daïy hoïc töï choïn toaùn 8 chuû ñeà 1 phân tích đa thức thành nhân tử 1 phương pháp đặt nhân tử chung ví dụ 1 hãy viết 2x2 – 4x thành một tích của những đa thức gợi ý 2x2 2x x 4x 2x 2 giải 2x2 –

- Bieåu dieãn caùc ñaïi löôïng chöa bieát theo aån vaø caùc ñaïi löôïng ñaõ bieát - Laäp phöông trình bieåu thò moái quan heä giöõa caùc ñaïi löôïng. Böôùc 2 : Giaûi phöông trình[r]

Chủ đề : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

Ví dụ 1: Hãy viết 2x2 – 4x thành tích đa thức Gợi ý: 2x2 = 2x.x

4x = 2x.2 Giải:

2x2 – 4x = 2x.x – 2x.2 = 2x (x – 2)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức 15x3 – 5x2 + 10x thành nhân tử. Giải: 15x3 – 5x2 + 10x

= 5x.3x2 – 5x.x + 5x.2 = 5x (3x2 – x + 2)

BT: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – x = x.x – x.1

= x(x – 1)

b) 5x2(x – 2y) – 15x(x – 2y) = (x – 2y) (5x2 – 15x) = (x – 2y) 5x (x – 3) = 5x (x – 2y) (x – 3) c) 3.(x – y) – 5x( y – x) = 3(x – y) + 5x (x - y)

= (x – y) (3 + 5x) 2 PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Ví dụ

Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 – 4x + 1

b) x2 – 2 c) – 8x3 Giải

a) x2 – 4x + = x2 – 2x + 22 = (x – 2)2 b) x-2 – = x2 – (

√2 )2

= (x + √2 ) (x - √2 ) c) – 8x3 = – (2x)3

= (1 – 2x) (1 + 2x + 4x2) BT Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3.x2.1 + 3x.12 + 13 = (x + 1)3

b) (x + y)2 – 9y2 = (x + y)2 – (3y)2

= (x + y + 3x) (x + y – 3x) = (4x + y) (y – 2x)

c)1052 – 25 = 1052 - 52 = (105 – 5) (105 + 5) = 100 110

VD: Phân tích đa thức sau thànhnhân tử: x2 – 3x + xy – 3y Giải:

x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y) = x(x – 3) + y (x – 3) = (x – 3) (x + y) Cách khác:

x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) + (-3x – 3y) = x(x + y) – 3( x + y) = (x – y) (x – 3) BT: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2xy + 3z + 6y + xz

Giải

Cách 1: 2xy + 3z + 6y + xz = (2xy + 6y) + (3z = xz) = 2y (x + 3) + z (3 + x) = (x + 3) (2y + z) Cách 2: 2xy + 3z + + xz = (2xy + xz) + (3z + 6y)

= x(2y + z) + (z + 2y) = (2y + z) (x + 3) b) Tính nhanh:

15 64 + 25 100 + 36 15 + 60 100 = 15(64 + 36) + 100 (25 + 60) = 15 100 + 100 85

= 1500 + 8500 = 10000 4 PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

Ví dụ 1: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 5x3 + 10x2y + 5xy2 Giải: 5x3 + 10x2y + 5xy2 = 5x (x2 + 2xy + y2)

= 5x (x + y)2

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 2xy + y2 – 9 Giải: x2 – 2xy + y2 – 9 = (x2 – 2xy + y2) – 9

= (x – y)2 - 32 = (x –y+3)(x–y – 3) BT : a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

2x3y –2xy3–4xy2 – 2xy = 2xy(x2–y2 –2y – 1) = 2xy[x2–(y2 +2y+ 1)] = 2xy [x2 – (y + 1)2] = 2xy(x–y–1)(x+y+ 1) b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VAØ CÁCH GIẢI 1 Định nghĩa :

Phương trình dạng ax + b = 0, với a b hai số cho a ¹ 0, gọi phương trình bậc ẩn

2 Ví dụ : a) 2x - =

b) - 5y = ………

là pt bậc ẩn

3 Các giải phương trình bậc ẩn a) Ví dụ : Giải pt 3x - =

Giaûi :

3x - = Û 3x = (chuyển - sang vế phải đổi dấu) Û x = (chia vế cho 3)

KL : Phương trình có nghiệm x = b) Ví dụ : Giaûi pt 1- 73 x =0

Giaûi :

1- 73 x=0 Û - 73 x = - 1(chuyển sang vế phải đổi dấu) Û x =

3

7 (chia vế cho - 73 )

