- Bieåu dieãn caùc ñaïi löôïng chöa bieát theo aån vaø caùc ñaïi löôïng ñaõ bieát - Laäp phöông trình bieåu thò moái quan heä giöõa caùc ñaïi löôïng. Böôùc 2 : Giaûi phöông trình[r]
Trang 1Chủ đề 1 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
1 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Ví dụ 1: Hãy viết 2x2 – 4x thành một tích của những đa thức
Gợi ý: 2x2 = 2x.x
4x = 2x.2
Giải:
2x2 – 4x = 2x.x – 2x.2
= 2x (x – 2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 15x3 – 5x2 + 10x thành nhân tử
Giải: 15x3 – 5x2 + 10x
= 5x.3x2 – 5x.x + 5x.2
= 5x (3x2 – x + 2)
BT: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – x = x.x – x.1
= x(x – 1)
b) 5x2(x – 2y) – 15x(x – 2y) = (x – 2y) (5x2 – 15x)
= (x – 2y) 5x (x – 3) = 5x (x – 2y) (x – 3) c) 3.(x – y) – 5x( y – x) = 3(x – y) + 5x (x - y)
= (x – y) (3 + 5x)
2 PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Ví dụ
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 – 4x + 1
b) x2 – 2
c) 1 – 8x3
Giải
a) x2 – 4x + 4 = x2 – 2x 2 + 22
= (x – 2)2 b) x-2 – 2 = x2 – (√2)2
= (x + √2) (x - √2) c) 1 – 8x3 = 1 – (2x)3
= (1 – 2x) (1 + 2x + 4x2)
BT Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3.x2.1 + 3x.12 + 13
= (x + 1)3 b) (x + y)2 – 9y2 = (x + y)2 – (3y)2
= (x + y + 3x) (x + y – 3x)
= (4x + y) (y – 2x) c)1052 – 25 = 1052 - 52 = (105 – 5) (105 + 5)
= 100 110
= 11000
3 PHƯƠNG PHÁP NHĨM HẠNG TỬ
Trang 2Dạy học tự chọn Toán 8 VD: Phân tích đa thức sau thànhnhân tử: x2 – 3x + xy – 3y
Giải:
x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y)
= x(x – 3) + y (x – 3)
= (x – 3) (x + y) Cách khác:
x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) + (-3x – 3y)
= x(x + y) – 3( x + y)
= (x – y) (x – 3) BT: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 2xy + 3z + 6y + xz
Giải
Cách 1: 2xy + 3z + 6y + xz = (2xy + 6y) + (3z = xz)
= 2y (x + 3) + z (3 + x)
= (x + 3) (2y + z) Cách 2: 2xy + 3z + 6 + xz = (2xy + xz) + (3z + 6y)
= x(2y + z) + 3 (z + 2y)
= (2y + z) (x + 3) b) Tính nhanh:
15 64 + 25 100 + 36 15 + 60 100 = 15(64 + 36) + 100 (25 + 60)
= 15 100 + 100 85
= 1500 + 8500
= 10000
4 PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
Ví dụ 1: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 5x3 + 10x2y + 5xy2 Giải: 5x3 + 10x2y + 5xy2 = 5x (x2 + 2xy + y2)
= 5x (x + y)2
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 2xy + y2 – 9
Giải: x2 – 2xy + y2 – 9 = (x2 – 2xy + y2) – 9
= (x – y)2 - 32
= (x –y+3)(x–y – 3)
BT : a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2x3y –2xy3–4xy2 – 2xy = 2xy(x2–y2 –2y – 1)
= 2xy[x2–(y2 +2y+ 1)]
= 2xy [x2 – (y + 1)2]
= 2xy(x–y–1)(x+y+ 1) b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2x – 2y – x2 + 2xy – y2 = (2x–2y)–(x2–2xy+ y2)
= 2 (x – y) – ( x – y)2
Trang 3Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ
CÁCH GIẢI
1 Định nghĩa :
Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ¹ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn
2 Ví dụ :
a) 2x - 1 = 0
b) 3 - 5y = 0 ………
là những pt bậc nhất một ẩn
3 Các giải phương trình bậc nhất một ẩn
a) Ví dụ 1 : Giải pt 3x - 9 = 0
Giải :
3x - 9 = 0 Û 3x = 9 (chuyển - 9 sang vế phải và đổi dấu)
Û x = 3 (chia cả 2 vế cho 3)
KL : Phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3
b) Ví dụ 2 : Giải pt 1- 73x =0
Giải :
1- 73x=0 Û - 73x = - 1(chuyển 1 sang vế phải và đổi dấu)
Û x = (chia cả 2 vế cho -73)
KL : Phương trình có một nghiệm duy nhất x =
c) Tổng quát, pt ax + b = 0 (với a ¹ 0)
