Microsoft Word Chuong 3 doc 1 CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 1 1 Định nghĩa 1) Một hệ phương trình tuyến tính trên gồm m phương trình, n ẩn số là một hệ c.
CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 1.1 Định nghĩa 1) Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số hệ có dạng: a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) am1x1 am x2 amn xn bm aij , bi : Các hệ số x1, x2 , , xn : Các ẩn số nhận giá trị Mỗi số ( x1, x2 , , xn ) (1, 1, , n ) n thõa mãn tất phương trình (1) gọi nghiệm (1) 2) Ma trận: -1- a11 a12 a1n a a a 22 2n A (aij ) 21 am1 am amn gọi ma trận hệ số vế trái hệ (1) Ma trận b1 b B 2 bm gọi ma trận hệ số vế phải hệ (1) Ma trận a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 A B am1 am amn bm -2- gọi ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng) hệ (1) Khi đó, hệ (1) viết dạng ma trận sau: (2) AX B x1 x X : Ma trận cột ẩn số xn 1.2 Định nghĩa Với ký hiệu Định nghĩa 1.1, ta nói 1) Hệ (1) (2) hệ phương trình tuyến tính B , nghĩa b1 b2 bn 2) Hệ (1) (2) hệ phương trình tuyến tính khơng B , nghĩa tồn j m cho b j 1.3 Nhận xét Một hệ phương trình tuyến tính ln ln có nghiệm nhận (0, 0, , 0) làm nghiệm, gọi nghiệm tầm thường Điều không hệ phương trình khơng Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính -3- Trong phần ta đề cập đến phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính: AX B b1 x1 b x A ( aij ) mn ; B ; X bm xn 2.1 Nhận xét Ta biết giải hệ phương trình tuyến, phép biến đổi sau cho ta hệ tương đương: 1) Hoán đổi hai phương trình cho 2) Nhân hai vế phương trình cho số khác 3) Cộng vào phương trình bội phương trình khác Tương ứng với phép biến đổi phép BĐSCTD ma trận bổ sung 2.2 Định lý (i) Nếu A R AX RX (ii) Nếu A B R B AX B RX B 2.3 Phương pháp Gauss -4- Bước 1: Viết ma trận bổ sung A B hệ (sau xếp ẩn theo thứ tự đó) Bước 2: Dùng phép BĐSCTD biến đổi ma trận A B A biến đổi thành ma trận bậc thang R, nghĩa A B R B R có dạng bậc thang Bước 3: Viết lại hệ phương trình tuyến tính RX B ứng với ma trận bổ sung R B , sau giải hệ cách tính ẩn dựa vào phương trình từ lên Nghiệm hệ phương trình nghiệm hệ cho 2.4 Phương pháp Gauss-Jordan Tương tự phương pháp Gauss bước ta biến đổi ma trận A B A biến thành ma trận dạng bậc thang rút gọn (khi việc tính ẩn bước đơn giản nhiều) 2.5 Nhận xét Đối với hệ phương trình tuyến tính AX bước ta cần biến đổi ma trận A thay ( A 0) -5- 2.6 Định lý (Kronecker-Caplli) Xét hệ phương trình tuyến tính AX B gồm m phương trình, n ẩn số Đặt r1 rank( A) r2 rank( A B ) Khi đó: (i) Nếu r1 r2 hệ AX B vơ nghiệm (i) Nếu r1 r2 n hệ AX B có nghiệm (iii) Nếu r1 r2 n hệ AX B có vơ số nghiệm với bậc tự n r1 , nghĩa có n r1 ẩn nhận giá trị cho trước , gọi n r1 ẩn tự do, r1 ẩn cịn lại tính qua ẩn tự 2.7 Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến sau x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x x x x 2 x1 x2 13 x3 22 x4 1 ; b) a) 3 x1 x2 x4 x3 3 x1 x2 x3 x4 4 x1 x2 x3 x4 18 2 x1 x2 x3 x4 -6- x1 x2 x3 x4 3 x1 x2 x3 x4 3 c) 2 x1 x2 x3 x4 3 x1 x3 10 x4 Giải a) Ta viết lại hệ phương trình theo thứ tự ẩn: x1 x2 x3 x4 2 x1 x2 x3 x4 3 x1 x2 x3 x4 4 x1 x2 x3 x4 18 Viết ma trận bổ sung A B biến đổi phép BĐSCTD ta có: 1 A B 3 2 