KL : Phương trình có nghiệm x = c) Tổng quát, pt ax + b = (với a ¹ 0)

ax + b = Û ax = - b Û x = - ba

Vậy pt bậc ax + b = ln có nghiệm x = - ba Phương trình đưa dạng ax + b =

a) Cách giải : Các bước chủ yếu để giải phương trình :

B1 : Thực phép tính để bỏ dấu ngoặc quy đồng mẫu để khử mẫu : B2 : Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế, số sang vế ; B3 : Giải phương trình nhận

b)

Û 2x - + 5x = 4x + 12 Û 2x + 5x - 4x = 12 + Û x =15 Û x = Ví dụ :

5x −3 2+x=1+5−3x Û 2(5x −2)+6x

6 =

6+3(5−3x) Û 10x - + 6x = + 15 - 9x Û10x + 6x + 9x = + 15 + Û 25x = 25 Û x =

BT: a) Giaûi pt :

(3 1)( 2) 11

2

3

x- x x 

- 

Û

2

2(3 1)( 2) 3(2 1) 33

6

x- x - x  

Û 2(3x-1)(x+2) - 3(2x2+1) = 33 Û (6x2 + 10x - 4) - (6x2 + 3) = 33 Û 6x2 + 10x - - 6x2- = 33 Û 10x = 33 + +

Û 10x = 40 Û x =

PT có tập hợp nghiệm S = {4} b) Giải pt :

x −1 +

x −1 −

x −1

6 =

Û (x - 1) (1 2+

1 3−

1 6) = Û x - = Û x =

c) Giaûi pt

x+1 = x-1 Û x - x = -1-1 Û (1-1)x=-2 Û 0x =-2 PT vô nghiệm

d) Giải pt x+ = x +

Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 1 Cách giải

Tổng quát : A(x) B(x) =

Phương pháp giải : Áp dụng công thức : A(x)B(x) = Û A(x) =0 B(x) =

Giaûi pt A(x) = B(x) = 0, lấy tất nghiệm chúng 2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải pt : (2x - 3)(x + 1) = Û 2x - = x+1=0 1) 2x - = Û 2x =

Û x =1,5 2) x+1 = Û x = -1

Vậy pt cho có hai nghiệm : x = 1,5 x = -1 Ta viết : S = {1,5; -1}

Ví dụ : Giải pt :

(x+1)(x+4)=(2 - x)(2 + x) Û x2 + x + 4x + - 22 + x2 = Û 2x2 + 5x = Û x(2x+5) = Û x = 2x + = 1) x =

2) 2x+5 = Û x = -2,5 Vậy : S = {0 ; -2,5} Ví dụ 3: giaûi pt :

(x-1)(x2 + 3x - 2) - (x3-1) = Û (x-1)[(x2+3x-2)-(x2+x+1)]=0 Û (x - 1)(2x -3 )=

Û x - = 2x-3 =0



x = x =

Vaäy S = {1 ; }

Ví dụ 4: Giải pt 23 = x2 + 2x

-

Û (2x3- 2x) - (x2- 1) = Û 2x(x2- 1) - (x2- 1) = Û(x2- 1)(2x - 1) = Û (x+1)(x-1)(2x-1) =

Û x+1 = x - = 2x - = 1/ x + = Û x = -1 ;

2/ x - = Û x = 3/ 2x -1 = Û x = 0,5 Vaäy : S {-1 ; ; 0,5} Ví dụ 5: 3x - 15 = 2x( x - 5)

Û 3(x-5) - 2x(x-5)=0

Û (x - 5)(3-2x) =

S = {5 ; }

Ví dụ 6: (x2- 2x + 1) - = 0 Û (x -1)2- 22 =

Û (x - 3)(x + 1) =

S = {3 ; -1} Ví dụ 7: x2

-5= (2x - 5)(x + 5)

Û (x + 5)(x - 5) -(2x - 5)(x + 5) = Û (x + 5)(- x) =

Û x + = -x = Û x = - x = Vậy S = {- ; 0} Ví dụ 8: Giải pt (x3 + x2) + (x2 + x) = 0 Û x2 (x + 1) + x (x+1) = Û (x + 1) x (x + 1) = Û x (x+1)2 =

Chủ đề 4, 5: ĐỊNH LÝ TALET TRONG TAM GIÁC ĐỊNH LÝ ĐẢO VAØ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TALET

1 ĐỊNH LÝ TA – LÉT(thuận)

GT ABC, B’AB

C’AC vaø B’C’//BC

KL AB'

AB = AC'

AC ; AB'

BB' =

AC'

