[Document title] Toán Họa PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP I KIẾN THỨC CƠ BẢN • Nhiều phải phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử Thơng thường, ta xem xét đến phương pháp nhân tử chung trước tiên, tiếp ta xét xem sử dụng đẳng thức học hay khơng? Có thể nhóm tách hạng tử, thêm bớt hạng tử hay không? II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) d) g) x2 − 5x + x2 − 9x + 18 x2 + 6x + b) e) h) 3x2 + 9x − 30 x2 − 6x + x2 − 7x + 12 c) f) i) x2 − 3x + x2 − 5x − 14 x2 − 7x + 10 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) d) g) 3x2 − 5x − 12x2 + 7x − 12 2m2 + 10m+ b) e) h) 2x2 + x − 15x2 + 7x − 4p2 − 36p + 56 c) f) i) 7x2 + 50x + a2 − 5a − 14 2x2 + 5x + Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) d) x2 + 4xy − 21y2 (x − y)2 + 4(x − y) − 12 b) e) 5x2 + 6xy + y2 x2 − 7xy + 10y2 c) f) x2 + 2xy − 15y2 x2yz + 5xyz − 14yz Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) a4 + a2 + b) a4 + a2 − c) x4 + 4x2 − Bồi dưỡng lực học mơn Tốn [Document title] Toán Họa d) x3 − 19x − 30 Bài 5: a) d) g) c) e) x4 + c) c) h) x4 + 64 c) x5 + x + f) x8 + x7 + x3 + x2 + x3 − 2x − (x2 + x)2 − 14(x2 + x) + 24 i) b) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x − 12 d) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 a4 + 4b4 f) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x − 12 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) − 24 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 b) c) 2x2 + 7x – = Tìm x biết: 6x3 + x2 = 2x Bài 11: (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) − 24 x2 – 11x – 26 = ( x – 2) ( x – 3) + ( x – 2) – = Bài 10: 24 d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) − 12 Tìm x biết: x2 – 10x + 16 = f) x3 − 5x2 − 14x Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) Bài 9: a) e) x4 + 2x2 − 24 Bài 8: a) b) x8 + x4 + Bài 7: a) e) x3 − 7x − Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt hạng tử) Bài 6: a) PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN b) d) ( x + 2) Tính 2017 biết – 2x ( 2x + 3) = ( x + 1) x8 – x5 + x2 – x + = Chứng minh với số nguyên n ( a− b) A = n4 − 2n3 − n2 + 2n chia hết cho a+ b = 9, ab = 20, a < b Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Tốn Họa III TRẮC NGHIỆM Câu 1: Phân tích đa thức: ( mn3 – + m – n3 ) n n2 + ( m – 1) A C ( m + 1) ( n B ) +1 D Câu 2: Phân tích đa thức: A C B ( y + z) ( 4x – 1) D Câu 3: Phân tích đa thức: x3 – 2x2 + x A x ( x – 1) ( B ) x x2 – C n2 ( n + 1) ( m – 1) (n 4xy – 4xz – y + z ( 4x + 1) ( y – z) D thành nhân tử , ta được: ) + ( m – 1) thành nhân tử , ta được: ( y – z) ( 4x – 1) ( x + y + z) ( 4x + 1) thành nhân tử , ta được: x2 ( x – 1) x ( x + 1) Câu 4: Phân tích thành nhân tử: m2 - 13m + 36 = m2 - 4m - 9m + 36 = m( m - 4) - 9( m - 4) = ( m - 4) ( m - 9) A Đúng B Sai Câu 5: Phân tích thành nhân tử: ( ) x4 – 2x2 = x2 x2 – = x2 ( x – 2) ( x + 2) A Đúng B Sai Câu 6: Ghép ý cột A với ý cột B để có kết A a) 25x – x3 B 1) ( x + 5) ( 1– x) Bồi dưỡng lực học mơn Tốn [Document title] Tốn Họa b) c) PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN – 4x – x3 2) 10x2 + x3 + 25x 3) 4) x ( x + 5) x ( x + 5) ( x – 5) x ( x + 5) ( x – 5) x(x + 5)(5– x) Câu 7: Điền vào chỗ trống để kết đúng: 8x2 + 19x – 3 = 8x2 + 12x - ¼ - = 4x ( 2x + ¼) – 1.( ¼ + 3) = ( 4x – 1) ( ¼ + ¼.) ( ) ( ) x3 + x2y – xyz – x2z = x3 + x2y – xyz + x2z b) = x2 ( ¼ + ¼) - ¼ ( y + x) = ( ¼ - ¼) ( ¼ + ¼) KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: a) x − 5x + = x − 2x − 3x + = x (x− 2) − 3(x− 2) = (x− 2)(x− 3) 3x2 + 9x - 30 = 3x2 + 15x-6x - 30 = 3x(x+ 5) - 6(x+ 5) = 3(x+ 5)(x- 2) b) Bồi dưỡng lực học mơn Tốn [Document title] Tốn Họa PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN x2 - 3x + = x2 - 2x - x + = x(x- 2) - (x- 2) = (x- 2)(x- 1) c) x2 - 9x + 18 = x2 - 3x-6x + 18 = x(x- 3) - 6(x- 3) = (x- 3)(x- 6) d) x2 - 6x + = x2 - 2x-4x + = x(x- 2) - 4(x- 2) = (x- 2)(x- 4) e) f) x2 - 5x - 14 = x2 + 2x - 7x - 14 = x(x+ 2) - 7(x+ 2) = (x+ 2)(x- 7) g) h) i) x2 + 6x + = x2 + x + 5x + = x(x+ 1) + 5(x+ 1) = (x+ 1)(x+ 5) x2 - 7x + 12 = x2 - 3x - 4x + 12 = x(x- 3) - 4(x- 3) = (x- 3)(x- 4) x2 - 7x + 10 = x2 - 2x - 5x + 10 = x(x- 2) - 5(x- 2) = (x- 2)(x- 5) Bài 2: a b c d e f g h 3x2 − 5x − = 3x2+ x − 6x − = x(3x+ 1) − 2(3x+ 1) = (3x+ 1)(x− 2) 2x2 + x − = 2x2 + 4x − 3x − = 2x(x+ 2) − 3(x+ 2) = (x+ 2)(2x− 3) 7x2 + 50x + = 7x2 + 49x + x + = 7x(x+ 7) + (x+ 7) = (x+ 7)(7x+ 1) 12x2 + 7x − 12 = 12x2 + 16x − 9x − 12 = 4x(3x+ 4) − 3(3x+ 4) = (3x + 4)(4x − 3) 15x2 + 7x − = 15x2 + 10x − 3x − = 5x(3x + 2) − (3x + 2) = (3x + 2)(5x − 1) a2 − 5a − 14 = a2 − 7a + 2a − 14 = a(a − 7) + 2(a − 7) = (a− 7)(a+ 2) 2m2 + 10m+ = 2(m2 + m+ 4m+ 4) = m(m+ 1) + 4(m+ 1) = 2(m+ 1)(m+ 4) 4p2 − 36p + 56 = 4( p2 − 9p + 14) = 4( p2 − 7p − 2p + 14) = 4(p− 7)(p− 2) 2x2 + 5x + = 2x2 + 4x + x + = (x+ 2)(2x+ 1) i Bài 3: a) x2 + 4xy - 21y2 = x2 + 4xy + 4y2 - 25y2 = (x- 2y)2 - (5y)2 Bồi dưỡng lực học môn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Toán Họa = (x- 2y- 5y)(x- 2y+ 5y) = (x- 7y)(x+ 3y) b) c) 5x2 + 6xy + y2 = 5x2 + 5xy + xy + y2 = 5x(x + y) + y(x + y) = (x+ y)(5x+ y) x2 + 2xy - 15y2 = x2 + 2xy + y2 - 16y2 = (x + y)2 - 16y2 = (x - 3y)(x + 5y) d) (x - y)2 + 4(x - y) - 12 = (x - y)2 + 4(x - y) + - 16 = ( x - y + 2) - 16 = ( x - y + - 4) ( x - y + + 4) = ( x - y - 2) ( x - y + 6) e) x2 - 7xy + 10y2 = x2 - 5xy - 2xy + 10y2 = x ( x - 5y) - y ( x - 5y) = ( x - 5y) ( x - y) ( ) ( ) x2yz + 5xyz - 14yz = yz x2 + 5x - 14 = yz x2 + 7x - 2x - 14 = yz ( x + 7) ( x - 2) f) Bài 4: ( ) ( )( ) a4 + a2 + = a4 + 2a2 + 1- a2 = a2 + - a2 = a2 - a + a2 + a + a) ( )( ) ( ) a4 + a2 - = a4 - + a2 - = a2 - a2 + = ( a - 1) ( a + 1) a2 + b) ( )( ) ( ) x4 + 4x2 - = x4 - x2 + 5x2 - = x2 - x2 + = ( x - 1) ( x + 1) x2 + c) ( ) x3 - 19x - 30 = x3 + - 19x - 38 = ( x + 2) x2 - 2x + - 19( x + 2) d) ( ) ( ) = ( x + 2) x2 - 2x - 15 = ( x + 2) x2 - 2x + 1- 16 = ( x + 2) ( x - 5) ( x + 3) ( ) x3 - 7x - = x3 + 1- 7x - = ( x + 1) x2 - x + - 7( x + 1) e) ( ) = ( x + 1) x2 - x - = ( x + 1) ( x + 2) ( x - 3) ( ) ( ) x3 - 5x2 - 14x = x x2 - 5x - 14 =x x2 - 7x +2x - 14 = x ( x - 7) ( x + 2) f) Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Toán Họa Bài 5: ( ) ( )( ) x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = x2 + - 4x2 = x2 + - 2x x2 + + 2x a) ( ) ( )( ) x4 + 64 = x4 + 16x2 + 64 - 16x2 = x2 + - 16x2 = x2 + - 4x x2 + + 4x b) ( )( ) x8 + x7 + 1= x8 − x2 + x7 − x + x2 + x + 1= x2 + x + x6 − x4 + x3 − x + c) ( ) ( )( ) x8 + x4 + = x8 + 2x4 + 1- x4 = x4 + - x4 = x4 - x2 + x4 + x2 + d) ( )( ) ( )( )( ) = x4 - x2 + x4 + 2x2 + 1- x2 = x4 - x2 + x2 + x + x2 - x + x5 + x + = x5 + x4 + x3 - x4 - x3 - x2 + x2 + x + e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = x3 x2 + x + - x2 x2 + x + + x2 + x + = x2 + x + x3 - x2 + f) ( ) ( ) x3 + x2 + = x3 + + x2 - = ( x + 2) x2 - 2x + + ( x + 2) ( x - 2) = ( x + 2) x2 - x + ( ) ( ) ( ) x4 + 2x2 - 24 = x4 + 6x2 - 4x2 - 24 = x2 x2 + - x2 + = x2 + ( x - 2) ( x + 2) g) ( ) ( ) x3 - 2x - = x3 - - 2x + = ( x - 2) x2 + x + - 2( x - 2) = ( x - 2) x2 + x + h) ( ) a4 + 4b4 = a4 + 4a2b2 + 4b4 - 4a2b2 = a2 + 2b2 - 4a2b2 i) ( )( ) = a2 + 2b2 - 2ab a2 + 2b2 + 2ab Bài 6: a) (x2 + x)2 − 14(x2 + x) + 24 Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Tốn Họa x2 + x = t Đặt đa thức cho trở thành t2 − 14t + 24 = t2 − 12t − 2t + 24 = ( t − 6) ( t − 2) Thay x2 + x = t ta ( x + x − 6) ( x + x− 2) = ( x + 3x − 2x − 6) ( x − 1+ x − 1) = ( x + 3) ( x − 2) ( x − 1) ( x + 2) 2 2 (x2 + x)2 + 4x2 + 4x − 12 = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) − 12 b) Đặt x2 + x = t Thay đa thức cho trở thành x2 + x = t t2 + 4t − 12 = t2 + 6t − 2t − 12 = ( t + 6) ( t − 2) ta ( x + x + 6) ( x + x − 2) = ( x + x + 6) ( x − 1+ x − 1) = ( x + x + 6) ( x − 1) ( x + 2) 2 2 ( ) ( ) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = x4 + 2x3 + x2 + 4x2 + 4x - 12 = x2 + x + x2 + x - 12 c) ( ) = x2 + x + ( x - 1) ( x + 2) (Khi tốn trở phần b) ( )( ) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1= (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) + 1= x2 + 5x + x2 + 5x + + d) Đặt x2 + 5x + = t ( t − 1) ( t + 1) + = t − + = t = ( x + x + ) ( đa thức cho trở thành )( ) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = x2 + 8x + x2 + 8x + 15 + 15 e) Đặt x + x + 11 = t đa thức cho trở thành ( t - 4) ( t + 4) + 15 = t - 16 + 15 = t2 - = ( t - 1) ( t + 1) Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] ( )( ) ( )( )( ) Toán Họa = x2 + 8x + 10 x2 + 8x + 12 = x2 + 8x + 12 x + x + ( )( ) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) − 