SKKN phân tích đa thức...

Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán Phần I Đặt vấn đề 1. Lý do về tính cấp thiết: Toán học là một môn học vô cùng quan trọng, nó có vai trò rất to lớn đợc vận dụng nhiều trong thực tiễn đời sống phải nói rằng không một nghành khoa học nào không cần đến toán học nó là cơ sở cho các môn học khác. Đối với bộ môn toán thì hằng đẳng thức đáng nhớ là một nội dung kiến thức rất quan trọng, trong đại số thì gần nh giải dạng toán nào cũng cần phải sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ. Nhng thực tiễn cho thấy rất nhiều học sinh không nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ. Mặt khác trong những năm gần đây việc đổi mới phơng pháp dạy học luôn đợc quan tâm và là vấn đề luôn đợc đa ra bàn luận sôi nổi. Chính vì những lí do đó nên trong trong bài viết này tôi xin đề cập một số kinh nghiệm dạy học hằng đẳng thức đáng nhớ 2 . Mục đích nghiên cứu: Là một giáo viên đã nhiều năm trong nghề, đặc biệt khi dạy toán 8 tôi rất trăn trở ở việc học sinh thờng rất chóng quên và hay mắc sai lầm khi học hằng đẳng thức đáng nhớ và vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán. Chính vì điều đó tôi thiết nghĩ giáo viên giảng dạy cần phải có một phơng pháp giảng dạy phù hợp có trình độ chuyên môn nghiệp vụ vững chắc ,có tâm huyết với nghề dạy học, luôn luôn tìm tòi trau dồi kinh nghiệm giảng dạy. 3 . Kết quả cần đạt đợc: Đề tài này sẽ giúp cho giáo viên có một phơng pháp chung để dạy học hằng đẳng thức đáng nhớ Giúp các em học sinh không những nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ mà còn biết cách ghi nhớ và biết vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán. Rèn cho các em t duy khái quát; Khả năng suy luận, phán đoán qua đó giúp các em say mê học tập hơn, yêu thích bộ môn hơn. 4. Đối tợng, phạm vi và kế hoạch nghiên cứu: Bằng lòng yêu nghề sự mến trẻ bản thân đã tham khảo các nhà giáo đã nhiều năm trong nghề, trò truyện cùng các em học sinh biết đợc những tâm t nguyện vọng, những thắc mắc của các em.Do đó thông qua một mảng kiến thức về hằng đẳng thức đáng nhớ ở môn toán lớp 8 tôi đã tìm hiểu nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy trên lớp và viết lên những suy nghĩ của mình trong một khoảng thời gian cho phép Rất mong đợc đồng nghiệp đón nhận, thông cảm và có những ý kiến đóng góp quý báu xin chân thành cảm ơn ! Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010 1 Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán Phần II: Nội dung 1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu: - Dựa trên cơ sở lý luận khoa học của tài liệu mà tôi đã nghiên cứu - Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy môn toán 8 nhiều năm của bản thân và kinh nghiệm của các nhà giáo đi trớc - Dựa vào các cuộc hội thảo chuyên đề về việc đổi mới phơng pháp dạy học do trờng và do phòng giáo dục tổ chức 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm: Một trong những lỗ hổng kiến thức của học sinh là sau khi học song hằng đẳng thức đáng nhớ là nhiều em vẫn không nhớ, không nhận dạng và không vận dụng đợc hằng đẳng thức đã học vào giải toán. Điều này làm cho các giáo viên giảng dạy bộ môn rất băn khoăn lo lắng vì vậy cần có phơng pháp dạy học thích hợp cộng với kinh nghiệm lòng nhiệt huyết của ngời thầy, sự say mê học tập của các em học sinh mới mong xoá bỏ đợc lỗ hổng kiến thức trên 3. Phơng pháp nghiên cứu: - Phơng pháp làm việc với sách: Nghiên cứu cơ cấu nội dung các phơng pháp trình bày trong các tài liệu để tìm ra phơng pháp thực hành hiệu quả nhất - Phơng pháp thực nghiệm: +Thông qua các giờ giảng dạy trên lớp + Thông qua các cuộc hội thảo chuyên đề về đổi mới phơng pháp giảng dạy - Phơng pháp điều tra qua tài liệu xem vở của học sinh - Phơng pháp đàm thoại: Gặp gỡ trao đổi trò chuyện với giáo viên đã có kinh nghiệm, trò chuyện với các em học sinh 4 . Các giải pháp: I.Dạy học Hằng đẳng thức đáng nhớ Việc dạy học hằng đẳng thức đáng nhớ có thể có nhều quan điểm khác nhau xong qua việc tìm hiểu đúc rút kinh nghiệm tôi nghĩ việc dạy học hằng đẳng thức đáng nhớ có thể tiến hành theo trình tự các hoạt động sau: - Hoạt động Phát hiện hằng đẳng thức đáng nhớ Tức là thông qua một tình huống có vấn đề giáo viên phải làm xuất hiện đợc hằng đẳng thức đáng nhớ - Hoạt động Củng cố Có thể gồm: Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010 2 Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán + Phát biểu hằng đẳng thức đáng nhớ bằng lời : Thông qua hoạt động ngôn ngữ giáo viên có thể khuyến khích học sinh phát biểu theo các cách khác nhau qua đó giúp các em khắc sâu kiến thức đã học cũng là để các em diễn đạt độc lập ý tởng của mình. + Nhận dạng hằng đẳng thức đáng nhớ: Thông qua một tình huống cụ thể có thể là một đẳng thức hoặc một biểu thức xét xem chúng có phải là hằng đẳng thức đã học hay không? + So sánh với hằng đẳng thức đáng nhớ đã học khác để tìm ra những dấu hiệu dặc trng - Hoạt động vận dụng hằng đẳng thức Có thể vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải các bài tập đơn giản hoặc tổng hợp Cụ thể: 1. Hằng đẳng thức thứ nhất: "Bình phơng của một tổng". Hoạt động 1. Phát hiện hằng đẳng thức GV đa ra tình huống học tập: - Bình phơng của một tổng hai số a, b viết nh thế nào? - Tính (a+b) 2 bằng cách nào? GV hớng dẫn học sinh dựa vào phép nhân đa thức tính (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = . Khái quát thành hằng đẳng thức (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (1) với A, B là các biểu thức tuỳ ý Hoạt động 2 củng cố GVcó thể đa ra các tình huống: 1) Phát biểu hằng đẳng thức (1) bằng lời Đây là hoạt động rất quan trọng giúp học sinh học thuộc hằng đẳng thức nhng nhiều GV th- ờng xem nhẹ. Để giúp học sinh ghi nhớ hằng đẳng thức GV có thể cho học sinh phát biểu hằng đẳng thức theo nhiều cách khác nhau rồi chốt lại cách phát biểu ngắn gọn dễ nhớ Chẳng hạn: " Bình phơng của một tổng hai biểu thức bằng bình phơng của biểu thức thứ nhất cộng hai lần tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, cộng bình phơng biểu thức thứ hai." GV cần chỉ rõ cho học sinh thấy. Biểu thức thứ nhất là A Biểu thức thứ hai là