các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán phổ thông

Rộng hơn, đồ thị có được tính đến như một công cụ cho phép làm rõ các mối liên hệ giữa ba đối tượng: đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số không?. Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS.LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin chân thành biết ơn TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến,

TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về Didactic toán, PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đã đóng góp những ý kiến định hướng cho

đề tài

Xin cảm ơn các anh chị cùng khóa đã quan tâm, giúp đỡ tôi

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đặc biệt là vợ tôi, người đã luôn động viên tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tác giả Đặng Minh Hải

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GKNC10 : Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao hiện hành

GKNC11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành

GKNC12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao hiện hành

GKCB10 : Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản hiện hành

GKCB11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành

GKCB12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản hiện hành

GVNC10 : Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao hiện hành

GVNC11 : Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành

GVNC12 : Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao hiện hành

GVCB10 : Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản hiện hành

GVCB11 : Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành

GVCB12 : Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản hiện hành

SGK : Sách giáo khoa

SGV : Sách giáo viên

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Thống kê số lượng nhiệm vụ liên quan đến “khảo sát tính đơn điệu của

hàm số” 28

Bảng 3.1 Thống kê các câu trả lời tình huống 1 74

Bảng 3.2 Thống kê các câu trả lời tình huống 2 76

Bảng 3.3 Thống kê các câu trả lời tình huống 3 82

Bảng 3.4 Thống kê câu trả lời pha 1 94

Bảng 3.5 Thống kê câu trả lời pha 2 96

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong chương trình toán ở trường phổ thông, các tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số được huy động để giải quyết kiểu nhiệm vụ quan trọng: khảo sát hàm số (lớp 12) Liên quan đến kiểu nhiệm vụ này, chương trình chủ yếu nghiên cứu các loại hàm số sau:

hàm bậc nhất y=ax+b, hàm bậc hai y=ax 2 +bx+c, hàm đa thức bậc 3 y=ax 3 +bx 2 +cx+d, hàm

đa thức bậc bốn trùng phương y=ax 4 +bx 2 +c, hàm phân thức y ax b

cx d





 (c≠0, ad-bc≠0), hàm phân thức

2

y a' x b'



1 Có thể thấy rõ một đặc trưng chung là các hàm

số này đồng thời liên tục và khả vi trên các khoảng đơn điệu của nó Với tư cách đối tượng2, các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi đã được nghiên cứu ở các

lớp 10, 11 Điều này khiến chúng tôi tự hỏi rằng: mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, đạo hàm được thể hiện như thế nào? Có chênh lệch gì so với các mối liên hệ của chúng ở cấp độ tri thức khoa học?

Khi chúng tôi học giải tích ở bậc đại học, các giảng viên luôn nhấn mạnh mối liên hệ liên tục-khả vi, đặc biệt là tính chất “một hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó” Các minh họa bằng đồ thị theo sau các chứng minh chặt chẽ trên các phản ví

dụ đã giúp chúng tôi hiểu rõ vấn đề, đặc biệt nhờ trực giác hình học, chúng tôi có thể dễ dàng xây dựng các phản ví dụ kiểu này Như vậy, đồ thị là công cụ hữu hiệu trong việc

minh họa trực quan mối liên hệ liên tục-khả vi Ở phổ thông, điều này có được tính đến không ? Rộng hơn, đồ thị có được tính đến như một công cụ cho phép làm rõ các mối liên

hệ giữa ba đối tượng: đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số không ?

Từ những vấn đề trên, chúng tôi thấy việc nghiên cứu “Các tính chất của hàm số và

mối liên hệ giữa chúng trong dạy học Toán phổ thông” là cần thiết

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết didactic toán, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm :

1 Chỉ đề cập trong SGK nâng cao

2 Theo Lê Văn Tiến (2005): “Trong phạm vi toán học ở trường phổ thông, ta hiểu một khái niệm hoạt động dưới dạng

Đối tượng khi nó là đối tượng được nghiên cứu (được nghiên cứu, được khai thác các tính chất,…)” [19, tr.56]

Chuyển đổi didactic, tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức Đây là công cụ hữu hiệu làm rõ mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số Bên cạnh đó, lý thuyết tình huống với các khái niệm: tình huống dạy học, biến didactic, môi trường được sử dụng nhằm xây dựng các tình huống thực nghiệm Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic sẽ được sử dụng nhằm một mặt làm rõ mối quan hệ thể chế, mặt khác khái niệm này giúp giải thích các ứng xử của học sinh liên quan đến mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số Trong phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, từ các câu hỏi ban đầu, chúng tôi phát biểu các câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số?

Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên

hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao?

Có những đặc trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ thống biểu đạt đồ thị có được tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên

hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số không? Q3: Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá nhân của học sinh?

3 Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, bám sát những câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi giới hạn vấn đề nghiên cứu của mình trên các mối liên hệ giữa ba tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số Mục đích của luận văn là đi tìm một số yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3 đã đặt ra ở trên Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽ tiến hành những nghiên cứu sau:

-Nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học về các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số bằng cách phân tích một số giáo trình đại học tiêu biểu Nghiên cứu này trả lời câu hỏi Q1 và dùng làm tham chiếu khi phân tích các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số ở phổ thông

-Nghiên cứu mối quan hệ thể chế trên các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và

sự khả vi của hàm số nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2 Để thực hiện nghiên cứu này, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và SGK hiện hành trên cơ sở tham chiếu những kết quả đạt được từ nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức toán học Kết thúc phần này, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu liên quan đến quan niệm của học sinh dưới ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế và đặt ra câu hỏi nghiên cứu mới

-Nghiên cứu thực nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan

hệ cá nhân của HS Nghiên cứu này nhằm trả lời một phần câu hỏi Q3 và câu hỏi được đặt

ra liên quan đến đồ thị

4 Tổ chức của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương và kết luận chung

Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn

Chương 1 là phần trình bày nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học từ việc phân tích một số giáo trình đại học

Trong chương 2, chúng tôi trình bày phần nghiên cứu mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa ba đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số Trên cơ sở đó, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu và đặt câu hỏi mới

Chương 3 là phần nghiên cứu thực nghiệm Thực nghiệm thứ nhất nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết đã nêu và tìm kiếm các yếu tố trả lời cho câu hỏi được đặt ra ở cuối chương 2 Thực nghiệm thứ hai nhằm tìm hiểu tác động của đồ thị lên mối quan hệ cá nhân của học sinh

Phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn

Chương 1 : MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN

ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ Ở CẤP

ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC

Mục tiêu của chương là tìm câu trả lời cho câu hỏi sau :

Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên

tục và sự khả vi của hàm số?

Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn nghiên cứu các giáo trình :

 [21]-Nguyễn Đình Trí (2008)-Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến

số-Nhà Xuất Bản Giáo Dục

 [22]-Jean-Marie Monier (2002)-Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1-Nhà xuất bản Giáo

dục

[21] là giáo trình toán được dùng phổ biến trong các trường đại học ở Việt Nam [22] là

cuốn sách được xuất bản trong khuôn khổ chương trình đào tạo kĩ sư chất lượng cao tại Việt

Nam, với sự trợ giúp của bộ phận Văn hóa và Hợp tác của Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng

hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam Đây là hai tài liệu tham khảo chính Ngoài ra, ở một số nội

dung, để làm rõ vấn đề chúng tôi cũng tham khảo thêm :

 [6]-Fichtengon (1977) – Cơ sở Giải tích toán học - NXB Đại học và Trung học

chuyên nghiệp

 [23]-Richard F Bass (2009), Real Analysis, (www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf)

 [24]-Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The

College Mathematics Journal, Vol 20, No 4 (Sep), tr.282-300 Mathematical

Association of America

 [25]-Discontinuous and monotone Functions

(www.mathcs.org/analysis/reals/cont/disconti.html)

Như vậy, chúng tôi chỉ giới hạn nghiên cứu các mối liên hệ có thể có giữa 3 đối tượng tính

đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số trong các giáo trình đã chọn

Trước hết, chúng tôi điểm qua các khái niệm tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của

hàm số nhằm tìm hiểu xem các mối liên hệ giữa chúng có được thể hiện trong các định

nghĩa không ? Sau đó, chúng tôi xem xét các mối liên hệ được thể hiện trong các định lí,

tính chất liên quan đến ba đối tượng này

1.1 Các khái niệm đơn điệu, liên tục, khả vi

1.1.1 Khái niệm hàm số đơn điệu

[21] đưa vào định nghĩa như sau:

“ NếuJIR 1 , hàm số f:I→R được gọi là tăng trên J nếu

Hàm số tăng hay giảm trên J được gọi là đơn điệu trên J.” [21, tr.46]

