1.5.1 Công thức xác suất đầy đủ
Một hệ quả của công thức cộng và nhân xác suất là cơng thức xác suất đầy đủ (cịn đ−ợc gọi là cơng thức tính xác suất tồn phần).
Bài tốn: Giả sử A1, A2, ..., An là một hệ đầy đủ các biến cố của một phép thử nào đó. Gọi B là một biến cố bất kỳ trong phép thử đó. Ta có thể trình bày các biến cố vừa mơ tả qua hình sau:
An A1 A2 A3 A6 … B.An B.A1 B.A2 B.A3 B.A4 B.A5 B.A6 B … A5 A4
Cho biết P(Ai) và P(B/Ai), i= 1, n. Hãy xác định xác suất P(B) =?
Biến cốB xẩy ra khi:
B =A1B+A2B+...+AnB
Các biến cố Ai xung khắc đôi một nên các biến cốAiB cũng xung khắc đôi một, áp dụng công thức cộng xác suất:
Bài giảng: Lý thuyết xác suất và thống kê tốn
Theo cơng thức nhân xác suất:
P(B) =P(A1)P(B/A1) +P(A2)P(B/A2) +...+P(An)P(B/An)
Viết gọn: P(B) = n X i=1 P(Ai)P(B/Ai) (1.5.1)
Công thức này đ−ợc gọi là cơng thức xác suất đầy đủ.
Ví dụ 1.5.1. Một nhà máy có 3 phân x−ởng sản xuất cùng một loại sản phẩm. Trong đó phân x−ởng I sản xuất 36%, phân x−ởng II sản xuất34%, phân x−ởng III sản xuất30% sản l−ợng toàn nhà máy. Biết tỷ lệ phế phẩm của các phân x−ởng t−ơng ứng là: 12%,10% và 8%. Tính tỷ lệ phế phẩm chung
của tồn nhà máy.
Giải: Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho của nhà máy, gọi B là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm thì P(B) là tỷ lệ phế phẩm chung của nhà máy. Gọi A1, A2, A3 lần l−ợt là các biến cố sản phẩm lấy ra thuộc phân x−ởng I, II, III, ta có:
P(A1) = 0,36; P(A2) = 0,34; P(A3) = 0,3
Mặt khác:
P(B/A1) = 0,12;P(B/A2) = 0,1;P(B/A3) = 0,08
VìA1, A2, A3 lập thành một hệ đầy đủ nên:
P(B) = P(A1)P(B/A1) +P(A2)P(B/A2) +P(A3)P(B/A3) = 0.36∗0.12 + 0.34∗0.1 + 0.3∗0.08 = 0.1012
Vậy tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy là: 10,12%.
Ví dụ 1.5.2. Với các giả thiết nh− ví dụ trên, bây giờ ta thêm một điều kiện mới, đó là lấy ngẫu nhiên từ kho một sản phẩm, giả sử lấy đ−ợc phế phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc phân x−ởng II. Sản phẩm phế phẩm đó có khả năng thuộc phân x−ởng nào nhiều nhất?
Muốn giải đ−ợc bài tốn này ta phải sử dụng cơng thức sau, gọi là công thức Bayes.
1.5.2 Công thức Bayes
Mệnh đề 1.5.1. Giả sửA1, A2, ..., An là các biến cố lập thành hệ đầy đủ. Khi đó với bất kỳ biến cố
B, ta có:
P(Ai/B) = nP(Ai)P(B/Ai) P
k=1
P(Ak)P(B/Ak)
,∀i= 1,2, ..., n (1.5.2)
Trở lại ví dụ trên, theo cơng thức Bayes, xác suất để phế phẩm lấy ra thuộc phân x−ởng II là:
P(A2/B) = P(A2).P(B/A2)
P(B) =
0,34.0,1
0,101 = 0,336
Muốn biết khả năng phế phẩm thuộc phân x−ởng nào nhiều nhất ta phải so sánh các xác suất:
Bài giảng: Lý thuyết xác suất và thống kê tốn
Ta có:
P(A1/B) = P(A1).P(B/A1)
P(B) = 0,36.0,12 0,101 = 0,424 P(A3/B) = P(A3).P(B/A3) P(B) = 0,3.0,08 0,101 = 0,24
Vậy phẩm phế phẩm đó có khả năng thuộc phân x−ởng I nhiều nhất.
