BỘ CÔNG THƯƠNG NỘP BÀI TẬP KẾT THÚC MÔN HỌC 010100616712 – TỐN CAO CẤP C2 – NHĨM Nhóm thực BÀI TẬP CUỐI KHỐ MƠN TỐN CAO CẤP C2 _ NHÓM ĐỀ SỐ 03 Bài 1: Cho ma trận: A=( −1 ), B=( ) C = ( 0) −1 � 3 1.1 : Tìm ma trận D = 2��+BC 2 Ta có: A = ( ) ⇒ �� = ( 23 )=( Do đó: 2�� = ×( 2 ) ) −1 4 ) × ( 0) = ( ) Lại có: BC = ( −1 � � − 3 4 Mà D = 2� � + BC ⇒ D = ( )+( ) �−2 10 = ( � + 3) 10 Vậy ma trận cần tìm D = ( ) � 4+3 1.2 : Tìm ma trận X cho AX = B Ta có: AX = B ⇒ X = �−1 ×B Lại có: �−1 = ×�� mà Det A = × - × = ⇒ Và �� = 1 = (*) � 2 −1 = ( 2) = ( −3 ) (**) −1 Từ (*) (**) ⇒ �−1 = ( ) −3 2 −1 )×( Do đó: X = �−1 × B = ( 2 ) Nhóm thực −3 −1 � 2−� = ( −3 −8 −3 + 2�) 2−� Vậy ma trận X = ( ) −3 −8 −3 + Bài 2: 0 2.1 : Tìm hạng ma trận A = −6 −1 −25 Hạng ma trận số dòng khác ma trận bậc thang d2 →d2 −2d1 d3 →d3 −4d1 1 1 0 d4 →d4 +d1 Ta có: A = → −6 −6 −1 −25 d3 →d3 +2d d4 →d4 −d2 → 1 0 −2 −10 −20 d →d −2d 1 0 0 4 → −2 −6 −22 0 −2 −10 0 0 ⇒ r(A) = Vậy hạng ma trận A r(A) = � � � 2.2 : Biện luận theo hàm số m số hạng ma trận A = ( � � � ) � � � Det A = (�3 + 33 + 33) – (9m + 9m + 9m) = �3 + 54 − 27� = �3 − 27 + 54 • Nếu detA ≠0 ⟺ �3 − 27 + 54 ≠ �≠ ⟶ { −6 �≠3 ⟹ rank (A) = −6 3 • Nếu m = -6 ⟶ A = ⟶2� + −6 3 −9 � −6 3 2 �3⟶2�3+� 1 9 → 0 −6 3 �3⟶� 3+2 −9 → ⟹ rank (A) = 0 6 3 • Nếu m = ⟶ A = 3 3 0 3 ( dòng giống nên bỏ dòng) 3 ⟹ rank (A) = Bài 3: � −� � 3.1 : Cho ma trận A = (� � �) B ma trận vuông cấp có det(B) = −� � � � � Tính det (2A� ) Ta có : det (2A.��) = det (2A) × det (� �) Det 2A = 23 × det A = 8× det A −1 det A = |� 4| 1 = [1×1× + (−1) × 4×1+1× a ×1] - [1×1×1+1× 4×1+ (−1) × a × 2] = ( -2 + a ) – ( − 2a ) = 3a – Do đó: Det (2A) = ×(3a-7) = 24a - 56 Lại có: det (B) = -1 Mà det (� � ) = det (B) = -1 ⇒ det ( 2A��) = det (2A) ×det( ��) = (24a – 56) × (-1) = -24a + 56 Nhóm thực 3.2 : Giải phương trình 1 Xét ma trận A = 2 −2 −2 x 1 x = 12 −2 −2 x x 1 0 d2 →d2 −d1 d3 →d3 −2d1 d4 →d +2d1 → x+2 2−x ⇒ det A = (−1)(1+1) × x 1 1 −2 x+2 2−x 0 − 2x −2 −4 + 2x − 2x −2 −4 + 2x = [3×(3 − 2x) ×(x + 2) + 8×(2 − x) ] − [ (2 − x) ×15 + (x + 2) ×(2 + 2x) ×(−2) ] = [(9 − 6x) ×(x + 2) +16 − 8x] −[30 −15x + (−2x − 4) ×(2 + 2x)] = (9x +18 − 6x2 −12x +16 − 8x) − (30 −15x − 4x − 4x2 − − 8x) = −2x2 +16x +12 Mà 1 −2 x x = 12 −2 x = ↔ ↔ −2x2 +16x +12 = x=8 12 Vậy x=0 x=8 x − y + 2z = Bài 4: 4.1 : Giải hệ phương trình Nhóm thực phương pháp Gauss 2x + y + 3z = 4x − y + 7z = −1 2 2 35 ���ó: (�|�)= 4 −1 �3⟶� 3−� → rank(A) = = d2 →d2 −2d1 d → −4 d −1 2 −1 d → 3 0 −1 −1 2 −1 0 0 Hệ phương trình vô số nghiệm phụ thuộc () rank A ≤ n − r = − =1tham số nghiệm � − � + 2�= Hệ { ⟺ 3� − � = �=2+( + { �) − 2�= � =1 +1� −3 � � = � (� ∈ �) � 7− 5� 3 Vậy nghiệm tổng quát: { = 1 +3 � � = =( ∈ ) 4.2 : Sử dụng phương pháp Cramer, xác định giá bán hàng hóa thị trường cân bằng: Ở trạng thái thị trường cân bằng: QS=QD ⇔ ⇔ ��1 = ��1 (�ℎè) �2(����) { ��2 = � ��3 = �3(� �) −20++3�22 � 1= =40 20−−2��21 −−2223 { −10 −5 + 23 = 10 − + − ⇔{ 31 + 22 = 40 52 + 23 = 50 �1 − + 53 = 15 40 3 40 3 40 �3⟶3�3−� � ⟶ � + � 50 50 50 → 5 (�|�)= → −5 15 0 17 55 −1 15 3� + 2� = 40 {5� + 2� = 50 → 17�= 55 Vậy � = { 128 17 ,�= �= 128 17 �= 148 17 �= 148 17 55 17 ,�= 55 17 Bài 5: 5.1 : Xác định giá trị tham số m để phương trình có nghiệm: x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = −1 { 2x1 + 5x2 − x3 + 3x4 = −x1 + x2 − 10x3 − 5x4 = m2 1 2 −1 −1 �2⟶� 2−2�1 �3⟶� 3+� → −1 −10 −5 m2 Để phương trình có nghiệm −1 −3 −1 → 0 −3 m2 −1 −9 r ( A) = r ( A) 2 −1 −3 −1 �3⟶3−3�2 =2 Nên �2 − 10 = ↔ � ± 10 = 5.2 : Giải biện luận theo tham số m hệ phương trình sau: 4x + 3y = {−2y + (m − 1)z = x + 3z = 0 0 m −10 Ta có: ∆= (0 −2 � − |∆| = (−24 + 3− 3 |0 ) ) − (0 + + 0) = − 27 Để phương trình có nghiệm |∆| ≠ ↔ − 27 ≠ ↔� ≠9 Để phương trình có vơ số nghiệm |∆| = ↔ 3� − 27 = ↔�=9 Bài 6: Trong không gian vector � , cho hệ � = {� = (−1,1,2), � = (� , 1,1), � = (1, −1,2)} 6.1 : Xác định giá trị m để S sở không gian �� −1 |� | = | � 1| −1 |� | = (−2 + − ) − (2 + + 2) |�| = −4 − Ta có: detA ≠ ↔ −4 − ≠ ↔ −4 ≠ ↔ � ≠ −1 Vậy m ≠ -1 S sở không gian vector �3 6.2 : Trong trường hợp S sở �� , tìm tọa độ vector � = (−�, �, �) sở S Ta có: � = (∀� ∈ � \{−1}) → = {� = (−1,1,2), = (2,1,1), = (1, −1,2)} ++ =� −+ + = −1 ↔{ + −�=1 + +2=2 �=1 ↔ {� = �=0 Vậy tọa độ vector x [�]� = [0] Bài 7: Trong không gian vector R3 , cho hai hệ vector � = {�� = (−�, �, �), �� = (�, −��, −�), �� = (−�, �, � + �)} � = {�� = (�, �, �), �� = (�, �, �), �� = (�, �, �)} 7.1 : Xác định giá trị m để hệ U phụ thuộc tuyến tính −2 |� | = | −2� −2 | −1 �+ = 4�2 + + − − − � − = 4� − 3�− Để hệ U phụ thuộc tuyến tính det(A)= ↔ 42 − − = → �= 1, � = − 7.2 : Tìm điều kiện để vector x= (��,�� ,� � ) tổ hợp tuyến tính hệ V � → −3 d2 →d2 −4d1 �̅ 2)= (�|�) = (4 | � �3 d 3→ −6 −3 d3 −2 d 2→ 0 −6 x1 x − 4x Vậy để x = (x1, x2 , x3 ) tổ hợp tuyến tính r(A) = r (� ̅) x3 − 2x2 + x1 = ⟺ �3 = 2�2 − Bài 8: Cho phép biến đổi tuyến tính f : R2→ �� thỏa �(�, �) = (�, �), �(�, �) = (�, �) 8.1: Tìm biểu thức xác định f �(�, � ) = (��+��,�� + �� ) x − 2x + x 1 Ta thấy: r(�)= 2, r(�̅)= Do đó: x1 d3 →d3 −7d1 1 −6 x − 4x 1 −12 x − 7x 1 �(1,0) = (, � ) = (3,1) �(1,2) = (2+ ,2+ 2� ) = (1,5) → { �=3 � + 2�= �=3 � = −1 →{ �=1 �=2 �=1 � + 2�= → �(,� � ) = (3� − �, �+ 2� ) 8.2: Tìm ma trận f sở �� � = {� = (�, �), � = (�, �)} �(, � ) = (3 − , + 2) a1 + b1 = a 1= f(u) = f(1,1) = (2,3) có hpt sau: + 2b = ⇔ b = a 1 a2 + b2 = a2 = −3 f(v) = f(1,2) = (1,5) có hpt sau: + 2b = ⇔ b = a 2 1 Vậy ma trận f cần tìm −3 Bài 9: Cho ánh xạ tuyến tính 3 f : R → R xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 ,2x2 + x3 , x1 + x3 ) 9.1 : Tìm sở số chiều ker f x1 + 2x2 = Ta có hệ phương trình tuyến tính 2x 2+ x = x +x =0 Thực phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận mở rộng hệ phuơng trình tuyến tính: 1 0 0 1 → d d 0 − d → 3 0 1 → d d 0 + d → 3 0 0 10 0 − Từ ma trận cuối cùng, ta nghiệm hệ là: 0 x1 = x2 = x3 = 0 Mà vector: u1 = (1,2,0);u2 = (0,2,1);u3 = (0,0,2) độc lập tuyến tính → {(1,2,0), (0,2,1), (0,0,2)} sở ker f =0 9.2 : Tìm sở số chiều Im f Chọn sở tùy ý Do đó: Im f = R3 , chẳng hạn sở tắc Khi đó, f (1,0,0) = (1,0,1) ta có: f (0,1,0) = (2,2,0) f (0,0,1) = (0,1,1) (1,0,1); (2,2,0); (0,1,1) Lập ma trận có dịng vector tập sinh 1 Im f 2 1 Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận dạng bậc thang 2 0 �2⟶� 2−2�1 0→ Vậy Im f �2⟷� 1 1 1 1 �3⟶� 3−2�2 1 0 −2 → 0 −4 có sở {(1,0,1); (0,1,1); dim Im f =3 (0,0,−4)}, Bài 10: Giả sử kinh tế có ngành sản xuất: ngành 1, ngành ngành 0,4 0, 0,2 100 