Định nghĩa hàm đơn điệu trong [22]:

5)Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm

6)Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm ngặt ” 3 [22, tr.103]

Nhận xét :

Theo cách trình bày của [21] và [22], khái niệm hàm số đơn điệu được xét trên một tập con bất kì khác rỗng của R Cả [21] và [22] đều phân biệt “tăng (giảm)” với “tăng (giảm)

1 Trong [21] kí hiệu AB nghĩa là mọi phần tử của A đều thuộc B hay A là tập con của B, AB nghĩa là mọi phần

tử của A đều thuôc B, và B có ít nhất một phần tử không thuôc A hay A là tập con thực sự của B

2 P(R) là tập các tập con của R, R X là tập các hàm số từ X vào R

3 f là hàm số từ X vào R

nghiêm ngặt” [21] dùng thuật ngữ đơn điệu để chỉ hàm tăng hay giảm còn trong trường hợp hàm “tăng (giảm) nghiêm ngặt” thì không có một thuật ngữ chung [22] thì nêu rõ “Ta nói f

đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm.” và “Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm ngặt.” Từ đây về sau, trong luận văn này, khi

nói hàm đơn điệu ta hiểu hàm tăng hay giảm, khi nói hàm đơn điệu ngặt ta hiểu hàm tăng hay giảm nghiêm ngặt

1.1.2 Khái niệm hàm số liên tục

 Liên tục tại một điểm

“ Cho f(x) là một hàm số xác định trên (a,b); nói rằng f(x) liên tục tại x o( , )a b nếu

  (định nghĩa của Weierstrass) Ngay sau định nghĩa trên, [22] đưa ra định lý: “Cho

“Hàm số f(x) không liên tục tại điểm x o được gọi là gián đoạn tại điểm ấy

Giả sử hàm f xác định trên đoạn [a,b], x o[ , ]a b là một điểm gián đoạn của f Ta nói x o là điểm gián đoạn bỏ qua được nếu ( f x o0) f x( o0)5 ; x o là điểm gián đoạn loại một nếu ( f x o 0) R f x, ( o   nhưng (0) R f x o0) f x( o  , hiệu 0)

x x



[…]

Gián đoạn loại 1

Ta nói f có điểm gián đoạn loại 1 tại a khi và chỉ khi: f không liên tục tại a, f

có giới hạn trái tại a (nếu f xác định bên trái a), f có giới hạn phải tại a (nếu f xác định bên phải a)

Nếu f không liên tục tại a và không có điểm gián đoạn loại 1 tại a, thì ta nói f

có điểm gián đoạn loại 2 tại a” [22, tr.120-121]

Nhận xét:

Cách định nghĩa điểm gián đoạn của [21] và [22] là giống nhau Về cách phân loại, điểm gián đoạn bỏ qua được và điểm gián đoạn loại 1 của [21] tương đương với điểm gián đoạn loại 1 của [22]

 Liên tục trên khoảng

“Nói rằng hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) nếu f(x) liên tục tại mọi x( , )a b ”

số f(x) lấy tại điểm x=c; và kí hiệu f’(c).” [21, tr.119]

 

  



Sau khi trình bày định nghĩa đạo hàm tại một điểm, cả [21] và [22] đều phân tích rõ ý nghĩa hình học của đạo hàm

“Đạo hàm tại mỗi điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị của f(x) số tại điểm đó; và một hàm số khả vi tại một điểm x=c có nghĩa là tại điểm x=c, đồ thị của f(x) có một tiếp tuyến duy nhất không vuông góc với trục Ox.” [21, tr.120]

“[…] tính khả vi của f được diễn giải hình học bởi sự tồn tại của tiếp tuyến không song song với (yy’) tại điểm A có tọa độ (a,f(a)) trên đường cong C f biểu diễn f Tiếp tuyến này có hệ số góc là f’(a)”

Như vậy, về mặt hình học, một hàm số không khả vi tại một điểm nào đó nếu đồ thị của nó không có tiếp tuyến tại điểm đó

1.1.4 Kết luận

Xét trên định nghĩa thì các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi được định nghĩa một cách độc lập nhau Các mối liên hệ giữa ba đối tượng này không được thể hiện trong các định nghĩa của chúng

1.2 Mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục và hàm số khả vi 1.2.1 Đơn điệu-Liên tục

Chúng tôi bắt đầu bằng định lý 3.10 trong [21]

“ Điều kiện ắt có và đủ để một hàm số xác định, liên tục trên một khoảng (a,b) là một đơn ánh là hàm số đơn điệu ngặt trên khoảng đó.” [21, tr.103]

Nhận xét :

Mặc dù định lý phát biểu cho khoảng (a,b), xem xét cách chứng minh trong [21], chúng tôi thấy rằng, nó vẫn đúng cho khoảng I bất kì Do đó, ta có thể phát biểu lại định lý

trên như sau : “ cho hàm số f liên tục trên khoảng I Khi đó, f đơn điệu ngặt trên I khi và

chỉ khi nó đơn ánh trên khoảng đó ” Định lý trên đề cập đến mối liên hệ giữa tính đơn

điệu ngặt và sự đơn ánh của một hàm liên tục trên một khoảng I nào đó Dễ dàng nhận thấy, một hàm đơn điệu ngặt trên I thì đơn ánh trên I, nhưng nếu nó đơn ánh trên I thì chưa chắc

đã đơn điệu trên khoảng đó Điều này được nêu rõ trong [22] :

“ Mọi ánh xạ đơn điệu nghiêm ngặt đều là đơn ánh ; nhưng điều ngược lại không đúng như ở ví dụ sau :

O 1 2 x

12

Định lý 3.10 cho thấy, chiều ngược lại chỉ đúng nếu có thêm điều kiện hàm liên tục

trên I Nhìn theo một góc độ khác, có thể nói một hàm liên tục trên khoảng I phải thỏa

mãn thêm điều kiện đơn ánh trên khoảng đó thì đơn điệu ngặt trên I

Các tài liệu [21], [22] không đề cập đến tính liên tục của một hàm đơn điệu Tuy nhiên, ta biết rằng có những hàm đơn điệu trên một khoảng I nhưng không liên tục trên I, xét ví dụ sau:

Rõ ràng, f đơn điệu tăng trên [0,2] nhưng

bị gián đoạn tại x=1 nên không liên tục

trên [0,2] Ta thấy đồ thị của nó là một

đường đi lên từ trái sang phải nhưng

không liên nét trên [0 ;2]

Như vậy, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể bị gián đoạn trên I Nhưng tập các điểm gián đoạn và loại của điểm gián đoạn của một hàm đơn điệu trên khoảng I lại khá “ đặc biệt ”:

 Một hàm đơn điệu trên I thì các điểm gián đoạn nếu có của nó chỉ có thể là điểm gián đoạn loại 1

 Một hàm đơn điệu trên I thì tập các điểm gián đoạn của nó nhiều nhất đếm được ” (tham khảo [25])

Từ đó ta thấy rằng, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể không liên tục trên khoảng đó, điểm gián đoạn nếu có chỉ có thể có các điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó

là đếm được Ta đặt ra câu hỏi: một hàm số đơn điệu trên I cần thỏa mãn thêm điều kiện gì

để liên tục trên I ?

Xét định lí sau:

“Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng (giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong khoảng I thuộc khoảng J và lấp đầy khoảng đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng I.”(*) [6, tr.94]

ràng không liên tục trên [-2,2] vì nó bị gián đoạn tại x=0

Định lý (*) chỉ ra rằng, điều ngược lại sẽ đúng nếu hàm thỏa mãn thêm điều kiện “đơn điệu trên khoảng I” Đến đây ta trả lời được câu hỏi “một hàm đơn điệu trên I thỏa mãn thêm điều kiện gì thì liên tục trên I ?” Phần tiếp theo dưới đây chúng tôi giới thiệu một ứng dụng quan trọng của định lí này

Chúng ta đều biết rằng, các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của chúng Từ sự liên tục của hàm hằng và hàm số y = x, ta dễ dàng chứng minh được sự liên tục của hàm đa thức, phân thức trên tập xác định của chúng bằng cách dùng các định lí về tổng, hiệu, tích, thương của các hàm liên tục Nhưng việc chứng minh sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản khác: hàm mũ y = ax (a>1), hàm lôgarit y=log a x (a>0, a≠1), hàm lũy thừa y = x µ (µ>0 hay µ<0),

các hàm lượng giác, các hàm lượng giác ngược thì phải nhờ đến định lý (*) Chẳng hạn:

“2 o Hàm mũ y = a x (a>1) đơn điệu tăng khi x biến thiên trong khoảng

X=(-∞;+∞) Giá trị của nó dương và lấp đầy toàn khoảng Y=(0;+∞), điều đó rõ ràng vì lôgarit x = log a y tồn tại đối với bất kì y>0 Thành thử hàm mũ liên tục với giá trị x bất kì.” [6, tr.95]

Độc giả quan tâm có thể tham khảo thêm [6, tr.95-96]

Kết luận

Ta có một số tính chất sau thể hiện mối liên hệ giữa tính đơn điệu và liên tục của hàm số:

 Hàm đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có thể không liên tục trên I

Hàm đơn điệu trên I thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó trên I nhiều nhất là đếm được

 Hàm liên tục và đơn ánh trên I thì đơn điệu ngặt trên I

 Hàm đơn điệu trên khoảng I, biến I thành một khoảng của R thì liên tục trên I

1.2.2 Liên tục-Khả vi

Sau định nghĩa hàm khả vi tại một điểm, [22] đưa ra mệnh đề sau:

“Cho a I , f K I Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a” [22, tr.141]

Nhận xét:

Mệnh đề trên cho thấy, một hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó Chiều ngược lại thì sao?

Ngay sau mệnh đề trên, [22] đưa ra nhận xét:

“Khẳng định đảo của mệnh đề trên là sai Một ánh xạ có thể liên tục tại a nhưng không khả vi tại a như trong các ví dụ sau:

Liên quan đến việc xem xét tính khả vi của một hàm liên tục trên một khoảng, đã từng

có một giai đoạn trong lịch sử (những năm nửa sau thế kỉ 19), người ta nghĩ rằng một hàm

số liên tục thì khả vi trừ ra tại một số hữu hạn các điểm: “đến khoảng những năm 1870,

nhiều bài viết về giải tích đã chứng minh một hàm số liên tục thì khả vi trừ ra tại một số hữu hạn các điểm, ngay cả Cauchy 6 cũng tin như vậy” ([24 , tr.293]) Năm 1872, Weierstrass đã

làm sửng sốt cộng đồng toán học khi đưa ra một ví dụ nổi tiếng về một hàm liên tục trên tập

Như vậy, đã có một giai đoạn trong lịch sử người ta tin rằng, một hàm liên tục chỉ có thể

có hữu hạn các điểm tại đó hàm không khả vi, ví dụ của Weierstrass đã chỉ ra có những hàm liên tục trên R nhưng không đâu khả vi Từ đó, ta thấy rằng khi một hàm liên tục thì chưa thể kết luận gì về sự khả vi của nó, một hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó, một hàm liên tục trên một khoảng có thể có hữu hạn hay vô hạn các điểm tại đó hàm không khả vi hay có thể không đâu khả vi trên khoảng đó Phân tích trên cũng chỉ ra rằng, trong lịch sử phát triển của toán học, đã tồn tại một “chướng ngại” liên quan đến cực

“liên tục → khả vi”, đó là: một hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó trừ ra tại một số hữu hạn các điểm

Sau đây, chúng tôi giới thiệu một định lí về “giới hạn của đạo hàm” trong đó nêu ra một

số điều kiện để một hàm liên tục tại một điểm khả vi tại điểm đó:

“Hệ quả (“định lý giới hạn của đạo hàm”)

Cho x o  , I là một khoảng của R sao cho R x o  , f : I→R là một ánh xạ I o

Nếu f liên tục tại x o , f khả vi tại I-{x o }, f’ có giới hạn hữu hạn là l tại x o

thì f khả vi tại x o và f’(x o )=l, và do đó f’ liên tục tại x o .” [22, tr.161]

Định lí trên chỉ ra rằng hàm số f : I→R liên tục tại xo nếu khả vi tại mọi điểm của I khác xo

và f’ có giới hạn hữu hạn l tại xo thì nó khả vi tại xo và f’(xo )=l

Kết luận

Với cực liên tục – khả vi, ta có kết luận sau:

 Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó

 Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó

 Tồn tại một chướng ngại khoa học luận: Hàm số liên tục trên một khoảng

thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm

6Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857): một nhà toán học nổi tiếng người Pháp

1.2.3 Đơn điệu-Khả vi

Chúng tôi bắt đầu bằng định lí sau:

“Định lý 5.7

Cho f là một hàm số xác định, liên tục trong một khoảng đóng hữu hạn [a,b] và khả

vi trong khoảng mở (a,b), khi đó:

(1) Điều kiện ắt có và đủ để f(x) tăng (giảm) trên [a,b] là f’(x)0 (f’(x)0) với mọi

(f’(x)≤0) với mọi x thuộc o I

Về đơn điệu nghiêm ngặt, [22] đưa ra định lí sau:

“Định lý 2: Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên I o Để f tăng nghiêm ngặt, điều kiện cần và đủ là:

, '( ) 0

 x I f x o  và { x Io , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng có phần trong không rỗng nào.” [22, tr.165]

Như vậy, ngoài các điều kiện giống với định lý 1, để f tăng nghiêm ngặt, ta còn cần thêm

điều kiện tập các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 “không chứa bất kì một khoảng có phần

trong không rỗng nào.”

Từ đó mặc dù [22] không đề cập nhưng ta có thể suy ra hệ quả sau:

“ Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên I o Nếu  x I f x o, '( ) 0 và { x Io , f’(x)=0} nhiều nhất đếm được thì f tăng nghiêm ngặt”

7 o

I là phần trong của khoảng I, ví dụ phần trong của [a,b] là (a,b).

rằng: tồn tại những hàm không khả vi trên I o nhưng vẫn đơn điệu trên khoảng đó Ta sẽ thấy

“ Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I, nghĩa là tập các điểm thuộc I mà tại đó hàm không khả vi có độ đo lesbgue bằng không.” [23, tr.40]

 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I

 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I

Hàm số đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có liên tục trên I không?

 Hàm đơn điệu trên I có thể không liên tục trên I

Như vậy một hàm số đơn điệu trên I có thể không liên tục trên I Điểm gián đoạn và tập các

điểm gián đọan nếu có của một hàm số đơn điệu trên I có gì đặc biệt?

 Hàm đơn điệu trên I thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 (tồn tại giới hạn trái và phải) và tập các điểm gián đoạn của nó trên I nhiều nhất là đếm được

Hàm đơn điệu trên khoảng I cần thêm điều kiện gì thì liên tục trên I ?

 Hàm đơn điệu trên khoảng I, biến I thành một khoảng nào đó của R thì liên tục trên I

Một hàm số liên tục trên I cần thêm điều kiện gì thì đơn điệu trên I ?

 Hàm liên tục và đơn ánh trên khoảng I thì đơn điệu ngặt trên I

Cực Đơn điệu-Khả vi

Hàm số khả vi trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) thì đơn điệu trên I khi nào?

 Hàm liên tục trên I, khả vi trên I o (phần trong của I) thì tăng (giảm) trên I khi và chỉ khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) với mọi x thuộc I o

 Hàm f liên tục trên I, khả vi trên o I thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi và chỉ khi

f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên I o và {x Io, f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có

phần trong khác rỗng

Liên tục Khả vi

Đơn điệu

Một hệ quả được rút ra: Hàm f liên tục trên I, khả vi trên I o thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên o I và tập các điểm làm đạo hàm triệt tiêu trên I nhiều nhất đếm được

Hàm số đơn điệu trên I có khả vi trên I không?

 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I

Như vậy, một hàm số đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I Tập các điểm không khả vi

của hàm số trên I (các điểm thuộc I mà tại đó hàm số không khả vi) có gì đặc biệt?

 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I (tập các điểm thuộc I mà tại đó hàm số không khả vi có độ đo lesbgue bằng 0)

Cực Liên tục-Khả vi

Mối liên hệ liên tục-khả vi là mối liên hệ một chiều:

 Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó

 Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó

Có chướng ngại khoa học luận nào liên quan đến mối liên hệ này?

 Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm

Những kết quả đạt được trong chương này sẽ là cơ sở tham chiếu để chúng tôi tiến hành nghiên cứu mối quan hệ thể chế ở chương 2, nghiên cứu này nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2 :

Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên

hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao?

Có những đặc trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ thống biểu đạt đồ thị có được tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên

hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số không?

Cụ thể hơn, đối với từng cực chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau:

Đơn điệu-Liên tục

Những tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu-liên tục được thể hiện như thế nào trong SGK theo chương trình hiện hành? Đặc biệt, những hàm số đơn điệu trên một khoảng

nhưng không liên tục trên khoảng đó có xuất hiện không? Việc minh họa bằng đồ thị có được tính đến không? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mối liên hệ này?

Đơn điệu-Khả vi

Định lí về điều kiện cần và đủ để một hàm số liên tục trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) khả

vi trên I o đơn điệu (hay đơn điệu nghiêm ngặt) trên I có được được đề cập không? Nếu có thì như thế nào? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mối liên hệ này? Xuất hiện hay không hàm số đơn điệu trên I nhưng không khả vi trên I? Việc minh họa bằng đồ thị có được tính đến không?

Liên tục-Khả vi

Tính chất “hàm số khả vi tại điểm nào thì liên tục tại điểm đó” có được đề cập không? Đặc biệt, có hay không sự xuất hiện của hàm số liên tục tại một điểm nhưng không khả vi tại điểm đó? Việc minh họa bằng đồ thị có được tính đến không? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan?

Chương 2

MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH

LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ

Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Mục tiêu chính của chương là làm rõ mối quan hệ thể chế với các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số Cụ thể, đối với từng mối liên hệ chúng tôi sẽ tập trung tìm câu trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở cuối chương 1 Thể chế mà chúng tôi quan tâm ở đây là thể chế dạy học toán Trung học phổ thông Việt Nam

Khái niệm hàm số đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) được đưa vào ở lớp 9 nhưng chưa tổng quát (định nghĩa trên R) HS được làm quen với tính đồng biến nghịch biến của hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai Đến đầu lớp 10, một định nghĩa tổng quát hơn được đưa vào, cho đến lúc này, khái niệm liên tục chỉ hoạt động ngầm ẩn Đến cuối lớp 11, khái niệm liên tục được chính thức đưa vào giảng dạy trong chương Giới hạn Trong chương kế tiếp, chương Đạo hàm, khái niệm đạo hàm xuất hiện, ngay trong chương này mối quan hệ liên tục-khả vi được thể hiện rõ Đến đầu năm lớp 12, trong chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, mối liên hệ đơn điệu-khả vi mới được đề cập Như vậy, để trả lời các câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK ở cả 3 cấp lớp 10 (Đại số),

11 (Đại số và Giải tích) và 12 (Giải tích) Hiện tại có hai bộ sách toán đang được sử dụng,

bộ sách nâng cao và bộ sách cơ bản Chúng tôi chọn phân tích cả hai bộ sách này Để thuận lợi trong trình bày, chúng tôi sử dụng các kí hiệu GKNC10, GKNC11, GKNC12, GVNC10,

GVNC11, GVNC12 nhằm chỉ các sách giáo khoa bộ nâng cao: SGK đại số 10, SGK đại số và giải tích 11, SGK giải tích 12 và các sách GV tương ứng; GKCB10, GKCB11, GKCB12, GVCB10,

GVCB11, GVCB12 nhằm chỉ các sách giáo khoa bộ cơ bản: SGK đại số 10, SGK đại số và giải tích 11, SGK giải tích 12 và các sách GV tương ứng Phân tích của chúng tôi sẽ tập trung trên từng cực của sơ đồ sau:

Liên tục Khả vi

Đơn điệu

Trước hết chúng tôi sẽ tập trung phân tích SGK nâng cao, trên cơ sở đó, đối với SGK cơ bản chúng tôi chỉ làm rõ những điểm giống và khác SGK nâng cao Cũng cần nói rõ thêm, định nghĩa hàm số đơn đơn điệu ở bậc phổ thông ứng với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm ngặt ở bậc đại học Tuy nhiên, sự khác biệt này không ảnh hưởng đến việc tham chiếu các tính chất đã nêu ở chương 1 vào phân tích trong chương 2 vì các tính chất ấy (ngoại trừ một

số tính chất đã phân biệt rõ đơn điệu và đơn điệu nghiêm ngặt) vẫn đúng cho các hàm số đơn điệu nghiêm ngặt

2.1 Mối liên hệ đơn điệu-liên tục

Theo Trần Anh Dũng (2005), trước khi được giảng dạy tường minh, khái niệm hàm số liên tục hoạt động ngầm ẩn thông qua đặc trưng tổng thể “đồ thị là đường nét” Do đó, để làm rõ mối liên hệ này, chúng tôi chọn phân tích SGK ở hai thời điểm, thời điểm định nghĩa hàm số đơn điệu (hàm số đồng biến, nghịch biến) được chính thức đưa vào và khái niệm hàm số liên tục đang ở giai đoạn ngầm ẩn; thời điểm khái niệm hàm số liên tục được giảng dạy tường minh Đối với thời điểm thứ nhất, chúng tôi chủ yếu tập trung phân tích chương