ax + b = 0 Û ax = - b Û x = - b a
Vậy pt bậc nhất ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất x = - b a
4 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0
a) Cách giải : Các bước chủ yếu để giải phương trình :
B1 : Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc hoặc quy đồng mẫu để khử mẫu :
B2 : Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, còn các hằng số sang vế kia ;
B3 : Giải phương trình nhận được
b)
Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải pt :
2x - (3 - 5x) = 4 (x + 3)
Trang 4Dạy học tự chọn Toán 8
Û 2x - 3 + 5x = 4x + 12
Û 2x + 5x - 4x = 12 + 3
Û 3 x =15 Û x = 5
Ví dụ 2 :
5x −23 +x=1+5− 3x
2
Û 2(5 x−2)+6 x6 =6+3(5−3 x)
6
Û 10x - 4 + 6x = 6 + 15 - 9x
Û10x + 6x + 9x = 6 + 15 + 4
Û 25x = 25 Û x = 1
BT: a) Giải pt :
Û
Û 2(3x-1)(x+2) - 3(2x2+1) = 33
Û (6x2 + 10x - 4) - (6x2 + 3) = 33
Û 6x2 + 10x - 4 - 6x2 - 3 = 33
Û 10x = 33 + 4 + 3
Û 10x = 40 Û x = 4
PT có tập hợp nghiệm S = {4}
b) Giải pt :
x−1
2 + x −13 − x −16 = 2
Û (x - 1)(1
2+ 13− 16)= 2
Û x - 1 = 3 Û x = 4
c) Giải pt
x+1 = x-1 Û x - x = -1-1
Û (1-1)x=-2 Û 0x =-2
PT vô nghiệm
d) Giải pt
x+ 1 = x + 1
PT nghiệm đúng với mọi x
Trang 5Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
1 Cách giải
Tổng quát : A(x) B(x) = 0
Phương pháp giải : Áp dụng công thức :
A(x)B(x) = 0 Û A(x) =0 hoặc B(x) = 0
Giải 2 pt A(x) = 0 và B(x) = 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng
2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải pt :
(2x - 3)(x + 1) = 0
Û 2x - 3 = 0 hoặc x+1=0
1) 2x - 3 = 0 Û 2x = 3
Û x =1,5 2) x+1 = 0 Û x = -1
Vậy pt đã cho có hai nghiệm : x = 1,5 và x = -1
Ta viết : S = {1,5; -1}
Ví dụ 2 : Giải pt :
(x+1)(x+4)=(2 - x)(2 + x)
Û x2 + x + 4x + 4 - 22 + x2 = 0
Û 2x2 + 5x = 0 Û x(2x+5) = 0
Û x = 0 hoặc 2x + 5 = 0
1) x = 0
2) 2x+5 = 0 Û x = -2,5
Vậy : S = {0 ; -2,5}
Ví dụ 3: giải pt :
(x-1)(x2 + 3x - 2) - (x3-1) = 0
Û (x-1)[(x2+3x-2)-(x2+x+1)]=0
Û (x - 1)(2x -3 )= 0
Û x - 1 = 0 hoặc 2x-3 =0
Ûx = 1 hoặc x =
Vậy S = {1 ; }
Ví dụ 4: Giải pt
23 = x2 + 2x - 1
Û 2x3 - x2 - 2x + 1 = 0
Û (2x3 - 2x) - (x2 - 1) = 0
Û 2x(x2 - 1) - (x2- 1) = 0
Trang 6Dạy học tự chọn Toán 8 Û(x2 - 1)(2x - 1) = 0
Û (x+1)(x-1)(2x-1) = 0
Û x+1 = 0 hoặc x - 1 = 0 hoặc 2x - 1 = 0
1/ x + 1 = 0 Û x = -1 ;
2/ x - 1 = 0 Û x = 1
3/ 2x -1 = 0 Û x = 0,5
Vậy : S {-1 ; 1 ; 0,5}
Ví dụ 5: 3x - 15 = 2x( x - 5)
Û 3(x-5) - 2x(x-5)=0
Û (x - 5)(3-2x) = 0
S = {5 ; }
Ví dụ 6: (x 2 - 2x + 1) - 4 = 0
Û (x -1) 2 - 2 2 = 0
Û (x - 3)(x + 1) = 0
S = {3 ; -1}
Ví dụ 7: x2 -5= (2x - )(x + )
Û (x + )(x - ) -(2x - )(x + ) = 0
Û (x + )(- x) = 0
Û x + = 0 hoặc -x = 0
Û x = - hoặc x = 0
Vậy S = {- ; 0}
Ví dụ 8: Giải pt
(x3 + x2) + (x2 + x) = 0
Û x2 (x + 1) + x (x+1) = 0
Û (x + 1) x (x + 1) = 0
Û x (x+1)2 = 0
Û x = 0 hoặc x = - 1
Vậy S = {0 ; -1}
Trang 7Chủ đề 4, 5: ĐỊNH LÝ TALET TRONG TAM GIÁC
ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TALET
1 ĐỊNH LÝ TA – LÉT (thuận )
GT ABC, B’AB
C’AC và B’C’//BC
KL AB'
AB =AC'AC ; AB' BB' =AC' CC'
B ' B
AB = C ' CAC
2 Bài tập:
a/ Cho a//BC
A
Do a//BC, theo định lí Ta-let có : √3
5 = x10,suy ra :
X = 10√3:5=2√3
b/
A B
C
D E y
5
3.5
4
Ta có AB // DE (Cùng vuông góc với đoạn thẳng CA), do đó, theo định
lí Ta-let có :
BD
DC=EAEC ⇔ 3,55 =EA4
Û EA = (3,5,4) : 5 = 2,8
Từ đó suy ra
y = 4 + 2,8 = 6,8
3 Định lý Talet đảo :
ABC, B’AB
GT C’AC
AB'
B ' B =AC' C ' C
KL B’C’// BC
Quan sát hình 9
Hỏi : Trong hình có bao nhiêu cặp đường thẳng song song với nhau ?