B Bình phơng của biểu thức thứ nhất là A 2 Hai lần tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai là 2AB Bình phơng của biểu thức thứ hai là B 2 Bậc của các hạng tử ở vế phải đều bằng 2 2) Nhận dạng hằng đẳng thức (1) Nhận dạng hằng đẳng thức là xét xem một biểu thức hoặc đẳng thức cho trớc có phải hằng đẳng thức đã học hay không? Bài tập dạng này thờng là bài tập trắc nghiệm. Chẳng hạn: Bài 1. (x+2) 2 đợc tính là: A. x 2 + 2x + 4 B. x 2 + 4 C. x 2 + 4x + 4 D. x 2 - 4x + 4 Qua bài này GV chốt cho học sinh: (A + B) 2 A 2 + B 2 Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010 3 Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán Bài 2. Trong các đa thức sau đa thức nào viết đợc dới dạng bình phơng của một tổng? A. 2x 2 + 2x + 1 B. 2x 2 + 4x + 1 C. 4x 2 + 4x + 1 D. 4x 2 + 2x + 1 GV yêu cầu HS giải thích rõ vì sao? Và chỉ rõ A,B Hoạt động 3. Vận dụng Bài 1. Tính a) 2 2 1 + x ; b) (x + 3y) 2 ; c) (3x + 2) 2 Một sai lầm thờng thấy ở học sinh là các em thờng viết: 2 2 1 + x = x 2 + 2.x. 2 1 + 2 1 2 hoặc (x + 3y) 2 = x 2 + 2.x.3y + 3y 2 Do đó qua bài này GV cần cho học sinh chỉ rõ A = ? ; B = ? => A 2 = ? ; B 2 = ? Rèn cho học sinh thói quen đặt biểu thức hoặc phân số (Nếu A, B là một biểu thức hoặc phân số) vào trong ngoặc và cha nên làm tắt khi khai triển hằng đẳng thức Chẳng hạn phải viết 2 2 1 + x = x 2 + 2.x. 2 1 +( 2 1 ) 2 Hoặc (x + 3y) 2 = x 2 + 2.x.3y + (3y) 2 Bài 2. Tính nhanh 51 2 ; 101 2 ; 37 2 + 2.37.13 + 13 2 - Qua bài này giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ trong mỗi trờng hợp đã vận dụng hằng đẳng thức theo chiều xuôi hay chiều ngợc Chẳng hạn: Tính 51 2 = (50+1) 2 = . là ta vận dụng hằng đẳng thức theo chiều xuôi (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 Còn 37 2 + 2.37.13 + 13 2 = (37+13) 2 = . là ta vận dụng hằng đẳng thức theo chiều ngợc A 2 + 2AB + B 2 = (A + B) 2 GV lu ý: Đôi khi ngời ta còn viết dấu hằng đẳng thức đi chẳng hạn thay cho việc viết tính 37 2 + 2.37.13 + 13 2 ngời ta có thể viết là tính 37 2 + 37.26 + 13 2 cần cho học sinh so sánh: nếu không vận dụng hằng đẳng thức thì tính nh thế nào? từ đó rút ra ích lợi của hằng đẳng thức đáng nhớ 2.Hằng đẳng thức thứ hai: "Bình phơng của một hiệu" Hoạt động 1. Phát hiện hằng đẳng thức GV đa ra các tình huống học tập: - Bình phơng của một hiệu hai số a,b viết nh thế nào? - Tính (a- b) 2 bằng cách nào? HS có thể tính (a- b) 2 = (a-b)(a-b)= . GV gợi ý HS tính bằng cách sử dụng hằng đẳng thức (1) Tính (a- b) 2 = [ a + (-b)] 2 = . GV khái quát thành hằng đẳng thức (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 (2) Hoạt động 2. Củng cố a) So sánh hai hằng đẳng thức (1) và (2) GV yêu cầu HS chỉ rõ sự giống nhau và khác nhau giữa hai hằng đẳng thức thức Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010 4 Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (1) (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 (2) GV có thể đa ra tình huống: Vì sao hạng tử 2AB ở hằng đẳng thức thứ hai lại mang dấu trừ? GV giải thích cho HS vì B mang dấu trừ lên chỗ nào B có mũ lẻ thì