Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi : TỐN (Chun) Thời gian làm : 150 phút Câu (2,0 điểm) Giải phương trình : x x x 20 Câu (1,0 điểm) Hai bạn An Bình so số lượng viên bi mà hai bạn có An nói với Bình :”Nếu bạn cho tơi số viên bi từ túi bạn tơi có số viên bi gấp lần số viên bi bạn Cịn tơi cho bạn số viên bi thế, số viên bi bạn số viên bi tơi” Hỏi số viên bi mà bạn An có ? Câu (2,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x x y y 2 b) Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh abcM60 2 Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2024 2 a b c ab bc ca Câu (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với cạnh AB, AC D E Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE a) Chứng minh A, I , O thẳng hàng I thuộc đường tròn b) Các phân giác góc B C cắt đường thẳng DE M N Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp tam giác BMC vuông O Câu (1,0 điểm) Người ta viết số nguyên 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 lên đỉnh bát giác lồi cho tổng số ba đỉnh liên tiếp không nhỏ k , với k nguyên dương.Tìm giá trị lớn k ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Giải phương trình : x x 3x 20 (1) Điều kiện x 2 Ta có 1 x 5 x x x 2x x x2 2 x 2(tmdk ) x Vậy x Câu (1,0 điểm) Hai bạn An Bình so số lượng viên bi mà hai bạn có An nói với Bình :”Nếu bạn cho tơi số viên bi từ túi bạn tơi có số viên bi gấp lần số viên bi bạn Cịn tơi cho bạn số viên bi thế, số viên bi bạn số viên bi tôi” Hỏi số viên bi mà bạn An có ? Gọi số bi An có x, số bi Bình có y k số bi thay đổi mà An x, y , k ¥ * nói đến x y 4k x k y k 1 3 11 y k x k y k Theo giả thiết ta có hệ phương trình Số viên bi mà bạn An có ứng với x nhỏ , mà x, y, k ¥ * nên từ (3) ta suy k 3; y 11 x 45 Vậy số bi mà bạn An có 45 viên bi Câu (2,0 điểm) 2 c) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x x y y 2 1 1 x x y y x y 4 2 2 2 x y 1 x y 1 1 x y x y x x y 1 x y 2 2 x x 1 Th1: y 3 x y x y x y x2 y x2 y x 1 Th : x y 1 x y 1 y Vậy nghiệm nguyên phương trình 2 d) Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh x; y 1; 3 , 1; 3 , 1; ; 1; 2 abcM60 *)Ta có a b chia hết cho abc M3 a b không chia hết cho 2 Suy a b chia cho dư (vì số phương chia cho dư 1) c chia cho dư 2, mâu thuẫn với số phương chia cho dư Do abcM3 1 a b không chia hết cho không xảy Vậy *) Ta có a b chẵn ab M4 abc M4 Nếu a b lẻ suy c số lẻ mặt khác số phương lẻ chia dư 2 Do a , b chia cho có dư suy c chia cho dư điều mâu thuẫn với 2 số phương chẵn chia dư ( a b c số chẵn), a b lẻ không xảy Trường hợp a b khơng tính chẵn lẻ a, b có vai trị nên ta giả sử a số chẵn b số lẻ 2 Ta có b , c chia cho dư (vì số phương lẻ chia dư 1) 2 c b2 a M a M4 abc M4 c b Suy chia hết cho *) Ta có a b chia hết cho abM5 abc M5 2 a b không chia hết cho suy a , b chia cho dư (vì số phương chia dư hoặc 4) 2 Suy a b chia cho dư 0,2 c chia cho dư 0,2 Mặt khác số phương chia cho dư hoặc Do c M5 c M5 abc M5 Ta có abc chia hết cho 3,4,5 mà BCNN (3; 4;5) 60 abc M60 Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ta có : P P 2024 2 a b c ab bc ca 2 2022 2 a b c ab bc ca ab bc ca 2022 2 2ab 2bc 2ca ab bc ca a b c P 2 a b c 2022 a b c 2022 675 3 Vậy Pmin 675 a b c Câu (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với cạnh AB, AC D E Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE c) Chứng minh A, I , O thẳng hàng I thuộc đường trịn *Ta có AD AE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ADE cân A suy ADE AED 2IDE 2IED (vì DI , EI hai phân giác góc ADE , AED) IDE cân I nên ID IE O Ta có Suy O, I , A trung trực DE, suy A, I , O thẳng hàng OA DE *Do OA DE IDE DIO 90 IDA IDO 90 mà IDA IDE Nên DIO IDO IDO cân O Suy OI OD I thuộc đường tròn (O) d) Các phân giác góc B C cắt đường thẳng DE M N Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp tam giác BMC vuông AD AE (cmt ), ID IE (cmt ), OD OE R Ta có : MOC góc ngồi BOC MOC OBC OCB ABC ACB 180 BAC 1 2 Ta có ADE cân A nên AED MEC 180 BAC 2 Từ (1) (2) suy MOC MEC EMCO tứ giác nội tiếp EMO ECO mà ECO BCO CO phân giác góc C) Nên EMO OCB NMB NCB BCMN tứ giác nội tiếp Ta có tứ giác EMCO nội tiếp OMC OEC mà OEC 90 Nên OMC 90 BMC 90 Vậy BMC vuông M Câu (1,0 điểm) Người ta viết số nguyên 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 lên đỉnh bát giác lồi cho tổng số ba đỉnh liên tiếp khơng nhỏ k , với k ngun dương.Tìm giá trị lớn k *) Xét xi 1; 2;3; 4;5;6;7;8 , i 1;8 số đỉnh bát giác theo thứ tự Theo giả thiết ta có : x1 x2 x3 k x x x k & k 21 x8 x1 x2 k Cộng vế theo vế bất phương trình ta : x1 x2 x8 8k 3.36 8k k 13,5 Do k ¥ * nên k 13 Ta cần chứng minh k 13 không thỏa mãn đề - Giả sử x1 x2 , x3 nhận số số 3, tương tự ta có x7 , x8 khơng thể nhận số số tổng đỉnh liên tiếp bé 13 , từ suy số đánh số vào đỉnh x4 ; x5 ; x6 , đồng thời số không nằm liên tiếp hai đỉnh x4 , x5 x5 , x6 x3 x8 , điều vô lý có hai số - Do ta có hai trường hợp x4 2, x5 8, x6 x4 3, x5 8, x6 ta có số cịn lại 4,5, 6, điền vào vị trí x2 , x3 , x7 , x8 Ta có x1 x2 x3 13 x1 x8 x7 13 Suy x2 x3 12, x7 x8 12 x2 x3 x7 x8 24 Mà 22 24 điều mâu thuẫn Do khơng tồn k 13 Trong trường hợp k 12 ta dễ dàng đưa cách đánh số sau : x1 1, x2 5, x3 6, x4 2, x5 4, x6 7, x7 3, x8 Vậy giá trị lớn cần tìm k k 12 ... chứng minh k 13 không thỏa mãn đề - Giả sử x1 x2 , x3 nhận số số 3, tương tự ta có x7 , x8 khơng thể nhận số số tổng đỉnh liên tiếp bé 13 , từ suy số đánh số vào đỉnh x4 ; x5 ; x6 , đồng thời... Do ta có hai trường hợp x4 2, x5 8, x6 x4 3, x5 8, x6 ta có số cịn lại 4,5, 6, điền vào vị trí x2 , x3 , x7 , x8 Ta có x1 x2 x3 13 x1 x8 x7 13 Suy x2 x3 12, x7 x8
Ngày đăng: 10/10/2022, 00:36
Xem thêm:
