SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi : TOÁN CHUYÊN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) P= Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm để x P ( x + x − 11 )( x −1 x +2 ) x −2 + −1 x −1 x +2 − (với ≤ x ≠ 1) P chia hết cho Câu (2,0 điểm) a) Cho phương trình trị nguyên b) m x − ( m − 1) x − = ( 1) để phương trình ( 1) (với m tham số) Tìm tất giá có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = x + + 3x − = Giải phương trình Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a2 b2 c2 + + ≥ a+b+c b+c−a c + a −b a +b−c Câu (1,5 điểm) Tìm n∈¥ để n5 + chia hết cho n3 + Câu (3,5 điểm) Từ điểm N A bên ngồi đường trịn tiếp điểm) Gọi E trung điểm khác M) H giao điểm a) Chứng minh tứ giác ( O) MN HCEN AO nội tiếp kẻ hai tiếp tuyến AN , C AM , AN giao điểm với (O) (M, ME với (O) (C b) c) D AC I NO Gọi giao điểm tam giác cân Gọi giao điểm Tính tỉ số KM KD D với (O) ( với với ( O) C ) Chứng minh tam giác K (I khác N); giao điểm MND MD AI ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) P= Cho biểu thức Rút gọn biểu thức c) P= = ( x + x − 11 ( )( x −1 x +2 ) − x + x − 11 )( x −1 x +2 ) − x −2 + −1 x −1 x +2 (với ≤ x ≠ 1) P x −2 + −1 x −1 x +2 x + x − 11 − x + + x − − x − x + ( ) ( x + 2) ( x − 1) ( x−6 x −7 = = ( x − 1) ( x + 2) ( x − 1) ( d) x Tìm để P= Ta có : x −1 P )= x + 2) x +7 chia hết cho x +7 5 = 1+ ⇒ < P ≤ + = ( ∀0 ≤ x ≠ 1) 2 x +2 x +2 ⇔ P =3⇔ Biểu thức P chia hết cho x= Vậy x +7 x +2 x +7 = ⇔ x + = x + ⇔ x = (tm) x +2 Câu (2,0 điểm) c) Cho phương trình giá trị nguyên x1 + x2 = ac < Vì m x − ( m − 1) x − = ( 1) m để phương trình (với ( 1) m tham số) Tìm tất có hai nghiệm nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 , x2 thỏa mãn với giá trị Theo hệ thức Vi-et ta có : x1 + x2 = 2m − ( ) ( 3) x1 x2 = −3 x1 + x2 = Kết hợp với (2) ta Thay vào (3) ta : x1 = 4m − 9; x2 = − 2m m = ( 4m − ) ( − 2m ) = −3 ⇔ −8m + 46m − 60 = ⇔ 15 m= d) Giải phương trình x≥ Điều kiện : x + + 3x − = ⇔ ⇔ x + + 3x − = ( ) ( x +1 − + ) 3x − − = ( x − 3) x −3 + = ⇔ ( x − 3) + =0 x +1 + 3x − + 3x − + x +1 + x = ⇔ + = 0(VN ) 3x − + x + + Vậy x=3 Câu (1,0 điểm) Cho a , b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a2 b2 c2 + + ≥ a+b+c b+c−a c + a −b a +b−c Đặt x = a + b − c > a = x + z y = b + c − a > ⇒ z = c + a − b > b = x + y ; c = y + z 2 ( x + y) 4z Ta cần chứng minh : ( x + y) 4z Ta có : Mặt khác : Khi ( y + z) + 4x ( y + z) + 4x ( z + x) + 4y ≥ ( z + x) + ≥ x+ y+ z 4y xy yz zx + + ( 1) z x y xy yz yz zx xy zx + ≥ y; + ≥ z; + ≥ x z x x y z y xy yz zx + + ≥ x + y + z ( 2) z x y ( x + y) Từ (1) (2) ta có : Vậy 2 4z ( y + z) + 4x ( x + z) + 4y a2 b2 c2 + + ≥ a+b+c b + c −a c + a −b a +b −c ≥ x+ y+z Dấu xảy Câu (1,5 điểm) Tìm Với n∈ ¥, n∈¥ ta có : để n5 + chia hết cho n3 + n5 + 1Mn3 + ⇔ n ( n3 + 1) − ( n − 1) Mn3 + ⇔ ( n − 1) Mn3 + ⇔ ( n − 1) ( n + 1) M( n + 1) ( n − n + 1) ⇔ n − 1Mn − n + (do n + ≠ 0) ⇒ n ( n − 1) Mn − n + ⇔ ( n − n + 1) − 1Mn − n + n2 − n + = n = ⇔ 1Mn − n + ⇒ ⇔ (tm) n − n + = −1 n = Vậy n = 0, n = Câu (3,5 điểm) a=b=c Từ điểm (M, N A bên đường tròn tiếp điểm) Gọi E Chứng minh tứ giác Ta có ∆MON AM , AN cân O, có trực ứng với Vì HCEN e) D OA OA ∠MNC = ∠AME suy tứ giác Gọi giao điểm tam giác cân AC giao điểm đường phân giác ME với HCEN ∠MON đồng thời đường tung nên HE đường trung bình mà với (O) nội tiếp đường phân giác nên ⇒ HE / / MA ⇒ ∠HEM = ∠AME ∠MNC = ∠HEM AN , C AM , AN AO MN ⇒ MH = HN ; OA ⊥ MN MN = HN , AE = EN Nên MN hai tiếp tuyến cắt nên OA kẻ hai tiếp tuyến trung điểm (O) (C khác M) H giao điểm d) ( O) ∆MAN (cùng chắn ¼ ) MC nội tiếp D với (O) ( với C ) Chứng minh tam giác MND ∆ENC ∽ ∆EMN ( g g ) ⇒ ∆ECA ∆EAM có : EA EC = EM EA ∠EMA = ∠MDC Lại có EN EC = EM EN Mặt khác, Do ∆MND Gọi giao điểm AI Tính tỉ số Gọi L giao điểm IN ⊥ MD có Lại có Suy với K (I khác N); giao điểm (tính chất tiếp tuyến) MD LK IL = ( 1) AN IN (cùng vng góc với ∠MLI = ∠ONA = 90° nên MN ), suy ∠MIL = ∠AON ∆MIL ∽ ∆AON ( g g ) IL ML IL ML IL ML = ⇒ = ⇒ = ( 2) NO AN NO AN IN AN Từ (1) (2) suy LK ML ML ML = ⇒ LK = ⇒ MK = KL = AN AN 2 MK = LK , ML = DL ⇒ KD = 3KM ⇒ Vì ( O) MD, NI L LK / / AN ⇒ Ta có ∠EAC = ∠MDC nên cân N NO ⇒ DL = ML = IM / / AO chung ⇒ ∆ECA ∽ ∆EAM ⇒ ∠EAC = ∠EMA KM KD MD / / AN (cmt ), IN ⊥ AN ∆INA ¼ ) MC nên (cùng chắn cung MN) I Nên (cùng chắn ∠MDN = ∠MNA ⇒ ∠MDN = ∠DMN Vì ∠AEC MD / / AN ⇒ ∠DMN = ∠MNA Suy f) mà EN = EA EA EC = EM EA KM = KD MD ... thức Vi-et ta có : x1 + x2 = 2m − ( ) ( 3) x1 x2 = −3 x1 + x2 = Kết hợp với (2) ta Thay vào (3) ta : x1 = 4m − 9; x2 = − 2m m = ( 4m − ) ( − 2m ) = −3 ⇔ −8m + 46m − 60 = ⇔ 15 m= ... giác cân AC giao điểm đường phân giác ME với HCEN ∠MON đồng thời đường tung nên HE đường trung bình mà với (O) nội tiếp đường phân giác nên ⇒ HE / / MA ⇒ ∠HEM = ∠AME ∠MNC = ∠HEM AN , C AM , AN