Giải tích tổ hợp (Bổ túc kiến thức)
Quy tắc cộng
Khi một công việc có thể thực hiện theo nhiều phương án khác nhau, chẳng hạn như A1, A2, , Ak, và mỗi phương án có số cách thực hiện riêng biệt là n1, n2, , nk, tổng số cách để thực hiện công việc sẽ được tính bằng tổng các cách thực hiện của từng phương án, tức là n1 + n2 + + nk.
Một sinh viên thi cuối kỳ có ba lựa chọn đề thi: đề dễ với 48 câu hỏi, đề trung bình với 40 câu hỏi, và đề khó với 32 câu hỏi Vậy có tổng cộng bao nhiêu cách để sinh viên lựa chọn đề thi?
Giải Sinh viên này có 48 cách chọn đề dễ, 40 cách chọn đề trung bình, và có 32 cách chọn đề khó Vì vậy có 48 + 40 + 32 = 120cách chọn đề thi.
Quy tắc nhân
Giả sử một công việc gồm k công đoạn A1, A2, , Ak, trong đó công đoạn A1 có n1 cách thực hiện, A2 có n2 cách, và Ak có nk cách Tổng số cách thực hiện công việc này sẽ là tích của số cách thực hiện từng công đoạn, tức là n1.n2 nk.
Ví dụ 1.1.2 Đi từA đến B có thể đi theo 3 lộ trình (3 cách đi), sau đó đi từ B đến C có thể đi theo
2 lộ trình Nh− vậy có tất cả 3.2 = 6 lộ trình đi từA đến C.
Một bé có thể mang họ từ cha là Trần hoặc từ mẹ là Nguyễn Tên đệm của bé có thể là Anh hoặc Minh, và tên chính có thể là Nhân, Đức hoặc Trí Vậy có bao nhiêu cách để đặt tên cho bé?
Giải Có 2 cách chọn họ, 2 cách chọn tên đệm, và 3 cách đặt tên nên có: 2.2.3 = 12 cách đặt tên cho bÐ.
Nếu liệt kê ra, sẽ đ−ợc các tên sau:
Trần Anh Nhân, Trần Anh Đức, Trần Anh Trí.
Trần Minh Nhân, Trần Minh Đức, Trần Minh Trí.
Nguyễn Anh Nhân, Nguyễn Anh Đức, Nguyễn Anh Trí.
Nguyễn Minh Nhân, Nguyễn Minh Đức, Nguyễn Minh Trí.
Chỉnh hợp (không lặp)
Mỗi bộ k phần tử có kể đến thứ tự, đ−ợc lấy không lặp từ tập n phần tử (1 6k 6 n) gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tửđã cho.
Kí hiệu số các chỉnh hợp chậpk của n phần tử là A k n , ta có:
Chỉnh hợp lặp
Mỗi bộ k phần tử (k tuỳ ý) có kể đến thứ tự, đ−ợc lấy lặp từ tập n phần tử gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu số chỉnh hợp lặp chập k củan phần tử là F n k , ta có:
Ví dụ 1.1.4 Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập đ−ợc bao nhiêu số tự nhiên: a Cã 3 ch÷ sè. b Cã 6 ch÷ sè. c Có 3 chữ số đôi một khác nhau.
Một số tự nhiên có 3 chữ số được tạo ra từ 5 chữ số cho trước chính là một chỉnh hợp lặp chập 3 của 5 phần tử Do đó, số lượng các số tự nhiên có ba chữ số tương đương với số các chỉnh hợp lặp của 5 phần tử này.
Số tự nhiên có 6 chữ số được tạo ra từ 5 chữ số cho trước, ví dụ như 112345, là một chỉnh hợp lặp chập 6 của 5 phần tử Do đó, số lượng các số tự nhiên có 6 chữ số tương đương với số lượng các chỉnh hợp lặp.
F 5 6 = 5 6 = 15625 c Vì ba chữ số đôi một khác nhau nên một số nh− vậy chính là một chỉnh hợp (không lặp) chập
3 của 5 phần tử đã cho Do đó số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau đúng bằng số các chỉnh hợp, ta có:
Chú ý 1.1.1 Trong khái niệm chỉnh hợp (không lặp) thì (16k6n), còn trong khái niệm chỉnh hợp lặp thì k là một số tự nhiên tuỳ ý, có thể lớn hơn n.
Hoán vị
Hoán vị của n phần tử là cách sắp xếp có thứ tự của n phần tử Mỗi hoán vị này tương đương với một chỉnh hợp chập n của các phần tử đó.
Kí hiệu số hoán vị củan phần tử là Pn, Vì Pn=A n n nên ta có:
Tổ hợp
Một tổ hợp chập k của n phần tử, với 1 ≤ k ≤ n, là một tập hợp các phần tử được chọn không lặp lại từ tập n phần tử, không quan tâm đến thứ tự.
Kí hiệu số các tổ hợp chậpk củan phần tử là C n k ,vì k phần tử lấy ra khác nhau và không kể đến thứ tự nên:
Anh An có 11 người bạn, bao gồm một cặp vợ chồng, và anh dự định mời 5 người đến dự tiệc Câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu cách để mời sao cho cặp vợ chồng cùng được mời hoặc không ai trong số họ được mời.
Giải: Có hai tr−ờng hợp:
Khi cả hai vợ chồng cùng được mời, anh An cần mời thêm 3 người trong số 9 người còn lại Số cách chọn 3 người từ 9 người này tương đương với tổ hợp chập 3 của 9 phần tử Do đó, số cách mời chính xác là C(9, 3) = 84 cách.
T−ơng tự, khi cả hai vợ chồng không đ−ợc mời, anh An sẽ mời 5 trong 9 ng−ời: C 9 5 = 126 (cách mêi).
Vậy anh An có tất cả: 84 + 126(cách mời).
Nhị thức Newton
C n k a k b n − k (1.1.5) Để hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm trên, ta xét tiếp ví dụ sau đây.
Ví dụ 1.1.6 Cho tập hợp gồm ba phần tử{a, b, c}, khi đó: a Nếu chọn ra các bộ gồm 2 phần tử có thứ tự ta đ−ợcA 2 3 = 3.2 = 6 chỉnh hợp là:
{a, b},{b, a},{a, c},{c, a},{b, c},{c, b} b Nếu chọn các bộ gồm hai phần tử có thứ tự và các phần tử có thể lấy lặp ta đ−ợcF 3 2 = 3 2 = 9 chỉnh hợp lặp là:
{a, b},{b, a},{a, c},{c, a},{b, c},{c, b},{a, a},{b, b},{c, c} c Số hoán vị thu đ−ợc gồm3! = 6 hoán vị là:
{a, b, c},{a, c, b},{b, a, c},{b, c, a},{c, a, b},{c, b, a} d Nếu chọn ra các bộ hai phần tử không kể thứ tự ta đ−ợc C 3 2 = 3 tổ hợp là:
Phép thử và biến cố
Khái niệm phép thử và biến cố
Trong toán học, có những khái niệm không thể định nghĩa một cách chính xác mà chỉ có thể được mô tả qua hình ảnh hoặc tư duy trực giác Một trong số đó là khái niệm "phép thử", mà chúng ta không thể đưa ra một định nghĩa cụ thể.
Khi thực hiện một phép thử, chúng ta quan sát một hiện tượng hoặc tiến hành một thí nghiệm và chú ý đến kết quả thu được từ quá trình đó.
Phép thử ngẫu nhiên là một thử nghiệm mà chúng ta chưa biết được kết quả sẽ xảy ra Trong bài viết này, chúng ta sẽ chỉ tập trung vào việc nghiên cứu các phép thử ngẫu nhiên.
Trong lý thuyết xác suất, một biến cố ngẫu nhiên được định nghĩa là kết quả của một phép thử, có thể xảy ra hoặc không xảy ra Một phép thử có khả năng tạo ra nhiều biến cố khác nhau.
Ta thường dùng các chữ cái: A, B, C, để ký hiệu biến cố.