hạng tử đó sẽ mang dấu trừ b) Phát biểu hằng đẳng thức (2) bằng lời Từ việc so sánh hai hằng đẳng thức (1) và (2) GV yêu cầu HS rút ra cách phát biểu bằng lời hằng đẳng thức (2) " Bình phơng của một hiệu hai biểu thức bằng bình phơng của biểu thức thứ nhất trừ hai lần tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, cộng bình phơng biểu thức thứ hai." Hoặc " Bình phơng của một hiệu hai biểu thức bằng bình phơng của biểu thức bị trừ, trừ hai lần tích của biểu thức bị trừ và biểu thức trừ, cộng bình phơng biểu thức trừ." c) Nhận dạng hằng đẳng thức (2) GV có thể cho học sinh nhận dạng hằng đẳng thức kết hợp nhận dạng các biểu thức A, B, A 2 , B 2 Bài 1 .Trong các đa thức sau đa thức nào viết đợc dới dạng bình phơng của một hiệu? A. x 2 + 4x + 1 B. x 2 + 2xy + y 2 C. x 2 + 1 - 2x D. x 2 - y 2 Qua bài này GV lu ý HS đôi khi ngời ta có thể hoán đổi các vị trí nhằm khó nhận dạng hằng đẳng thức nh trong bài tập trên x 2 + 1 - 2x = (x-1) 2 Bài 2. Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống A. ( . + 9) 2 = y 2 + 18y + . B. x 2 - . + 4 1 = (x - .) 2 C.(25- . ) 2 = . - 20y + 4y 2 D. ( - . ) 2 = . - 4xy + Hoạt động 3. Vận dụng 1) Tính a) (x- 2 1 ) 2 ; b) (2x-3y) 2 GV phải luôn luôn rèn cho học sinh thói quen viết cẩn thận tỉ mỉ chính xác, cha lên làm tắt. Luôn luôn yêu cầu học sinh chỉ rõ A = ? ; B = ? => A 2 = ? ; B 2 = ? 2) Tính nhanh 99 2 ; 1,47 2 - 2.1,47.2,53 + 2,53 2 Khi vận dụng hằng đẳng thức để tính nhanh giáo viên phải yêu cầu học sinh chỉ rõ đã vận dụng hằng đẳng thức theo chiều nào? Nếu không vận dụng hằng đẳng thức thì tính nh thế nào? 3. Hằng đẳng thức thứ ba. "Hiệu của hai bình phơng" Hoạt động 1. Phát hiện hằng đẳng thức GV đa ra tình huống : Hiệu các bình phơng của hai số viết nh thế nào? Tính (a+b)(a-b) để rút ra a 2 - b 2 = (a+b)(a-b) từ đó giáo viên khái quát thành hằng đẳng thức A 2 - B 2 = (A+B)(A-B) (3) Với A, B là các biểu thức tuỳ ý Hoạt động 2 củng cố 1) Phát biểu hằng đẳng thức bằng lời Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010 5 Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán Giáo viên cũng nên để học sinh tự do phát biểu theo quan điểm riêng của mình giáo viên chốt lại một cách phát biểu ngắn gọn yêu cầu học sinh học thuộc Chẳng hạn: "Hiệu các bình phơng của hai biểu thức bằng tích giữa tổng và hiệu của hai biểu thức đó" Hoặc "Hiệu các bình phơng của hai biểu thức bằng tổng của hai biểu thức nhân với hiệu của hai biểu thức đó" 2) Nhận dạng hằng đẳng thức Bài 1. Kết quả của phép tính (3x+1)(3x-1) là: A. 3x 2 - 1 ; B. 3x 2 + 1 ; C. 9x 2 - 1 ; D. 9x 2 + 1 Bài 2. Viết biểu thức y 2 - 9x 2 dới dạng tích ta đợc: A. (y-9x)(y+9x) ; B. (y-9x)(y-9x) C. (y-3x)(y+3x) ; D. (y-3x)(y-3x) Giáo viên cũng yêu cầu học sinh chỉ rõ A = ? ; B = ? => A 2 = ? ; B 2 = ? trong mỗi trờng hợp Và qua bài này giáo viên lu ý học sinh (A-B) 2 A 2 - B 2 và lấy ví dụ (3-1) 2 3 2 - 1 2 Hoạt động 3. Vận dụng Giáo viên đơa ra tình huống: Có thể vận dụng hằng đẳng thức (3) vào giải dạng toán nào? Giáo viên lu ý -Vận dụng theo chiều xuôi A 2 - B 2 = (A+B)(A-B) ta có thể