Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh phú yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH 10 THPT CHUYÊN PHÚ YÊN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI: TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút Đề thức Câu (4,0 điểm) a) Cho a , b, c ba số thực khác cho a +b +c = Chứng minh 1 1 1 + + = + + ÷ a b2 c  a b c  b) Tính giá tri biểu thức : P= 1 1 1 1 + + + + + + + + + 2 3 Câu (3,0 điểm) Giải hệ phương trình Câu (3,0 điểm) Giải phương trình : Câu (3,0 điểm) Tìm hai nghiệm x1 , x2 m  x + y + xy = x   y + xy = y x − + − x = − x + x − 14 để phương trình độ dài hai cạnh AB, AC x − ( m + 1) x + m + = tam giác ABC (m tham số) có vng A có BC = a, b, c Câu (4,0 điểm) Cho ba đường thẳng cố định a nằm cách c Một đường thẳng a , b, c A, B, C Trên đoạn b AB động c Trên lấy điểm d lấy điểm I cho E IE = cho ID song song nhau, cho cố định, vng góc IA = IB a, cắt Gọi D điểm di Đường thẳng DE b a cắt F a) b) Lấy điểm H đoạn ED HE = cho Chứng minh đường thẳng DE Tính giá trị biểu thức Chứng minh ∠FIH = 90° tiếp xúc với đường tròn cố định Câu (3,0 điểm) Cho số nguyên dương Q = x+ y+z HD x, y , z thỏa ( x + y) + z = 63x ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) c) Cho a , b, c ba số thực khác cho a+b+c = Chứng minh 1 1 1 + + = + + ÷ a b2 c  a b c  Ta có 1 1  1 1   + + ÷ = + + + 2 + + ÷ a b c a b c  ab bc ca  1  a+b+c  1 = + + + 2 ÷= + + a b c  abc  a b c d) Tính giá tri biểu thức : P= 1 1 1 1 + + + + + + + + + 2 3 Ta chứng minh 1 1 + 2+ = 1+ − , ∀k ≥ 2 k k k +1 ( k + 1) a Thật vậy, theo câu ta có : 1 1 1  1  + 2+ = 2+ 2+ = 1 + − , ∀k ≥ ÷ = 1+ − 2 k k k k +1  k k +1  ( k + 1) ( −k − 1) Khi : 1 1 1 1 1 1 1 + + = + − ; + + = + − ; .; + + = + − 2 3 4 9 P = 7+ Cộng vế theo vế, ta 1 133 − = 18 Câu (3,0 điểm) Giải hệ phương trình Ta có :  x + y + xy = x   y + xy = y  x + y + xy = x ( 1)   y + xy = y ( ) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta : x = x − xy = x − y ⇔ ( x − y ) ( x − 1) = ⇔  x = y y = *) x = ⇒ ( 1) ⇔ y + y = ⇔   y = −1 y = *) x = y ⇒ ( 1) ⇔ y − y = ⇔  y =  ( 0; ) ,  Vậy nghiệm hệ phương trình Câu (3,0 điểm) Giải phương trình : Điều kiện : Khi : 3≤ x ≤5 Đặt 1 ; ÷( 1; ) ; ( 1; −1) 3 3 x − + − x = − x + x − 14 a = x − 3, b = − x ( a, b ≥ ) 2 a + b = a 2b + a + b = a 2b + a + b = a b + ⇔ ⇔ 2  2 2 a + b − ab = a + b = ( )  ( a b + 1) − 2ab =  a + b = a 2b + a + b = a 2b +  ⇔ ⇔   ( ab ) + ( ab ) − 2ab − = ( ab − 1) ( ab ) + ( ab ) + 3ab + 1 = 2 a + b = a + b = a b + ⇔ ⇔ ⇔ a = b =1⇒ x − =1⇔ x =  ab = ab = 1( ab > ) m Câu (3,0 