Trong một phép thử, các biến cố có thể là sự kết hợp của những biến cố khác Ví dụ, khi gieo một con xúc xắc, kết quả "xuất hiện mặt chẵn" là một biến cố, trong khi các kết quả "xuất hiện mặt 1 chấm", "2 chấm", đến "6 chấm" cũng được coi là các biến cố riêng lẻ Biến cố "xuất hiện mặt chẵn" thực chất là hợp của ba biến cố cụ thể: "xuất hiện mặt 2", "xuất hiện mặt 4" và "xuất hiện mặt 6".
Biến cố sơ cấp là những sự kiện không thể chia nhỏ thành các sự kiện khác Chẳng hạn, các biến cố như "xuất hiện mặt 1 chấm", "2 chấm", cho đến "6 chấm" đều được coi là biến cố sơ cấp.
Ta th−ờng ký hiệu các biến cố sơ cấp là: ω1, ω2,
• Không gian mẫu: (Hay còn gọi là không gian các biến cố sơ cấp)
Tập hợp chứa tất cả các biến cố sơ cấp của một phép thử đ−ợc gọi là không gian mẫu của phép thử đó.
Không gian mẫu đ−ợc ký hiệu là Ω.
Một biến cố sơ cấp được định nghĩa là một phần tử của không gian mẫu (ω∈Ω), trong khi một biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu (A ⊂ Ω) Biến cố A đóng vai trò như một tập hợp chứa các biến cố sơ cấp ω Nếu tập hợp A chỉ có một phần tử, nó sẽ được coi là một biến cố sơ cấp Có thể hình dung không gian mẫu như một mặt phẳng, trong đó mỗi đường thẳng đại diện cho một biến cố và mỗi điểm là một biến cố sơ cấp.
Khi gieo một con xúc xắc, không gian mẫu được xác định là Ω = {1,2,3,4,5,6}, với các mặt 1 đến 6 là những biến cố sơ cấp Tập hợp A = {2,4,6} đại diện cho một biến cố xảy ra khi mặt xúc xắc xuất hiện là 2, 4 hoặc 6.
6 chấm xuất hiện, có thể gọi A là biến cố "xuất hiện mặt chẵn" T−ơng tự B ={1,3,5} là biến cố
Trong trò chơi gieo xúc xắc, nếu biến cố C được định nghĩa là "số chấm xuất hiện nhiều hơn 7", thì C không xảy ra trong bất kỳ lần gieo nào, tức là C = ∅ Ngược lại, biến cố D, có nghĩa là "số chấm xuất hiện nhỏ hơn 7", luôn xảy ra trong mỗi lần thử, vì vậy D = Ω.
•Biến cố chắc chắn: Khi thực hiện một phép thử, biến cố chắc chắn xẩy ra gọi làbiến cố chắc chắn.
Nh− vậy, không gian mẫu Ωlà biến cố chắc chắn.
Biến cố không thể có là một khái niệm trong xác suất, dùng để chỉ những tình huống không thể xảy ra khi thực hiện một phép thử Tập hợp ∅ đại diện cho biến cố không thể có, nghĩa là không có kết quả nào thuộc về biến cố này.
Khi thực hiện phép thử bằng cách hỏi ngẫu nhiên một sinh viên Khoa QTKD để lấy thông tin, không gian mẫu có thể được xác định dựa trên kết quả quan tâm Nếu chúng ta muốn biết sinh viên đó đến từ tỉnh nào, không gian mẫu sẽ là Ω ={Quảng Nam, Đà Nẵng, Quảng Bình, } với mỗi tỉnh là một biến cố sơ cấp Nếu kết quả quan tâm là ngành học của sinh viên, không gian mẫu sẽ là Ω ={QTKD, QTMKT, NH, } Tuy nhiên, khi hỏi sinh viên đó học lớp nào, các kết quả như QTKD, QTMKT, NH không còn là biến cố sơ cấp mà trở thành biến cố Tương tự, sự biến động giá cả trên thị trường được xem như một phép thử, trong khi sự kiện lạm phát xảy ra là một biến cố Diễn biến của cơn bão ngoài Biển Đông cũng là một phép thử, còn sự kiện cơn bão vào Việt Nam là một biến cố.
Không phải tất cả các phép thử đều được thực hiện một cách chủ động Một số biến cố chỉ có thể được phát hiện thông qua việc thực hiện các phép thử, trong khi những biến cố khác lại chỉ có thể được quan sát từ các hiện tượng tự nhiên hoặc xã hội.
Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố
Khi giải quyết các bài toán trong lý thuyết xác suất, việc diễn tả một biến cố phức tạp thông qua các biến cố đơn giản hơn là rất cần thiết Để thực hiện điều này, chúng ta cần nghiên cứu mối quan hệ giữa các biến cố, được thể hiện qua các phép toán giữa chúng.
Phép cộng trong xác suất được định nghĩa là tổng của hai biến cố A và B, xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố này xảy ra Ký hiệu cho phép cộng là A + B (hoặc A ∪ B).
Khi bắn 2 viên đạn vào một tấm bia, ta định nghĩa các biến cố như sau: A là "viên thứ nhất trúng bia", B là "viên thứ hai trúng bia", và C là "bia bị trúng đạn" Ta có thể kết luận rằng biến cố C xảy ra khi ít nhất một trong hai viên đạn trúng bia, tức là C = A + B Điều này có nghĩa là tấm bia sẽ bị trúng đạn nếu ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
• Phép nhân: Tích của hai biến cốA và B là một biến cố xẩy ra khi và chỉ khi đồng thời xẩy ra cả
A và B, kí hiệu A.B (hoặc A∩B) Có nghĩa:
Trong ví dụ 1.2.4, một sinh viên ngẫu nhiên chọn một câu hỏi Ta định nghĩa A là biến cố "bốc được câu lý thuyết", B là biến cố "bốc được câu khó", và C là biến cố "bốc được câu lý thuyết khó" Do đó, biến cố C có thể được biểu diễn dưới dạng tích của A và B, tức là C = A.B.
Hiệu của hai biến cố A và B, ký hiệu là A−B (hoặc A\B), là một biến cố xảy ra khi A xảy ra nhưng B không xảy ra.
A−B ={ω|ω ∈A và ω /∈B} ii)Phần bù của biến cố A, ký hiệu là A, đ−ợc xác định: A = Ω−A.
Ví dụ 1.2.5 Chọn ngẫu nhiên một SV để làm lớp trưởng Gọi A là biến cố "chọn được SV nam" thì
A là biến cố "chọn đ−ợc sinh viên nữ". b Mối quan hệ giữa các biến cố
• Thuận lợi: Biến cố A thuận lợi (hay kéo theo) đối với biến cố B, kí hiệu A ⊂B, nếu trong phép thử đó A xuất hiện thì B cũng xuất hiện.
• Đồng nhất: Biến cố A đồng nhất(hay bằng) biến cố B, kí hiệu A=B, nếu đồng thời A thuận lợi đối với B và B cũng thuận lợi đối với A.
• Xung khắc: A và B gọi làxung khắc với nhau khi và chỉ khi A và B không đồng thời xẩy ra khi thực hiện phép thử Có nghĩa AB=∅.
Ví dụ 1.2.6 Trong một hộp có bốn loại bút: xanh, đỏ, vàng và đen Chọn ngẫu nhiên 1 cây bút, gọi
A là biến cố "chọn đ−ợc bút xanh", B là biến cố "chọn đ−ợc bút đỏ" Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc.
• Hệ các biến cố xung khắc: Các biến cố A1, A2, , An gọi là xung khắc từng đôi khi và chỉ khi
Trong ví dụ trên nếu gọi C là biến cố "chọn đ−ợc cây bút vàng" Khi đó A, B, C xung khắc từng đôi.
• Hệ các biến cố đầy đủ: Các biến cố khác rỗngA1, A2, , An gọi là đầy đủ khi và chỉ khi chúng xung khắc từng đôi và A1+A2+ An = Ω.
Trong ví dụ trên nếu gọiD là biến cố "chọn đ−ợc cây bút đen" Khi đóA, B, C, D lập thành một hệ đầy đủ.
