SKKN - Dai so 8 - Phat huy su sang tao cua HS qua bai toan phan tich da thuc thanh nhan tu

lời nói đầuCác phơng pháp phân tích một đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong việc hình thành kĩ năng của học sinh THCS , nó là cơ sở để giải quyết nhiều bài toán trong chơng

A lời nói đầu

Các phơng pháp phân tích một đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong việc hình thành kĩ năng của học sinh THCS , nó là cơ sở để giải quyết nhiều bài toán trong chơng trình THCS Chính vì vậy, mỗi giáo viên không chỉ dạy cho học sinh biết áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán

mà còn phải định hớng mỗi học sinh phát huy đợc hết khả năng của mình để tìm tòi , khám phá những kiến thức, bài toán liên quan

Trong chơng trình Toán 8 có 3 phơng pháp đa vào dạy cho học sinh trong giờ

học là các phơng pháp: Đặt nhân tử chung, Hằng đẳng thức, Nhóm các hạng tử.

Tuy nhiên bên cạnh đó chúng ta còn thấy rất nhiều phơng pháp khác để phân tích một đa thức thành nhân tử mà trong lí thuyết không đề cập đến nhng lại có rất

nhiều trong bài tập từ Toán 8 đến Toán 9 ( đặc biệt là khi học sinh lớp 9 cha học

CT nghiệm của phơng trình bậc 2, hoặc giải những phơng trình bậc cao đa đợc về dạng phơng trình tích )

Nhằm mục đích phát huy khả năng học Toán của mỗi học sinh qua các

buổi dạy thực tế trên lớp, đặc biệt là học sinh lớp 8 Tôi mạnh dạn đợc ra một số

ý kiến cũng nh kinh nghiệm rút ra đợc từ thực tế giảng dạy của bản thân

B nội dung Phần I : các phơng pháp phân tích I/ Phơng pháp cơ bản

1/ Ph ơng pháp đặt nhân tử chung

( Dùng khi hạng tử của đa thức có nhân tử chung )

a Các b ớc tiến hành :

B

ớc 1 : Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc B

ớc 2 : Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức

phải phân tích cho nhân tử chung

B

ớc 3 : Trờng hợp nếu không có nhân tử chung mà có nhân tử đối thì phải

tiến hành đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung

b.Các ví dụ :

Phân tích đa thức thành nhân tử

P= -17x3y-34x2y2+51xy3

Q= 16x2(x-y)-10y(y-x)

2 Ph ơng pháp dùng hằng đẳng thức :

(Dùng khi các hạng tử của đa thức cần phân tích có dạng hằng đẳng thức )

a Học sinh cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Lu ý thêm các hằng đẳng thức :

a (A+B+C)2= A2+B 2 +C 2+2AB +2BC +2CA)

b An-B n=(A-B)(An-1+ An-2.B + +B n-1)

c 1-xn = (1-x)(1+x+x2+ +xn-1)

b Các ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử:

P=(a2+4) 2-16a2

Q=(x+y)2-2(x+y)+1

R= a3+6a2+12a+8

3 Ph ơng pháp nhóm nhiều hạng tử :

a Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức cần phân tích khi đa thức có nhân tử chung, hoặc cha áp dụng đợc hằng đẳng thức, ta tiến hành theo các bớc sau :

ớc 1 : Phát hiện nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ ở từng

nhóm

B

ớc 2 : Nhóm để áp dụng phơng pháp hằng đẳng thức và nhân tử chung từng

nhóm

B

ớc 3 : Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức

b Các ví dụ :

Phân tích đa thức thành nhân tử :

P= ax-bx + ab-x2

Q= x2-2xy+y2-2x+2y

4 Trình tự suy nghĩ khi phân tích đa thức thành nhân tử

a Thờng suy nghĩ theo trình tự sau :

B ớc 1 : Nghĩ đến đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

B ớc 2: Nghĩ đến nhóm các hạng tử

B ớc 3 : Nghĩ đến các phơng pháp đặc biệt

b Các ví dụ :

Phân tích đa thức thành nhân tử

P=3x3y-6x2y-3xy3-6axy2-3a2xy+3xy

Q=x3+x2-2x-8

II/ Các phơng pháp khác

1 Ph ơng pháp tách hạng tử :

a/ Trờng hợp đa thức dạng : ax 2 +bx+c (a,b,c  Z ; a,b,c  0))

*Nội dung :

+> Kiểm tra : b2-4ac :

Nếu b2-4ac < 0 : Đa thức không phân tích đợc

Nếu b2-4ac = 0 : Đa thức chuyển về dạng bình phơng của một nhị thức

Nếu b2- 4ac > 0 : Đặt b2- 4ac = k2 (k  Q ), đa thức phân tích đợc trong tập

hợp Q

Khi b2- 4ac  k2 : đa thức phân tích đợc trong tập hợp R

Cách 1 :

- Tìm tích ac

- Xem tích ac bằng tích hai số b1và b2 nào mà b1+b2 = b

Tách bx = b1x+ b2x

- Nhóm phân tích theo cách thông thờng

Cách2:

Biến đổi đa thức phải phân tích thành dạng : A2 – B2 bằng cách giữ nguyên 2 hạng tử đầu , tách 2 hạng tử tự do

*Ví dụ :

Phân tích đa thức thành nhân tử :

P = x2-6x + 8 = x2-2x-4x+8 = x( x-2)-4( x-2)= (x-2) ( x-4)

Q = 3x2+5x+2 = ( x + 1 )( x + 2/3 )

b/ Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên :

*Nội dung:

+ Nhẩm nghiệm của đa thức

- Nếu tổng hệ số của các hạng tử bằng 0 thì đa thức có nghiệm bằng 1

- Nếu tổng hệ số của các hạng tử bậc chẵn với hệ số đối của các hạng tử bậc lẻ bằng 0 thì đa thức có nghiệm bằng -1

+ Lu ý định lý : Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là “ Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hạng tử tự do Nếu đa thức có nghiệm hữu tỷ P/Q thì P là ớc của hạng tử tự

do, Q là ớc dơng của hệ số hạng tử có bậc cao nhất ”

Ví dụ 1 :

Phân tích đa thức : x3+3x2-4 thành nhân tử

Giải

Cách 1 : x3+3x2-4 =x3-x2+4x2-4x+4x-4

=x2(x-1)+4x(x-1)+4(x-1)

= (x-1) ( x2+4x+4)

= (x-1) (x+2)2

Cách 2 : x3+3x2-4 = x3-x2+4x2-4

Cách 3: x3+3x2-4 = x3 -1 + 3x2 - 3

Ví dụ 2: Phân tích đa thức 3x3+2x2+2x-1 thành nhân tử

Giải

Nhẩm đợc nghiệm x=

3 1

Ta có 3x3+2x2+2x-1 = 3x3-x2+3x2+3x-x-1

= x2(3x-1) + 3x(x+1)-(x+1)

= x2(3x-1)+(x+1)(3x-1)

= (3x-1) (x2+x+1)

2 Ph ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử

* Nội dung :

Phải thêm bớt cùng một hạng tử nào đó để đa thức chuyển dạng hiệu hai bình phơng , hoặc áp dụng đợc phơng pháp nhóm

*Các ví dụ :

Phân tích đa thức thành nhân tử

P = x4+4 = x4+4+ 4x2-4x2 = (x2+2)2- (2x)2 = (x2+2-2x) ( x2+2+2x)

Q= x2-6x+8 = x2-6x+8+1-1 = (x-3)2- 12 = (x-3-1) (x-3+1) = (x-4)(x-2)

3 Ph ơng pháp đặt ẩn phụ

*Nội dung :

Phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức phân tích để chọn và

đặt ẩn phụ thích hợp

* Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử

A= (x2 + x2)2 +4x2 +4x-12 = (x2+x)2 + 4 (x2 + x )- 12

Đặt x2+x=X ta có A = X2 +4X -12 =X2 +4X+4 -16 = (X +2)2 -42

A = (X+6) (X-2)

Thay X =x2 +x vào ta có A = (x2 +x +6) (x2 +x - 2)

A = (x2 + x+6) (x-1) (x+2)

4 Ph ơng pháp hệ số bất định

*Nội dung:

Trên cơ sở bậc của đa thức phải phân tích xác định các dạng kết quả,phá ngoặc rồi đồng nhất hệ số và giải hệ

Ví dụ:

Phân tích đa thức B=2x3 -5x2 + 8x -3 (1) thành nhân tử

+Nếu đa thức B phân tích thành nhân tử thì B có dạng:

B = ( ax +b)(cx2 +dx +m)

B = acx3 +(ad +bc)x2 +(am+bd)x+bm (2)

Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta có hệ sau:

Vậy B = 2x3 –5x2 +8x –3 = (2x –1)(x2 –2x +3)