0,1 Biết ma trận hệ số kỹ thuật 0,3 A = 0,2 0,4 0,3 0,2 B = 400 900 ma trận giá trị cầu cuối sản phẩm ngành sản xuất (đơn vị tính: nghìn tỷ đồng) 10.1 : Hãy tìm ma trận nghịch đảo ma trận (I − A ) , I ma trận cấp I 3× → (I − A) Ta có: −1 0 0,4 (I − A ) = − 0,2 0 1 0,1 0,6 det(I − A) = − 0,2 − 0,1 ( I − A) − (AI − )T − 0,1 0,7 − 0,4 − − 0,2 0, 0,2 0,6 0,1 0,3 0,2 0,2 0,7 − 0,2 = − 0,4 0,3 − 0,1 − 0,4 0,7 − 0,2 − 0,2 = ≠ 0,7 T (I − A)11 (I − A)12 (I − A)13 1 = det ( I − A)⋅ (I − A) 21 (I − A) 22 (I − A) 23 (I − A) (I − A) (I − A) 31 32 33 −0, −0,1 0, = −0,1 −0, ( ∗ ) 0, −0, −0, 0, ∗(I − A) 11 ∗(I − A) 12 ∗(I − A) 13 ∗(I − A) 0, −0, = ( −1)12 −0,1 = ( −1)13 −0, 0, −0,1 0, = −0, ( −1)21 −0, −0, 21 ∗(I − A) 22 ∗(I − A)23 −0, = 0, 41 0, = 0,15 −0, = ( −1)11 = ( −1)22 0, −0, −0, −0,1 = 0,16 = 0,16 0, −0,1 0, = 0, = ( −1)23 0, −0, ∗(I − A)31 = ( −1)31 −0, −0, −0, −0,1 = 0,15 0, ∗(I − A)32 ∗(I − A) 33 0, = ( −1)3 −0,1 0, = ( −1)33 −0,1 = 0,16 −0, −0,1 = 0, 25 −0, = 0, −0, 0, 0,41 0,15 0,16 2,05 −1 (∗) → (I − A) = ⋅ 0,4 0,16 = 0,8 0,16 1 0,25 0,15 0,4 0,75 0,75 0,8 0,8 1,25 2 Vậy (I − A) −1 2,05 = 0,8 0,8 1,25 0,75 0,8 0,75 10.2 : Hãy xác định ma trận tổng cầu X ngành sản xuất mo hình InputOutput: det(I − A) = X = AX + B (1) 0,6 − 0,2 − 0,1 − 0,1 0,7 − 0,4 − 0,2 = ≠ − 0,2 0,7 (1 ) X − AX = B ⇔ ⇔ IX − AX = B ⇔ (I − A ) X = B ⇔ X = (I − A) ⋅ B 2,05 0,75 ⇔ X = 0,8 −1 0,8 100 1225 0,8 ⋅ 400 = 1600 0,75 1,25 900 2375 Vậy giá trị tổng cầu ngành 1,2,3 �1 = 1225 (nghìn tỷ đồng), �2 = 1600 (nghìn tỷ đồng), �3 = 2375 (nghìn tỷ đồng) Cảm ơn quý thầy xem đầy đủ tập nhóm Trong q trình hồn thiện, cịn số sai sót mong nhận cảm thơng từ phía thầy cô ...Nhóm thực BÀI TẬP CUỐI KHỐ MƠN TỐN CAO CẤP C2 _ NHÓM ĐỀ SỐ 03 Bài 1: Cho ma trận: A=( −1 ), B=( ) C = ( 0) −1 � 3 1.1 : Tìm ma trận... A = 3 3 0 3 ( dòng giống nên bỏ dòng) 3 ⟹ rank (A) = Bài 3: � −� � 3.1 : Cho ma trận A = (� � �) B ma trận vng cấp có det(B) = −� � � � � Tính det (2A� ) Ta có : det (2A.��) = det... X = �−1 × B = ( 2 ) Nhóm thực −3 −1 � 2−� = ( −3 −8 −3 + 2�) 2−� Vậy ma trận X = ( ) −3 −8 −3 + Bài 2: 0 2.1 : Tìm hạng ma trận A = −6 −1 −25 Hạng ma trận số dòng khác ma trận