) ( a + b) − ( a + b)c + c  a + b + c = −3ab( a + b + c) = ⇔ ( a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca ) = ⇔  2 (a − b) + (b − c ) + (c − a ) = a + b b + c a + c −c −a −b = = −1 b a a b c a a+b+c = 0⇒ A = +) Nếu: +) Nếu: (a − b) + (b − c) + (c − a)2 = ⇔ a = b = c ⇒ A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = Bài 15: Cho 1 + + =0 a b c A= Tính b+c a +c a +b + + a b c Lời giải A=( b+c a+c a+b 1 + 1) + ( + 1) + ( + 1) − = (a + b + c)( + + ) − = −3 a b c a b c Dạng 5: Dạng toán liên quan đến toán đố Cách giải: Ta thực theo hai bước sau Bước 1: Thiết lập biểu thức theo yêu caaif toán Bước 2: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số biết Bài 1: Một đội máy xúc công trường nhận nhiệm vụ xúc khó khăn nên máy làm việ với suất trung bình cơng việc ổn định hơn, suất máy tăng a) Hãy biểu diễn - Thời gian xúc 5000m3 11600m3 xm3 / 25m3 / đất Giai đoạn đầu nhiều đội đào 5000m3 Sau - Thời gian làm nốt phần việc cịn lại - Thời gian làm việc để hồn thành cơng việc b) Tính thười gian làm việc đẻ hồn thành cơng việc với x = 250m3 / Lời giải Chú ý: Khối lượng công việc = suất nhân thời gian làm việc a) Các biểu thức thu - 5000 x (ngày) - Thời gian làm phần cịn lại = (khối lượng cơng việc cịn lại chia suất mới), ta được: 6600 x + 25 (ngày) - Tổng thời gian là: b) Thay x = 250 5000 6600 + x x + 25 (ngày) vào biểu thức ta 44 ngày Bài 2: Con tàu du lịch đưa khách từ Hà Nội đến Bắc Giang Sau đó, nghỉ lại Bắc Giang quay Hà Nội Độ dài khúc sông từ Hà Nội đến bắc Giang 70 km Vận tốc dòng nước 5km/h Vận tốc riêng tàu (tức vận tốc nước yên lặng) xkm/h a) Hãy biểu diễn qua x - Thời gian ngược từ Hà Nội đến Bắc Giang - Thời gian xuôi từ bắc Giang Hà Nội - Thời gian kể từ lúc xuất phát đến tới Hà Nội 10 b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến tàu vè tới Hà Nội, biết vận tốc lúc ngược dòng tàu 20km/h Lời giải a) Công thức chuyển động là: S = vt Vận tốc xi dịng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước Ta biểu thức là: - 70 ( h) x −5 b) - 70 ( h) x+5 - 70 70 + + ( h) x −5 x +5 47 ( h ) = 7h50' Bài 3: Đầu tháng năm 2019, toàn giới ghi nhận hàng chục ngán máy tính bị nhiễm loại vi rút Theo ước tính, có 150 000 thiết bị điện tử trở thành nận nhân công mạng Trong thời gian đầu virut phát tán, trung bình ngày nhận x thiết bị nhiễm virut giai đoạn khiến 60 000 thiết bị thiệt hại Sau tốc độ lan truyền gia tăng 500 thiết bị nhiễm virut ngày a) Hãy biểu diễn - Thời gian 60000 thiết bị nhiễm virut - Thời gian số thiết bị lại bị lây nhiễm - Thời giand dể 150 000 thiết bị nêu bị nhiễm virut với x = 4000 Lời giải a) Ta nhận kết sau - 60000 x (ngày) - 90000 x + 500 (ngày) b) Kết 35 ngày BÀI TẬP VỀ NHÀ 11 - 90000 60000 + x + 500 x (ngày) Bài 1: Thực phép tính sau A= a) 11x + 10 15 x + 13 + ( x ≠ 1) 3x − − 4x B= b) + (a ≠ −3, a ≠ − ) a + 3a + 14a + 15 Lời giải A= 11x + 10 15 x + 13 + ( x ≠ 1) 3x − − 4x B= 3a + + (a ≠ −3, a ≠ − ) = = a + 3a + 14a + 15 (3a + 5)(a + 3) 3a + a) b) Bài 2: Cộng phân thức sau A= a) B= b) b3 + b b + + ( b ≠ −1) b +1 b − b +1 b +1 + + ( u − v ) ( v − w) ( v − w) ( w − u ) ( w − u ) ( u − v ) ( u ≠ v ≠ w) Lời giải A= a) B= b) b3 + b b b3 + 3b + + + b ≠ − ⇒ A = ( ) b3 + b − b + b + b3 + + + ( u − v ) ( v − w) ( v − w) ( w − u ) ( w − u ) ( u − v ) ( u ≠ v ≠ w) ⇒ B = Bài 3: Thực phép tính sau A= 5y + − y + ( y ≠ 0; y ≠ 3) y2 − 3y − 3y B= 6m + 11m + 2m − + + ( m ≠ 1) m −1 m + m +1 1− m a) b) Lời giải 12 ( y + 3) 5y + − y A= + ( y ≠ 0; y ≠ 3) ⇒ A = y − 3y − 3y y ( y − 3) a) b) 6m + 11m + 2m − m+2 B= + + ( m ≠ 1) ⇒ B = m −1 m + m +1 1− m m + m +1 Bài 4: Thực phép tính sau B= y 4x + ( x ≠ 0, y ≠ x) x − xy y − xy C= 1 16 + + + + + ( x ≠ ±1) − x + x + x + x + x + x16 a) b) Lời giải B= y 4x −(2 x + y ) + ( x ≠ 0, y ≠ x) = x − xy y − xy xy C= 1 16 32 + + + + + ( x ≠ ±1) = 16 1− x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x − x32 a) b) Bài 5: A= Rút gọn tính + + a + a + 5a + 4a + 15a + 14 a =1 Lời giải a) Ta có: ⇒ A= a + 5a + = ( a + ) ( a + 3) ; 4a + 15a + 14 = ( a + ) ( 4a + ) 4a + 26a + 37 + + = a + a + 5a + a + 15a + 14 ( a + ) ( a + ) ( 4a + ) b) Thay a =1 vào biểu thức A A= , ta 67 132 13 ... giá trị biểu thức tổng phân thức Cách giải: Thực theo bước Bước 1: Thực phép cộng phân thức đại sô Bước 2: Thay giá trị biến vào phân thức tính Bài 9: Rút gọn tính giá trị biểu thức sau A= a... ( x + 1)( x − 1) a b c Dạng 2: Cộng phân thức đại số có sử dụng quy tắc đổi dấu Cách giải: Thực theo hai bước A −A = B −B - Bước 1: Áp dụng quy tắc đổi dấu phân thức: - Bước 2: Thực tương tự dạng... giải: Ta thực theo hai bước sau Bước 1: Thiết lập biểu thức theo yêu caaif toán Bước 2: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số biết Bài 1: Một đội máy xúc cơng trường nhận nhiệm vụ