Hai biến cố A và B được coi là đối lập khi chỉ có một trong hai biến cố xảy ra trong quá trình thực hiện phép thử Điều này có nghĩa là giao của A và B là rỗng (A∩B =∅) và hợp của A và B bao trùm toàn bộ không gian mẫu (A∪B = Ω), ký hiệu B bằng A.
+) Biến cố đối lập của A chính là phần bù A.
+) Hai biến cố đối lập thì xung khắc với nhau, nh−ng ng−ợc lại thì không đúng.
+) A và A lập thành một hệ đầy đủ.
Kết quả thi môn Toán của học sinh trong lớp được phân loại như sau: loại giỏi với điểm 9 và 10, loại khá với điểm 7 và 8, loại trung bình với điểm 5 và 6, loại kém với điểm 3 và 4, và loại rất kém với điểm 0, 1 và 2 Điểm từ 5 đến 10 được coi là đạt, trong khi điểm từ 0 đến 4 là không đạt Khi chọn ngẫu nhiên một học sinh, các biến cố A, B, C, D, E, F, G tương ứng với các loại giỏi, khá, trung bình, kém, rất kém, đạt và không đạt.
+) A, B, C, D là xung khắc từng đôi mà không đầy đủ.
+) F, Glà hai biến cố đối lập.
Trong một trò chơi bóng rổ, hai cầu thủ A và B lần lượt ném hai quả bóng vào rổ, với A ném trước Để xác định không gian mẫu Ω, ta cần xem xét tất cả các kết quả có thể xảy ra từ hai lượt ném của mỗi cầu thủ Các biến cố có thể được biểu diễn dưới dạng các biến cố sơ cấp, phản ánh từng kết quả cụ thể từ các lượt ném của A và B.
+) Số bóng trúng rổ của hai cầu thủ bằng nhau.
+) Số bóng trúng rổ của cả hai cầu thủ bằng 3.
+) Số bóng trúng rổ của A ít hơn B.
Giải: a Nếu ta quan tâm số bóng trúng rổ thì:
Khi xem xét từng quả ném rổ của các cầu thủ A1, A2 và B1, B2, chúng ta có thể xác định các biến cố A và B tương ứng với việc ném trúng rổ quả 1 và 2 Không gian của các biến cố sơ cấp sẽ được xác định dựa trên những kết quả này.
(A1.A2.B1.B2),(A1.A2.B1.B2),(A1.A2.B1.B2),(A1.A2.B1.B2)(A1.A2.B1.B2.),(A1.A2.B1.B2),(A1.A2.B1.B2),(A1.A2.B1.B2)(A1.A2.B1.B2),(A1.A2.B1.B2),(A1.A2.B1.B2),(A1.A2.B1.B2)o b Gọi C, D, E t−ơng ứng là các biến cố cần tìm, ta có:
Các khái niệm về xác suất
Định nghĩa xác suất theo nghĩa cổ điển
Trong một phép thử với n kết quả đồng khả năng, nếu có m kết quả thuận lợi cho biến cố A, thì xác suất của A được định nghĩa là tỷ số giữa số kết quả thuận lợi cho A và tổng số kết quả đồng khả năng của phép thử, ký hiệu là P(A).
Số phần tử của Ω (1.3.1) Để tínhm, n ta th−ờng dùng các phép toán của giải tích tổ hợp.
Khi gieo một con xúc xắc lý tưởng, không gian mẫu được xác định là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, với các biến cố sơ cấp có xác suất đồng khả năng Theo định nghĩa xác suất cổ điển, nếu A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, thì A = {2, 4, 6}.
T−ơng tự nếu gọiB là biến cố xuất hiện mặt lẽ thì P(B) = 1 2 b Nếu gọiClà biến cố xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 khi đóC ={3,6}nênP(C) = 1 3
Ví dụ 1.3.2 Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nam sinh viên Chọn ngẫu nhiên một nhóm gồm
Trong cuộc thi "Dự án kinh tế cộng đồng", có 4 sinh viên tham gia và chúng ta cần tính xác suất cho các trường hợp sau: a Xác suất có hai nam trong số 4 sinh viên được chọn; b Xác suất có ít nhất một sinh viên nam trong số 4 sinh viên được chọn; c Xác suất không có sinh viên nam trong số 4 sinh viên được chọn; d Xác suất có nhiều nhất hai sinh viên nam trong số 4 sinh viên được chọn.
Số cách chọn 4 sinh viên từ 50 sinh viên là 230300 Gọi A là biến cố có hai nam trong số 4 sinh viên được chọn, số trường hợp thuận lợi cho A là 82650.
230300 = 0,35888. b GọiB là biến cố có ít nhất một nam trong 4 sinh viên đ−ợc chọn Số tr−ờng hợp thuận lợi cho
B là: mB =m1+m2+m3+m4, trong đó m1, m2, m3, m4 tương ứng là số trường hợp có 1 nam, 2 nam, 3 nam, 4 nam trong 4 sinh viên đ−ợc chọn.
= 0,97896 c GọiC là biến cố không có sinh viên nam trong 4 sinh viên đ−ợc chọn Số tr−ờng hợp thuận lợi cho C là: mC =C 20 4 = 4845
230300 = 0,02104. d Gọi D là biến cố có nhiều nhất 2 nam trong 4 sinh viên đ−ợc chọn Số tr−ờng hợp thuận lợi cho D là: mD =C 20 4 +C 30 1 C 20 3 +C 30 2 C 20 2 = 121695 VËy:
Trong một tình huống có 5 khách hàng vào một ngân hàng với 3 quầy phục vụ (I, II, III), có thể xảy ra một số khả năng như sau: a Tất cả 5 khách hàng đều chọn cùng một quầy, b Chỉ có 1 khách hàng vào quầy I, và c Chỉ có quầy I có 1 khách hàng Các khả năng này sẽ được tính toán để xác định tỷ lệ phần trăm xảy ra của từng trường hợp.
Mỗi khách hàng có 3 cách chọn quầy, dẫn đến tổng số cách chọn cho 5 người là n = 3^5 = 243 Gọi A là biến cố khi cả 5 người vào cùng một quầy, chỉ có 3 cách xảy ra: tất cả vào quầy I, II hoặc III Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là mA = 3 Từ đó, xác suất của biến cố này được tính toán.
Xác suất của biến cố B, trong đó quầy I có một người, được tính bằng cách chọn 1 trong 5 người vào quầy I, sau đó 4 người còn lại sẽ được phân chia vào 2 quầy II và III, với số cách chọn là 16 Do đó, tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 5 nhân với 16, bằng 80 cách Xác suất cần tìm là 243 = 0.01234567 b.
Trong bài toán xác suất, ta có 243 = 0.329218107 Gọi C là biến cố có quầy số I chỉ có 1 người Số cách chọn 1 người vào quầy I là 5 cách Sau đó, 4 người còn lại cần được phân bố vào 2 quầy II và III, với điều kiện không có quầy nào có 1 người Do đó, chỉ có 2 trường hợp khả thi cho việc phân bố này.
Tr−ờng hợp 1: cho cả 4 ng−ời cùng vào một quầy, sẽ có 2 cách.
Tr−ờng hợp 2: mỗi quầy có 2 ng−ời, sẽ cóC 4 2 = 6.
Số kết quả thuận lợi cho biến cốC: m C = 5∗(2 + 6) = 48 Vậy:
Nhận xét 1.3.1 (Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển)
•Ưu điểm: Tính đ−ợc chính xác xác suất của biến cố mà không cần phải thực hiện phép thử.
Nhược điểm của phương pháp này là số lượng các biến cố sơ cấp có hạn, và tính chất đồng khả năng không phải lúc nào cũng có thể xác định rõ ràng Để khắc phục những hạn chế này, chúng tôi giới thiệu hai định nghĩa xác suất mới.
Định nghĩa xác suất bằng hình học
Trong trường hợp phép thử có vô hạn kết quả đồng khả năng, tập hợp các kết quả này có thể được biểu diễn bằng một miền hình học đo được G Các kết quả thuận lợi cho biến cố A được xác định bởi một miền con g ⊂ G Do đó, xác suất của biến cố A được định nghĩa dựa trên mối quan hệ giữa miền g và miền G.