H : Tứ giác BDEF là hình gì ?
Trả lời : BD // EF ;
Trang 8Dạy học tự chọn Toán 8
DE //BF
Trả lời : Tứ giác BDEF là hình bình hành
4 Hệ của định lý Talet :
ABC ; B’C’ //BC
GT (B’AB ; C’ AC)
KL AB'AB =AC'AC = B ' C 'BC
Hình a : Vì DE // BC nên theo hệ quả định lý Talet ta có :
AD
AB=DEBC 25= x6,5 x = 2,6
Hình b : Vì M//PQ Nên MNPQ = N 0
P 0
Hay 5,23 = 2
x x = 5215
Hình c :
Vì EB EF
CF EF
Ta có : EBCF= E 0 F 0
Hay 3,52 = 3x ⇒ x=¿5,25
BT :
Chứng minh
Kẽ DN AC (N AC)
BM AC (M AC)
DN // BM Áp dụng hệ quả định lý Talet vào ABM
Ta có : ADAB=DNBM
DNBM=13,5 13,5+4,5= 0,75
EB // CF
Trang 9Chủ đề 6: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
1 Tam giác đồng dạng :
a) Định nghĩa :
Tam giác A’B’C’ được gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu : Â’ =
 ; ^B'=^B; ^C '=^C
A ' B '
AB = B' C 'BC = C ' A 'CA
* Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC được ký hiệu là :
A’B’C’ ABC
Tỉ số các cạnh tương ứng
A ' B '
AB = B' C 'BC = C ' A 'CA = k
(k gọi là tỉ số đồng dạng)
b) Tính chất 1 :
Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó
c) Tính chất 2 :
Nếu A’B’C’ ABC
Thì ABC A’B’C’
Tính chất 3 :
NếuA’B’C’ A’’B’’C’’ và A’’B’’C’’ ABC thì A’B’C’ ABC
Định lý :
ABC, MN//BC
GT M AB ; N AC
KL AMN ABC
BT:
a) MN // BC (gt)
AMN ABC (1)
có ML // AC (gt)
ABC MBL (2)
từ (1) và (2) suy ra :
AMN MBL (tcbắc cầu)
b) AMN ABC
^M1=^B ; ^ N1=^C; Â chung
a
N
M
C
B
A
Trang 10Dạy học tự chọn Toán 8
Tỉ số đồng dạng
k1 = AMAB =AM
*ABC MBL
 = ^M2; ^L1=^C ; ^B chung
tỉ số đồng dạng :
k2 = MBAB =3 AM
2AM=32
*AMN MBL
 = ^M2; ^ M1= ^B ; ^N1=^L
Tỉ số đồng dạng :
k3 = MBAM=AM
2AM= 12
2 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG:
a) TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT Định lí:
ABC ; A’B’C’
GT A ' B '
AB = A ' C 'AC = B ' C 'BC
KL A’B’C’ ABCA
Aùp dụng :
Hình 34 a và 34 b
Có : DFAB=AC
DE=BCEF = 2
Nên ABC DEF
Hình 34 a và 34 b
Có : KIAB=1; ACHI = 65;
BC
HK =86= 43
ABC không đồng dạng với IKH
Hình 34b và 34 c
DEF cũng không đồng dạng với IHK
b) TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI
Định lí:
Trang 11GT ABA ' B ' = A ' C 'AC ; Â’=Â
KL A’B’C’ ABC
Aùp dụng:
Hình (a, b) :
Ta có : DEAB=ACDF =12
Và Â = ^D= 700
ABC DEF
Hình (b, c) :
Vì DEPQ ≠ DF
PR (4
3≠ 65)Và ^D ≠ ^F
Nên DEF không đồng dạng với PQR
ABC không đồng dạng PQR
c) TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA
Định lí:
ABC ; A’B’C’
GT Â = Â’; ^B=^B'.