CC' B ' B

AB =

C ' C

AC 2 Bài tập: a/ Cho a//BC

A

B C

D E

5 10

Do a//BC, theo định lí Ta-let có : √3 =

x

10 ,suy : X = 10 √3:5=2√3

b/

A B

C

D E y

5

3.5

4

Ta có AB // DE (Cùng vng góc với đoạn thẳng CA), đó, theo định lí Ta-let có : BD

DC= EA EC ⇔

3,5 =

EA Û EA = (3,5,4) : = 2,8 Từ suy

y = + 2,8 = 6,8 3 Định lý Talet đảo :

ABC, B’AB GT C’AC

AB' B ' B=

AC' C ' C

KL B’C’// BC Quan sát hình

Hỏi : Trong hình có cặp đường thẳng song song với ? A

B C

D E

F

3

1

H : Tứ giác BDEF hình ? Trả lời : BD // EF ;

DE //BF

Trả lời : Tứ giác BDEF hình bình hành 4 Hệ định lý Talet :

ABC ; B’C’ //BC GT (B’AB ; C’ AC) KL ABAB'=AC'

AC =

B ' C '

BC

Hình a : Vì DE // BC nên theo hệ định lý Talet ta coù : AD

AB= DE BC 

2 5=

x

6,5  x = 2,6 Hình b : Vì M//PQ Nên MNPQ =N0

P0 Hay 5,23 =2

x  x =

52 15 Hình c :

Vì EB  EF CF  EF Ta coù : EBCF=E0

F0 Hay 3,52 =3

x⇒x=¿ 5,25

BT :

A N

M

C B

D ,

4 ,

Chứng minh

Keõ DN  AC (N  AC) BM AC (M  AC)

 DN // BM Áp dụng hệ định lý Talet vào ABM Ta có : ADAB=DN

BM  DNBM=1313,,55

+4,5 = 0,75

 EB // CF

A

C ’ C D

Chủ đề 6: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1 Tam giác đồng dạng :

a) Định nghóa :

Tam giác A’B’C’ gọi đồng dạng với tam giác ABC : Â’ = Â ; B '^ =^B ;C '^ =^C

A ' B '

AB =

B ' C '

BC =

C ' A '

CA

* Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC ký hiệu : A’B’C’ ABC

 Tỉ số cạnh tương ứng

A ' B '

AB =

B ' C '

BC =

C ' A '

CA = k (k gọi tỉ số đồng dạng) b) Tính chất :

Mỗi tam giác đồng dạng với

A

B C B ’ C ’

A ’

c) Tính chất :

Nếu  A’B’C’ ABC Thì ABC A’B’C’ Tính chất :

NếuA’B’C’ A’’B’’C’’ A’’B’’C’’ ABC A’B’C’ ABC

Định lý :

ABC, MN//BC GT M  AB ; N  AC KL AMN ABC

BT:

A

B C

N M

L

1

a) MN // BC (gt)

AMN ABC (1) coù ML // AC (gt)

ABC MBL (2) từ (1) (2) suy :

AMN MBL (tcbaéc caàu)

A

B C

M N

a

A

B C

4

6

A ’

B ’ C ’

A ’ B ’ C ’

A ’’

B ’’ C ’’ A

b) AMN ABC

 ^M1=^B ;N^1=^C ; Â chung Tỉ số đồng dạng

k1 = AMAB =AM

AM+2 AM= *ABC MBL

 Â = ^M2 ; ^L1=^C ;^B chung tỉ số đồng dạng :

k2 = ABMB=3 AM AM=

3 *AMN MBL

 Â = ^M2;^M1=^B ;N^1=^L Tỉ số đồng dạng :

k3 = AMMB =AM AM=

1

2 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG:

a) TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT Định lí:

A

B C B ’ C ’

M N

A ’

ABC ; A’B’C’

GT A ' B '

AB =

A ' C '

AC =

B' C '

BC

KL A’B’C’ ABCA

Aùp duïng :

Hình 34 a 34 b Có : ABDF =AC

DE = BC EF = Neân ABC DEF Hình 34 a 34 b Có : ABKI =1;AC

HI = 5; BC

HK= 6=

4

ABC không đồng dạng với IKH Hình 34b 34 c

DEF không đồng dạng với IHK

A

B

C

M N A ’

B ’ C ’

ABC vaø A’B’C’

GT ABA ' B '=A ' C '

AC ; Â’=Â KL A’B’C’ ABC p dụng:

Hình (a, b) : Ta có : ABDE=AC

DF = Và Â = ^D = 700 ABC DEF Hình (b, c) :

Vì DEPQ ≠DF

PR ( 3≠

6

5) Và ^D≠F^ Nên DEF không đồng dạng với PQR ABC không đồng dạng PQR

c) TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA Định lí:

A

B C

A ’

B ’ C ’

M N

ABC ; A’B’C’

GT AÂ = AÂ’; B^=^B ' .