viết một biểu thức dới dạng tích -Vận dụng theo chiều ngợc (A+B)(A-B) = A 2 - B 2 dùng để thực hiện nhân nhanh hai đa thức Bài 1. Tính a) (x+1)(x-1) ; b) (x-2y)(x+2y) ; c) (x+y+4)(x-y+4) Bài 2. Tính nhanh 56.64 Bài này giáo viên cần yêu cầu học sinh nhận xét mối quan hệ đặc biệt giữa hai số 56 và 64 để phát hiện ra cách tính nhanh Trong mỗi bài tập giáo viên vẫn phải yêu cầu học sinh chỉ rõ đã vận dụng hằng đẳng thức theo chiều nào? đâu là A, đâu là A 2 , đâu là B, đâu là B 2 ? 4. Hằng đẳng thức thứ t: "Lập phơng của một tổng" Hoạt động 1. Phát hiện hằng đẳng thức Giáo viên đa ra các tình huống học tập: - Lập phơng của tổng hai số viết nh thế nào? (a+b) 3 tính nh thế nào? Hoặc chứng minh rằng (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + b 3 Từ đó khái quát thành hằng đẳng thức (A+B) 3 = A 3 + 3A 2 B +3AB 2 + B 3 (4)(với A, B là các biểu thức tuỳ ý) Hoạt động 2 củng cố 1) Phát biểu bằng lời Đây là hằng đẳng thức mà học sinh rất hay quên cho nên hoạt động học thuộc bằng lời là rất quan trọng. Có thể phát biểu: Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010 6 Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán " Lập phơng của tổng hai biểu thức bằng lập phơng của biểu thức thứ nhất cộng ba lần tích của bình phơng biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất với bình phơng của biểu thức thứ hai, cộng với lập phơng của biểu thức thứ hai" Giáo viên có thể cho học sinh nhận xét về số các hạng tử của hai vế, bậc của các hạng tử và của các biểu thức A, B của hằng đẳng thức sau khi khai triển Cụ thể là: A từ bậc 3 giảm xuống bậc 0 còn B từ bậc 0 tăng lên bậc 3 2) Nhận dạng hằng đẳng thức Bài 1. Đa thức x 3 + 6x 2 + 12x + 8 là lập phơng của đa thức: A. x + 8 ; B. x + 2 ; C. x 3 + 2 3 ; D. Không thể là lập phơng của đa thức nào. Hoạt động 3. Vận dụng Tính: a) (x+1) 3 ; b) (2x + y) 3 Trong mỗi bài tập giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ các vị trí A, B ; A 3 ; 3A 2 B; 3AB 2 ; B 3 5. Hằng đẳng thức thứ năm: "Lập phơng của một hiệu" Hoạt động 1. Phát hiện hằng đẳng thức Giáo viên đa ra tình huống học tập: Tính (a-b) 3 GV có thể gợi ý viết (a-b) 3 = [a+(-b)] 3 = Giáo viên khái quát thành hằng đẳng thức (A-B) 3 = A 3 - 3A 2 B +3AB 2 - B 3 (5) (với A, B là các biểu thức tuỳ ý) Hoạt động 2 củng cố 1) So sánh hằng đẳng thức (5) với hằng đẳng thức (4) GV yêu cầu học sinh làm rõ tại sao các hạng tử 3A 2 B và B 3 của hằng đẳng thức (5) lại mang dấu trừ? Giáo viên giải thích vì trong hằng đẳng thức (A-B) 3 biểu thức B mang dấu trừ nên hạng tử nào B có mũ lẻ thì sẽ mang dấu trừ 2) Phát biểu bằng lời Từ việc So sánh hằng đẳng thức (5) với hằng đẳng thức (4) hãy phát biểu bằng lời hằng đẳng thức (5) " Lập phơng của hiệu hai biểu thức bằng lập phơng của biểu thức thứ nhất trừ ba lần tích của bình phơng biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất với bình phơng của biểu thức thứ hai, trừ đi lập phơng của biểu thức thứ hai" 3) Nhận dạng hằng đẳng thức (xy-1) 3 đợc tính là: A. xy 3 - 3xy 2 + 3xy -1 ; B. x 3 y 3 + 3x 2 y 2 + 3xy -1 C. x 3 y 3 - 3x 2 y 2 + 