3 2 7 1 d : d d d32 : d32 3d11 0 3 4 5 8 d : d d1 0 4 8 10 14 18 0 5 10 15 10 -7- 1 d : d d3 0 4 8 10 14 0 5 10 15 10 1 d3 : d3 d d : d 5d 0 0 1 d : d 8d3 0 0 7 1 6 d3 d 10 10 d3 : d3 0 10 10 10 20 0 7 6 1 2 0 6 0 7 6 1 2 10 10 Do rank A B rankA nên hệ cho có nghiệm Hệ cho tương đương với hệ phương trình sau: -8- x1 x2 x3 x4 x1 x x x x x3 x4 x3 x4 3 2 x4 6 Vậy hệ cho có nghiệm: x1, x2 , x3 , x4 (2, 1, 5, 3) 3 1 3 13 22 1 0 10 17 2 2 0 0 0 7 0 0 0 Do rank A B rankA nên hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc 1 b) A B 3 tham số Hệ cho tương đương với hệ phương trình sau: -9- x1 2 10 17 x 17 29 x x x x 2 x2 10 x3 17 x4 2 x3 x4 Vậy hệ cho có vơ số nghiệm: x1, x2 , x3 , x4 (2 10 17 , 17 29 , , ) với , 2 4 1 2 4 3 3 11 c) A B 2 3 0 10 20 18 3 10 0 0 Ta thấy rank A B 4; rankA nên rank A B rankA Vậy hệ cho vô nghiệm 2.8 Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số m -10- * m : rank A B rankA Khi hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số Hệ phương trình viết lại sau: x1 21 x1 x2 x3 x4 x2 1 14 x2 x3 11x4 2 x x 1 x3 x4 Vậy m , hệ cho có vơ số nghiệm với ẩn tự do: ( x1, x2 , x3 , x4 ) (1 21 , 14 , , ) với b) 1 1 1 1 1 1 3 2 A B 1 1 1 0 m m 1 2 1 m m 6m 0 0 m m m * m m : rank A B rankA Khi hệ có nghiệm Hệ phương trình viết lại: -12- x1 x2 x3 x4 x1 1 x 2m 2 x x x x3 x4 m x3 x4 m 7m m x m ( 7) Suy m : hệ cho có nghiệm là: ( x1, x2 , x3 , x4 ) (1, 2m, 1, m) * m : rank A B rankA Khi hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số Hệ phương trình viết lại sau: x1 8 x1 x2 x3 x4 x 17 4 2 x x x x3 x3 x4 x4 Vậy m , hệ cho có vơ số nghiệm với ẩn tự do: ( x1, x2 , x3 , x4 ) (8 , 17 4 , , ) với -13- 2.9 Định lý Hệ phương trình tuyến tính AX B , A ma trận vng cấp n, có nghiệm A khả nghịch Khi nghiệm tương ứng X A1B 2.10 Hệ Cho A ma trận vng cấp n Khi (i) Hệ phương trình tuyến tính AX có nghiệm A khả nghịch (ii) Hệ phương trình tuyến tính AX có vơ số nghiệm A không khả nghịch Quy tắc Cramer Trong phần này, ta ứng dụng định thức để khảo sát hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn AX B (1) A (aij ) ma trận vuông cấp n B (b j ) ma trận n Với i n , gọi A j ma trận có từ A cách thay cột j B, nghĩa là: -14- a1n a11 b1 a a2 n b ; A 21 ann an1 bn a11 a12 b1 a a b 2 An 21 22 an1 an bn Đặt det A, j det( A j ), j n b1 a12 b a 22 A1 bn an a1n a2 n ;…; ann Khi ta có quy tắc Cramer sau đây: 3.1 Định lý (i) Hệ (1) có nghiệm Khi j xj , 1 j n (ii) Nếu 0, j với j (1) vơ nghiệm 3.2 Chú ý Đối với hệ phương trình tuyến tính có số -15- phương trình số ẩn AX hệ có nghiệm X , có vơ số nghiệm Khi giải biện luận (1), xảy trường hợp j với j hệ vơ nghiệm, có vơ số nghiệm, để xác định tập nghiệm ta phải dùng phương pháp Gauss 3.3 Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính: x1 x2 x3 11 2 x1 x2 x3 3 x x x Giải Ta có 3.4 Ví dụ Giải biện luận HPT sau theo tham số m : (m 7) x1 12 x2 x3 m 10 x1 (m 19) x2 10 x3 2m (1) 12 x 24 x (m 13) x Giải -16- 3.5 Hệ Hệ phương trình tuyến có số phương trình số ẩn AX B có nghiệm det A 3.6 Hệ Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số AX có vơ số nghiệm det A -17- BÀI TẬP Giải hệ phương trình sau: x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x x x x x1 x2 x3 x4 2 a) ; b) ; 