KL A’B’C’ ABC
ABC cân ở A có
 = 400 ^B=^C= 700
* PMN cân ở P có :
^
M = 70 0 ^M= ^ N = 70 0 nên ABC PMN vì ^B=^ M = ^C=^N = 70 0
*A’B’C’ có Â’ = 700 ;
^B'= 600 ^C'= 500 nên A’B’C’ D’E’F’ vì ^B'=^E'= 600 ; ^C'=^F' = 500
Trang 12Dạy học tự chọn Toán 8
Chủ đề 7, 8: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
1 Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình :
Bước 1 : Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2 : Giải phương trình
Bước 3 : Trả lời : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình,
nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận
2 Ví dụ:
VD1: Số gà+số chó=36 con
chân gà + chân chó = 100chân
Tính số gà ? số chó ?
Gọi số gà là x (con) ĐK : x nguyên dương, x < 36
Số chân gà là: 2x chân
Số chó : 36 - x (con)
Số chân chó là: 4(36 - x) chân
Tổng số chân là 100, nên ta có phương trình :
2x + 4(36 - x) = 100
Giải phương trình lập được : x = 14 thỏa mãn điều kiện
Vậy số chó là 14 (con)
Số gà là: 36 - 14 = 22 (con)
VD2: Gọi số tiền Lan phải trả cho số hàng thứ nhất không kể
thuế VAT là : x (nghìn đồng)
ĐK : 0 < x < 110
Vậy số tiền Lan phải trả cho loại hàng thứ hai không kể thuế VAT là (110 - x) nghìn đồng
Tiền thuế VAT cho loại hàng thứ nhất là :
10%x (nghìn đồng)
Tiền thuế VAT cho loại hàng thứ hai là :
8% (110- x) (nghìn đồng)
Ta có phương trình :
(110 - x) = 10
Û 10x + 880 - 8x = 1000
Û 2x = 120
Trang 13ĐK : x nguyên dương, x < 5
Chữ số hàng đơn vị là 2x
Chữ số đã cho là :10x + 2x
Nếu thêm chữ số 1 xen giữa hai chữ số ấy thì số mới là : 100x + 10 + 2x
Ta có phương trình :
102x - 12x = 370
Û 90x = 360
x = 4 (TMĐK)
Vậy số ban đầu là 48
VD4 : Gọi tử số của phân số là x
ĐK : x nguyên dương x 9 ; x ¹ 4
mẫu của phân số là x - 4
phân số cần tìm có dạng :
Theo đề bài ta có phương trình :
Hay
Û 10x - 40 + x = 5x
Û 6x = 40
Û x = (Không TMĐK)
Vậy không có phân số nào có các tính chất đã cho
VD5:
Û 7x = 5x + 100
Û 7x - 5x = 100 Û 2x = 100
Û x = 50 (thích hợp)
Vận tốc trung bình của xe máy là: 50km/S
Quãng đường AB là: 50 = 175km
V(km/h) t(h) S(km)
Xe máy x (x > 0)
x
Ô tô x + 20
(x+20)
Trang 14Dạy học tự chọn Toán 8
VD6:
ĐK : x > 48
Theo đề bài ta có phương trình :
Û
Û 9x - 8x = 504 - 384
x = 120 (TMĐK)
Vậy quãng đường AB dài 120km
VD7: HS hai ô tô chuyển động trên quãng đường dài 163km Trong
43 km đầu hai xe có cùng vận tốc Sau đó xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu nên đã về sớm hơn xe thứ hai 40 phút
Gọi vận tốc ban đầu của 2 xe là x
(km/h) ĐK : x > 0
Quãng đường còn lại sau 40 km đầu
là : 120(km)
40phút = (h)
Theo đề bài ta có phương trình :
Û x = 30 (TMĐK)
Vậy vận tốc ban đầu của hai xe là 30 (km/h)
VD8: Gọi mỗi số điện ở mức thấp nhất có giá trị là x (đồng) ĐK :
x > 0
v(km/h) t(h) s(km)
Thực hiện 1giờ
Bị tầu chắn
Vkm/h t(h) S(km) Ô
Ô
Trang 15[100x+50(x+150)+15(x+350)] = 95700
Giải phương trình ta được : x = 450 (TMĐK)
Vậy giá một số điện ở mức thấp nhất là : 450 (đồng)