điểm) Tìm có hai nghiệm BC = có Ta có độ dài hai cạnh độ dài hai cạnh có hai nghiệm dương Do AB , AC tam giác x1 , x2 AB , AC ABC vuông A nên x1 , x2 >  ∆ = ( m + 1) − ( m + 3) ≥ m − 2m − 11 ≥   ⇔ S = m + > ⇔ m > −1 ⇔ m ≥ 1+ P = m + > m > −3   độ dài hai cạnh AB, AC tam giác ABC ⇒ x + x = 25 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 25 = (m tham số) x − ( m + 1) x + m + = ( 1) x1 , x2 Do ( 1) x1 , x2 để phương trình x − ( m + 1) x + m + = vuông A BC = 2  m = 30(tm) ⇔ ( m + 1) − 2(m + 3) = 25 ⇔ m = 30 ⇔   m = − 30(ktm) Vậy m = 30 Câu (4,0 điểm) Cho ba đường thẳng cố định a nằm cách c Một đường thẳng cắt a , b, c A, B, C Trên đoạn b AB di động c Trên lấy điểm a , b, c d cố định, vuông góc lấy điểm I cho E IE = cho song song nhau, cho ID IA = IB a, b Gọi D điểm Đường thẳng DE a cắt F c) Lấy điểm H đoạn ED HE = cho HD Chứng minh ∠FIH = 90° Do a , b, c b song song nhau, cho nằm cách a c nên trung điểm Xét hình thang trung điểm HE = Mà HD AN / / BE ⇒ Do B AC AFDC có AF / / CD / / BE B trung điểm AC DF nên FH = ( 1) FD IE IB = = IN IA Gọi N giao điểm IE AF nên E Xét tam giác ∆FDN FDN Do có NE FH FI = FD FM FI , ND Gọi M giao điểm IE IE = ; = ⇒ IN = ID IN ID Kẻ Chứng minh đường thẳng HT / /CD, HE = Do cắt HD AC nên Do Kẻ Xét IP ⊥ DE ∆FIO nên suy ∆IND hay DE M IH / / MD ( 3) trung điểm cân I, suy DN IM ⊥ ND ( ) ∠FIH = 90° tiếp xúc với đường tròn cố định T BT = TC , Gọi O giao điểm OF / /TH , suy , hay IH ⊥ IF Từ (3) (4) ta suy d) nên I trọng tâm FI = ( 2) FM Từ (1) (2) ta suy Do đường trung tuyến IE = IN IH suy IO IA = =1 IH IT IA = IT NF IH = IO ( ) hay P I vng có Xét tam giác FIH IA đường cao nên vng I có Từ (5), (6) (7) suy IP = IA IP 1 = + ( 6) IA IF IO đường cao nên , không đổi 1 = 2+ ( 7) IP IF IH Vậy đường thẳng DE ln tiếp xúc với đường trịn x, y , z Câu (3,0 điểm) Cho số nguyên dương Tính giá trị biểu thức Q = x+ y+z 63 x = ( x + y ) + z ≥ 16 x y + z Ta có : Do x ≤ 63 x > 16 x y ⇒ 63 > 16 xy ⇒ xy ≤ ⇒  y ≤1 x = 1, y = ⇒ z + 16 = 63 ⇔ z = Nếu Nếu Nếu Vậy 47 (ktm) x = 2, y = ⇒ z + 81 = 126 ⇔ z = 9(tm) x = 3, y = Q = 12 z + 256 = 189 ⇒ z < thỏa ( x + y) + z = 63 x ... giá trị biểu thức Chứng minh ∠FIH = 90° tiếp xúc với đường tròn cố định Câu (3,0 điểm) Cho số nguyên dương Q = x+ y+z HD x, y , z thỏa ( x + y) + z = 63x ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) c) Cho a , b, c ba... = 2+ ( 7) IP IF IH Vậy đường thẳng DE tiếp xúc với đường tròn x, y , z Câu (3,0 điểm) Cho số nguyên dương Tính giá trị biểu thức Q = x+ y+z 63 x = ( x + y ) + z ≥ 16 x y + z Ta có : Do x ≤ 63