P(A) = độ đo của g độ đo của G (1.3.2) Độ đo có thể là: độ dài, diện tích, thể tích.
Ví dụ 1.3.4 Cho điểm M rơi ngẫu nhiên vào hình tam giác đều cạnh 2 cm Tìm xác suất để điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác đó.
Giải: Gọi A là biến cố điểm M rơi vào hình tròn, khi đó P(A) là tỷ số của diện tích hình tròn trên diện tích hình tam giác Có nghĩa:
Ví dụ 1.3.5 (Bài toán gặp nhau)
X và Y đã hẹn gặp nhau tại một địa điểm từ 8 giờ đến 9 giờ, với quy định rằng nếu ai đến trước 20 phút, người đó sẽ bỏ đi Để tính xác suất họ gặp nhau, cần lưu ý rằng mỗi người có thể đến vào bất kỳ thời điểm nào trong khoảng thời gian này.
Lấy gốc tọa độ là 8 giờ, ta định nghĩa x là thời điểm đến của X và y là thời điểm đến của Y, được tính theo phút Tập hợp các biến cố có thể xảy ra được biểu diễn bằng tập các điểm M(x, y) thuộc miền xác định.
Gọi A là biến cố hai người gặp nhau Khi đó tập các biến cố thuận lợi cho A là tập các điểm
N(x, y) thuéc miÒn: g ={(x, y) :x−206y6x+ 20}. Biểu diễn miền G và g trên mặt phẳng ta đ−ợc xác suất:
Trong trường hợp các kết cục của một phép thử xảy ra không đồng đều, xác suất được định nghĩa theo quan điểm thống kê Định nghĩa này dựa vào tần suất xuất hiện của các kết cục trong một nhóm phép thử.
Định nghĩa xác suất theo thống kê
Khi thực hiện n phép thử, nếu biến cố A xuất hiện m lần, thì tỷ số m/n được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử, ký hiệu là fn(A) Do đó, ta có công thức: fn(A) = m/n.
Một xạ thủ đã bắn 100 viên đạn và có 85 viên trúng bia Gọi A là biến cố xạ thủ bắn trúng bia, tần suất trúng bia của xạ thủ này được tính là fn(A) = 85.
Trong ví dụ 1.3.7, khi thực hiện rút ngẫu nhiên 100 sản phẩm từ kho, kết quả kiểm tra cho thấy có 5 sản phẩm bị phế phẩm Gọi A là biến cố xuất hiện phế phẩm, tần suất xuất hiện phế phẩm được tính là fn(A) = 5.
Giá trị của tần suất phụ thuộc vào số lượng phép thử n; khi số phép thử ít, tần suất sẽ thay đổi nhiều, trong khi với số phép thử lớn, tần suất trở nên ổn định và dao động xung quanh một giá trị nhất định.
Ví dụ 1.3.8 Thí nghiệm tung đồng tiền đ−ợc các nhà bác học thực hiện và thu đ−ợc các kết quả sau:
Ng−ời làm TN Số lần tung Số lần có mặt sấp Tần suất
Khi số lần tung đồng tiền tăng lên, tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động ổn định xung quanh giá trị 0,5 Điều này thể hiện định nghĩa xác suất theo thống kê.
Khi thực hiện một phép thử n lần và có m lần xảy ra biến cố A, tần suất fn(A) = m/n sẽ tiếp cận một giới hạn p nào đó khi n đủ lớn Giá trị p này được định nghĩa là xác suất của biến cố A.
Ta sẽ thấy ý nghĩa của định nghĩa này qua định lí Bernoulli một cách rõ ràng hơn.
+) Trong thống kê dân số, người ta đã tổng kết được xác suất em bé ra đời là trai hay gái xấp xỉ bằng 0,5.
+) Xác suất đ−ợc mặt sấp khi tung đồng tiền xu là 0,5.
Nhận xét 1.3.3 (Ưu điểm và nh−ợc điểm của định nghĩa xác suất bằng thống kê)
•Ưu điểm : Không gian mẫu Ωgồm vô hạn biến cố sơ cấp và không đòi hỏi tính đồng khả năng.
Nhược điểm của phương pháp này là yêu cầu thực hiện nhiều lần phép thử, điều này có thể gây khó khăn trong thực tế Nhiều bài toán không thể thực hiện do hạn chế về điều kiện và kinh phí cho việc tiến hành thử nghiệm.
Tính chất và ý nghĩa của xác suất
a Tính chất: Theo định nghĩa xác suất ta dễ dàng suy ra đ−ợc các tính chất sau:
VíiA, B bÊt kú thuécΩ, ta cã:
Trong xác suất, nếu A là tập con của B (A ⊂ B), thì xác suất P(A) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng P(B) Điều này có nghĩa là xác suất P(A) thể hiện khả năng xảy ra của biến cố A trong một phép thử Khi P(A) càng lớn và gần 1, khả năng xuất hiện của A càng cao Ngược lại, nếu P(A) càng nhỏ và gần 0, khả năng xảy ra của A sẽ càng ít.
Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ
Một biến cố không thể có xác suất bằng 0, và qua thực nghiệm, người ta nhận thấy rằng các biến cố có xác suất nhỏ thường không xảy ra trong một hoặc vài phép thử Nguyên lý xác suất nhỏ được thừa nhận cho rằng nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ, thì trong một phép thử, có thể coi như biến cố đó không xảy ra Ví dụ, mỗi chiếc máy bay đều có xác suất rất nhỏ bị tai nạn, nhưng thực tế, chúng ta vẫn tin tưởng đi máy bay vì cảm thấy biến cố máy bay rơi không xảy ra Mức xác suất được coi là nhỏ phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể; ví dụ, xác suất máy bay rơi là 0,01 có thể không được coi là nhỏ, trong khi xác suất chuyến tàu khởi hành chậm ở mức 0,01 có thể được xem là nhỏ.
Mức xác suất nhỏ, được gọi là mức ý nghĩa (α), phản ánh khả năng xảy ra của biến cố A Độ tin cậy (γ) được xác định bằng 1−α, cho thấy mức độ chắc chắn của kết luận rằng biến cố A với xác suất nhỏ (P(A) = α) sẽ không xảy ra trong thực tế.
T−ng tự nh− vậy ta có thể đ−a ra "Nguyên lý xác suất lớn": "Nếu biến cố A có xác suất gần bằng
Trong thực tế, có thể coi rằng biến cố sẽ xảy ra trong một phép thử Tuy nhiên, việc xác định mức xác suất nào được xem là lớn sẽ phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể.
Các phép tính xác suất
Công thức cộng xác suất
Cho A, B, A1, A2, , An ⊂Ω Khi đó ta có các công thức sau:
3) Mở rộng cho n biến cố ta có:
4) NếuA1, A2, , An xung khắc từng đôi thì:
Trong lớp K15QNH có tổng cộng 40 sinh viên, trong đó 25 sinh viên học Tiếng Anh, 15 sinh viên học Tiếng Nhật, và 10 sinh viên học cả hai ngoại ngữ Khi chọn ngẫu nhiên một sinh viên, xác suất để sinh viên đó theo học ngoại ngữ tại IIG là 35/40 Xác suất để sinh viên đó chỉ học Tiếng Anh là 15/40 Đối với xác suất sinh viên chỉ học một ngoại ngữ, tỷ lệ này là 25/40 Cuối cùng, xác suất để sinh viên không học ngoại ngữ tại IIG là 5/40.
Sinh viên A và B lần lượt là những cá nhân theo học Tiếng Anh và Tiếng Nhật tại IIG Điều này có nghĩa là sinh viên đó đang tham gia vào chương trình học ngoại ngữ tại IIG, bao gồm Tiếng Anh hoặc Tiếng Nhật Vì vậy, xác suất tìm kiếm liên quan đến việc sinh viên này theo học ngoại ngữ tại IIG là rất quan trọng.