3xy -1 ; C. x 3 y 3 - 1 Mỗi đáp án sai giáo viên cần yêu cầu học sinh chỉ rõ sai do đâu? Hoạt động 3. Vận dụng 1) Tính a) 3 3 1 x ; b) (x - 2y) 3 2) Điền đúng(Đ) hoặc sai(S) vào ô vuông Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010 7 Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán A. (2x-1) 2 = (1-2x) 2 ; B. (x-1) 3 = (1-x) 3 C. (x+1) 3 = (1+x) 3 ; D. x 2 - 1 = 1 - x 2 Giáo viên cho học sinh nhận xét về mối quan hệ giữa (A-B) 2 với (B-A) 2 và (A-B) 3 với (B-A) 3 Và (A+B) 3 với (B+A) 3 Giáo viên chốt lại A - B và B - A là hai số đối nhau nên chúng có bình phơng bằng nhau còn lập phơng(có số mũ lẻ) không bằng nhau. Phép cộng có tính chất giao hoán nên A + B = B + A => (A+B) 3 = (B +A) 3 6. Hằng đẳng thức thứ sáu: "Tổng của hai lập phơng" Hoạt động 1. Phát hiện hằng đẳng thức Giáo viên đa ra tình huống học tập: -Tổng các lập phơng của hai số a; b viết nh thế nào? -Tính (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) với a, b là các số tuỳ ý từ đó rút ra a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) Giáo viên khái quát thành hằng đẳng thức A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 - AB + B 2 ) (6) Với A, B là các biểu thức tuỳ ý Hoạt động 2 củng cố 1) Phát biểu hằng đẳng thức bằng lời Giáo viên yêu cầu học sinh so sánh (A 2 - AB + B 2 ) với (A - B) 2 rồi giới thiệu (A 2 - AB + B 2 ) gọi là bình phơng thiếu của một hiệu và chỉ rõ thiếu số 2 Đủ (A 2 - 2AB + B 2 ) = (A - B) 2 Thiếu (A 2 - AB + B 2 ) Vậy có thể phát biểu bằng lời hằng đẳng thức (6) nh thế nào? Giáo viên chốt lại cách phát biểu: " Tổng các lập phơng của hai biểu thức bằng tổng của hai biểu thức ấy nhân với bình phơng thiếu của hiệu của chúng" Đây là hằng đẳng thức rất khó nhớ, học sinh thờng nhầm lẫn viết A 3 + B 3 = (A + B)(A- AB + B) nên giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét bậc của đa thức ở hai vế của hằng đẳng thức để giúp cho việc khắc sâu hằng đẳng thức trên. 2) So sánh hằng đẳng thức (6) và (4) qua đó chốt lại A 3 + B 3 (A+B) 3 3)Nhận dạng hằng đẳng thức Khẳng định nào sau đây là đúng? A. x 3 + 1 = (x+1)(x 2 -2x+1) B. x 3 + 1 = (x+1)(x 2 - x+1) C. x 3 + 1 = (x+1)(x 2 + x+1) D. x 3 + 1 = (x+1) 3 Mỗi đáp án sai giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ sai do đâu? Hoạt động 3. Vận dụng Giáo viên có thể gợi động cơ là hằng đẳng thức (6) có thể vận dụng vào giải các dạng toán nào? Sau đó chốt lại: - Nếu vận dụng theo chiều xuôi A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 - AB + B 2 ) ta có thể dùng để viết một đa thức dới dạng tích Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010 8 Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán - Vận dụng theo chiều ngợc (A + B)(A 2 - AB + B 2 ) = A 3 + B 3 ta có thể dùng để nhân nhanh hai đa thức Bài 1. a) Viết biểu thức x 3 + 8 dới dạng tích. b) Viết biểu thức (x+3)(x 2 -3x +9) dới dạng tổng. Trong mỗi trờng hợp giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ các biểu thức A, B. 7. Hằng đẳng thức thứ bẩy: "Hiệu của hai lập phơng" Hoạt động 1. Phát hiện hằng đẳng thức Giáo viên đa