24 = x2 + 5x + x2 + 5x + − 12 f) x2 + 5x + = t Đặt đa thức cho trở thành ( t − 1) ( t + 1) − 24 = t − 25 = ( t − ) ( t + 5) = ( x2 + 5x ) ( x2 + x + 10 ) = x ( x + ) ( x + 5x + 10 ) Bài 7: a) Đặt x2 + 4x + = t đa thức cho trở thành (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 = t2 + 3xt + 2x2 = ( 2x + t ) ( x + t ) ( )( ) ( )( ) ( ) = 2x + x2 + 4x + x + x2 + 4x + = x2 + 6x + x2 + 5x + = ( x + 2) ( x + 4) x2 + 5x + b) Đặt x2 + x + = t đa thức cho trở thành ( )( t ( t + 1) − 12 = t + t − 12 = ( t + ) ( t − 3) ) ( ) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) − 12 = x2 + x + x2 + x − = x2 + x + ( x − 1) ( x + 2) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 c) x + x + 11 = t Đặt đa thức cho trở thành ( t - 4) ( t + 4) + 15 = t ( )( - 16 + 15 = t2 - = ( t - 1) ( t + 1) ) ( ) ( )( = x2 + 8x + 10 x2 + 8x + 12 = x2 + 8x + 12 ( x + 2) ( x + 6) ) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) − 24 = x2 + 7x + 10 x2 + 7x + 12 − 24 d) x + x + 11 = t Đặt đa thức cho trở thành ( t − 1) ( t + 1) − 24 = t − 25 = ( t − ) ( t + 5) = ( x2 + x + ) ( x + x + 16 ) = ( x + 1) ( x + ) ( x + x + 16 ) Bài 8: Bồi dưỡng lực học môn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Toán Họa 10 a) x2 – 10x + 16 = Û x2 – 10x + 25 – = Û ( x – 5) – 33 = Û ( x – – 3) ( x – + 3) = Û ( x – 8) ( x – 2) = Û x – = Û x=8 b) hoặc x – 2= x=2 x2 – 11x – 26 = Û x2 + 2x – 13x – 26 = Û x ( x + 2) – 13( x + 2) = Û ( x + 2) ( x – 13) = Û x + = x =- c) hoặc x – 13 = x = 13 2x2 + 7x – = Û 2x2 – x + 8x – = Û x ( 2x – 1) + 4( 2x – 1) = Û ( 2x – 1) ( x + 4) = Û 2x – = Û x = hoặc x +4= x =- Bài 9: 10 Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Tốn Họa 11 a) ( x – 2) ( x – 3) + ( x – 2) – = Û ( x – 2) ( x – + 1) – = Û ( x – 2) ( x – 2) = Û ( x – 2) = Û x – 2= b) ( x + 2) x – 2=- Û x = – 2x ( 2x + 3) = ( x + 1) x =1 Û x2 + 4x + – 4x2 – 6x = x2 + 2x + 2 Û 4x2 + 4x – = Û 4x2 + 4x + 1– = Û ( 2x + 1) – = Û ( 2x + 1– 2) ( 2x + + 2) = Û ( 2x – 1) ( 2x + 3) = Û 2x – = 2x + = Û x= x=; 6x3 + x2 = 2x c) Û 6x3 + x2 – 2x = ( ) ( ) Û x 6x2 + x – = Û x 6x2 + 4x – 3x – = Û xé 2x 3x + 2) – ( 3x + 2) ù =0 ê ú ë ( û Û x ( 3x + 2) ( 2x – 1) = Û x = x = 0;x = - d) 3x + = 2x – = ;x = x8 – x5 + x2 – x + = Nhân hai vế với 2: 2x8 – 2x5 + 2x2 – 2x + = 11 Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Tốn Họa 12 (x ) ( ) ( ) (x – 2x5 + x2 + x2 – 2x + + x8 + = ) 2 – x + ( x – 1) + x8 + = ⇔ Vế trái lớn 0, vế phải Vậy phương trình vơ nghiệm ( ) A = ( n − 2) n3 − n = ( n − 2) ( n − 1) n( n + 1) Bài 10: Gợi ý: A tích số tự nguyên liên tiếp nên A chia hết cho ,cho cho Vì ( 2,3) = 4.6 = 24 nên A chia hết cho Suy A chia hết cho 81 = ( a+ b) = ( a− b) + 4ab⇒ ( a− b) = 1⇒ a− b = −1⇒ A = −1 Bài 11: ( Gợi ý: a = 4;b = suy ( a − b) 2017 2 = −1 ) III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 12 Bồi dưỡng lực học mơn Tốn