KL A’B’C’  ABC

ABC cân A có Â = 400

 B^=^C = 700 *PMN cân P có :

^

M = 700

 ^M=^N = 700 nên ABC PMN B^=^M = C^=^N = 700 *A’B’C’ có Â’ = 700 ;

^

Chủ đề 7, 8: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

1 Các bước giải toán cách lập phương trình :

Bước 1 : Lập phương trình

- Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng

Bước 2 : Giải phương trình

Bước 3 : Trả lời : Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thích hợp với tốn kết luận

2 Ví dụ:

VD1: Số gà+số chó=36 con chân gà + chân chó = 100chân Tính số gà ? số chó ?

Gọi số gà x (con) ĐK : x nguyên dương, x < 36 Số chân gà là: 2x chân

Số chó : 36 - x (con)

Số chân chó là: 4(36 - x) chân

Tổng số chân 100, nên ta có phương trình : 2x + 4(36 - x) = 100

Giải phương trình lập : x = 14 thỏa mãn điều kiện Vậy số chó 14 (con)

Số gaø laø: 36 - 14 = 22 (con)

VD2: Gọi số tiền Lan phải trả cho số hàng thứ khơng kể thuế VAT : x (nghìn đồng) ĐK : < x < 110

Vậy số tiền Lan phải trả cho loại hàng thứ hai không kể thuế VAT (110 - x) nghìn đồng Tiền thuế VAT cho loại hàng thứ :

10%x (nghìn đồng)

Tiền thuế VAT cho loại hàng thứ hai : 8% (110- x) (nghìn đồng)

Ta có phương trình : 100

8 100

10



x

(110 - x) = 10 Û 10x + 880 - 8x = 1000 Û 2x = 120

 x = 60 (TMÑK)

VD3: Gọi chữ số hàng chục x ĐK : x nguyên dương, x <  Chữ số hàng đơn vị 2x  Chữ số cho :10x + 2x

Nếu thêm chữ số xen hai chữ số số : 100x + 10 + 2x

Ta có phương trình : 102x - 12x = 370 Û 90x = 360

 x = (TMĐK) Vậy số ban đầu 48

VD4 : Gọi tử số phân số x ĐK : x nguyên dương x  ; x ¹  mẫu phân số x -

 phaân số cần tìm có dạng : x-

x

Theo đề ta có phương trình : ) (x- x 

x

Hay

1 10

)

(x- x  x

Û 10x - 40 + x = 5x Û 6x = 40

Û x = 20

(Không TMĐK)

Vậy khơng có phân số có tính chất cho VD5:

Ta coù pt :

x =

(x+20) Û 7x = 5x + 100

Û 7x - 5x = 100 Û 2x = 100 Û x = 50 (thích hợp)

Vận tốc trung bình xe máy là: 50km/S Quãng đường AB là: 50

7

= 175km

V(km/h) t(h) S(km)

Xe maùy x (x > 0)

2

2

x Ô tô x + 20

2

2

VD6:

ÑK : x > 48

Theo đề ta có phương trình : 54 48 1 48 -   x x  54

48- 

-x x

Û 9x - 8x = 504 - 384  x = 120 (TMÑK)

Vậy quãng đường AB dài 120km

VD7: HS hai ô tô chuyển động quãng đường dài 163km Trong 43 km đầu hai xe có cùng vận tốc Sau xe thứ tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu nên sớm xe thứ hai 40 phút

Gọi vận tốc ban đầu xe x (km/h) ĐK : x > Quãng đường lại sau 40 km đầu : 120(km) 40phút =

2

(h)

Theo đề ta có phương trình : 2 , 120 120  -x x Û

120 100

x - x  Û 20



x

Û x = 30 (TMÑK)

Vậy vận tốc ban đầu hai xe 30 (km/h)

VD8: Gọi số điện mức thấp có giá trị x (đồng) ĐK : x > Nhà Cường dùng hết 165 số điện nên phải trả tiền theo mức :

+ 100 số điện : 100 x (đồng)

+ 50 số điện : 50 (x+150) (đồng) + 15 số điện : 15 (x+350) (đồng) Kể thuế VAT nhà Cường phải trả 95700 (đồng) Vậy ta có phương trình :

110

v(km/h) t(h) s(km)

Dự định 48

48

x x

Thực 1giờ đầu 48 48

Bị tầu chắn

6

Đoạn lại 54 48

54

x- x - 48

Vkm/h t(h) S(km) Ô tô 1,2x

x

2 ,

120 120

Ô tô X

x