5 Ph ơng pháp giá trị riêng

*Nội dung : Phát hiện tính đối xứng của đa thức

-Lần lợt chọn các chữ làm biến ,tìm ngiệm tính chia hết của đa thức

-Xác định kết quả

-Bằng phơng pháp giá trị riêng để tìm kết quả

*Ví dụ:Phân tích đa thức P = ab(a-b)+ bc(b-c) + ca(c-a)

thành nhân tử

Giải

P = ab (a-b) +bc (b-c) +ca (c-a)

Thay a = b ; p = 0 ; p = (a-b)

Vì vai trò của a và b nh nhau  P = (a-b)(b-c)(c-a)

P = k (a-b)(b-c)(c-a)

Cho a = 2,b =1, c = 0 , k = -1  P = -(a-b)(b-c)(c-a)

6.Ph ơng pháp vận dụng định lí về tìm nghiệm của tam thức bậc 2

*Nội dung : Nhẩm nghiệm của đa thức

-áp dụng định lý để phân tích : Nếu đa thức P = ax2+bx+c có nghiệm x1,x2 thì P = a(x-x1)( x-x2)

Ví dụ : Phân tích đa thức P= 2a2 –b2 +ab-5a +b+2

Thành nhân tử (Với P là tam thức bậc 2 biến a )

Giải

P = 2a2 + (b - 5)a - (b2 - b - 2)

P = (b - 5)2+4.2 (b2 - b - 2) = (3b -3)2

Tam thức bậc 2 P có nghiệm : a1 = (b +1) : 2 ; a2= 2- b













2 1 1 2

d c b

P = 2(a-a1)(a-a2) = 2[a-(b+1:2)](a-2+b) = (2a-b-1)(a+b-2)

Phần II : Các bài tập áp dụng

1 Ph ơng pháp tách hạng tử :

Phân tích đa thức thành nhân tử :

P= x2-7xy+12y2= x2-3xy-4xy+12y2= x(x-3y)-4y(x-3y)= (x-3y)(x-4y)

Q= x3-3x+2= x3-1-3x+3= (x-1)(x2+x+1)-3(x-1)=(x-1)(x2+x-2)

2 Ph ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử :

Ví dụ: Phân tích đa thức

P = x5 - 7xy + 12y2

Q = x4 + 64 thành nhân tử

Giải

P = x5 - 7xy+12y2 = x2 - 3xy - 4xy+12y2 = x(x-3y) - 4y(x-3y) = (x-3y) (x-4y)

= x3 (x2+x+1) - x2(x2+x+1) + (x2+x+1) = (x2+x+1) (x3-x2+1)

Q = x4+ 64 = x4 +16x2 + 64-16x2 = (x2 + 8)2- (4x)2 = (x2 +8- 4x)(x2 + 8 + 4x)

3 Ph ơng pháp hệ số bất định:

a Phân tích đa thức P= 3x2 –22xy –4x +8xy +7y2 +1 (1)

thành nhân tử

Giải

Nếu đa thức P phân tích đợc thì :

P = (3x +ay +b)(x +cy +d)

P = 3x2 +(3c+a)xy +(3d+d)x +(ad+bc)y+acy2 +bd (2)

Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta đợc:

 P =(3x -y -1)(x-7y-1)

b Phân tích đa thức Q = 12x2 +5x –12y2 +12y –10xy –3 (3)

thành nhân tử

Giải

Nếu đa thức Q phân tích đợc thì:

Q=(ax+by +3)(cx +dy -1)

Q=acx2+(ad+bc)xy+(3c-a)x +(3d-b)y +bdy2 –3 (4)

đồng nhất hệ số của (3) và (4) ta có:

4.Ph ơng pháp giá trị riêng

a Phân tích đa thức P = (a+b+c)3 - (b+c-a)3 - (c+a-b)3 - (a+b-c)3

thành nhân tử

Giải

Thay a=0  P=0  P  a

Vai trò a,b,c nh nhau  P  a , b , c  P = kabc

Cho a = b = c =1 P=24; k=24  P =24abc

b Phân tích đa thức Q=(b-c)(b+c-2a)2 +(c-a)(c+a-2b)2+(a-b)(c+b-2c)2

thành nhân tử

Giải

Thay a=b  Q =0  Q chia hết cho (a-b)

Vai trò a,b,c nh nhau  Q chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)  Q =k(a-b)(b-c)(c-a) Cho a = 0 ;b =1 ;c = 2  k = -9

 Q = -9 (a-b)(b-c)(c-a)