40 = 3 4 b Xác suất để sinh viên đó chỉ học mỗi Tiếng Anh:
40 = 1540 c Xác suất để sinh viên đó chỉ học mỗi Tiếng Nhật:
40 = 5 40 Suy ra xác suất để sinh viên này chỉ học đúng một ngoại ngữ là:
40 = 1 2 d Xác suất để sinh viên này không học ngoại ngữ tại IIG:
Trong một hộp có 50 sản phẩm loại I và 15 sản phẩm loại II, khi lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra, cần tính xác suất để có ít nhất 1 sản phẩm loại II trong số 10 sản phẩm được kiểm tra.
Gọi A là biến cố có ít nhất một sản phẩm loại II trong số 10 sản phẩm được kiểm tra Do đó, A cũng có thể được hiểu là biến cố không có sản phẩm loại II nào trong số 10 sản phẩm được kiểm tra.
Công thức nhân xác suất
a Xác suất có điều kiện
Khi xem xét sự xuất hiện của biến cố A, chúng ta thường phải tính đến điều kiện biến cố B đã xảy ra Định nghĩa xác suất có điều kiện: Giả sử A và B là hai biến cố bất kỳ với P(B) > 0, thì tỷ số P(AB)/P(B) được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra trước đó, ký hiệu là P(A/B).
Nếu P(A) > 0, thì tỷ số P(B|A) = P(AB)/P(A) được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố B, với điều kiện rằng biến cố A đã xảy ra trước đó.
1) Vì xác suất có điều kiện P(A/B) đ−ợc tính qua xác suất không điều kiện P P(B) (AB) nên nó cũng có các tính chất của xác suất bình th−ờng, chẳng hạn nh−:
2) Sự khác nhau của P(A/B) và P(AB) là:
+) P(A/B) = Số phần tử của AB
Số phần tử của B +) P(AB) = Số phần tử của AB
Khi gieo ba con xúc xắc cân đối một cách độc lập, ta có thể tính xác suất để tổng số nốt xuất hiện của ba con là 6 Đồng thời, ta cũng cần tính xác suất này với điều kiện là có ít nhất một con xúc xắc hiện ra mặt 2 chấm.
Giải: a GọiA là biến cố "tổng số nốt xuất hiện của ba con xuc xắc là 6" Số tr−ờng hợp thuận lợi cho
A là: (2,2,2); (1,1,4); (1,2,3) và các hoán vị của chúng.
Từ đó suy ra: mA= 1 + 3 + 6 = 10.
Số kết quả đồng khả năng của phép thử: n=F 6 3 = 6 3 = 216.
VËyP(A) = m n A = 216 10 b GọiB là biến cố "có một con xúc xắc ra mặt 2" Khi đó theo công thức xác suất có điều kiện ta có xác suất cần tìm là:
DÔ thÊyP(B) = 216 216 − 125 = 216 91 Để tínhP(AB) ta thấy các trường hợp có tổng bằng 6 mà trong đó có "2" là (2,2,2); (1,2,3) và các hoán vị của chúng, do đó
216 VậyP(A/B) = 91/216 7/216 = 91 7 (Số phần tử của AB là 7, số phần tử củaB là 91). b Công thức nhân xác suất
1) Từ công thức xác suất có điều kiện chúng ta có:
2) Mở rộng cho tích n biến cố ta có:
Trong một hộp chứa 10 cuộn phim, có 3 cuộn bị hỏng Khi chọn lần lượt 3 cuộn phim theo phương thức không hoàn lại, xác suất để cả 3 cuộn phim được chọn đều bị hỏng là một bài toán thú vị trong xác suất.
A 1 : là biến cố chọn cuộn phim thứ 1 bị hỏng.
A2 : là biến cố chọn cuộn phim thứ hai bị hỏng (lúc này đã biết cuộn 1 hỏng).
A3 : là biến cố chọn cuộn phim thứ 3 bị hỏng (lúc này đã biết cuộn 1 và cuộn 2 hỏng).
Vậy xác suất để chọn cả 3 cuộn phim đều bị hỏng là:
10.9.8 = 0,0083. c Các biến cố độc lập với nhau Định nghĩa 1.4.2
Hai biến cố A và B được coi là độc lập nếu sự xảy ra hoặc không xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia Điều này có nghĩa là việc xảy ra của A không làm thay đổi xác suất của B và ngược lại.
• Các biến cố A 1 , A 2 , , A n , (n > 2) đ−ợc gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi đôi bất kỳ trong n biến cố ấy độc lập với nhau.
Các biến cố A1, A2, , An (với n > 2) được xem là độc lập toàn phần khi mỗi biến cố này độc lập với tích của bất kỳ tổ hợp nào trong các biến cố còn lại.
Nhận xét 1.4.2 Các biến cố độc lập toàn phần thì độc lập từng đôi, ng−ợc lại không đúng.
Trong lý thuyết và tính toán, tính độc lập được xác định qua công thức, trong khi trong thực tế, nó thường được nhận biết bằng trực giác.
Hai xạ thủ A và B cùng bắn vào một bia, với A là biến cố của người thứ nhất và B là biến cố của người thứ hai Kết quả bắn trúng hay trượt bia của mỗi người không ảnh hưởng đến kết quả của người còn lại.
A, B là hai biến cố độc lập. b Gieo đồng thời hai con xúc xắc Gọi A là biến cố con thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, B là biến cố con thứ hai xuất hiện mặt lẽ Vì việc xuất hiện mặt chẵn hay mặt lẽ của mỗi con không ảnh h−ởng đến nhau nên A, B là hai biến cố độc lập.
Các kết luận sau đây là tương đương: A và B độc lập với nhau, điều này được thể hiện qua công thức xác suất P(A.B) = P(A) P(B).
Các biến cố A1, A2, , An được coi là độc lập toàn phần khi và chỉ khi với bất kỳ dãy con nào từ n biến cố này, tích các biến cố của dãy con đó bằng tích các xác suất của từng biến cố.
P(Ai 1Ai 2 Ai k) =P(Ai 1).P(Ai 2) P(Ai k) (1.4.6) với mọi {i1, i2, , ik} ⊂ {1,2, , n},26k 6n.
Hai công ty hoạt động độc lập được mời tham gia thầu một dự án với xác suất trúng thầu lần lượt là 0,8 và 0,9 Xác suất để chỉ có một công ty trúng thầu có thể được tính bằng cách lấy xác suất của công ty thứ nhất trúng thầu và công ty thứ hai không trúng thầu, cộng với xác suất của công ty thứ hai trúng thầu và công ty thứ nhất không trúng thầu Để tìm xác suất có ít nhất một công ty trúng thầu, ta có thể lấy 1 trừ đi xác suất cả hai công ty đều không trúng thầu Cuối cùng, xác suất để cả hai công ty cùng trúng thầu là tích của xác suất trúng thầu của từng công ty.
Giải: GọiA1, A2 lần l−ợt là các biến cố công ty thứ nhất, thứ hai trúng thầu. a Gọi A là biến cố có đúng một công ty trúng thầu Khi đó: A=A1A2+A1A2
= 0.8∗0.1 + 0.2∗0.9 = 0.26 b Gọi B là biến cố có ít nhất một công ty trúng thầu Khi đó: B =A1+A2
P(B) = 1−P(B) = 1−P(A1.A1) = 1−P(A1).P(A2) = 1−0.2∗0.1 = 0.98 c Xác suất cả hai công ty trúng thầu:
P(A1.A2) =P(A1).P(A2) = 0.8∗0.9 = 0.72 d D ã y các phép thử độc lập Định nghĩa 1.4.3 Dãy gồm n phép thử G1, G2, , Gn đ−ợc gọi là độc lập với nhau nếu:
P(A1i.A2i Ani) =P(A1i).P(A2i) P(Ani) (1.4.7)Trong đó A1i, A2i, , Ani tương ứng là một biến cố bất kỳ trongn phép thử G1, G2, , Gn.
Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Công thức xác suất đầy đủ
Một hệ quả của công thức cộng và nhân xác suất là công thức xác suất đầy đủ (còn đ−ợc gọi là công thức tính xác suất toàn phần).