ra tình huống học tập: -Hiệu các lập phơng của hai số a; b viết nh thế nào? -Có thể lập hằng đẳng thức a 3 - b 3 bằng cách nào? Giáo viên gợi ý có thể tính a 3 +(- b 3 ) với a,b là các số tuỳ ý Có thể yêu cầu học sinh tính (a-b)(a 2 +ab+b 2 ) với a,b là các số tuỳ ý Để suy ra a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2 ) Giáo viên khái quát thành hằng đẳng thức A 3 - B 3 = (A-B)(A 2 + AB + B 2 ) (7) Với A, B là các biểu thức tuỳ ý Hoạt động 2 củng cố 1) Phát biểu hằng đẳng thức bằng lời So sánh A 2 + AB + B 2 với (A + B) 2 Từ đó phát biểu bằng lời hằng đẳng thức (7) Giáo viên có thể chốt lại cách phát biểu: " Hiệu các lập phơng của hai biểu thức bằng hiệu của hai biểu thức ấy nhân với bình phơng thiếu của tổng của chúng" 2) So sánh hai hằng đẳng thức (7) và (6) Giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ sự giống và khác nhau giữa hai hằng đẳng thức (7) và (6) Sau đó chốt lại chỉ cần thay B bằng - B từ hằng đẳng thức thứ (6) ta sẽ đợc hằng đẳng thức thứ (7) do đó chỉ cần nhớ hằng đẳng thức (6) sẽ suy ra hằng đẳng thức thứ (7) 3) Nhận dạng Bài 1. Tích (x-2)(x 2 +2x+4) bằng: A. x 3 + 8 ; B. x 3 - 8 ; C. (x-2) 3 ; D. x 3 - 6 Bài 2. biểu thức x 3 - 27 đợc viết dới dạng tích là: A. (x-3)(x 2 + 6x + 9) B. (x - 3) 3 C. (x-3)(x 2 + 3x + 9) D. (x-3)(x 2 -3x + 9) Hoạt động 3. Vận dụng Giáo viên cũng đa ra tình huống học tập: hằng đẳng thức (6) có thể vận dụng vào giải các dạng toán nào? Sau đó chốt lại: - Nếu vận dụng theo chiều xuôi A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) ta có thể dùng để viết một đa thức dới dạng tích - Vận dụng theo chiều ngợc (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) = A 3 - B 3 ta có thể dùng để nhân nhanh hai đa thức Bài 1. a)Tính (x-1)(x 2 +x+1) b) Viết 8x 3 - y 3 dới dạng tích Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010 9 Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán Giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ đã vận dụng hằng đẳng thức theo chiều nào? Trong mỗi trờng hợp thì A = ?, B = ? II. Một số kĩ năng nhận dạng và viết các hằng đẳng thức đáng nhớ 1. Sử dụng tam giác Pascal để xác định hệ số của các hằng đẳng thức dạng (A B) n - Cách lập tam giác Pascal Đỉnh của tam giác là số 1 Các cạnh bên gồm toàn các số 1 . Mỗi số ở bên trong bằng tổng của hai số ở ngay trên đầu nó chẳng hạn 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 4 = 1 + 3 Với cách làm nh vậy ta có thể xác định đợc hệ số của các hằng đẳng thức (A B) 1 ; (A B) 2 ; (A B) 3 ; (A B) 4 ; (A B) 5 ; Một vấn đề đặt ra là phần biến và dấu của mỗi hạng tử thì xác định nh thế nào? Chúng ta cần nắm đợc các quy luật sau đây: + Khi khai triển các hằng đẳng thức dạng (A B) n thì hạng tử đầu tiên sẽ là A n B 0 hay A n sau đó A có bậc sẽ giảm dần còn bậc của B sẽ tăng dần cho tới khi B có bậc n tức là tới hạng tử A 0 B n hay B n + Còn về dấu của mỗi hạng tử thì nếu B mang dấu "-" thì khi khai triển hằng đẳng thức hạng tử nào có B mũ lẻ hạng tử đó sẽ mang dấu "-" Với cách xác định hệ số và nắm vững các quy luật nh trên ta có thể viết: - Với n = 1 ta có (A+B) 1 = A + B ; (A-B) 1 = A - B - Với n = 2 ta có (A+B) 2 = A 2 + 2 AB + B 2 ; (A-B) 2 = A 2 - 2 AB + B 2 - Với n = 3 ta có (A+B) 3 = A 2 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 ; (A-B) 3 = A 2 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 - Với n = 4 ta có (A+B) 4 = A 4 + 4A 3 B + 6A 2 B 2 + 4AB 3 + B 4 (A-B) 4 = A 4 - 4A 3 B + 6A 2 B 2 - 4AB 3 + B 4 -Với n = 5 ta có (A+B) 5 = A 5 + 5A 4 B + 10A 3 B 2 + 10A 2 B 3 + 5AB 4 + B 5 (A-B) 5 = A 5 - 5A 4 B + 10A 3 B 2 - 10A 2 B 3 + 5AB 4 - B 5 Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010 10 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 B có mũ lẻ B có mũ lẻ B có mũ lẻ [...]... năng làm xuất hiện hằng đẳng thức từ đó vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán Sau đây là một số tình huống nh vậy 1 Làm xuất hiện hằng đẳng thức từ đó vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 1 Phân tích đa thức x2 - 4x + 3 thành nhân tử Giải 2 2 Nhận xét: Thấy x - 4x = x - 2.x.2 do đó nếu cộng thêm 4 sẽ đợc hằng đẳng thức (x-2)2 từ đó xuất hiện hằng đẳng thức dạng A2 - B2 Cụ thể... Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010 Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán Ví dụ 2 Phân tích đa thức x4 + 64 thành nhân tử Giải Nhận xét: Không thể sử dụng các phơng pháp phân tích quen thuộc nhng nếu để ý thấy x4 + 64 có dạng (x2)2 + 82 nếu thêm bớt 2.x2.8 thì sẽ xuất hiện hằng đẳng thức (x2 + 8)2 từ đó xuất hiện hằng đẳng thức... + B3) Giáo viên cần cho học sinh nhận xét vế phải sau đó chốt lại: Khi khai triển hằng đẳng thức dạng An - Bn thì vế phải là tích của hai thừa số +Thừa số thứ nhất là hiệu A - B +Thừa số thứ hai là đa thức có bậc là n - 1 và có n hạng tử trong đó các hạng tử là tích AB với số mũ của A giảm dần từ n-1 đến 0, số mũ của B tăng dần từ 0 đến n-1(Bậc của các hạng tử trong ngoặc bằng nhau) 3 Đối với... sinh nhận xét vế phải sau đó chốt lại để học sinh ghi nhớ một số quy luật: Khi khai triển hằng đẳng thức dạng A2k+1 + B2k+1 thì vế phải là tích của hai thừa số +Thừa số thứ nhất là tổng A + B +Thừa số thứ hai là đa thức có bậc là 2k có 2k + 1 hạng tử các hạng tử là tích AB trong đó số mũ của A giảm dần từ 2k đến 0, số mũ của B tăng dần từ 0 đến 2k các dấu "+" và "-" xen kẽ nhau theo thứ tự ấy III Một... hiện đợc hằng đẳng thức thứ nhất hoặc thứ hai Ví dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức x2 - 2x + 5 Giải 2 Nhận xét: Thấy x - 2x nếu cộng thêm 1 sẽ xuất hiện hằng đẳng thức (x - 1)2 Do đó ta biến đổi x2 - 2x + 5 = x2 - 2x + 1 + 4 = (x - 1)2 + 4 4 Nên đa thức đã cho đạt GTNN bằng 4 x = 1 Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất của đa thức A = 4x - x2 + 3 Giải Nhận xét: Thấy 4x - x2 nếu thêm - 4 sẽ xuất hiện . hằng đẳng thức vào giải toán. Sau đây là một số tình huống nh vậy. 1. Làm xuất hiện hằng đẳng thức từ đó vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành. hằng đẳng thức Đáng nhớ vào giải toán Ví dụ 2. Phân tích đa thức x 4 + 64 thành nhân tử. Giải Nhận xét: Không thể sử dụng các phơng pháp phân tích quen