Nhận xét 1.5.1. Nếu hệ các biến cố {A1, A2, ...An} xung khắc đôi một và Pn
i=1
P(Ai) = 1 thì hệ này đầy đủ.
Ví dụ1.5.3. Có hai hộp, hộp I đựng 3 sản phẩm A và 5 sản phẩm B, hộp II đựng 2 sản phẩm A và 4 sản phẩm B. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp I bỏ sang hộp II rồi trộn đều, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở hộp II.
a. Tìm xác suất để lấy đ−ợc sản phẩm A.
b. Biết sản phẩm lấy ra là A, tìm xác suất để nó là của hộp I.
Giải:
a. Gọi A1, A2 lần l−ợt là các biến cố sản phẩm lấy ra cuối cùng thuộc hộp I, hộp II. Khi đó
P(A1) = 1
7;P(A2) = 6 7
Vì A1, A2 xung khắc nên nó lập thành một hệ đầy đủ.
Gọi H là biến cố lấy đ−ợc sản phẩm A, khi đó theo cơng thức xác suất đầy đủ ta có:
P(H) = P(A1)P(H/A1) +P(A2)P(H/A2) = 1 7. 3 8+ 6 7. 2 6 = 0.339285714
b. Theo cơng thức Bayes, xác suất để sản phẩm A lấy ra thuộc hộp I là:
P(A1/H) = P(A1)P(H/A1)
P(H) = 1 7 3 8 0.339285714 = 0.157894737 1.6 Công thức Bernoulli 1.6.1 Dãy phép thử Bernoulli
Dãyn phép thử G1, G2, ..., Gn đ−ợc gọi là dãy n phép thử Bernuolli khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện sau:
+) Dãyn phép thử đó độc lập với nhau.
+) Trong mỗi phép thửGi ta chỉ để ý đến biến cố A hay A xuất hiện, có nghĩa Ωi ={A, A}. +) Xác suất của biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng một số p=P(A).
1.6.2 Cơng thức Bernoulli
Bài tốn: Cho dãy gồm n phép thử Bernoulli (xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử bằng
Bài giảng: Lý thuyết xác suất và thống kê toán
Bài toán này đ−ợc nhà bác học ng−ời Thụy Sĩ, Bernoulli giải từ thế kỷ XVII nên đ−ợc gọi là bài toán Bernoulli. Xác suất để biến cốA xuất hiện m lần trong n phép thử, đ−ợc ký hiệu Pn(m) và xác định bởi công thức:
Pn(m) = Cnmpm(1−p)n−m (1.6.1) Công thức này đ−ợc gọi làcông thức Bernoulli.
Hệ quả 1.6.1. GọiPn(k1, k2) là xác suất biến có A xuất hiện từ k1 đến k2 lần, khi đó:
Pn(k1, k2) =
k2 X m=k1
Pn(m) (1.6.2)
Ví dụ 1.6.1. Một nhân viên bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi, với xác suất bán đ−ợc hàng ở mỗi nơi đều bằng 0,2. Tìm xác suất để:
a. Ng−ời đó bán đ−ợc hàng ở 2 nơi.
b. Ng−ời đó bán đ−ợc hàng từ 2 đến 4 nơi. c. Ng−ời đó bán đ−ợc hàng.
d. Ng−ời đó bán đ−ợc hàng nhiều nhất ở 8 nơi. e. Ng−ời đó khơng bán đ−ợc hàng ở 3 nơi.