Giả sử A1, A2, , An là một hệ thống đầy đủ các biến cố trong một phép thử B là một biến cố bất kỳ trong phép thử đó, và các biến cố này có thể được trình bày trực quan qua một hình ảnh minh họa.
Cho biết P(A i ) và P(B/A i ), i= 1, n Hãy xác định xác suất P(B) =?
BiÕn cèB xÈy ra khi:
Các biến cố Ai xung khắc đôi một nên các biến cốAiB cũng xung khắc đôi một, áp dụng công thức cộng xác suất:
Theo công thức nhân xác suất:
Công thức này đ−ợc gọi là công thức xác suất đầy đủ.
Ví dụ 1.5.1 Một nhà máy có 3 phân xưởng sản xuất cùng một loại sản phẩm Trong đó phân xưởng
Tại nhà máy, phân xưởng I sản xuất 36%, phân xưởng II sản xuất 34%, và phân xưởng III sản xuất 30% tổng sản lượng Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng lần lượt là 12%, 10%, và 8% Để tính tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy, cần xem xét tỷ lệ sản xuất và tỷ lệ phế phẩm của từng phân xưởng.
Trong quá trình lấy mẫu ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho của nhà máy, ta định nghĩa biến cố B là sản phẩm được chọn là phế phẩm, với P(B) là tỷ lệ phế phẩm tổng thể của nhà máy Bên cạnh đó, ta cũng xác định các biến cố A1, A2, A3 lần lượt là sản phẩm được lấy ra từ các phân xưởng I, II, III.
P(B/A1) = 0,12;P(B/A2) = 0,1;P(B/A3) = 0,08 VìA1, A2, A3 lập thành một hệ đầy đủ nên:
Vậy tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy là: 10,12%.
Trong ví dụ 1.5.2, với các giả thuyết đã đưa ra, chúng ta sẽ thêm một điều kiện mới là chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho, và giả sử sản phẩm đó là phế phẩm Câu hỏi đặt ra là xác suất để sản phẩm phế phẩm này thuộc về phân xưởng II là bao nhiêu? Hơn nữa, chúng ta cũng cần xác định phân xưởng nào có khả năng sản phẩm phế phẩm này thuộc về nhiều nhất.
Muốn giải đ−ợc bài toán này ta phải sử dụng công thức sau, gọi là công thức Bayes.
Công thức Bayes
Mệnh đề 1.5.1 Giả sửA1, A2, , An là các biến cố lập thành hệ đầy đủ Khi đó với bất kỳ biến cố
Trở lại ví dụ trên, theo công thức Bayes, xác suất để phế phẩm lấy ra thuộc phân xưởng II là:
0,101 = 0,336 Muốn biết khả năng phế phẩm thuộc phân x−ởng nào nhiều nhất ta phải so sánh các xác suất:
0,101 = 0,24 Vậy phẩm phế phẩm đó có khả năng thuộc phân xưởng I nhiều nhất.
Nhận xét 1.5.1 Nếu hệ các biến cố {A1, A2, An} xung khắc đôi một và P n i=1
P(Ai) = 1 thì hệ này đầy đủ.
Trong ví dụ 1.5.3, có hai hộp sản phẩm: hộp I chứa 3 sản phẩm A và 5 sản phẩm B, trong khi hộp II chứa 2 sản phẩm A và 4 sản phẩm B Khi lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ hộp I chuyển sang hộp II và trộn đều, quá trình tiếp theo là lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ hộp II.
1 sản phẩm ở hộp II. a Tìm xác suất để lấy đ−ợc sản phẩm A. b Biết sản phẩm lấy ra là A, tìm xác suất để nó là của hộp I.
Giải: a Gọi A 1 , A 2 lần l−ợt là các biến cố sản phẩm lấy ra cuối cùng thuộc hộp I, hộp II Khi đó
Vì A1, A2 xung khắc nên nó lập thành một hệ đầy đủ.
Gọi H là biến cố lấy đ−ợc sản phẩm A, khi đó theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
= 0.339285714 b Theo công thức Bayes, xác suất để sản phẩm A lấy ra thuộc hộp I là:
Công thức Bernoulli
D ã y phép thử Bernoulli
Dãyn phép thử G1, G2, , Gn đ−ợc gọi là dãy n phép thử Bernuolli khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện sau:
+) Dãyn phép thử đó độc lập với nhau.
Trong mỗi phép thử, chúng ta chỉ quan tâm đến sự kiện A và khả năng xảy ra của nó, tức là không gian mẫu Ωi ={A, A} Xác suất xảy ra của sự kiện A trong mỗi phép thử được xác định bằng một giá trị p, với p = P(A).
Công thức Bernoulli
Bài toán liên quan đến dãy n phép thử Bernoulli, trong đó xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử là p Mục tiêu là xác định xác suất biến cố A xuất hiện m lần trong tổng số n phép thử.
Bài toán Bernoulli, được nghiên cứu bởi nhà bác học Thụy Sĩ Bernoulli từ thế kỷ XVII, liên quan đến xác suất xuất hiện của biến cố A m lần trong n phép thử Xác suất này được ký hiệu là Pn(m) và được tính theo một công thức cụ thể.
P n (m) = C n m p m (1−p) n − m (1.6.1) Công thức này đ−ợc gọi làcông thức Bernoulli.
Hệ quả 1.6.1 GọiPn(k1, k2) là xác suất biến có A xuất hiện từ k1 đến k2 lần, khi đó:
Một nhân viên bán hàng có thể chào hàng tại 10 địa điểm mỗi ngày, với xác suất bán được hàng tại mỗi nơi là 0,2 Để tìm xác suất bán được hàng ở 2 nơi, ta áp dụng công thức xác suất nhị thức Đối với xác suất bán hàng từ 2 đến 4 nơi, ta tính tổng xác suất cho các trường hợp 2, 3 và 4 nơi Để xác định xác suất người đó bán được hàng ít nhất một lần, ta có thể tính 1 trừ đi xác suất không bán được hàng ở cả 10 nơi Để biết xác suất bán được hàng tối đa ở 8 nơi, ta sẽ tính tổng xác suất từ 0 đến 8 nơi Cuối cùng, xác suất không bán được hàng ở 3 nơi cũng được tính toán dựa trên xác suất bán hàng ở 7 nơi còn lại.
Giải: a Theo công thức Bernoulli, xác suất bán đ−ợc hàng ở 2 nơi:
P10(2) =C 10 2 (0,2) 2 (0,8) 8 = 0,302 b Theo công thức Bernoulli, xác suất bán đ−ợc hàng từ 2 đến 4 nơi:
P 10 (2; 4) =C 10 2 (0,2) 2 (0,8) 8 +C 10 3 (0,2) 3 (0,8) 7 +C 10 4 (0,2) 4 (0,8) 6 = 0,5914 c Theo công thức Bernoulli, xác suất bán đ−ợc hàng: p= 1−P10(0) = 1−C 10 0 (0,2) 0 (0,8) 10 = 0.8926 d Xác suất cần tìm: p=P10(0; 8) = 1−P10(9)−P10(10) = 1−C 10 9 (0,2) 9 (0,8)−(0,2) 10 = 0,999996 e Xác suất để không bán đ−ợc hàng ở 3 nơi: p=C 10 3 (0,8) 3 (0,2) 7 = 0,000786
Để tính toán số lượng vé số cần mua nhằm đảm bảo khả năng trúng giải ít nhất một lần không dưới 0,95, ta có xác suất trúng giải của mỗi vé là 1% Cần xác định số vé tối thiểu để đạt được xác suất này.
Mua một tờ vé số có thể được coi là một phép thử Bernoulli với xác suất trúng giải p = 0,01 Gọi n là số vé số cần mua, xác suất không có vé nào trúng giải trong n vé sẽ là C(n, 0) p^0 q^n = q^n Do đó, xác suất để ít nhất một vé trúng giải là 1 - q^n.
Theo đầu bài ta có:
Do đó n > ln(0,05) ln(0,99) = 298.073VËy cÇn mua tèi thiÓu 299 vÐ.