5/ Ph ơng pháp đổi biến

a Phân tích đa thức P=(x2 +x)2+3(x2+x)+2 thành nhân tử

Giải

Đặt x2+x =y ta có P=y2+3y +2=y2+y+2y+2

P = y(y+1)+2(y+1)=(y+1)(y+2)

Thay y=x2+x ta có P=(x2+x+1)(x2+x+2)

b Phân tích đa thức Q=x2-2xy+y2+3x-3y-10=(x+y)2+3(x-y)-10 thành nhân tử

Giải

Đặt x+y = t ta có Q = t2+3t-10 = t2-2t+5t-10 = t(t-2)+5(t-2)

= (t-2)(t+5)

Thay t=x+y ta đợc :

Q = ( x + y -2 )( x + y + 5)

Phần III

Phát huy trí tuệ của học sinh qua việc giải các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử.

1 Bài toán rút gọn và tính số trị của biểu thức

Ví dụ:

Cho P =

7 8

5 5

2







x x x

a Rút gọn P

b.Tính số trị của P với x=2004

Giải

Đây là bài toán đợc áp dụng và thực hành rất nhiều khi học phân tích đa thức thành nhân tử đờng lối giải là vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu gọn biểu thức Ta phải tiến hành phân tích đa thức thành nhân tử sau đó rút gọn các nhân tử chung ở đây cơ bản là rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân

tử, bên cạnh đó là sử dụng kết hợp một số tính chất toán học khác để giải bài tập

Sự kết hợp có tác dụng rèn trí tuệ học sinh giúp các em thấy sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức toán học, phát triển trí thông minh và phơng pháp t duy lôgíc khoa học ở các em

Ta có:

a, P =

7 8

5 5

2







x x

x

=

) 1 ( 7 ) (

) 1 ( 5

2









x x x

x

=

) 7 )(

1 (

) 1 ( 5







x x

x

= ( 57)



x

b , P =

7

5



x =

7 2004

5

 = 2011 5

*L u ý : Về loại rút gọn và tính số trị biểu thức cần lu ý cho các em ghi nhớ thay

số vào các bài tập đã rút gọn rồi thực hành tính toán kết quả ở bài tập này

Bài toán chứng minh biểu thức phân đồng nhất với biểu thức phân đơn giản hơn

Loại toán này thực chất là toán rút gọn biểu thức đã trình bày ở trên ở đây 1

vế là biểu thức đã cho, vế kia là biểu thức khác có thể đơn giản hơn Thông thờng ta biến đổi rút gọn biểu thức phức tạp trớc Nhng cũng có bài toán ta biến đổi rút gọn cả 2 vế nhng đều đi đến một kết quả giống nhau

Chứng minh đẳng thức sau :

Ví dụ: CMR

) 7 ( 4

5 4 7 8

5 9 4

2 2















x

x x

x

x x

Giải

VT =

) 7 ( 4

5 4 7 4 5 )

7 )(

1 (

) 4

5 )(

1 ( 7 8

5 9 4

2 2































x

x x

x x

x

x x x

x

x

Học sinh thờng thích thú với loại bài tập này vì lý do cho rằng đây là bài toán rút gọn có sẵn kết quả

Bài toán tìm giá trị của biến số để biểu thức có giá trị nguyên

Đờng lối chung để giải bài toán này là tách phần nguyên và phần phân thức của biểu thức đã cho Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn thì kết quả chỉ còn phân thức tiếp theo ta tìm giá trị của biến để phân thức ấy có giá trị nguyên Muốn vậy tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay mẫu thức phải là ớc của tử thức Từ đó ta tìm các giá trị của biểu thức số phải thỏa mãn lập luận trên

Ví dụ: Tìm giá trị của x để biểu thức P có giá trị nguyên

P =

7 8

) 1 ( 5

2







x x x

Giải

Ta có:

P =

) 7 )(

1 (

) 1 ( 5







x x

x

=( 57)



x

Vậy P nguyên  x+7 là ớc của 5

Hay x+7= -1 ; 1 ; -5 ; 5

x + 7 = -1  x= - 8

Vậy khi biến số nhận một trong các giá trị  12;8;2;6  thì P đạt giá trị nguyên

2 Bài toán tìm gía trị của biến số để biểu thức luôn luôn d ơng, luôn luôn

âm hoặc không âm

-Loại toán này kích thích học sinh t duy khi tìm đờng lối phải nắm đợc kiến thức :

