6 T−ơng quan và hồi quy
6.2 Bảng phân phối xác suất của đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc hai chiều
chiều
Đối với các vector ngẫu nhiên hai chiều ng−ời ta cũng dùng bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất để thiết lập quy luật phân phối xác suất của chúng.
6.2.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời
Bảng phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên hai chiều rời rạc là bảng liệt kê tất cả các giá trị có thể có của nó và các xác suất t−ơng ứng. Nó có dạng sau đây:
X\Y y1 y2 ... ym P
x1 P(x1, y1) P(x1, y2) ... P(x1, ym) P(x1)
x2 P(x2, y1) P(x2, y2) ... P(x2, ym) P(x2)
... ... ... ... ... ...
xn P(xn, y1) P(xn, y2) ... P(xn, ym) P(xn) P
P(y1) P(y2) ... P(ym) 1
(6.2.1)
Trong đó xi,(i= 1, n) là các giá trị có thể của thành phần X, yj,(j = 1, m) là các giá trị có thể của thành phần Y. P(xi, yj) là xác suất để vector ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) nhận giá trị (xi, yj),
nghĩa là:
P(xi, yj) =P{(X =xi)(Y =yj)} (6.2.2) Để tạo nên một quy luật phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên hai chiều thì xác suấtP(xi, yj)
phải thoả mãn điều kiện:
P(xi, yj)>0;∀i= 1, n, j = 1, m n P i=1 m P j=1 P(xi, yj) = 1 (6.2.3)
6.2.2 Bảng phân phối xác suất biên
Biết đ−ợc bảng phân phối xác suất đồng thời của vector ngẫu nhiên hai chiều(X, Y)bao giờ cũng tìm đ−ợc bảng phân phối xác suất của mỗi thành phần X và Y.
+) Bảng phân phối xác suất của thành phần X có dạng:
X x1 x2 ... xi ... xn
P P(x1) P(x2) ... P(xi) ... P(xn)
Trong đó:
P(x1) = P(x1, y1) +P(x1, y2) +...+P(x1, ym)
P(x2) = P(x2, y1) +P(x2, y2) +...+P(x2, ym)
Bài giảng: Lý thuyết xác suất và thống kê toán
P(xn) = P(xn, y1) +P(xn, y2) +...+P(xn, ym)
Rõ ràng: Pn
i=1
P(xi) = 1
+) Bảng phân phối xác suất của thành phần Y có dạng:
Y y1 y2 ... yj ... ym
P P(y1) P(y2) ... P(yj) ... P(ym)
Trong đó:
P(y1) = P(x1, y1) +P(x2, y1) +...+P(xn, y1)
P(y2) = P(x1, y2) +P(x2, y2) +...+P(xn, y2)
...
P(ym) =P(x1, ym) +P(x2, ym) +...+P(xn, ym)
Rõ ràng: Pm
j=1
P(yj) = 1
Ví dụ 6.2.1. Tìm bảng phân phối xác suất biên của các thành phần của vector ngẫu nhiên hai chiều
(X, Y), trong đó X ={1,2,3}, Y ={4,5}, có bảng phân phối xác suất đồng thời nh− sau:
X\Y 4 5
1 0,1 0,06
2 0,3 0,18
3 0,2 0,16
Cộng các xác suất theo hàng ta thu đ−ợc các xác suất t−ơng ứng với các giá trị của thành phầnX: P(X = 1) = 0,1 + 0,06 = 0,16
P(X = 2) = 0,3 + 0,18 = 0,48
P(X = 3) = 0,2 + 0,16 = 0,36
Ta có bảng phân phối xác suất của thành phầnX nh− sau:
X 1 2 3
P 0,16 0,48 0,36
Cộng các xác suất theo cột ta thu đ−ợc các xác suất t−ơng ứng với các giá trị của thành phần Y:
P(Y = 4) = 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,0,6
P(Y = 5) = 0,06 + 0,18 + 0,16 = 0,4
Ta có bảng phân phối xác suất của thành phầnX nh− sau:
Y 4 5
Bài giảng: Lý thuyết xác suất và thống kê toán
6.2.3 Quy luật phân bố xác suất có điều kiện của các ĐLNN thành phần
Theo cơng thức xác suất có điều kiện đã học trong ch−ơng 1, ta suy ra ĐLNN thành phần thứ nhất
X với điều kiện biết ĐLNN thành phần thứ haiY nhận giá trị yj nào đó,j = 1, m, (có nghĩa biến cố (Y =yj)đã xẩy ra) có bảng phân phối xác suất có điều kiện t−ơng ứng:
X x1 x2 ... xi ... xn
P(X/Y =yj) p(x1/yj) p(x2/yj) ... p(xi/yj) ... p(xn/yj)
Trong đó;
p(xi/yj) = p(xi, yj)
p(yj) ;i= 1, n, j = 1, m (6.2.4)
T−ơng tự ta có bảng phân phối xác suất có điều kiện của Y với điều kiện biến cố (X = xi) đã xẩy ra:
Y y1 y2 ... yj ... ym
P(Y /X =xi) p(y1/xi) p(y2/xi) ... p(yj/xi) ... p(ym/xi) (6.2.5) Trong đó;
p(yj/xi) = p(xi, yj)
p(xi) ;i= 1, n, j = 1, m (6.2.6)
Chú ý 6.2.1. Từ các cơng thức (6.2.4) và (6.2.6) ta có cơng thức tính xác suất đồng thời:
p(xi, yj) =p(xi)p(yj/xi) = p(yj)p(xi/yj);i= 1, n, j = 1, m (6.2.7)
Ví dụ 6.2.2. Trong ví dụ 6.2.1 cho bảng phân phối xác suất đồng thời:
X\Y 4 5
1 0,1 0,06
2 0,3 0,18
3 0,2 0,16 Tìm bảng phân phối xác suất của X với điều kiện (Y = 4).
Giải: Ta có: P(X = 1/Y = 4) = P(X = 1, Y = 4) P(Y = 4) = 0,1 0,6 = 1 6 P(X = 2/Y = 4) = P(X = 2, Y = 4) P(Y = 4) = 0,3 0,6 = 1 2 P(X = 3/Y = 4) = P(X = 3, Y = 4) P(Y = 4) = 0,2 0,6 = 1 3
Vậy bảng phân phối xác suất củaX với điều kiện (Y = 4):
X 1 2 3
Bài giảng: Lý thuyết xác suất và thống kê tốn
6.2.4 Tính độc lập của các đại l−ợng ngẫu nhiên
Nh− chúng ta đã biết, hai ĐLNN X và Y đ−ợc gọi là độc lập với nhau nếu mỗi ĐLNN nhận giá trị này hay giá trị khác khơng ảnh h−ởng gì đến phân phối xác suất của ĐLNN kia.
Đại l−ợng ngẫu nhiên hai chiều rời rạc (X, Y) với bảng phân bố xác suất (6.2.1) là độc lập khi và chỉ khi:
p(xi, yj) =p(xi)p(yj);∀i= 1, n, j = 1, m (6.2.8)
Chú ý 6.2.2. Một dấu hiệu để nhận biết một vector ngẫu nhiên hai chiều độc lập là bảng phân phối xác suất đồng thời có tính chất:
+) Hai hàng bất kỳ tỷ lệ với nhau. +) Hai cột bất kỳ tỷ lệ với nhau.