C Hình thức và ph−ơng pháp dạy học
- Giảng viên cung cấp bài giảng cho sinh viên đọc trước.
- Giảng viên trình bày bài giảng trên lớp theo phương pháp thuyết trình, thảo luận, hỏi đáp.
- Gợi mở từ trực quan sinh động đến t− duy trừu t−ợng để giải quyết vấn đề.
Giáo viên giao bài tập cho sinh viên để thực hiện tại nhà, yêu cầu nghiên cứu các chủ đề cụ thể Đồng thời, giới thiệu một số tài liệu tham khảo hữu ích để sinh viên có thể tự học và nâng cao kiến thức trong quá trình nghiên cứu.
- Kiểm tra đánh giá quá trình tự học, làm bài tập của sinh viên.
[1] Nguyễn Quang C−ờng - Bài giảng xác suất thống kê - Đại học Duy Tân.
[2] Nguyễn Quang Thi - Bài giảng xác suất thống kê - Đại học Duy Tân.
[3] Bộ môn Toán kinh tế - Giáo trình xác suất thống kê - Trường đại học kinh tế TP.HCM.
[4] Hoàng Ngọc Nhậm - Bài tập xác suất thống kê - Đại học Kinh tế TP.HCM - 2005.
[5] Trần Văn Minh - Phí Thị Vân Anh - Xác suất thống kê - NXB GTVT 2006.
[6] Trần Văn Minh - Phí Thị Vân Anh - Xác suất thống kê - NXB GTVT 2006.
[7] Đinh Văn Gắng - Xác suất thống kê (Lý thuyết và bài tập) - NXB GD 2008.
[8] Nguyễn Văn Hộ - Xác suất thống kê - NXB GD 2006.
1 a Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 15 tặng phẩm cho 3 ng−ời. b Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 15 tặng phẩm cho 3 người sao cho người thứ hai có đúng
5 tặng phẩm. c Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 15 tặng phẩm cho 3 ng−ời sao cho mỗi ng−ời có 5 tặng phÈm.
2 Một sinh viên thi cuối kỳ phải thi 3 môn trong một tuần (7 ngày), biết mỗi ngày thi một môn. Hỏi phòng đào tạo có mấy cách lập lịch thi.
3 Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. a Có mấy cách lấy nhẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm tra từ lô hàng đó. b Có mấy cách lấy nhẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm tra từ lô hàng đó, trong đó số chính phẩm và phế phẩm bằng nhau. c Có mấy cách lấy nhẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm tra từ lô hàng đó, trong đó số chính phẩm nhiều hơn số phế phẩm.
4 Thang máy của một toà nhà 10 tầng xuất phát từ tầng 1 với 4 khách, giả sử mỗi ng−ời ra ngẫu nhiên một tầng (không có ai trở lại tầng 1) Có bao nhiêu cách để: a Tất cả cùng ra một tầng. b Chỉ có 1 ng−ời ra tầng 5. c Mỗi ng−ời ra một tầng khác nhau. d Cã 3 ng−êi ra tÇng 8. e Giả sử 4 người này là 2 cặp vợ chồng, vợ chồng cùng đi với nhau Có mấy cách để 2 cặp vợ chồng này ra 2 tầng khác nhau. f Giả sử từ tầng 2 đến tầng 6 đang sửa chữa, không ra đ−ợc Hỏi có mấy cách để mỗi mỗi ng−ời ra một tầng khác nhau.
5 Một anh nọ gọi điện thoại cho một cô gái mới quen nh−ng lại quên mất 3 chữ số cuối và chỉ nhớ rằng chúng khác nhau và có chữ số 0 Hỏi anh này có mấy cách để bấm máy.
6 Chứng minh các tính chất sau của các biến cố: a A.(B+C) +AC, A+ (B.C) = (A+B)(A+C). b A−B =A.B, A+B =A B, A.B =A+B.
7 Kiểm tra ba sản phẩm (mỗi sản phẩm chỉ có một trong hai khả năng tốt hoặc xấu) GọiA 1 , A 2 , A 3 lần l−ợt là các biến cố sản phẩm thứ1,2,3 là sản phẩm tốt Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố A1, A2, A3: a Ω. b Tất cả đều xấu. c Có ít nhất một sản phẩm xấu. d Có ít nhất một sản phẩm tốt. e Không phải tất cả các sản phẩm đều tốt. f Có đúng một sản phẩm xấu. g Có ít nhất hai sản phẩm tốt.
8 Quan sát 4 sinh viên làm bài thi Kí hiệu Bj là biến cố sinh viên j làm bài thi đạt yêu cầu (j = 1,4) Hãy biểu diễn các biến cố sau đây theo các biến cố Bj: a Ω. b Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu. c Có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu. d Có ít nhất 1 sinh viên đạt yêu cầu. e Không có sinh viên đạt yêu cầu.
9 Chọn ngẫu nhiên 1 nhân viên trong một công ty để lấy thông tin Gọi A là biến cố nhân viên đ−ợc chọn là nam, B là biến cố nhân viên đ−ợc chọn đã tốt nghiệp đại học, C là biến cố nhân viên đó đã lập gia đình. a Hãy mô tả biến cố ABC. b Với điều kiện nào thì ta có ABC =A. c Khi nào thì ta có C=A.
10 Tung hai con xúc xắc Gọi Alà biến cố "Số nốt xuất hiện trên con xúc xắc một chia hết cho số nốt trên con xúc xắc hai" B là biến cố "Tổng số nốt xuất hiện trên hai con là số chẵn" Hỏi
A và B có độc lập, có xung khắc hay không?
11 Một hộp có 5 bi trắng, 3 bi xanh Lấy từ hộp ra 2 bi theo 3 cách lấy:
1 Lấy ngẫu nhiên một lần hai bi Tính xác suất để lấy đ−ợc một bi trắng.
2 Lấy lần l−ợt không hoàn lại hai bi Tính xác suất để: a Lấy đ−ợc một bi trắng. b Lấy đ−ợc viên thứ hai là bi trắng.
3 Lấy lần l−ợt có hoàn lại hai bi Tính xác suất để lấy đ−ợc một bi trắng.
12 Gieo đồng thời hai con xúc xắc Tính xác suất để: a Tổng số nốt xuất hiện trên hai con là 7. b Tổng số nốt xuất hiện trên hai con là 8. c Số nốt xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 2.
Đại l−ợng ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất
Định nghĩa và phân loại đại l−ợng ngẫu nhiên
Trước khi đưa ra định nghĩa đại lượng ngẫu nhiên, ta xét ví dụ sau đây:
Trong ví dụ 2.1.1, có hai cầu thủ A và B, mỗi người thực hiện một cú ném bóng vào rổ Biến cố A đại diện cho cầu thủ thứ nhất ném trúng rổ, trong khi biến cố B đại diện cho cầu thủ thứ hai Không gian mẫu cho tình huống này bao gồm tất cả các khả năng xảy ra của hai cú ném bóng.
Ω ={A.B;A.B;A.B;A.B} Nếu gọiX là đại l−ợng chỉ số bóng trúng rổ của cả hai cầu thủ, khi đó:
X nhận giá trị 0, nó xẩy ra khi và chỉ khi biến cố A.B xẩy ra, có nghĩa(X = 0) =A.B.
Trong phép thử này, nếu chúng ta chú trọng đến từng quả bóng trúng rổ (định tính), không gian mẫu sẽ là Ω ={A.B;A.B;A.B;A.B} Ngược lại, nếu quan tâm đến số lượng quả bóng trúng rổ (định lượng), đại lượng ngẫu nhiên sẽ được biểu diễn là X ={0,1,2}.
Khi hai cầu thủ chưa ném bóng, chúng ta không thể dự đoán số lần bóng trúng rổ của họ, điều này có nghĩa là giá trị của biến X chưa xác định, vì vậy nó được gọi là "đại lượng ngẫu nhiên" Theo định nghĩa, trong một phép thử với không gian mẫu Ω, một ánh xạ X từ Ω vào tập số thực R sẽ tương ứng với một biến cố sơ cấp và được gọi là đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) hoặc biến ngẫu nhiên.