-Biểu thức luôn dơng ( > 0 )  tử thức và mẫu thức cùng dấu

-Biểu thức luôn âm ( < 0 )  tử thức và mẫu thức trái dấu

-Biểu thức không âm ( 0 ) biểu thức đã cho bằng lũy thừa bậc chẵn của

biểu thức  0 ( ta thờng đa về bình phơng biểu thức nào đó )

-Ngoài ra ta cần chú ý với trờng hợp biểu thức nguyên ta xét sự luôn dơng hoặc luôn âm của biểu thức dựa theo dấu các nhân tử kết hợp với quy tắc nhân dấu trong số nguyên

Ví dụ 1 : Cho

P =

7 8

5 5

2







x x

x

Tìm x để P luôn dơng, P luôn âm ?

Giải

P=

7 8

5 5

2







x x

x

=

) 7 7 ( ) (

) 1 ( 5



x x x

x

=

) 1 ( 7 ) 1 (

) 1 ( 5









x x

x

x

=

) 7 )(

1 (

) 1 ( 5







x x

x

=

7

5



x

 P > 0  x+7 >0  x > -7

P < 0  x+7 <0  x < -7

Ví dụ 2 : Cho P = 4x2-12x+9, CMR P 0 vớix

Giải

Có P = 4x2-12x+9 = (2x-3)2  0  x

Với những loại bài toán này khi giải các em phải phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút gọn biểu thức Qua đó rèn luyện đợc kỹ năng phân tích và phát triển đợc nhiều kỹ năng khác

3 Bài toán chứng minh sự chia hết

Ví dụ: Cho

P = ( 4x + 3 )2 - 25

CMR: P chia hết cho 8

Giải

P = (4x +3)2-25 = (4x+3-5)(4x+3+5)

= (4x-2)(4x+8) = 8(2x-1)(x+2)

Vì x  Z => 8(2x-1)(x+2) chia hết cho 8

Hay P  8

Loại toán này biến đổi P thành đa thức đã sắp xếp rồi chia hết cho 8 để chứng tỏ

P chia hết cho 8 nhng cách đó quá dài và đơn điệu Cách làm ở Ví dụ trên nhanh và

gọn hơn, thông minh hơn Cụ thể các em biến đổi đa thức thành một tích khi đó biểu thức đã cho sẽ chia hết cho nhân tử trong tích đó

Bài toán giải ph ơng trình :

ở đây muốn nói tới việc giải các phơng trình bằng việc áp dụng kết quả phân tích đa thức thành nhân tử, ở chơng trình lớp 8 các em đợc học giải phơng trình bậc

1 Khi gặp phơng trình bậc cao hơn (bậc 2 trở lên) học sinh không thể dùng quy tắc

đó mà dựa vào kết quả phân tích đa thức thành nhân tử và áp dụng tính chất :

AB = 0  



 0 0

B A

Ví dụ: Giải phơng trình (4x+3)2- 25 = 0

áp dụng kết quả ví dụ trên ta có :

8(2x-1)(x+2) = 0

 













0 2

0 1 2

x

x

 









 2 2 1

x x

Vậy phơng trình có 2 nghiệm ( x = - 2 , x =

2

1 ) Học sinh sẽ thấy say mê hứng thú hơn khi thấy đợc phân tích đa thức thành nhân tử là công cụ đắc lực trong giải phơng trình bậc cao

Trên đây đã trình bày 6 loại bài toán áp dụng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử Tất nhiên không chỉ có 6 loại bài tập này mà còn một số loại bài tập

khác (không điển hình ) có vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử, với những bài

tập vận dụng này nó đã giúp học sinh phát triển trí tuệ và óc tìm tòi sáng tạo khi tìm tòi đờng lối giải Nói chung là cần có sự phân tích đa thức thành nhân tử rồi sau đó vận dụng kết hợp một số kiến thức khác để giải bài toán, từ đó càng phát triển ở các

em t duy logíc khoa học phát triển, tình chính xác trong t duy toán học

Khi giải các bài tập này đã kích thích đợc hứng thú và rèn luyện đợc phẩm chất trí tuệ của học sinh bằng cách yêu cầu học sinh nhận dạng và tìm ra yêu cầu của bài tập Sau đó tìm đờng lối giải bằng cách trả lời câu hỏi: Muốn giải quyết yêu cầu đó phải làm gì ? Trong chừng mực nào đó giáo viên phải giúp đỡ học sinh tháo

gỡ khó khăn bế tắc trong công việc (giáo viên nên gợi ý theo sơ đồ phân tích đi lên )