PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG - Phương pháp đặt nhân tử chung phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cách nhóm hạng tử có chung nhân tử - Phương pháp đặt nhân tử chung ngược lại với phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức: AB + AC = A( B + C ); AB − AC = A( B − C ) - Nhân tử chung tích phần hệ số với phần biến xác định sau: +) Phần hệ số: Là ƯCLN hệ số có mặt hạng tử +) Phần biến: Là phần biến có mặt tất hạng tử đa thức đó, biến lấy với số mũ nhỏ +) Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết tất hạng tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (dựa vào tính chất phân phối phép nhân phép cộng) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) c) A = xy − x y + x y b) 20 yz ( y + z ) − ( y + z ) z Lời giải xy; x y ; x y a) Đa thức có hạng tử là: +) Nhân tử chung phần hệ số là: UCLN ( 5;1; ) = xy +) Nhân tử chung phần biến là: Vậy nhân tử chung đa thức là: Ta có: 1.xy = xy A = xy − x y + x y = xy ( − xy + x ) B = 2x ( x − y ) + 3y ( y − x) b) Không nên khai triển biểu thức làm tốn phức tạp Nhận thấy đổi dấu hạng tử thứ đa thức xuất nhân tử chung là: Ta có: x− y B = 2x ( x − y ) − y ( x − y ) = ( x − y ) ( 2x − 3y ) c) Ở hạng tử thứ hai có nhân tử chung 2; nên sau đưa ngồi ngoặc ta tiếp tục thấy nhân tử chung đa thức là: Ta có: y+z 20 yz ( y + z ) − 10 ( y + z ) z = 10 z ( y + z ) ( y − x ) *) Chú ý: - Để tìm “nhân tử riêng” hạng tử bên ngoặc ta lấy đa thức chia cho nhân tử chung - Đôi để làm xuất nhân tử chung, ta phải đổi dấu hạng tử Dạng 1: phân tích đa thức thành nhân tử Cách giải: Phân tích hạng tử đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau áp dụng tính chất pân phối phép nhân phép cộng Bài 1: Phân đa thức sau tích thành nhân tử a c x3 + x b ( x + y ) − 15 x ( x + y ) d 3x − y ( x − y ) − 5x ( y − x ) Lời giải ( x3 + x = x x + a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: ) 3x − y = ( x − y ) ( x + y ) − 15 x ( x + y ) = ( x + y ) ( − 3x ) ( x − y ) − 5x ( y − x ) = ( x − y ) ( + 5x ) Bài 2: Phân đa thức sau tích thành nhân tử a 4x2 − 6x 2x c b ( x + 1) + x ( x + 1) d x3 y − x y + xy 2 x ( y − 1) − y ( − y ) 5 Lời giải a) Ta có: x − x = x ( x − 3) ( x y − x y + xy = xy x − xy + b) Ta có: c) Ta có: ) x ( x + 1) + x ( x + 1) = x ( x + 1) ( x + ) 2 x ( y − 1) − y ( − y ) = ( y − 1) ( x + y ) 5 d) Ta có: Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( x − 1) − ( x − 1) − ( x − 1) a b xy ( x + y ) − y ( x + y ) + y ( x − y ) c x ( y − x ) − y ( x − y ) + xy ( x − y ) d x( x + y )2 − y ( x + y ) + xy − x Lời giải ( ( x − 1) − ( x − 1) − ( x − 1) = ( x − 1) x − x + a) Ta có: x ( y − x ) − y ( x − y ) + xy ( x − y ) = ( x − y )  − x ( x − y ) − y    b) Ta có: ) 2 xy ( x + y ) − y ( x + y ) + y ( x − y ) = ( x + y ) ( xy − ) c) Ta có: x( x + y ) − y ( x + y ) + xy − x = ( x + y ) ( x − y ) − x( x − y ) = ( x − y ) ( x + y ) + y    d) Ta có: Bài 4: Phân tích thành nhân tử a x y − 10 xy b 13x y −26 x y z − 39 xy z c x y +15 x y − 21xy d x( x − 4) + 4( x + 2) Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: x y − 10 xy = xy ( x − y ) 13x y −26 x y z − 39 xy z = 13xy ( x y + xz − 3z ) x y +15 x y − 21xy = xy ( xy + x − y ) 1  x( x − 4) + 4( x + 2) = ( x + )  x ( x − ) +  2  Dạng 2: Tính nhanh Cách giải: Phân tích hạng tử đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau áp dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng Bài 1: Tính hợp lý a c A = 75.20,9 + 52.20, b C = 93.92 + 14.16 d B = 86.15 + 150.1, D = 98,6.199 − 990.9,86 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: A = 75.20, + 52.20,9 = 20,9(75 + 25) = 2090 B = 86.15 + 150.1, = 15 ( 86 + 14 ) = 1500 C = 93.32 + 14.16 = 93.32 + 7.32 = 32 ( 93 + ) = 3200 D = 98, 6.199 − 990.9,86 = 98, 6.199 − 99.10.9,86 = 98, 6.199 − 99.98, = 9860 Bài 2: Tính hợp lý a c A = 85.12, + 5.3.12, b C = 0,78.1300 + 50.6,5 − 39 d B = 8, 4.84,5 + 840.0,155 D = 0,12.90 − 110.0, + 36 − 25.6 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: A = 85.12, + 5.3.12, = 1270 B = 8, 4.84,5 + 840.0,155 = 840 ( 840.0,155 = 8, 4.15,5 ) C = 0, 78.1300 + 50.6,5 − 39 = 1300 D = 0,12.90 − 110.0, + 36 − 25.6 = −72 ( 0,12.90 = 6.18;110.0, = 11.6;36 = 6.6 ) Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Cách giải: Phân tích hạng tử đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau a b A = x( x − 1) − y ( x − 1) x = 2; y = với B = x5 ( x + y ) − x3 y ( x + y ) + x y ( x + y ) với x = 10; y = −5 Lời giải A = x ( x − 1) − y ( x − 1) = ( x − 1)( x − y ) = ⇒ A = a) Ta có: với x = 2; y = B = x ( x + y ) − x y ( x + y) + x y ( x + y ) = ( x + y )( x − x y + x y ) = b) Ta có: với x = 10; y = −5 Bài 2: Tính giá trị biểu thức A = t (10 − 4t ) − t (2t − 5) − 2t + t= a b với B = x ( x − y ) − y ( x − y ) + xy − x y với x − y = 7; xy = Lời giải A = t (10 − 4t ) − t (2t − 5) − 2t + = (2t − 5)(t − 2t − 1) = a) Ta có: t= với B = x( x − y ) − y ( x − y ) + xy − x y = ( x − y ) ( x − y ) − xy  = 280   b) Ta có: Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau a b c A = a ( b + 3) − b ( + b ) B = b − 8b − c ( − b ) với C = xy ( x + y ) − x − y ( ) a = 2003, b = 1997 b = 108, c = −8 xy = 8, x + y = D = y x + y + − mx − my + m d x = 10, y = −5 với x − y = 7; xy = Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: A = a ( b + 3) − b ( + b ) = ( b + ) ( a − b ) ⇒ A = 12000 B = b − 8b − c ( − b ) = ( b − ) ( b + c ) ⇒ A = 10000 C = xy ( x + y ) − x − y = ( x + y ) ( xy + ) ⇒ C = 42 ( ) ( )( ) D = y x + y − − mx − my + m = x + y − y − m ⇒ D = d) Ta có: Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau Tính giá trị biểu thức x − 15 x − x + , biết 3x − x = Lời giải ( ) x − 15 x3 − x + = x 3x − x − x + = x 2 − x + = Ta có: Vậy giá trị biểu thức Dạng 4: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải: Ta thực theo bước sau - Chuyển tất hạng tử vế trái, vế phải - Phân tích vế trái thành nhân tử để dạng tích, chẳng hạn - Lần lượt tìm x từ đẳng thức A=0 B=0 A = A.B = ⇒  B = kết luận x Bài 1: Tìm , biết a) c) e) x (5 x − 2) − (5 x − 2).2 = b) x( x − 2017) − x + 4034 = d) x + x3 − x − 40 = f) ( x +1)( x − 2) + x = ( x + 1) = ( x + 1) x x2 + =0 Lời giải a) Ta có: 5 x − = 2 1 x(5 x − 2) − (5 x − 2).2 = ⇔ ( x − ) ( x − ) = ⇔  ⇔ x∈ ;  5 3 6 x − = Vậy phương trình có tập nghiệm 2 1 S = ;  5 3 b) ( x +1)( x − 2) + x = ⇔ ( x + 1)( x − 2) + 2( x − 2) = ⇔ ( x − 2)( x + 3) = ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm c)  x = 2017 x( x − 2017) − x + 4034 = ⇔ x( x − 2017) − 2( x − 2017) = ⇔  x =  Vậy phương trình có tập nghiệm d) S = { 0; −1} ( S = { 2; −5} x x2 x x + = ⇔ 1 + ÷ = ⇔ x ∈ { −4;0} 2 4 Vậy phương trình có tập nghiệm S = { −4;0} x Bài 2: Tìm , biết a) c) e) ) x + x − x − 40 = ⇔ x ( x + ) − ( x + ) = ⇔ ( x + ) ( x − ) x + x + = ⇔ x ∈ { 2; −5} Vậy phương trình có tập nghiệm f) 1  S = 2017;  4  ( x + 1) = ( x + 1) ⇔ x( x + 1) = ⇔ x ∈ { 0; −1} Vậy phương trình có tập nghiệm e) S = { 2} − x = ( x − 4) x8 + 36 x = b) d) x − 16 x = ( x − 5) ( x − 2) − x2 + = Lời giải − x+5= a) Ta có:  7 − x = ( x − ) ⇔ ( − x ) ( x − ) = ⇔ x ∈ 4;   2  7 S = 4;   2 Vậy phương trình có tập nghiệm b) Ta có: ( ) x − 16 x = ⇔ x x − 16 = ⇔ x ∈ { −4;0; 4} Vậy phương trình có tập nghiệm ( S = { −4;0; 4} ) x8 + 36 x = ⇔ x x + 36 = ⇔ x = c) Ta có: Vậy phương trình có tập nghiệm ( x − 5) d) Ta có: x − =1 − x + = ⇔ ( x − 5) = ⇒  ⇒ x ∈ { 4;5;6}  x − = −1 Vậy phương trình có tập nghiệm e) Ta có: S = { 0} S = { 4;5;6} ( x − ) − x + = ⇔ ( x − ) ( − x ) = ⇔ x ∈ { 2;3} Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 2;3} Dạng 5: Chứng minh toán số nguyên 10 ( ) A = x2 + x + − y = x2 + x + − y → a) Ta có: ( ) =  x + x + − y  → = ( x + 1) − y  →   nhân tử chung nhóm hạng tử thích hợp đa thức ngoặc Xuất đẳng thức = 2( x +1− y) ( x +1+ y ) → Dùng đẳng thức ( ) B = x z − 10 x z − xz − xy z + xz + 10 xyz = 5xz x − x − z − y + + yz → b) Có: ( ) ( ) = xz  x − x + − y − yz + z  → ( nhân tử chung nhóm hạng tử thích hợp đa thức ngoặc ) 2 = xz  x − − ( y − z )  →   Xuất đẳng thức = xz ( x − − y + z ) ( x − + y − z ) → Dùng đẳng thức Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp phương pháp Cách giải: Sử dụng phối hợp ba phương pháp - Phương pháp đặt nhân tử chung - phương pháp dùng đẳng thức - Phương pháp nhóm hạng tử Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) c) 3x − y + x − y b) x6 − x4 + x3 + x d) Lời giải a) Ta có: b) Ta có: x − y + x − y = ( x − y ) ( x + y + 3) x − x y + y + xy = ( x + y − xy ) ( + y + xy ) 63 x − x y + y + xy x3 − x + x − − y x − x + x + x = x ( x + 1) ( x − ) ( x − ) c) Ta có: x − x + x − − y = ( x − − y ) ( x + 1) + ( x − 1) y + y    d) Ta có: Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x ( x − 3) − ( x − 3) − x + a) c) ( x + y) − ( x − y) b) d) x3 − x + x − 2a ( x + y + z ) − 4ab ( x + y + z ) + 2b ( x + y + z ) Lời giải x ( x − 3) − ( x − 3) − x + = ( x − 1) ( x + 1) ( x − ) ( x − ) a) Ta có: b) Ta có: ( x3 − x + x − = ( x − ) x2 + ( x + y) c) Ta có: d) Ta có: ) − ( x − y ) = y ( 3x + y ) 2a ( x + y + z ) − 4ab ( x + y + z ) + 2b ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( a − b ) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) c) x y − xy + y − y b) x y − xy − xy − xy x4 − x2 + x + Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: x y − xy + y − y = y ( x − − y )( x − + y ) 2 x y − xy − xy − xy = xy ( x − y − y − 1) = xy  x − ( y + 1)  =2 xy ( x − y − 1) ( x + y + 1)   ( ) ( ) x − x + x + = x ( x − 1) + 2( x + 1) = ( x + 1)( x − x + 2) = ( x + 1)  x + − x −  64 Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) c) x − 16 − xy + y b) x5 − x y + x − x y x + x5 + x − x3 − x + Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: x − 16 − xy + y = ( x − xy + y ) − 16 = ( x − y ) − = ( x − y − 4)( x − y + 4) x5 − x y + x − x y = x ( x − y ) + x3 ( x − y ) = x ( x − y ) ( x + ) x + x + x − x3 − x + = ( x ) + x ( x − 1) + ( x − 1) = ( x + x − 1) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) ( x + x) + 4( x + x) − 12 b) ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 Lời giải a) Ta có: Với ( x + x) + 4( x + x) − 12 ⇔ y + y − 12 ⇔ ( y + 6)( y − 2) ⇔ ( x + x + 6)( x + x − 2) y = x2 + x b) Ta có: ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 = ( x + x + 4)( x + x + 6) − 24 = ( y − 1)( y + 1) − 24 ( y = x + x + ) = y − 25 = ( y + 5)( y − 5) = x( x + 5)( x + x + 10) x Bài 6: Tìm , biết a) c) x − 50 x = x − 25 − (2 x + 5)(2 x + 7) = b) d) x3 − x − x + = ( x − 2)( x + x + 7) + 2( x − 4) − 5( x − 2) = Lời giải a) Ta có:  ±5  x3 − 50 x = ⇔ x(4 x − 25) = ⇔ x(2 x + 5)(2 x − 5) = ⇔ x ∈ 0;   2 65 b) Ta có: x3 − x − x + = ⇔ x ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x + 1) = ⇔ x ∈ { −1;1} x − 25 − (2 x + 5)(2 x + 7) = ⇔ ( x + ) ( x − − x − ) = ⇔ ( x + ) = ⇔ x = c x= Vậy d −5 −5 ( x − 2)( x + x + 7) + 2( x − 4) − 5( x − 2) = ⇔ ( x − 2)( x + x + + x + − 5) = ⇔ ( x − 2)( x + x + 6) = ⇔ x = Vậy x=2 x Bài 7: Tìm , biết a) a) x9 + x8 − x − = b) ( x + 3) − x2 − x = x − 15 x − ( x − ) ( x + ) = Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: x9 + x8 − x − = ⇔ x8 ( x + 1) − ( x − 1) = ⇔ ( x + 1)( x − 1)( x + 1) = ⇔ x = ±1 ( x + ) − x − x = ⇔ ( x + 3) ( − x ) = ⇔ x ∈ { −3; 2}  5 x − 15 x − ( x − ) ( x + ) = ⇔ ( x − ) ( −2 x − ) = ⇔ x ∈ 1;   2 Bài 8: Chứng minh A = n5 − n M30, ∀n ∈ Z Lời giải Ta có: A = n5 − n = n(n − 1)( n + 1) = n(n − 1)(n + 1)[(n − 4) + 5] 66 = n(n + 1)(n − 1)(n + 2)(n − 2) + n(n + 1)(n − 1) 4 42 4 43 44 43 M 2,3,5 M 3.2 Bài 9: a, b, c Cho ba số thỏa a +b + c =1 mãn a + b3 + c3 = Chứng minh a 2015 + b 2015 + c 2015 = ( *) Lời giải  a = −b a + b + c = ⇒ (a + b + c) = ⇔ ( a + b ) + c  =1 ⇔ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ⇔ b = −c c = −a Từ: +) TH1: a = −b ⇒ a 2015 = −b 2015 mà a + b3 + c3 = ⇒ c = ⇒ (*) thỏa mãn +) Hai trường hợp lại tương tự Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách hạng tử Xét đa thức bậc hai: ax + bx + c Tách hạng tử bậc +) Tính tích ac bx phân tích ac tích hai thừa số b +) Chọn hai thừa số có tổng , chẳng hạn +) Tách bx = a1 x + c1 x Dùng phương pháp nhóm hạng tử 67 ac = a1c1 ac = a1c1 = a2c với a1 + c1 = b Tách c = c1 + c2 cho ax + bx + c1 = ( ± ) Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) c) e) x2 − 5x + b) 3x − 5x − d) x3 − x − f) x + x − 30 x − xy + 10 y x2 − 2x − y + y − Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: e) Ta có: f) Ta có: x − x + = ( x − ) ( x − 3) 3x + x − 30 = ( x − ) ( x + 5) x − x − = ( x − ) ( 3x + 1) x − xy + 10 y = ( x − y ) ( x − y ) x3 − x − = ( x + 1) ( x + ) ( x − 3) ( x − x − y + y − = ( x − 1) ( x + 3) x + ) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) c) e) g) x2 − 3x + b) x2 + 5x + d) x − x − y + 12 y − f) x − x + x y + xy + y − y Lời giải 68 x − 36 x + 56 x2 − x + x − x3 − x + x − a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: e) Ta có: f) Ta có: g) Ta có: x − 3x + = ( x − 1) ( x − ) x − 36 x + 56 = ( x − ) ( x − ) x + x + = ( x + ) ( x + 1) x − x + = ( x − 1) ( x − ) x − x − y + 12 y − = ( x + y − ) ( x − y + 1) ( ) x − x − x + x − = ( x − 3) x + x − x + x − x + x y + 3xy + y − y = ( x + y ) ( x + y − 1) ( x + y + 1) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) c) e) 3x + 8x + b) x4 + 3x2 + d) x − 10 x + 24 f) x2 + 4x + x2 − 2x − x + x3 + x − Lời giải a) Ta có: Vậy: c) f) 3.4 = 12 = 2.6 2+6 =8 3x + x + = 3x + x + x + = ( x + ) ( 3x + ) x + 3x + = ( x + x + 4) − x = ( x − x + 2)( x + x + 2) x + x + x − = ( x − 1)( x + 3)( x + 3) x Bài 4: Tìm , biết a) x2 + 5x − = b) 69 x2 − x − = c) x2 − x − = d) x3 + x − = Lời giải   3 x + x − = ⇔ ( x − 1) + (2 x − 2) = ⇔ ( x − 1)  x + ÷ +  = ⇔ x =    d) Ta có: Vậy x =1 x Bài 5: Tìm , biết Chứng minh A = n − 6n3 + 27n − 54n + 32M2, ∀n ∈ Z Lời giải Lời giải Ta có: A = n − n3 − 5n3 + 5n + 22n − 32n + 32 = ( n − 1)(n − 5n + 22n − 32) = ( n − 1)( n − 2n − 3n +6n + 16n − 32) = (n − 1)(n − 2) (n − 3n + 16) 44 43 M (đpcm) 70 Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thêm, bớt hạng tử Cách giải: Thêm, bớt hạng tử, sau dử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp thêm, bớt hạng tử a) c) e) x4 + x2 + b) x +3 x + d) x4 + x + 64 4x4 +1 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + 1) − x = ( x + x + 1)( x − x + 1) x + = x + x + − x = ( x + 2) − (2 x) = ( x − x + 2)( x + x + 2) x +3x + = ( x + 2) − x = ( x + x + 2)( x − x + 2) 71 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp thêm, bớt hạng tử a) c) x5 + x + b) x8 + x + x +2 x + 2( x + 1)( x + x − 1) + ( x + x − 1) Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: x + x + = x5 + x + x − x + = x3 ( x + x + 1) − ( x − 1)( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + 1) x8 + x + = ( x + 1) − ( x )2 = ( x − x + 1)( x + x + 1) x +2 x + 2( x + 1)( x + x − 1) + ( x + x − 1) = ( x + x + 1) + 2( x + 1)( x + x − 1) ( ) ( ) ( )( ) +( x + x − 1) − =  x + + x + x −  − = x + x + x + x − Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp thêm, bớt hạng tử a) c) x8 + 64 b) x4 + y x5 + x + Lời giải ( )( x8 + 64 = x − x + x + x + a) Ta có: ( x + y = x − xy + y b) Ta có: ( )( )(x ) + xy + y ) ) x5 + x + = x + x + x − x + c) Ta có: Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp thêm, bớt hạng tử a) c) 64 x + 81 b) x8 + x + Lời giải 72 x8 + y ( )( 64 x + 81 = x − 12 x + x + 12 x + a) Ta có: ( x8 + y = x − x y + y b) Ta có: ( )(x ) + 2x2 y + y2 )( ) ) x8 + x + = x + x + x − x + x − x + c) Ta có: Bài 5: x, y Chứng minh với nguyên A = ( x + y)( x + y)( x + y)( x + y) + y số phương Lời giải Ta có: A = x + 10 x3 y + 35 x y + 50 xy + 25 y = ( x + x xy + 25 x y ) + (10 x y + 50 xy ) + 25 y = ( x + xy) + 25 y ( x + xy ) + (5 y ) = ( x + xy + y ) (đpcm) Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt biến phụ 73 Cách giải: Đặt hạng tử giống thành biến để đưa đa thức cho đa thức với biến vừa đặt Áp dụng phương pháp phân tích có để phân tích Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) c) e) ( x − 1) 25 y + 10 y + b) ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − 24 d) (x − ( x − x + 1) + + x + ) + 3x ( x + x + ) + x 2 x + x3 + x − x + Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: 25 y + 10 y + = ( y + 1) ( x − 1) ( ) ( − x2 − 2x + + = x ( − x ) x2 − 2x + 2 ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − 24 = x ( x + ) ( x + 5x + 10 ) (x + x + 8) + 3x ( x + x + 8) + x = ( x + ) ( x + ) ( x + x + ) ( )( ) x4 + x3 + x − 6x + = x + 5x − x + x − e) Ta có: Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) c) 36 24 − +4 x x3 b) ( x + 1) ( x + 3) ( x + ) + ( x + ) + 15 d) Lời giải a) Ta có: b) Ta có: 36 24   − + =  − 2÷ x x x  (x − 1) − 18 ( x + 1) ( x − 1) = ( x + 1) ( x − 1) ( x − 19 ) 74 (x − − 18 ( x + 1) ( x − 1) ) (x + x + + x x + x + + 15 x 2 ) ( ) c) Ta có: d) Ta có: ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) + ( x + ) + 15 = ( x + ) ( x + ) ( x + 8x + 10 ) (x + x + ) + x ( x + x + ) + 15 x = ( x + ) 2 (x + 6x + 4) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) c) e) x2 − 5x + b) x8 + x + d) x − 12 xy + y − x − f) 3x − 10 xy + y 2 xy − x + y − y + x − 10 x + Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: e) Ta có: f) Ta có: x − x + = ( x − 2)(2 x − 1) x − 10 xy + y = (3 x − y )( x − y ) x8 + x + = ( x + 1)2 − ( x )2 = ( x − x + 1)( x + x + 1) xy − x + y − y + = −( x − xy + y ) + (4 y − y + 1) = (3 y − x − 1)( x + y − 1) x − 12 xy + y − x − = x − 12 xy + y − x − x − = (2 x − y − 1)(4 x − y + 1) x − 10 x + = ( x − 1) ( x − ) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) c) x16 + 81 b) ( − y ) −2 ( 125 − 75 y + 15 y − y ) + d) Lời giải 75 625t + 75t + x + 2018 x + 2017 x + 2018 ( )( x16 + 81 = x8 − x + x8 + x + a) Ta có: ( )( 625t + 75t + = 25t + 25t + b) Ta có: c) Ta có: ( − y) ( ) ) ) − 125 − 75 y + 15 y − y + = ( − y ) ( (y )( ) − 11 y + 31 x + 2018 x + 2017 x + 2018 = x + x + x − x + 2018 d) Ta có: ) Bài 3: Tính giá trị biểu thức a) c) x16 + 81 b) ( − y ) −2 ( 125 − 75 y + 15 y − y ) + d) 625t + 75t + x + 2018 x + 2017 x + 2018 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: A = x − x + = 2016 B = x − x + x = 8100 C = m − 2m − m + m + m3 = Bài 4: Chứng minh với số nguyên n A = n − 2n3 − n + 2nM24 Lời giải Ta có: A = n − 2n3 − n + 2n = (n − 2)(n − 1) n(n + 1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, suy A = n − 2n − n + 2n chia hết cho 24 Bài 5: Tính ( a − b) 2017 , biết a+b = ab = 20 a