3 x1 x2 x3 x4 5 x1 x2 x3 x4 2 2 x1 x2 x3 x4 11 x1 x2 x3 x4 2 2 x1 x2 x3 x4 2 x1 x2 x3 x4 1 ; c) 5 x1 x2 x3 x4 4 x1 x2 x3 x4 2 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 d) 4 x1 10 x2 x3 x4 x5 2 x1 14 x2 x3 x4 11x5 1 -18- Giải hệ phương trình tuyến tính sau: x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 a) 4 x1 x2 x3 x4 ; b) x2 x3 3 x x x x x3 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m : x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 m 2 x1 x2 x3 x4 a) x1 x2 x3 x4 2m ; b) ; x x x x m 5 x1 10 x2 17 x3 23x4 3x1 x2 10 x3 mx4 13 m x1 x2 x3 x4 x5 m 2 x1 x2 x3 x4 x5 3m ; c) 3x1 x2 x3 x4 x5 m 2 x1 x2 x3 x4 x5 m -19- 3x1 x2 x3 17 x4 11m 2 x1 3x2 x3 12 x4 8m d) 5 x1 x2 x3 27 x4 18m 10 3x1 x2 3x3 (m 20) x4 13m Giải hệ phương trình sau phương pháp Cramer 3 x1 x2 2 x1 x2 x3 a) 4 x1 x2 x3 ; b) 3 x2 x3 3 x x 1 8 x x x Giải biện luận theo tham số m hệ phương trình sau: (2m 1) x1 mx2 (m 1) x3 m a) (m 2) x1 (m 1) x2 (m 2) x3 m ; (2m 1) x (m 1) x (2m 1) x m -20- x1 x2 x3 b) x1 mx2 mx3 ; (1 m) x 2mx mx m x1 x2 (1 m) x3 m c) (m 1) x1 x2 x3 ; 2 x 2mx x m 2 (m 2) x1 x2 x3 m d) (m 5) x1 (m 2) x2 x3 2m (m 5) x x (m 3) x 3m (m 1) x1 x2 x3 m e) (m 2) x1 (m 3) x2 x3 m ; (m 2) x 3x (m 1) x 2m -21- (3m 5) x1 (m 2) x2 (m 1) x3 m f) (4m 5) x1 (m 2) x2 (2m 1) x3 m (3m 5) x (2m 1) x x m (2m 1) x1 (m 2) x2 (m 2) x3 m g) (2m 1) x1 (2m 5) x2 mx3 m (3m 4) x (m 2) x (2m 5) x m 1 -22- ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN 7 43 13 a) , , , ; b) (8, 0, 0, 3) ; c) Vô nghiệm; d) 18 18 2 1 , , , , 3 2 a) Có nghiệm khơng tầm thường; b) Có nghiệm tầm thường 3 a) m : vô nghiệm; m : Vô số nghiệm 5 2 1 , , , 15 3 3 b) m 14 : Vô nghiệm; m 14 : Vô số nghiệm: 2 , , 4, Vô nghiệm; Vô số nghiệm c) m 1: m 1: 1 1 13 , , , , 2 2 8 -23- m 1: d) Vô nghiệm; (2 4 3 , 2 , , ) m 1: Vô a) (1, 1, 2) ; b) (5, 4, 3) a) * m m 1 : Hệ có nghiệm 2m 2m m 2m 2m , , m 1 m(m 1) m(m 1) * m hay m 1:Hệ vô nghiệm 5 * m 1: Hệ có vơ số nghiệm , , 3 b) * m m : Hệ có nghiệm: 1 m 1 m , 2, m m * m : Hệ vô nghiệm * m 1: Hệ có vơ số nghiệm (2 , , 0) -24- số nghiệm : Hệ có nghiệm nhất: 3(m 2) (m 2)(m 3) (m 2)(2m 3) , , 2 2m 2m 2m * m : Hệ vô nghiệm * m : Hệ có vơ số nghiệm: (4 3 , , 2 ) d) * m m 1: Hệ có nghiệm: m 6m 20 m 19m 2m m 30 , , 2 m 1 m 1 m 1 * m 1: Hệ vô nghiệm * m : Hệ có vơ số nghiệm: , , e) * m m m : Hệ có nghiệm: m2 7m m 8m m2 , , (m 4)(m 2) (m 4)(m 2) (m 4)(m 2) c) * m m -25- * m hay m : Hệ vô nghiệm * m : Hệ có vơ số nghiệm: 7 , 5 , f) * m 0, m m : Hệ có nghiệm: m m m , , ; m2 m2 m2 * m 2 : Hệ vô nghiệm; 3 * m : Hệ có vơ số nghiệm: , , * m 1: Hệ có vơ số nghiệm , 2 , g) * m m 3 : Hệ có nghiệm: (1, 0, 1); * m 1: Hệ có vơ số nghiệm: ( , 0, ) * m Hệ có vơ số nghiệm: ( , 2 , ) m 3 : Hệ có vơ số nghiệm: ( , , 5 ) -26- ... x2 x3 27 x4 18m 10 3x1 x2 3x3 (m 20) x4 13m Giải hệ phương trình sau phương pháp Cramer ? ?3 x1 x2 2 x1 x2 x3 a) 4 x1 x2 x3 ; b) ? ?3 x2 x3 ? ?3 x ... x3 x4 ? ?3 x1 x2 x3 x4 ? ?3 c) 2 x1 x2 x3 x4 ? ?3 x1 x3 10 x4 Giải a) Ta viết lại hệ phương trình theo thứ tự ẩn: x1 x2 x3 x4 2 x1 x2 x3 x4 ? ?3. .. -10- ? ?3 x1 x2 x3 x4 2 x1 x2 x3 x4 a) 5 x1 x2 x3 15 x4 13 x1 22 x2 13 x3 22 x4 2m x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 b) x1 x2 x3 x4