Giải:
a. Theo công thức Bernoulli, xác suất bán đ−ợc hàng ở 2 nơi:
P10(2) =C102 (0,2)2(0,8)8 = 0,302
b. Theo công thức Bernoulli, xác suất bán đ−ợc hàng từ 2 đến 4 nơi:
P10(2; 4) =C2
10(0,2)2(0,8)8+C3
10(0,2)3(0,8)7+C4
10(0,2)4(0,8)6 = 0,5914
c. Theo công thức Bernoulli, xác suất bán đ−ợc hàng:
p= 1−P10(0) = 1−C100 (0,2)0(0,8)10 = 0.8926
d. Xác suất cần tìm:
p=P10(0; 8) = 1−P10(9)−P10(10) = 1−C109 (0,2)9(0,8)−(0,2)10= 0,999996
e. Xác suất để không bán đ−ợc hàng ở 3 nơi:
p=C103 (0,8)3(0,2)7 = 0,000786
Ví dụ 1.6.2. Xác suất trúng giải của một tờ vé số là 1%. Hỏi cần mua ít nhất bao nhiêu vé để khả
năng có ít nhất 1 vé trúng giải không d−ới 0,95.
Giải:
Ta thấy việc mua một tờ vé số là một phép thử Bernoulli vớip = 0,01. Gọi n là số vé cần mua. Vì xác suất để trong n vé khơng có vé nào trúng giải làC0
np0qn=qn, nên xác suất để có ít nhất một vé trúng là:
P(B) = 1−qn= 1−0,99n
Theo đầu bài ta có:
1−0,99n>0,95hay 0,05>0,99n
Do đó
n > ln(0,05)
ln(0,99) = 298.073
Bài giảng: Lý thuyết xác suất và thống kê tốn
C. Hình thức và ph−ơng pháp dạy học - Giảng viên cung cấp bài giảng cho sinh viên đọc tr−ớc.
- Giảng viên trình bày bài giảng trên lớp theo ph−ơng pháp thuyết trình, thảo luận, hỏi đáp. - Gợi mở từ trực quan sinh động đến t− duy trừu t−ợng để giải quyết vấn đề.
- Giao bài tập cho sinh viên về nhà làm, các chủ đề cần nghiên cứu. Giới thiệu một số tài liệu tham khảo để sinh viên nghiên cứu trong thời gian tự học.
- Kiểm tra đánh giá quá trình tự học, làm bài tập của sinh viên. D. Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Quang C−ờng - Bài giảng xác suất thống kê - Đại học Duy Tân. [2] Nguyễn Quang Thi - Bài giảng xác suất thống kê - Đại học Duy Tân.
[3] Bộ môn Tốn kinh tế - Giáo trình xác suất thống kê - Tr−ờng đại học kinh tế TP.HCM. [4] Hoàng Ngọc Nhậm - Bài tập xác suất thống kê - Đại học Kinh tế TP.HCM - 2005. [5] Trần Văn Minh - Phí Thị Vân Anh - Xác suất thống kê - NXB GTVT 2006. [6] Trần Văn Minh - Phí Thị Vân Anh - Xác suất thống kê - NXB GTVT 2006. [7] Đinh Văn Gắng - Xác suất thống kê (Lý thuyết và bài tập) - NXB GD 2008. [8] Nguyễn Văn Hộ - Xác suất thống kê - NXB GD 2006.
Bài giảng: Lý thuyết xác suất và thống kê toán
Bài tập ch−ơng 1
1. a. Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 15 tặng phẩm cho 3 ng−ời.
b. Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 15 tặng phẩm cho 3 ng−ời sao cho ng−ời thứ hai có đúng 5 tặng phẩm.
c. Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 15 tặng phẩm cho 3 ng−ời sao cho mỗi ng−ời có 5 tặng phẩm.
2. Một sinh viên thi cuối kỳ phải thi 3 môn trong một tuần (7 ngày), biết mỗi ngày thi một môn. Hỏi phịng đào tạo có mấy cách lập lịch thi.
3. Một lơ hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. a. Có mấy cách lấy nhẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm tra từ lơ hàng đó.
b. Có mấy cách lấy nhẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm tra từ lơ hàng đó, trong đó số chính phẩm và phế phẩm bằng nhau.
c. Có mấy cách lấy nhẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm tra từ lơ hàng đó, trong đó số chính phẩm nhiều hơn số phế phẩm.
4. Thang máy của một toà nhà 10 tầng xuất phát từ tầng 1 với 4 khách, giả sử mỗi ng−ời ra ngẫu nhiên một tầng (khơng có ai trở lại tầng 1). Có bao nhiêu cách để:
a. Tất cả cùng ra một tầng. b. Chỉ có 1 ng−ời ra tầng 5.
c. Mỗi ng−ời ra một tầng khác nhau. d. Có 3 ng−ời ra tầng 8.
e. Giả sử 4 ng−ời này là 2 cặp vợ chồng, vợ chồng cùng đi với nhau. Có mấy cách để 2 cặp vợ chồng này ra 2 tầng khác nhau.
f. Giả sử từ tầng 2 đến tầng 6 đang sửa chữa, khơng ra đ−ợc. Hỏi có mấy cách để mỗi mỗi ng−ời ra một tầng khác nhau.
5. Một anh nọ gọi điện thoại cho một cô gái mới quen nh−ng lại quên mất 3 chữ số cuối và chỉ nhớ rằng chúng khác nhau và có chữ số 0. Hỏi anh này có mấy cách để bấm máy.
6. Chứng minh các tính chất sau của các biến cố:
a. A.(B+C) =AB+AC, A+ (B.C) = (A+B)(A+C).
b. A−B =A.B, A+B =A. B, A.B =A+B.
7. Kiểm tra ba sản phẩm (mỗi sản phẩm chỉ có một trong hai khả năng tốt hoặc xấu). GọiA1, A2, A3
lần l−ợt là các biến cố sản phẩm thứ1,2,3 là sản phẩm tốt. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố A1, A2, A3:
a. Ω.
b. Tất cả đều xấu.
c. Có ít nhất một sản phẩm xấu. d. Có ít nhất một sản phẩm tốt.
Bài giảng: Lý thuyết xác suất và thống kê tốn
f. Có đúng một sản phẩm xấu. g. Có ít nhất hai sản phẩm tốt.
8. Quan sát 4 sinh viên làm bài thi. Kí hiệu Bj là biến cố sinh viên j làm bài thi đạt yêu cầu (j = 1,4). Hãy biểu diễn các biến cố sau đây theo các biến cố Bj:
a. Ω.
b. Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu. c. Có đúng 3 sinh viên đạt u cầu. d. Có ít nhất 1 sinh viên đạt u cầu. e. Khơng có sinh viên đạt yêu cầu.
9. Chọn ngẫu nhiên 1 nhân viên trong một công ty để lấy thông tin. Gọi A là biến cố nhân viên đ−ợc chọn là nam, B là biến cố nhân viên đ−ợc chọn đã tốt nghiệp đại học, C là biến cố nhân viên đó đã lập gia đình.
a. Hãy mơ tả biến cố ABC.
b. Với điều kiện nào thì ta có ABC =A.
c. Khi nào thì ta có C=A.
10. Tung hai con xúc xắc. Gọi Alà biến cố "Số nốt xuất hiện trên con xúc xắc một chia hết cho số nốt trên con xúc xắc hai". B là biến cố "Tổng số nốt xuất hiện trên hai con là số chẵn". Hỏi
A và B có độc lập, có xung khắc hay khơng?
11. Một hộp có 5 bi trắng, 3 bi xanh. Lấy từ hộp ra 2 bi theo 3 cách lấy:
1. Lấy ngẫu nhiên một lần hai bi. Tính xác suất để lấy đ−ợc một bi trắng.
2. Lấy lần l−ợt không hồn lại hai bi. Tính xác suất để: a. Lấy đ−ợc một bi trắng.
b. Lấy đ−ợc viên thứ hai là bi trắng.
3. Lấy lần l−ợt có hồn lại hai bi. Tính xác suất để lấy đ−ợc một bi trắng. 12. Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Tính xác suất để:
a. Tổng số nốt xuất hiện trên hai con là 7. b. Tổng số nốt xuất hiện trên hai con là 8. c. Số nốt xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 2.
13. Trong một hộp có 12 bóng đèn, trong đó có 3 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên lần l−ợt khơng hồn lại 3 bóng để dùng. Tính xác suất để :
a. Có 1 bóng bị hỏng. b. Cả 3 bóng đều hỏng.
c. Có ít nhất một bóng khơng hỏng. d. Chỉ có bóng thứ hai hỏng.
Bài giảng: Lý thuyết xác suất và thống kê tốn
14. Một khách sạn có 6 phịng đơn. Có 10 khách đến th phịng, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Ng−ời quản lí chọn ngẫu nhiên 6 ng−ời. Tính xác suất để:
a. Cả 6 ng−ời đều là nam. b. Có 4 nam và 2 nữ. c. Có ít nhất hai nữ.
15. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 tới 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để: a. Tất cả 10 tấm thẻ đều mang số chẵn.
b. Có đúng 5 số chia hết cho 3.
c. Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một số chia hết cho 10. 16. Một hịm có 9 tấm thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Tính xác
suất để tích hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn.
17. Một n−ớc có 50 tỉnh, mỗi tỉnh có hai đại biểu Quốc hội. Ng−ời ta chọn ngẫu nhiên 50 đại biểu trong số 100 đại biểu để thành lập một ủy ban. Tính xác suất để:
a. Trong ủy ban có ít nhất một đại biểu của thủ đơ. b. Mỗi tỉnh đều có đúng 1 đại biểu trong ủy ban.
18. Tính xác suất để 12 ng−ời đ−ợc chọn ngẫu nhiên có ngày sinh rơi vào 12 tháng khác nhau. 19. Một đồn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi ng−ời độc lập với
nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để một toa có 3 ng−ời, một toa có 1 ng−ời và hai toa cịn lại khơng có ai.
20. Một ng−ời bỏ ngẫu nhiên 3 lá th− vào 3 chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để ít nhất có một lá th− bỏ đúng phong bì của nó.
21. Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 15 đề trung bình và 5 đề dễ. Tìm xác suất để: a. Một sinh viên bốc ngẫu nhiên 1 đề, gặp đ−ợc đề trung bình hoặc đề dễ.
b. Một sinh viên bốc ngẫu nhiên 2 đề, đ−ợc ít nhất 1 đề trung bình.
22. Cơ cấu chất l−ợng sản phẩm của một nhà máy nh− sau: Sản phẩm loại 1: 40%, sản phẩm loại
2: 50%, còn lại là phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất để sản
phẩm lấy ra thuộc loại 1 hoặc loại 2.
23. Để đ−ợc tuyển vào làm trong một ngân hàng, một ng−ời phải qua ba vòng phỏng vấn, với điều kiện qua vòng đầu mới đ−ợc dự tuyển ở vòng tiếp theo. Xác suất để ng−ời đó đ−ợc tuyển ở vịng 1, vịng 2, vịng 3 lần l−ợt là: 0,8 ; 0,9 và 0,85. Tính xác suất để:
a. Ng−ời đó bị loại ở vịng thứ 2.
b. Ng−ời đó đ−ợc nhận vào làm trong ngân hàng đó. c. Ng−ời đó bị loại.
24. Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên giỏi Anh văn, 45 sinh viên giỏi Pháp văn, 10 sinh viên giỏi cả hai ngoại ngữ nói trên. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. Tính