Tập X ={X(ω)|ω∈Ω} đ−ợc gọi là tập các giá trị có thểcủa đại l−ợng ngẫu nhiên X.
Trong ví dụ 2.1.1, chúng ta có thể hình dung qua sơ đồ sau:
+) ĐLNN là đại l−ợng mà tuỳ theo mỗi kết quả của phép thử, nó chỉ nhận một giá trị bằng số xác định nào đó tương ứng.
+) (X = k) là một biến cố, biến cố này bao gồm các biến cố sơ cấp ω sao cho X(ω) = k, có nghĩa (X =k) ={ω|X(ω) = k}.
Trong ví dụ 2.1.2, có 3 sinh viên tham gia thi môn XSTK, nhưng chúng ta không thể xác định số lượng sinh viên thi đậu cho đến khi kỳ thi kết thúc Số sinh viên thi đậu có thể là 0, 1, 2 hoặc 3 Nếu gọi X là "số sinh viên thi đậu môn XSTK", thì X được xem là biến ngẫu nhiên và tập hợp các giá trị khả thi của nó là: {0, 1, 2, 3}.
Khi đó tập (1< X 63) ={ω | 1< X(ω)63} là biến cố có 2 hoặc 3 sinh viên thi đậu.
Trong ví dụ 2.1.3, nếu Y được định nghĩa là đại lượng ngẫu nhiên thể hiện tốc độ của một xe ôtô di chuyển trên đoạn đường có giới hạn tốc độ tối đa là 80 km/giờ, thì Y sẽ là một đại lượng ngẫu nhiên và tập hợp các giá trị khả thi của Y sẽ là X = [0, 80].
Khi đó tập (406X 650) là biến cố tốc độ của xe đạt từ 40 đến 50 km/h.
Qua hai ví dụ trên đại l−ợng ngẫu nhiên đ−ợc phân loại nh− sau. Định nghĩa 2.1.2 (Phân loại đại l−ợng ngẫu nhiên)
Nếu tập hợp các giá trị có thể của X là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, thì X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc (ĐLNNRR).
Đại lượng ngẫu nhiên X có thể có các giá trị thuộc dạng X = {x1, x2, , xn} hoặc X = {x1, x2, , xn, } Nếu tồn tại hai số a và b khác nhau sao cho đoạn [a, b] nằm trong X, thì X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
Có nghĩa tập các giá trị có thểX là một khoảng trên trục số.
+) Nếu X, Y là hai đại l−ợng ngẫu nhiên ứng với hai phép thử độc lập thì ta nói X, Y là hai đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập (ĐLNNĐL).
Vấn đề quan trọng của đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) là xác định giá trị mà nó có thể nhận được và xác suất tương ứng Để mô tả đầy đủ một ĐLNN, chúng ta cần xây dựng hàm phân phối xác suất, thể hiện sự phân bố xác suất trên miền giá trị của nó Mỗi loại ĐLNN sẽ có công thức và các tính chất riêng cho hàm phân phối xác suất, do đó cần xem xét cụ thể từng loại ĐLNN.
Luật phối xác suất của đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc
Hàm xác suất là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, được định nghĩa cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X Mỗi giá trị xi của X được gán với một xác suất pi, được tính bằng P(X=xi) = P{ω | X(ω) = xi}, thể hiện khả năng đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị đó Hàm P(X = xi) được gọi là hàm xác suất của X.
Nếu đại lượng ngẫu nhiên X chỉ có n giá trị hữu hạn {x1, x2, , xn}, thì hàm xác suất của nó được biểu diễn dưới dạng bảng với hai hàng Hàng đầu tiên liệt kê các giá trị sắp xếp xi của X, trong khi hàng thứ hai ghi lại các xác suất tương ứng pi; với
P p1 p2 pn gọi là bảng phân phối xác suất củaX.
Trong một nhóm gồm 4 sinh viên nữ và 5 sinh viên nam, chúng ta sẽ chọn ngẫu nhiên 3 người để tham gia công tác tình nguyện Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên thể hiện số sinh viên nữ được chọn Mục tiêu là lập bảng phân phối xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên X này.
Giải: X nhận các giá trị {0,1,2,3}.
C 9 3 = 0.048 Vậy bảng phân phối xác suất củaX:
Nhìn vào biểu đồ ta thấy khả năng có 1 nữ đ−ợc chọn là lớn nhất.
Tính chất 2.1.1 Hàm xác suấtP(X =xi)có các tính chất: i)06P(X =x i )61, ∀i. ii) NếuX nhận n giá trị thì P n i=1 pi = 1 iii)P(a6X 6b) = P b x i =a
P(X =xi); x1 6 a6b 6xn. b Hàm phân phối xác suất của ĐLNNRR Định nghĩa 2.1.4 Cho ĐLNNRR X có bảng phân phối xác suất:
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X, ký hiệu F(x), đ−ợc xác định bởi
, nP− 1 i=1 pi khi xn − 1 < x6xn
Trong ví dụ 2.1.5, ba khẩu pháo độc lập cùng nhắm vào một mục tiêu, với xác suất trúng đích lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,9 Để phân tích, trước tiên cần lập bảng phân phối xác suất cho số viên đạn trúng mục tiêu từ cả ba khẩu pháo Tiếp theo, tìm hàm phân phối xác suất và vẽ đồ thị biểu diễn hàm này để trực quan hóa kết quả.
Giải: a Gọi X là ĐLNN chỉ số viên đạn trúng mục tiêu của cả 3 khẩu pháo, X = {0,1,2,3} Gọi
A, B, C lần lượt là biến cố bắn trúng đích của các xạ thủ tương ứng, ta có:
P(X = 3) = P(A)P(B)P(C) = 0,7.0,8.0,9 = 0,504 Bảng phân phối xác suất củaX:
X 0 1 2 3 pi 0,006 0,092 0,398 0,504 b Hàm phân phối xác suất có dạng:
Nhìn vào đồ thị ta thấyF(x)là hàm không giảm, đồ thị có dạng bậc thang và X có bao nhiêu giá trị thì F(x)có bấy nhiêu điểm gián đoạn.
Tính chất 2.1.2 (Tính chất của hàm phân phối xác suất của ĐLNNRR)
2)F(x) là hàm không giảm, nghĩa là: Nếu x1 < x2 thì F(x1)6F(x2).
Luật phân phối xác suất của đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục
Hàm mật độ xác suất là khái niệm tương ứng với hàm xác suất của phân phối ngẫu nhiên liên tục (ĐLNNLT) Định nghĩa hàm mật độ xác suất: Hàm số f(x) được xác định trên toàn trục số được gọi là hàm mật độ của ĐLNNLT X nếu nó thỏa mãn ba điều kiện: (i) f(x) > 0 với mọi x thuộc R.
Giá trịP(a6X 6b)bằng diện tích phần gạch chéo.
Chú ý 2.1.1 Tính chất i và ii dùng để chứng minh một hàm f(x) cho trước có phải là hàm mật độ của một ĐLNNLT nào đó hay không.
Tính chất 2.1.3 NếuX là đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục thì:
Ví dụ 2.1.6 Cho ĐLNN liên tục X có hàm mật độ xác suất: f(x) acos(x) khi x∈ − π 2 ; π 2
Giải: a Vì f(x) là hàm mật độ xác suất nên ta có:
Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X, được ký hiệu là F(x), được xác định dựa trên hàm mật độ xác suất f(t).
Giá trị F(x) bằng diện tích phần gạch chéo.
Ví dụ 2.1.7 Cho hàm số: f(t)
0 khi t >1 a Chứng minhf(t) là hàm mật độ. b Tìm hàm phân phối xác suất.
Giải: a Để chứng minhf(t)là hàm mật độ xác suất ta đi chứng minh nó thoả mãn các điều kiện i) và ii) của định nghĩa.
Ta thấy f(t)thỏa mãn các tính chất của hàm mật độ. b Ta cộng dồn tích phân để có:
1 khi x >1 Đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối:
Tính chất 2.1.4 Hàm phân phối F(x) có các tính chất sau:
