Microsoft Word TCC C2 2021 docx Bài giảng Toán cao cấp C2 1 Chương I MA TRẬN I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ 1 1 Định nghĩa ma trận Một ma trận A cấp (hay còn gọi là cỡ) m n trên ℝ là một bảng hình ch.
Bài giảng Toán cao cấp C2 Chương I MA TRẬN I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ 1.1 Định nghĩa ma trận: Một ma trận A cấp (hay gọi cỡ) m ´ n ℝ bảng hình chữ nhật gồm m.n số thực thành m dòng n cột Ta viết é a11 a12 êa a 22 A = ê 21 ê " " ê ëa m1 a m2 ! a1n ù ổ a11 a12 ỗ ỳ ! a 2n ỳ a a 22 hoc A = ỗ 21 ỗ " # " ỳ " ỗ ỳ ! a mn ỷ ố a m1 a m2 ! a1n ÷ ! a 2n ÷ # " ÷ ÷ ! a mn ø Ta thường viết gọn thành A = éëa ij ùû m´n hay A = éëa ij ùû Ta gọi i số dòng, j số cột ma trận Kí hiệu 𝑀!×# (ℝ) tập hợp tất ma trận cấp m ´ n ℝ Ví dụ a) 𝐴 = [1 −1] ma trận cấp x é -1ù ú Tìm cấp vị trí tương ứng phần tử ma trận B ë -4 11 û b) Cho B = ê c) Viết ma trận C tổng quát cấp x 1.2 Các ma trận đặc biệt * Ma trận cấp m x n có tất phần tử gọi ma trận khơng, kí hiệu 0m´n é0 0 ù Ví dụ: = ê ú Cho ví dụ khác? ë0 0 û * Ma trận cấp n x n gọi ma trận vuông cấp n, tức có dạng é1 Ví dụ: A = êê9 êë0 a11 , a 22 , ! ,a nn é a11 a12 êa ê 21 a 22 ê " " ê ëa n1 a n -2 ù úú Cho ví dụ khác? -1úû gọi phần tử chéo Đường thẳng xuyên qua phần tử chéo gọi đường chéo Tập ma trận vng cấp n ℝ kí hiệu 𝑀# (ℝ) * Ma trận tam giác ma trận vng cấp n có dạng é1 -2 ù Ví dụ: A = êê0 úú Cho ví dụ khác? êë0 -1úû ! a1n ù ! a 2n úú # " ú ú ! a nn û éa11 a12 ê0 a 22 ê ê" " ê ë0 ! a1n ù ! a 2n úú # " ú ú ! a nn û Bài giảng Toán cao cấp C2 * Ma trận tam giác ma trận vng cấp n có dạng é a11 êa ê 21 a 22 ê " " ê ëa n1 a n ù ú ú ú ú ! a nn û ! ! # 0 " é1 0 ù Ví dụ: A = êê9 úú Cho ví dụ khác? êë0 -1úû éa11 ! ù ê0 a ! úú 22 ê * Ma trận chéo cấp n ma trận vng có dạng A = ê" " # " ú ê ú ! a nn û ë0 é1 0 ù Ví dụ: A = êê0 úú Cho ví dụ khác? êë0 -1úû é1 ! ù ê0 ! ú ú Được kí hiệu In * Ma trận đơn vị ma trận vng cấp n có dạng ê ê" " # " ú ê ú ë0 ! û é1 0 ù é1 ù ; I3 = êê0 úú Cho ví dụ khác? Ví dụ: I = ê ú ë0 û êë0 úû * Ma trận bậc thang ma trận thỏa mãn điều kiện sau: Dịng tồn số (nếu tồn tại) nằm Phần tử khác dịng nằm bên phải (và khơng cột) so với phần tử khác dòng Ví dụ: Xác định ma trận có dạng bậc thang? é1 ê0 -1 A=ê ê0 ê ë0 0 2ù -1 úú ; 6ú ú 0 0û é1 -2 ê0 -2 B=ê ê0 ê ë0 0 1ù é1 ú ê0 2ú ; C=ê ê0 3ú ú ê 6û ë0 -2 ù -2 úú 3ú ú 0 0û é1 ê0 D=ê ê0 ê ë0 2ù 0 úú 0 6ú ú 0 0û II CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN 2.1 Hai ma trận nhau: Hai ma trận A = éëa ij ùû B = éë bij ùû gọi nhau, kí hiệu A = B chúng có cấp a ij = bij , "i, j 2.2 Phép chuyển vị: 2.2.1 Định nghĩa: Cho ma trận A = éëa ij ùû cấp m x n Ma trận chuyển vị A, kí hiệu A T , ma trận cấp n x m, có từ A cách xếp dịng A thành cột tương ứng, nghĩa é a11 a12 êa a 22 A = ê 21 ê " " ê ëa m1 a m2 ! a1n ù é a11 ú êa ! a 2n ú T Þ A = ê 12 ê " # " ú ú ê ! a mn û ëa1n a12 ! a m1 ù a 22 ! a m2 úú " # " ú ú a 2n ! a mn û 2.2.2 Ví dụ Bài giảng Toán cao cấp C2 é3 5ù é3 -2 ù T Þ A = êê -6 úú a) Cho A = ê ú ë5 -6 û êë -2 úû é 1ù b) Tìm BT biết B = êê -2 3úú êë úû 2.3 Phép cộng 2.3.1 Định nghĩa: Cho A = éëa ij ùû m´n B = éë bij ùû m´n Tổng hai ma trận A B ma trận cấp m x n, ký hiệu A + B xác định sau A + B = éëa ij + bij ùû 2.3.2 Ví dụ é3 -2 ù é -8 ù é12 -4 -2 ù ê5 -6 ú + ê12 -4 ú = ê17 -5 -3ú ë û ë û ë û 2.3.3 Tính chất: Với A, B, C ma trận cấp m x n, ta ln có i) A + (B + C) = A + (B + C) (tính chất kết hợp) ii) A+B=B+A (tính chất giao hốn) iii) A + 0m´n = 0m´n + A = A iv) ( A + B) T = A T + BT Giả sử A = éëa ij ùû , kí hiệu -A = éë -a ij ùû Khi A + (-A) = Ta gọi (– A) ma trận đối ma trận A 2.3.4 Nhận xét: Hiệu ma trận A với ma trận B, kí hiệu A – B, định nghĩa ma trận A + (- B) 2.4 Phép nhân ma trận với số 2.4.1 Định nghĩa: Tích ma trận A = éëa ij ùû m´n với số a ma trận cấp m x n, kí hiệu v) a A xác định sau a A = éëa aij ùû 2.4.2 Ví dụ é3 -2 ù é15 20 -10 ù ê ú =ê ú ë5 -6 û ë 25 -30 û 2.4.3 Tính chất: Với A, B ma trận cấp m x n, 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ ta ln có i) 0.A = 1.A = A ii) iii) ( a + b ) A = aA + b A iv) é3 -2 ù é0 ( ab ) A = a (bA ) a ( A + B ) = aA + aB 2ù 2.4.4 Ví dụ: Tính ê ú - ê -1 ú ë5 -6 û ë û 2.5 Phép nhân hai ma trận 2.5.1 Định nghĩa: Cho A = éëa ij ùû m´p , B = éë bij ùû p´n Tích ma trận A với ma trận B, kí hiệu AB, ma trận cấp m x n, xác định công thức AB = éëcij ùû với p cij = a i1b1j + a i2 b j + ! + a1p b pj = å a ik b kj k =1 2.5.2 Nhận xét: - Ta nhớ cấp ma trận tích thơng qua kí hiệu hình thức: ( m ´ p )( p ´ n ) = ( m ´ n ) - Nói cách đơn giản cij tính cách nhân hệ số dòng i A với hệ số tương ứng cột j B lấy tổng chúng: 3 Bài giảng Toán cao cấp C2 Phần tử nằm dịng i, cột j ma trận tích AB Dịng i A Cột j B 2.5.3 Ví dụ: é1 -2 ù é -1 ù ; B = êê úú Tính AB BA 1) Cho A = ê ú ë4 0û êë úû Giải é1 ù * Ta có [ -1 4]1A êê úú = 2.1 + ( -1) + 4.2 = = c11 êë úû1B é -2 ù [ -1 4]1A êê úú = ( -2 ) + ( -1) + 4.4 = 12 = c12 êë úû 2B Tính tương tự cho phần tử cij lại é7 12 15ù Vậy AB = ê ú ë7 -8 û * BA không xác định số cột B khơng số dịng A é2 0ù ú Tính AB BA ë1 3û 2) A = [1 0] ; B = ê 2.5.4 Chú ý: - Trong định nghĩa phép nhân hai ma trận yêu cầu số cột ma trận A số dòng ma trận B - Với A, B ma trận có cấp cho tích AB BA có nghĩa, nói chung AB ¹ BA Chẳng hạn ví dụ - Nhiều tính chất phép nhân số thực khơng với phép nhân ma trận, é0 ù chẳng hạn: Khi A = A = ê ú ¹ ë0 û 2.5.5 Tính chất i) Với A m´n , Bn´p , Cp´q 𝛼 ∈ ℝ ta có A(BC) = (AB)C a ( AB ) = ( aA ) B = A ( aB ) ii) Với A m´n , Bm´n , Cn´p ta có (A + B)C = AC + BC iii) Với A m´n , Bn´p , Cn´p ta có A(B + C) = AB + AC iv) Với A m´n ta có v) Với A m´n ta có A 0n´p = 0m´p , 0p´m A = 0p´n A I n = A, I m A = A vi) Với A m´n , Bn´p ta có ( AB) T = BT A T Bài giảng Toán cao cấp C2 2.6 Lũy thừa ma trận vuông 2.6.1 Định nghĩa: Với A ma trận vuông cấp n, k số nguyên không âm ta đặt k=0 ìIn , ï A k = íA A , # ïỵ !" k k>0 Vì phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn nên nói chung ma trận ta khơng có đẳng thức tương tự đẳng thức số Tuy nhiên, ta chứng minh kết sau: 2.6.2 Tính chất: Với A, B ma trận vng cấp thỏa AB = BA với k nguyên dương ta có k -1 A k - Bk = ( A - B ) å A k - r -1Br r =0 ( A + B) k k = å C rk A k - r Br r =0 2.6.3 Ví dụ: é1 ù 1) Cho A = ê Tính A2, A3, A100 ú ë0 û é1 ù é1 ù é1 ù A = A.A = ê úê ú=ê ú ë0 û ë0 û ë0 û é1 ´100 ù é1 200 ù Þ A100 = ê = úû êë0 úû ë0 é1 ù é1 ù é1 ù A = A A = ê úê ú=ê ú ë0 û ë0 û ë0 û é1 1ù 2) Cho A = ê Tính A2, A3, An ú ë1 1û III CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG 3.1 Định nghĩa phép biến đổi sơ cấp Cho A = éëa ij ùû m´n Ta gọi phép biến đổi sơ cấp dòng, viết tắt BĐSCTD A, ba loại biến đổi sau: LOẠI PHÉP BIẾN ĐỔI Nhân dòng với số khác KÝ HIỆU d i ® ad i di « d k Đổi chỗ hai dịng CÁCH THỰC HIỆN nhân dòng thứ i với số a ¹ đổi hai dòng thứ i thứ k (i ¹ k ) Cộng vào dịng bội dịng d i ® d i + bd k cộng vào dòng thứ i bội khác 𝛽 lần dịng k ¹ i Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp cột 3.2 Định lý: Mọi ma trận đưa ma trận bậc thang phép BĐSCTD 3.3 Phương pháp đưa ma trận dạng bậc thang Bước 1: Xác định phần tử cần khử (vẽ bậc thang) Bước 2: Khử phần tử nằm bậc thang cột Bước 3: Làm tương tự bước cho cột cột lại 3.4 Ví dụ: Dùng phép BĐSCTD đưa ma trận sau ma trận bậc thang 5 Bài giảng Toán cao cấp C2 é1 ê2 a) A = ê ê3 ê ë -1 4ù úú 1ú ú -3û é1 1 ù b) B = ê 2 ú ê ú êë úû Giải é1 ê2 A=ê ê3 ê ë -1 4ù ù é1 d ®d - 2d1 ú ê ú d3 ®d3 -3d1 ê0 -3 -5 -8 úú ¾¾¾¾® ú d4 ®d4 - 4d1 ê0 -6 -7 -11ú ú ê ú -3û ë0 -9 -12 -19 û é1 ù é1 ù ê0 -3 -5 -8ú ê0 -3 -5 -8ú d3 ®d3 - 2d d ®d - d3 ỳ ắắắắ ỳ ắắắắđ đ d ®d -3d ê0 ú ê0 ú ê ú ê ú ë0 û ë0 0 û 3.5 Chú ý: Khi dùng phép BĐSCTD khác nhau, ta thu nhiều ma trận bậc thang khác IV HẠNG CỦA MA TRẬN 4.1 Định nghĩa: Giả sử E ma trận bậc thang có sau sử dụng phép BĐSCTD ma trận A Khi ta gọi hạng ma trận A, kí hiệu r(A), số dịng khác khơng ma trận bậc thang E 4.2 Phương pháp tìm hạng ma trận Bước 1: Sử dụng phép BĐSCTD đưa A dạng bậc thang Bước 2: Đếm số dịng khác khơng ma trận bậc thang bước 4.3 Ví dụ: 1) Sử dụng phép bđsc tìm hạng ma trận é1 ê2 a) A = ê ê3 ê ë -1 4ù úú 1ú ú -3û é1 3ù b) B = ê ú ê ú êë úû Giải é1 ù ê0 -3 -5 -8ú ú 1a) Theo ví dụ mục III, ta a c A v dng bc thang A ắắ đờ ê0 ú ê ú ë0 0 û Vì ma trận bậc thang có dịng khác nên r(A) = ù é1 1 ê A= ú 2) Tìm m để hạng A với ê ú êë m m + 3úû 4.4 Nhận xét - Nếu A = éëa ij ùû m´n r ( A ) £ {m, n} r(A) = r(AT) - Khi đưa ma trận A dạng bậc thang, ta sử dụng phép BĐSCTD khác nhau, ta thu nhiều ma trận bậc thang khác Nhưng số lượng dịng khác khơng chúng ln Bài giảng Toán cao cấp C2 V MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 5.1 Định nghĩa: Cho A ma trận vuông cấp n Nếu tồn ma trận vuông B cấp n AB = BA = I n cho In ma trận đơn vị cấp n, ta nói A ma trận khả nghịch B gọi ma trận nghịch đảo ma trận A, ký hiệu A -1 5.2 Chú ý: Không phải ma trận vuông A khả nghịch Có nhiều ma trận vng khơng khả nghịch Ma trận khả nghịch gọi ma trận không suy biến Ma trận không khả nghịch gọi ma trận suy biến 5.3 Sự ma trận nghịch đảo Định lý Ma trận nghịch đảo ma trận tồn Chứng minh Giả sử A¢ A¢¢ hai ma trận nghịch đảo ma trận vuông A, nghĩa ta có AA¢ = A¢A = I n AA¢¢ = A¢¢A = I n A¢ = A¢I n = A¢ ( AA¢¢ ) = ( A¢A ) A¢¢ = I n A¢¢ = A¢¢ Vì ta suy 5.4 Sự tồn ma trận khả nghịch 5.4.1 Định lý: Cho A ma trận vuông cấp n Các khẳng định sau tương đương i) A khả nghịch ii) r(A) = n Phép bđsc dịng ® I n (Tồn phép BĐSCTD đưa A ma trận đơn vị I n ) iii) A ¾¾¾¾¾¾¾¾ é1 ù 5.4.2 Ví dụ: Tìm m để ma trận A khả nghịch A = ê ú ë2 mû 5.5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Trong thực hành, để xét tính khả nghịch ma trận A vng cấp n tìm A -1 (nếu có), ta làm sau: Xếp I n bên phải A: éë A I n ùû dùng phép BĐSCTD biến đổi ma trận theo hướng đưa A ma trận đơn vị éë A I n ùû ® éë A1 B1 ùû ® ® éë A p Bp ùû ® Trong q trình biến đổi xảy trường hợp: - TH1: Tồn p cho A p có dịng hay cột Khi A khơng khả nghịch - TH2: Mọi ma trận A i khơng có dịng hay cột Khi ma trận cuối dãy có dạng éë I n Bùû Ta có A khả nghịch A -1 = B Nội dung cụ thể phương pháp: Bước 1: Thực với cột 1: + Giữ lại phần tử khác đường chéo (phần tử a11) Nếu phần tử đường chéo ta đổi dịng để phần tử đường chéo khác + Khử tất phần tử nằm ngồi đường chéo Bước 2: Lần lượt thực với cột lại giống bước Bước 3: Biến đổi phần tử nằm đường chéo thành 5.6 Ví dụ: Xét tính khả nghịch tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) 7 Bài giảng Tốn cao cấp C2 é 1 1ù a) A = êê -1 -1 úú êë úû é1 1 ù b) B = êê1 2 úú êë1 úû 5ù é1 ê c) C = ê -7 úú êë -11 13úû Giải a) é 1 1 0ù é1 1 ê ú d 2®d 2+ d1 ê éë A I ùû = ê -1 -1 ỳ ắắắắđ d3đd3-3d1 ờ0 ờở 0 úû êë0 -2 -3 -3 é -1 -1 ù é6 ỳ d1đ3d1+ d3 d1đ 2d1+ d ắắắắđ -2 -3 -3 ỳ ắắắắđ d 2®d + d3 ê0 êë 0 1 úû êë0 d1® d1 -1 d 2® d 2 d3® d3 é1 ắắắắ đ ờ0 ờở0 ộ -1 -1 Vậy A = êê -1 êë 3 é1 1 0 ù 0ù ú d 2«d3 ê ú ỳ ắắắđ ờ0 -2 -3 -3 ỳ êë0 1 úû úû 0 -2 ù ú -2 -2 1 ú 1 úû -1 ù ú -1 -1 ú 13 13 úû 12ù -1 úú úû 5.7 Tính chất: Cho A, B, A1 A k ma trận vuông cấp, khả nghịch Khi iv) ( A T ) -1 ( ) = A -1 T ii) ( A -1 ) = A iii) ( kA ) = v) ( AB ) = B-1A -1 vi) ( A1 A k ) = A k-1 A1-1 -1 i) I n -1 = I n -1 k A -1 , "k ¹ -1 -1 VI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN 6.1 Định lý: Cho ma trận A Ỵ M n ( ! ) khả nghịch, B Ỵ M n´p ( ! ) , C Ỵ M m´n ( ! ) Xét phương trình ma trận AX = B YA = C Khi i) AX = B Û X = A -1B ii) YA = C Û Y = CA -1 Chứng minh i) AX = B Û A -1 ( AX ) = A -1B Û ( A -1A ) X = A -1B Û I n X = A -1B Û X = A -1B ii) YA = C Û ( YA ) A -1 = CA -1 Û Y ( AA -1 ) = CA -1 Û YI n = CA -1 Û Y = CA -1 6.2 Chú ý: Trong định lý B có số dịng khác n phương trình AX = B vơ nghiệm Tương tự, C có số cột khác n phương trình YA = C vơ nghiệm 6.3 Ví dụ: Cho hai ma trận é1 -2 ù ê -1 -2 -3ú ú; A=ê ê -1 -5 ú ê ú ë -3 -3û é1 -1 0 ù ê0 -1 ú ú B=ê ê0 -1ú ê ú ë0 0 û 1) Chứng tỏ A khả nghịch tìm A -1 2) Tìm ma trận X thỏa XA = B 3) Tìm ma trận X thỏa A XA = ABA Giải 1) Bằng cách sử dụng phép BĐSCTD ta tìm Bài giảng Toán cao cấp C2 é 47 81 -50 -29 ù ê -3 -2 ú -1 ú A =ê ê -2 -1 ú ê ú ë 29 50 -31 -18 û é 44 76 -47 -27 ù ê -1 -1 úú -1 ê 2) XA = B Û X = BA = ê -27 -47 29 17 ú ê ú ë 29 59 -31 -18 û é 47 34 -131 21ù ê3 -8 úú 2 -1 ê 3) A XA = ABA Û AX=B Û X = A B = ê2 -5 1ú ê ú ë 29 21 -81 13 û 6.4 Hệ quả: Cho ma trận A Ỵ M n ( ! ) khả nghịch, B Ỵ M n´p ( ! ) , C Ỵ M m´n ( ! ) Khi i) Nếu AB = B = ii) Nếu CA = C = Chứng minh i) Nếu AB = B nghiệm phương trình AX = Theo định lý trên, hương trình có nghiệm X = nên B = ii) Tương tự BÀI TẬP é 3ù A = ê -1 ú ê ú êë3 úû Cho é1 -3ù B=ê ú ë0 û é -3ù C = êê1 úú êë -1úû Hãy tính A + ( B + C) ; ( A + BT) + C ; 3AT ; A.B ; A.BT ; B.C ; B.CT ; 3A + B.C Thực phép toán ma trận sau é -1 ù é1 2 ê4 -1úû ë é1 3ù é -9 ê ú + ê -5 b) ê ú ê êë7 úû êë -3 a) ê ë0 ù é5 ù + úû êë8 15úû -7 ù é -8 ù úú + êê -4 -6 úú -1úû êë -2 úû Thực phép nhân ma trận sau é 1 ù é1 -1ù é2 A = êê 2 úú êê -1 úú , B = ê ë3 êë1 úû êë1 úû é0 é0 ù é -1 m ù ê ú F = êê E=ê m ú ê ú ëm 1û ê êë -1 ë3 úû Tính é2 0ù a) êê -1 úú êë -2 -1úû é2ù é3 1ù 1ù ê ê ú ú , C = [1 3] ê ú ú ê ú 1û êë1 úû êë1 úû m ù é1 ù ú ê ú ê -1 úú -3úû êë m m - 1úû é1 -3 ù b) êê1 m úú êë0 úû é1 1ù c) ê ú ë0 1û Đưa ma trận sau dạng bậc thang n Bài giảng Toán cao cấp C2 é ê ê c) ê ê ê êë - 1ù é1 é - - 4ù ê2 - - ú ú a) êê4 - úú b) ê ê5 - ú êë2 - 1 úû ê ú 1û ë7 -5 -7 4 3 -8 2 -1 3ù úú ú ú - 5ú - 6úû Tìm hạng ma trận ĐS: a) b) c) Tìm hạng ma trận theo tham số a (thực) é -1 ê -1 -1 b) B = ê ê1 ê ë -1 -1 ù a -1úú aú ú 2û b) a = r(B) = a ¹ r(A) = é3 a 2ù ê1 ú ú a) A = ê ê1 10 17 ú ê ú ë4 3û ĐS: a) r(A) = với số thực a Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận sau é 2 3ù é -1 5ù é1 ù é1 ù ê ú A=ê , C=ê ú , A=ê ú , D = ê -1 ú , ú ë û ë û ë 3û êë -1 úû é1 -5 ù é1 1 ù é2 ê0 -3ú ê ú ê3 ú G = ê1 -1 -1ú F=ê H=ê ê0 ú ê1 -1 -1ú ê1 ê ú ê ú ê ë0 0 û ë1 -1 -1 û ë -1 é1 -3 11 -38ù ê0 -2 ú -1 ú ĐS: F = ê ê0 -2 ú ê ú û ë0 0 é1 1 ù ê ú ê1 -1 -1ú -1 G = ê1 -1 -1 -1ú ê ú ë1 -1 -1 -1û é1 -3ù E = êê0 úú êë0 úû 0ù úú 4ú ú 3û -1 0 ù é ê -3 0 úú -1 ê H = ê 31 -19 -4 ú ê ú ë -23 14 -2 û 9.Giải phương trình ma trận sau é 5ù é -6 ù úû a) ê ú X = ê2 ë 3û ë é1 -1 ù é -7 ù c) X êê1 -1úú = ê 15 -13úû êë1 -2 úû ë ù é -2 ù = -3úû êë -1úû é1 -1ù é1 -1 ù d) X êê úú = êê úú êë1 -1 úû êë1 -2 úû é2 1ù é -3 b) ê úXê ë3 2û ë 10 Bài giảng Toán cao cấp C2 é1 ê0 In = ê ê" ê ë0 ! 0ù ! úú : MT đơn vị cấp n " # "ú ú ! 1û Chú ý với điều kiện (*), ma trận In – A thường khả nghịch, nên từ (1) ta suy nghiệm toán -1 X = ( In - A ) D 2.3 Ví dụ: 1) Xét mơ hình Input – Output mở gồm ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào é0,3 0, 0,3ù A = êê 0,1 0,1 0,1úú êë 0,1 0, 0,1úû a) Nêu ý nghĩa kinh tế hệ số a32 b) Tìm nhu cầu ngành kinh tế mở, biết sản lượng ngành kinh tế (150, 120, 160) c) Tìm mức sản lượng ba ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế mở yêu cầu lượng sản phẩm trị giá (10, 25, 15) Giải a) a32 = 0,2 trị giá lượng nguyên liệu hàng hóa ngành phục vụ cho ngành sản xuất lượng hàng hóa trị giá (đơn vị tiền tệ) Gọi x1, x2, x3 trị giá lượng hàng hóa ngành kinh tế thứ 1, 2, cần sản xuất Điều kiện x j ³ 0, £ j £ Khi ( I3 - A ) X = D (1) Trong I3: ma trận đơn vị cấp 3; é x1 ù é d1 ù ê ú X = ê x ú : ma trận sản lượng n ngành kinh tế D = êêd úú : ma trận nhu cầu ngành kinh tế êë x úû êë d úû mở Cách 1: é150 ù b) Tìm D cơng thức D = ( I3 - A ) X với X = êê120 úú êë160 úû Nghĩa ta thực phép nhân hai ma trận I3 – A ma trận X c) Tìm X cơng thức X = ( I n - A ) -1 é10 ù D với D = êê 25úú êë15 úû Nghĩa ta tìm ma trận nghịch đảo ( I n - A ) , sau thực phép nhân hai ma trận -1 ( In - A ) -1 ma trận D Cách 2: Ta có ( I3 - A ) X = D ì0, 7x1 - 0, 2x - 0,3x = d1 ï Û í-0,1x1 + 0,9x - 0,1x = d ï-0,1x - 0, 2x + 0,9x = d 3 ỵ 27 (2) Bài giảng Tốn cao cấp C2 b) Giả thiết cho ta x1 = 150; x2 = 120; x3 = 160 Thế vào (2) ta suy d1 = 33; d2 = 77; d3 = 105 Vậy nhu cầu ngành kinh tế mở (33, 77, 105) c) Giả thiết cho ta d1 = 10; d2 = 25; d3 = 15 Thế vào (2) ta hệ ì0, 7x1 - 0, 2x - 0,3x = 10 ì7x1 - 2x - 3x = 100 ï ï í-0,1x1 + 0,9x - 0,1x = 25 Û í-1x1 + 9x - 1x = 250 ï-0,1x - 0, 2x + 0,9x = 15 ï-1x - 2x + 9x = 150 3 ỵ ỵ 73 ì ï x1 = > ï Giải hệ (3) ta nghiệm í x = 35 > ï 57 ïx3 = >0 ỵ (3) 2) Xét mơ hình Input – Output mở gồm ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào é 0,1 0,3 0, ù A = êê0, 0, 0,3 úú êë0, 0,3 0,1 úû a) Nêu ý nghĩa kinh tế hệ số a13 b) Tìm nhu cầu ngành kinh tế mở, biết sản lượng ngành kinh tế (280, 450, 390) c) Tìm mức sản lượng ba ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế mở yêu cầu lượng sản phẩm trị giá (118, 52, 96) BÀI TẬP 1) Thị trường có loại hàng hóa với hàm cung, hàm cầu QS = 3P1 - ; QD = 10 - P1 + P2 1 QS2 = P2 - ; QD2 = 15 + P1 - P2 Tìm điểm cân thị trường 2) Thị trường có loại hàng hóa với hàm cung, hàm cầu QS = 10 P1 - P2 - 20 ; QD = 100 - P1 + P2 + P3 1 QS2 = 12 P2 - P3 - ; QD2 = 277 + P1 - 10 P2 QS3 = - P1 + P3 - ; QD3 = 235 + P2 - 8P3 Tìm đơn giá điểm cân thị trường 3) Xét mơ hình Input – Output mở gồm ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào é 0,1 0,3 0, ù A = êê0, 0, 0,1 úú êë0, 0,3 0,3 úû a) Nêu ý nghĩa kinh tế hệ số a32 b) Tìm nhu cầu ngành kinh tế mở, biết sản lượng ngành kinh tế (120, 150, 300) c) Tìm mức sản lượng ba ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế mở yêu cầu lượng sản phẩm trị giá (110, 52, 90) 28 Bài giảng Toán cao cấp C2 CHƯƠNG V KHÔNG GIAN VECTƠ BÀI 1: KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTƠ 1.1 Định nghĩa Giả sử V tập hợp cho a) Một phép tốn cộng, ký hiệu +, nghĩa có ánh xạ +:V x V ® V ( x, y ) ! x + y "x, y Ỵ V b) Một phép tốn nhân với vơ hướng, ký hiệu • , định nghĩa ánh xạ ! :V x V ® V ∀𝛼 ∈ ℝ, ∀𝑥 ∈ 𝑉 ( a , x ) ! ax Nếu phép cộng phép nhân với vô hướng V thỏa mãn điều kiện sau ta gọi V không gian vectơ thực i) Phép cộng có tính kết hợp, nghĩa x + (y + z) = (x + y) + z "x, y, z Ỵ V "x, y Ỵ V ii) Phép cộng có tính giao hốn, nghĩa x + y = y + x iii) Phép cộng có phần tử khơng, nghĩa $0 Ỵ V, x + = + x = x "x Ỵ V Ta gọi phần tử không iv) Mọi phần tử V tồn phần tử đối, nghĩa "x Ỵ V, $x ẻ V, x + x = x + x = Ta gọi x’ phần tử đối x, ký hiệu –x 𝑣)𝛼 (𝑥 + 𝑦) = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦 ∀𝛼 ∈ ℝ, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 𝑣𝑖)(𝛼 + 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, ∀𝑥 ∈ 𝑉 𝑣𝑖𝑖)(𝛼𝛽)𝑥 = 𝛼(𝛽𝑥) ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, ∀𝑥 ∈ 𝑉 𝑣𝑖𝑖𝑖)1𝑥 = 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑉 Nếu V không gian vectơ thực ta gọi phần tử V vectơ, gọi phần tử ℝ vơ hướng 1.2 Ví dụ: 1) Tập hợp ℝ% = {(𝑥$ , 𝑥% )|𝑥$ , 𝑥% ∈ ℝ} Khi ℝ% kgvt với phép toán định nghĩa sau: ∀𝑥 = (𝑥$ , 𝑥% ), 𝑦 = (𝑦$ , 𝑦% ) ∈ ℝ% , ∀𝛼 ∈ ℝ Phép cộng x + y = ( x1 + y1 , x + y ) ax = ( ax , ax ) Phép nhân 2) Tổng quát, tập hợp ℝ# = {(𝑥$ , 𝑥% , … , 𝑥# )|𝑥$ , 𝑥% , … , 𝑥# ∈ ℝ} Khi ℝ# kgvt với phép toán định nghĩa sau: ∀𝑥 = (𝑥$ , 𝑥% , … , 𝑥# ), 𝑦 = (𝑦$ , 𝑦% , … , 𝑦# ) ∈ ℝ# , ∀𝛼 ∈ ℝ Phép cộng x + y = ( x1 + y1 , x + y , , x n + y n ) Phép nhân ax = ( ax1 , ax , , ax n ) 3) Tập hợp 𝑀!×# (ℝ) = {các ma trận A cấp m x n với hệ số thực} kgvt với phép toán định nghĩa sau: ∀𝐴 = >𝑎() @!×# , 𝐵 = >𝑏() @!×# , ∀𝛼 ∈ ℝ Phép cộng A + B = éëa ij + bij ùû 29 Bài giảng Toán cao cấp C2 Phép nhân aA = éëaa ij ùû BÀI 2: ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH I TỔ HỢP TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa: Cho kgvt V u1 , u , , u n Ỵ V Một tổ hợp tuyến tính vectơ u1 , u , , u n vectơ có dạng: u = a1u1 + a u + + a n u n , với 𝛼$ , 𝛼% , … , 𝛼# ∈ ℝ 1.2 Ví dụ: Vectơ v = (2, 3) tổ hợp tuyến tính vectơ i = (1, 0) j = (0, 1) v = (2, 3) = (2, 0) + (0, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1) = 2i + 3j 1.3 Tính chất: Vectơ u tổ hợp tuyến tính u1 , u , , u n phương trình u = a1u1 + a u + + a n u n có nghiệm (𝛼$ , 𝛼% , … , 𝛼# ) ∈ ℝ# 1.4 Ví dụ: a) Trong khơng gian ℝ& cho vectơ u1 = (1,1,1) ;u = ( 2,3, -1) Tìm điều kiện để vectơ u = ( m1 , m , m ) tổ hợp tuyến tính vectơ Giải a) Vectơ u tổ hợp tuyến tính u1 , u phương trình u = a1u1 + a u % có nghiệm (𝛼$ , 𝛼% ) ∈ ℝ Ta c ó u = a1u1 + a u Û ( m1 , m , m ) = a1 (1,1,1) + a ( 2,3, -1) Û ( m1 , m , m ) = ( a1 + 2a , a1 + 3a , a1 - a ) ìa1 + 2a = m1 ï Û ía1 + 3a = m ïa - a = m ỵ Ta tìm điều kiện m1, m2, m3 để hpt có nghiệm Biện pháp Gauss m1 ù é1 m1 ù é1 é1 ê ú d 2®d 2-d1 ê ú d3®d3+3d ê ® ê0 m - m1 ỳ ắắắắđ ờ0 Ta cú ộở A Bựỷ = ờ1 m ỳ ắắắắ d3đd3- d1 ờở1 -1 m úû êë0 -3 m - m1 úû êë0 luận hpt phương m1 ù ú m - m1 ú m + 3m - 4m1 úû Vì r(A) = nên để hpt có nghiệm r ( A B ) = r ( A ) = Suy m3 + 3m - 4m1 = Vậy điều kiện để vectơ u = ( m1 , m , m ) tổ hợp tuyến tính vectơ u1 , u m3 + 3m - 4m1 = b) Trong không gian ℝ& cho vectơ u1 = (1,1,1) ;u = ( 2,3, -1) ;u = ( -1, -1,1) Tìm điều kiện để vectơ u = ( m1 , m , m ) tổ hợp tuyến tính vectơ II ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 2.1 Định nghĩa: Cho u1 , u , , u n Ỵ V Xét phương trình a1u1 + a u + + a n u n = (1) 30 Bài giảng Toán cao cấp C2 * Nếu (1) có nghiệm tầm thường a1 = a = = a n = ta nói u1 , u , , u n độc lập tuyến tính (ĐLTT) * Nếu ngồi nghiệm tầm thường, (1) cịn có nghiệm khác ta nói u1 , u , , u n phụ thuộc tuyến tính (PTTT) Nói cách khác: * u1 , u , , u n ĐLTT với 𝛼$ , 𝛼% , … , 𝛼# ∈ ℝ ta có a1u1 + a u + + a n u n = Þ a1 = a = = a n = * u1 , u , , u n Ỵ V PTTT tồn phần tử 𝛼$ , 𝛼% , … , 𝛼# ∈ ℝ không đồng thời cho a1u1 + a u + + a n u n = * Quy ước: Hệ Ỉ hệ độc lập tuyến tính 2.2 Ví dụ: 1) Kiểm tra ĐLTT hay PTTT vectơ sau: a) B0 ={e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0); e3 = (0, 0, 1)} không gian ℝ& b) U = {u1 = (1, 2, -3) ;u = ( 2,5, -1) ;u = (1,1, -8 )} ℝ& 2) Trong không gian ℝ& cho hệ vectơ U = {u1 = (1, -2,0 ) ;u = ( 2m, m, -1) ;u = (1, -1, -m )} Tìm điều kiện m để U độc lập tuyến tính Giải: 1a) Xét phương trình a1e1 + a 2e + a 3e3 = Û a1 (1,0,0 ) + a ( 0,1,0 ) + a ( 0,0,1) = Û ( a1 ,0,0 ) + ( 0, a 0, ) + ( 0,0, a ) = ìa1 = ï Û ( a1 , a , a ) = Û ía = ïa = ỵ Vậy hệ vectơ B ĐLTT Nhận xét i) Nếu hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ khác rỗng độc lập tuyến tính Đặc biệt, vectơ hệ độc lập tuyến tính khác vectơ khơng ii) Hệ vectơ u1 , u , , u n Ỵ V phụ thuộc tuyến tính có vectơ hệ tổ hợp tuyến tính vectơ cịn lại 2.3 Thuật tốn kiểm tra tính độc lập tuyến tính vectơ ℝ𝟑 2.3.1 Nội dung: Cho u1 , u , , u k vectơ kgvt V Bước 1: Lập ma trận A cách xếp u1 , u , , u k thành dòng cột Bước 2: ma trận A vuông ma trận A khơng vng Tính định thức A Tìm hạng ma trận A (bằng phép BĐSC) * Nếu det ( A ) ¹ u1 , u , , u k ĐLTT * Nếu r(A) = k u1 , u , , u k ĐLTT 31 Bài giảng Toán cao cấp C2 * Nếu det ( A ) = u1 , u , , u k PTTT * Nếu r(A) < k u1 , u , , u k PTTT 2.3.2 Ví dụ: 1) Trong không gian ℝ& cho vectơ u1 = (1, 2, ) ; u = ( -1,1, -1) ; u = ( 0,1, ) ; u = ( 2, 4,14 ) Hãy kiểm tra u1, u2, u3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính Giải: Lập ma trận A cách xếp u1 , u , u , u thành cột é1 -1 ù A = êê 1 úú êë7 -1 14 úû Dùng phép bđsctd ta có é1 -1 ù é1 -1 ù é1 -1 ù ê ú ê ú d3 ®d3 - 2d ê ú d ®d - 2d1 A = 1 ỳ ắắắắđ d3 đd3 - 7d1 ờ0 ỳ ắắắắđ ờ0 ú êë7 -1 14 úû êë0 úû êë0 0 úû Vì r(A) = < nên u1 , u , u , u phụ thuộc tuyến tính 2) Trong không gian ℝ& cho vectơ u1 = ( m,1,1) ; u = (1, m,1) ; u = (1,1, m ) Tìm điều kiện m để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính BÀI TẬP Cho vectơ u1 = (1,1,1,1) ; u = ( 2,3, -1, ) ; u = ( -1, -1,1,1) Kiểm tra xem u có phải tổ hợp tuyến tính vectơ u1, u2, u3 với: a) u = (1,1, 2, ) b) u = (1, 2, 3, 2) Trong không gian ℝ& cho vectơ x1 = (1, -2, 3), x2 = (0, 1, -3) a) Vectơ x = (2, -3, 3) có biểu thị tuyến tính qua hệ {x1, x2} khơng? b) Tìm m để vectơ y = (1, m, -3) biểu thị tuyến tính qua hệ {x1, x2} Trong không gian ℝ' cho vectơ x1 = (1, 1, 1, 1), x2 = (2, 3, -1, 0), x3 = (1, 2, 1, -1), x4 = (1, -1, 1, 1) Tìm điều kiện để vectơ x = (a1, a2, a3, a4) tổ hợp tuyến tính của: a) {x1, x2, x3} b) {x1, x2, x3, x4} Tìm điều kiện tham số m để vectơ u tổ hợp tuyến tính vectơ u1, u2, , uk với: a) u = ( 3, 2, m ) u1 = (1, -1,1) ; u = ( 2,1,3) ; u = ( 3,3,5 ) ℝ& b) u = (1, -1, m + ) u1 = (1,1,1) ; u = ( 0,1, -1) ; u = ( 2, -2,1) ℝ& Kiểm tra tính ĐLTT PTTT hệ vectơ sau kgvt tương ứng: a) {u1 = ( 2,1,1) ; u = (1,3,1) ; u = (1, -2, )} ℝ& b) {u1 = ( 2, -3, ) ; u = ( 0,1, ) ; u = ( 2, -4,1)} ℝ& Tìm điều kiện tham số m để hệ vectơ sau ĐLTT kgvt tương ứng: 32 a) {u1 = (1,1,1) ; u = ( 0,1,1) ; u = (1,1, m )} ℝ Bài giảng Toán cao cấp C2 & b) {u1 = (1,1,1,1) ; u = ( 3, 2,1,5 ) ; u = ( 2,3, 0, m - 1)} ℝ' BÀI 3: CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ I CƠ SỞ 1.1 Định nghĩa: Cho V kgvt * Một hệ vectơ V gọi hệ sinh V vectơ V biểu diễn tuyến tính qua hệ cho * Một hệ vectơ V gọi sở V hệ sinh độc lập tuyến tính 1.2 Ví dụ: a) Hệ gồm vectơ B0 = {e1 = (1, 0, ) ;e = ( 0,1, ) ;e3 = ( 0, 0,1)} sở tắc kgvt ℝ& Giải: * Kiểm tra ĐLTT (đã làm mục II) * Kiểm tra hệ sinh: ∀𝑥 = (𝑥$ , 𝑥% , 𝑥& ) ∈ ℝ& ta có x = ( x1 , x , x ) = ( x1 , 0, ) + ( 0, x , ) + ( 0, 0, x ) = x1 (1, 0, ) + x ( 0,1, ) + x ( 0, 0,1) = x1e1 + x e + x 3e3 Điều có nghĩa vectơ ℝ& biễu diễn tuyến tính qua hệ vectơ B0 Tức B0 hệ sinh ℝ& Vậy B0 sở kgvt ℝ& gọi sở tắc ℝ& b) Tương tự, kgvt ℝ# có sở tắc B0 = {e1 = (1, 0, 0, , ) ;e = ( 0,1, 0, , ) ; ;e n = ( 0, 0, , 0,1)} 1.3 Định lý: Giả sử V sinh n phần tử Khi đó: i) Trong V có sở gồm hữu hạn phần tử ii) Mọi sở V có số phần tử khơng vượt q n Nếu V có sở gồm hữu hạn vectơ V gọi kgvt hữu hạn chiều II SỐ CHIỀU 2.1 Định nghĩa: Ta gọi số phần tử sở kgvt hữu hạn chiều V số chiều V, ký hiệu dimV Quy ước: dim ({Ỉ} ) = 2.2 Ví dụ: Theo ví dụ sở 1.2, ta suy dimℝ& = Tổng quát hơn, dimℝ# = 𝑛 2.3 Định lý: Cho V kgvt hữu hạn chiều với dimV = n Khi đó: i) Mọi tập độc lập tuyến tính gồm n vectơ V sở V ii) Mọi tập sinh V gồm n vectơ sở V 2.4 Thuật toán kiểm tra hệ vectơ sở không gian V biết số chiều dimV =n Theo định lý số chiều, ta có kết luận sau: ìk = n u1 , u , , u k sở V Û í ỵu1 , u , , u n DLTT Ví dụ 1: a) Trong kgvt ℝ& cho hệ vectơ E = {e1 = (1, 1, 0); e2 = (1, 1, 1); e3 = (1, 0, 1)} Chứng minh sở ℝ& b) Trong không gian ℝ& cho vectơ u1 = (1,1,1) ; u = ( 0, 2,3) ; u = (1,3, -1) 33 Bài giảng Toán cao cấp C2 & Chứng minh sở ℝ Giải: a) Ta thấy hệ vectơ E có vectơ = dimℝ& , nên E sở E ĐLTT 1 Vì 1 = ¹ nên E ĐLTT Do hệ vectơ E sở ℝ& 1 Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau sở kgvt tương ứng a) B = {u1 = (1, 0, 0, ) , u = ( 0,1, 0, ) , u = ( 0, 0, 0,1) , u = ( m, -1, 0, )} ℝ' b) B = {v1 = (1,1, m ) , v = (1,1, ) , v3 = (1, 2,1)} ℝ& BÀI TẬP Chứng minh hệ vectơ sau sở kgvt tương ứng a) {u1 = (1, 2,3) ; u = ( 3, 4,5 ) ; u = ( 2,1, )} ℝ& b) {u1 = (1, 0, ) , u = ( -1,1, ) , u = (1, -2,1)} ℝ& Tìm điều kiện tham số m để hệ vectơ sau sở kgvt tương ứng: a) U = {u1 = (1, 2, m ) , u = ( 3, -1, -m ) , u = ( 2,1,3)} ℝ& b) {u1 = (1, 0, 0,1) , u = ( m, 0,1, ) , u = ( m - 1, 0,1,1) , u = (1, m - 1, 0, )} ℝ' c) {u1 = (1,1,1) , u = (1, 2, ) , u = ( m, 2,1)} ℝ& 34 Bài giảng Toán cao cấp C2 BÀI 4: TỌA ĐỘ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ I TỌA ĐỘ 1.1 Mệnh đề: Cho V kgvt n chiều B = {u1 , u , , u n } sở V Khi với u Ỵ V tồn 𝛼! , 𝛼" , … , 𝛼# ∈ ℝ cho u = a1u1 + a u + + a n u n Chứng minh Vì u1 , u , , u n sở V nên với u Ỵ V tồn 𝛼! , 𝛼" , … , 𝛼# ∈ ℝ cho u = a1u1 + a u + + a n u n Ta chứng minh số 𝛼! , 𝛼" , … , 𝛼# ∈ ℝ Thật vậy, giả sử a1u1 + a u + + a n u n = b1u1 + b2 u + + bn u n Khi ( a1 - b1 ) u1 + ( a - b2 ) u + + ( a n - bn ) u n = Vì u1 , u , , u n độc lập tuyến tính nên ta suy a1 - b1 = a - b2 = = a n - bn = Û a1 = b1 , a = b , , a n = b n 1.2 Định nghĩa: Bộ n phần tử (𝛼! , 𝛼" , … , 𝛼# ) ∈ ℝ# xác định mệnh đề gọi tọa độ vectơ u sở B = {u1 , u , , u n } , ta ký hiệu [ u ]B é a1 ù êa ú = ê 2ú ê ! ú ê ú ëa n û 1.3 Ví dụ: 1) Trong kgvt ℝ$ xét sở tắc B0 = {e1 = (1, 0, ) , e = ( 0,1, ) , e3 = ( 0, 0,1)} Tìm tọa độ vectơ a) u = (1, -2, 4) b) x = (x1, x2, x3) Giải a) Ta có u = (1, -2, ) = (1, 0, ) + ( 0, -2, ) + ( 0, 0, ) = e1 - 2e + 4e3 Nên tọa độ u [ u ]B é1ù = êê -2 úú êë úû 2) Trong kgvt ℝ" xét sở B = {u1 = (1,1) , u = ( 2,3)} Tìm tọa độ vectơ sở B a) u = (8, 11) b) v = (1, 0) Giải éa ù 2a) Gọi [ u ]B = ê ú tọa độ vectơ u sở B Khi ta có ëa û u = a1u1 + a u = a1 (1,1) + a ( 2,3) Û ( 8,11) = ( a1 , a1 ) + ( 2a ,3a ) Û ( 8,11) = ( a1 + 2a , a1 + 3a ) ìa + 2a = ìa = Ûí Ûí ỵa1 + 3a = 11 ỵa = 35 Bài giảng Toán cao cấp C2 é2ù Vậy tọa độ vectơ u sở B [ u ]B = ê ú ë3û 3) Trong không gian ℝ$ xét sở B = {u1 = (1,1,1) , u = (1, 2, ) , u = ( 3, 0, )} Tìm tọa độ vectơ x = (1, -2, 1) y = (2, -5, 3) sở B Nhận xét: Tọa độ vectơ u = ( u1 , u , , u n ) sở tắc B0 kgvt ℝ# ma trận cột tương ứng u, tức [ u ]B é u1 ù ú = ê 2ú ê! ú ê ú ëu n û II MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ 2.1 Định nghĩa: Giả sử B1 = {u1 , u , , u n } B2 = {v1 , v , , v n } hai sở kgvt V Với j = 1, 2, , n ta tìm tọa độ v j sở B1 é p11 ù é p12 ù é p1n ù êp ú êp ú êp ú 21 ú 22 ú ê ê [ v1 ]B1 = ê ! ú ; [ v2 ]B1 = ê ! ú ; ; [ v n ]B1 = êê !2n úú ê ú ê ú ê ú ë p n1 û ëpn û ë p nn û é p11 p12 ! p1n ù êp p 22 ! p 2n úú 21 ê P= ê " " # " ú ê ú ë p n1 p n ! p nn û Ta có Đặt Khi P gọi ma trận chuyển sở từ B1 sang B2, ký hiệu PB ®B Hơn u có tọa độ [ u ]B sở B1 tọa độ [ u ]B sở B2 [ u ]B = PB1 ®B2 [ u ]B 2 2.2 Mệnh đề: Trong không gian ℝ xét sở tắc B0 hai sở B1 = {u1 , u , , u n } , # B2 = {v1 , v , , v n } Khi i) PB ®B ma trận có cách dựng vectơ u1 , u , , u n thành cột ii) PB ®B = ( PB ®B 0 ) -1 iii) PB ®B = ( PB ®B ) -1 PB0 ®B2 2.3 Ví dụ 1) Trong ℝ" xét sở B1 = {u1 = ( 2,3) , u = ( 3, )} Tìm ma trận chuyển sở từ: a) Cơ sở tắc B0 sang sở B1 b) Cơ sở B1 sang sở tắc B0 c) Cơ sở B1 sang sở B2 = {t1 = (1,1) , t = ( 0, )} Giải: Cơ sở tắc ℝ" B0 = {e1 = (1, ) ;e = (1, )} a) Tọa độ vectơ u1, u2 sở tắc B0 [ u1 ]B é2 3ù PB0 ®B1 = ê ú ë3 4û 2) Trong ℝ$ xét sở B1 = {u1 = (1,1, ) , u = (1, 4,5 ) , u = ( 0,3, -1)} Khi ma trận chuyển sở từ B0 sang B1là 36 é2ù = ê ú; ë3û [ u ]B é 3ù =ê ú ë 4û Bài giảng Tốn cao cấp C2 a) Tìm ma trận chuyển sở từ sở tắc B0 sang sở B1 b) Tìm ma trận chuyển sở từ sở B1 sang sở tắc B0 c) Tìm ma trận chuyển sở từ sở B1 sang sở B2 = {t1 = (1,1,1) , t = ( 0, 2,3) , t = (1,3, -1)} d) Tìm tọa độ vectơ u = (2, -2, 0) sở B1 B2 e) Cho [ x ]B é1ù = êê úú Tìm vectơ x êë -1úû f) Cho [ y ]B é0 ù = êê1 úú Tìm vectơ y êë úû 3) Trong không gian ℝ$ cho hệ vectơ u1 = ( 2m + 1, -m, m + 1) , u = ( m - 2, m - 1, m - ) , u = ( 2m - 1, m - 1, 2m - 1) a) Tìm điều kiện m để B(m) = {u1, u2, u3} sở ℝ$ b) Tìm ma trận chuyển sở từ B(2) sang sở B(-2) từ B(-2) sang sở tắc B0 c) Tìm tọa độ vectơ u = (2, -2, 0) sở B(2) B(-2) d) Cho [ x ]B( 2) é1ù = êê úú Tìm vectơ x êë -1úû e) Cho [ y ]B( -2) é0 ù = êê1 úú Tìm vectơ y êë úû BÀI TẬP Tìm tọa độ vectơ sau sở kgvt tương ứng: a) u = (2, 1, 9) sở {u1 = (1,1,1) ; u = (1,1, ) ; u = (1, 2,3)} ℝ$ b) u = (1, -1, ) sở {u1 = ( 3, 0, 0, ) , u = (1, 2, ) , u = (1,1,1)} ℝ$ Trong ℝ$ cho hai sở B1 = {u1 = (1,1, ) ; u = ( 0,1,1) ; u = (1, 0,1)} ; B2 = {v1 = ( 0, 0,1) ; v = (1, -1, ) ; v3 = (1,1,1)} a) Tìm ma trận chuyển sở từ sở tắc B0 sang B1; từ B2 sang B0; từ B1 sang B2 b) Tìm tọa độ vectơ u = (1, -1, 1) hai sở Trong ℝ$ cho hai sở B0 = {e1 = (1, 0, ) ;e = ( 0,1, ) ;e3 = ( 0, 0,1)} ; B1 = {u1 = (1, 0, ) ; u = ( -1,1, ) ; u = (1, -2,1)} a) Tìm ma trận chuyển sở từ sở tắc B0 sang B1; từ B1 sang B0 b) Tìm tọa độ vectơ u = (1, 2,1) hai sở 37 Bài giảng Toán cao cấp C2 BÀI 5: KHÔNG GIAN VECTƠ CON I KHÔNG GIAN VECTƠ CON KHƠNG GIAN DỊNG 1.1 Khơng gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa: Cho V kgvt W tập khác rỗng V Ta gọi W kgvt V, ký hiệu W £ V , i) Các phép toán V hạn chế lên W cảm sinh phép toán W, nghĩa ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊, 𝛼 ∈ ℝ, 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊, 𝛼𝑢 ∈ 𝑊 ii) W kgvt với phép toán cảm sinh 1.1.2 Định lý: Cho W tập V Khi mệnh đề sau tương đương i) W Ê V ii) W ặ v , 𝑊, 𝛼 ∈ ℝ, ta có u + v Ỵ W, au ẻ W iii) W ặ v , 𝑣 ∈ 𝑊, 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, ta có au + bv Ỵ W Ví dụ: a) W = {0} V kgvt V Ta gọi không gian tầm thường V b) Chứng minh 𝑊 = {(𝑥! , 𝑥" , 𝑥$ ) ∈ ℝ$ |𝑥" = 𝑥$ = 0} kgvt ℝ$ Giải * Ta có vectơ = ( 0, 0, ) Ỵ W nờn W ặ * = (! , 0,0), 𝑦 = (𝑦! , 0,0) ∈ 𝑊; 𝛼 ∈ ℝ, ta có x + y = ( x1 , 0, ) + ( y1 , 0, ) = ( x1 + y1 , 0, ) Ỵ W, ax = a ( x1 , 0, ) = ( ax1 , 0, ) Ỵ W Vậy W kgvt V c) Chứng minh 𝑊 = {(𝑥! , 𝑥" ) ∈ ℝ" |𝑥! + 𝑥" = 0} kgvt ℝ" 1.2 Không gian vectơ sinh hệ vectơ Khơng gian dịng 1.2.1 Định lý: Cho V kgvt hệ vectơ S = {u1 , u , , u m } Í V Với u1 = ( a11 , a12 , , a1n ) ; u = ( a 21 , a 22 , , a 2n ) ; ; u m = ( a m1 , a m2 , , a mn ) Đặt S = u1 , u , , u m = {u = a1u1 + a u + + a m u m a i Ỵ ! ,1 £ i £ m} Khi i) S kgvt V gọi không gian sinh S ii) S hệ sinh S Nếu xếp vectơ u1 , u , , u m thành dòng, ta ma trận A cấp m x n é a11 a12 êa a 22 A = ê 21 ê " " ê ëa m1 a m2 ! a1n ù ! a 2n úú # " ú ú ! a mn û Đặt WA = u1 , u , , u m Khi ta gọi WA khơng gian dịng A 1.2.2 Nhận xét: Không gian sinh vectơ u1 , u , , u m khơng gian dịng S = u1 , u , , u n = WA A Tức 1.2.3 Mệnh đề: Nếu B ma trận nhận từ A qua số phép biến đổi sơ cấp dịng 38 Bài giảng Toán cao cấp C2 WA = WB 1.2.4 Thuật tốn tìm sở số chiều khơng gian sinh hệ vectơ (khơng gian dịng) Vì vectơ dịng ma trận bậc thang ln độc lập tuyến tính (xem lại thuật tốn kiểm tra tính độc lập hệ vectơ) nên chúng tạo thành sở khơng gian dịng Bước 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa A dạng bậc thang B Bước 2: * Số chiều khơng gian dịng số dịng khác ma trận bậc thang B * Các vectơ dòng khác B tạo thành sở khơng gian dịng WA Ví dụ: a) Tìm sở số chiều khơng gian dịng ma trận é1 ê2 A=ê ê3 ê ë -1 4ù úú 1ú ú -3û Giải: Dùng phép BĐSCTD ta cú ộ1 ờ0 A ắắắắ đ d := d - 4d1 ê0 ê ë0 Vậy dim WA = d := d - 2d1 d3 := d3 -3d1 ù é1 ù é1 ù ú ê ú -8 ú d3 :=d3 - 2d ê0 -3 -5 -8ú d4 :=d4 -d3 ờờ0 -3 -5 -8ỳỳ ắắắắđ ắắắắ đ ờ0 ú -11ú d :=d -3d ê0 ú ú ê ú ê ú -9 -12 -19 û ë0 û ë0 0 û WA có sở {(1, 2,3, ) ; ( 0, -3, -5, -8 ) ; ( 0, 0,3,5 )} -3 -6 -5 -7 b) Trong kgvt ℝ$ cho hệ vectơ S = {u1 = (1, 2,1) , u = ( 3, 6,5 ) , u = ( 4,8, ) , u = (8,16,12 )} Tìm sở số chiều S II KHƠNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ìa11x1 + a 12 x + + a 1n x n = ïa x + a x + + a x = ï 21 22 2n n 2.1 Định nghĩa: Cho hpttt í ï ïỵa m1x1 + a m x + + a mn x n = Tập hợp tất nghiệm hpttt không gian ℝ# gọi không gian nghiệm hpttt 2.2 Phương pháp tìm khơng gian nghiệm: Bước 1: Giải hệ tìm nghiệm tổng quát Bước 2: Lần lượt cho ẩn tự = 1, ẩn tự lại = Ta tìm sở khơng gian nghiệm Số vec tơ sở số chiều khơng gian nghiệm ì x1 - 2x + x - x = ï Ví dụ 1: Tìm khơng gian nghiệm hpttt í x1 + 2x + x + x = ï2x + 2x = ỵ Giải: Ta giải hệ phương trình phương pháp Gauss: é1 -2 -1ù é1 -2 -1ù é1 -2 -1ù ê0 ú ¾¾¾¾ d3 ®d3 - d d ®d - d1 A = ờờ1 1 ỳỳ ắắắắđ đ êê0 úú d3 ®d3 - 2d1 ê ú êë 2 úû êë0 úû êë0 0 úû ïì x1 - 2x + x - x = (1) Hệ phương trình cho tương đương với hệ sau: í ( 2) ïỵ2x + x = Vì r(A) = < số ẩn = nên hpt có vơ số nghiệm với - = ẩn tự 39 Bài giảng Toán cao cấp C2 Từ (2) suy x = -2x Từ (1) suy x1 = - x Vậy hpt có nghiệm tổng quát 𝑉 = {(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 ) = (−𝑥3 , −𝑥4 , 𝑥3 , 2𝑥4 )|𝑥3 , 𝑥4 ∈ ℝ} Cho x2 = 1, x3 = ta (0, -1, 0, 2) Cho x2 = 0, x3 = ta (-1, 0, 1, 0) Vậy {(-1, 0, 1, 0); (0, -1, 0, 2)} sở V dimV = Ví dụ 2: Tìm khơng gian nghiệm hpttt ì x1 + 2x + x + x = ï3x + 6x + 5x + 7x = ï a) í ï4x1 + 8x + 6x + 8x = ïỵ8x1 + 16x + 12x + 16x = ì2x1 - 2x = ï b) í-2x1 + 2x = ï4x = ỵ BÀI TẬP Chứng minh : a) 𝑊 = {(𝑥! , 𝑥" , 𝑥$ ) ∈ ℝ$ |𝑥! + 𝑥" + 𝑥$ = 0} ≤ ℝ$ b) 𝑊 = {(𝑥! , 𝑥" , 𝑥$ ) ∈ ℝ$ |𝑥! = 𝑥" } ≤ ℝ$ Tìm sở số chiều khơng gian nghiệm hpttt sau ì x1 + 2x + 4x - 3x = ì x + 2y + 2z = ï ï a) í2x + y + 3z = b) í x1 + 3x - x + x = ï4x - y + 7z = ï2x + 5x + 3x - 2x = ỵ ỵ ) Xét khơng gian ℝ Đặt W1 = u1 , u , u , u ; W2 = v1 , v , v3 , v Hãy tìm sở, số chiều W1, W2 với: a) u1 = (1, 0,1, ) ; u = ( 2,1, 4, ) ; u = ( 3,1,5, ) ; u = ( 6, 2,10, ) v1 = (1,1,1,1) ; v = (1, 2,5,8 ) ; v = ( 3,5,11,17 ) ; v = (1, 0, -3, -6 ) b) u1 = (1, 2,1,3) ; u = ( 2,5, 4, ) ; u = ( 4,9, 6, ) ; u = (1,1, -1,9 ) v1 = (1, -1, 2,1) ; v = (1,1, -1,9 ) ; v = ( 2, -4, 7, -5 ) ; v = (1,3, -4,17 ) Trong kgvt ℝ$ cho hệ vectơ S = {u1 = ( 2, 0,1) , u = (1,1, )} a) Tìm sở số chiều S b) Với giá trị m vectơ u = ( m, 4,1) Ỵ S Trong kgvt ℝ) cho hệ vectơ S = {u1 = ( 2, 2,1,1) , u = ( -5, -3, 0, -1) , u = ( 7,9, 6, ) , u = ( 5, -1, -5,1)} a) Tìm sở số chiều S b) Với giá trị m vectơ u = ( m,8,8,5 ) Ỵ S 40 Bài giảng Toán cao cấp C2 41 ... khơng chúng Bài giảng Toán cao cấp C2 V MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 5.1 Định nghĩa: Cho A ma trận vuông cấp n Nếu tồn ma trận vuông B cấp n AB = BA = I n cho In ma trận đơn vị cấp n, ta nói A ma trận... giảng Toán cao cấp C2 CHƯƠNG ĐỊNH THỨC I CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ 1.1 Định nghĩa ma trận ma trận Xét ma trận cấp n A = éëa ij ùû Ta ý đến phần tử a ij , bỏ dòng i cột j ta thu ma trận cấp n –... 26 Bài giảng Toán cao cấp C2 é1 ê0 In = ê ê" ê ë0 ! 0ù ! úú : MT đơn vị cấp n " # "ú ú ! 1û Chú ý với điều kiện (*), ma trận In – A thường khả nghịch, nên từ (1) ta suy nghiệm toán -1 X = (