1, SGK đại số lớp 10 của cả hai bộ sách vì khái niệm hàm số đơn điệu, với tư cách đối tượng, chỉ được nghiên cứu trong chương này Bên cạnh đó, ở lớp 11, chúng tôi cũng lướt qua một số hàm số lượng giác mà tính biến thiên của chúng cũng được đề cập trước khi khái niệm liên tục xuất hiện chính thức Đối với thời điểm thứ 2, chúng tôi sẽ chỉ tập trung phân tích bài hàm số liên tục trong chương giới hạn hàm số, SGK đại số và giải tích lớp 11 Chính trong bài này, hai phương diện đối tượng và công cụ của khái niệm liên tục được đề cập, mối liên hệ đơn điệu-liên tục có thể được đề cập

2.1.1 SGK nâng cao

2.1.1.1 Thời điểm định nghĩa hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào và khái niệm

liên tục hoạt động ngầm ẩn với đặc trưng “đồ thị là đường liền nét”

Thực ra, trước lớp 10, khái niệm hàm số đơn điệu đã được giới thiệu ở lớp 9:

“Một cách tổng quát:

Cho hàm số y=f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R

a)Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số y=f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến)

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y=f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến)

Nói cách khác, với x 1 , x 2 bất kì thuộc R:

Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 )<f(x 2 ) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên R

Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 )>f(x 2 ) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên R.”

kì của R nhưng sau đó người ta chỉ nghiên cứu tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (nửa khoảng, đoạn)

Tiếp theo định nghĩa, GKNC10 đưa ra các kĩ thuật để xét tính đơn điệu của hàm số trên K:

“Đối với hàm số cho bằng biểu thức, để khảo sát sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số đó trên một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) K, ta có thể dựa vào định nghĩa

(xem ví dụ 3), hoặc dựa vào nhận xét sau :

Điều kiện “ x1x2 f ( x )1  f ( x )2 ” có nghĩa là x - x 1 2 và f ( x ) f ( x )1  2 cùng

“Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên;

Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống

(Khi nói đồ thị đi lên hay đi xuống, ta luôn kể theo chiều tăng của đối số, nghĩa là kể

từ trái sang phải )”[GKNC10, tr 38]

Qua hai trích dẫn trên, GKNC10 cung cấp kĩ thuật xét tính biến thiên của hàm số trong trường hợp hàm số được cho bằng công thức và đồ thị Đối với hàm số cho bằng công thức,

có hai kĩ thuật đại số là dùng định nghĩa và xét dấu tỉ số f x  f x 

Như vậy, GKNC10 đưa ra bảng biến thiên dựa trên ví dụ đã được nghiên cứu tính biến

thiên trước đó, trong trường hợp này, hàm số y=ax 2 được nghiên cứu có đồ thị liền nét trên khoảng đơn điệu của nó Như đã phân tích ở chương 1, có những hàm số đơn điệu trên K

nhưng không liên tục trên K nghĩa là có đồ thị không liền nét trên K Chúng tôi tự hỏi: trong trường hợp, một hàm đơn điệu trên K nhưng đồ thị không liền nét trên K thì bảng biến thiên

sẽ được lập như thế nào? Mũi tên được vẽ ra sao? GKNC10 và ngay cả GVNC10 không lưu ý

gì đến vấn đề này

Kế tiếp các vấn đề nêu trên, trong bài 2 và bài 3, GKNC10 giới thiệu tính biến thiên của

các hàm số: hàm số bậc nhất y = ax+b, hàm bậc nhất trên từng khoảng, hàm số

y ax b  và hàm số bậc 2 Đối với hàm bậc nhất y = ax+b tính biến thiên của nó đã được

học ở lớp 9, nên GKNC10 chỉ nhắc lại, tính biến thiên của các hàm số còn lại đều được nghiên cứu theo dựa trên đồ thị của chúng, nghĩa là kĩ năng “đọc đồ thị” đi kèm với nó là kĩ thuật xét tính biến thiên của hàm số bằng đồ thị được nhấn mạnh Tuy nhiên, như đã nói ở trên, các hàm số được nghiên cứu luôn có đồ thị liền nét trên khoảng đơn điệu của chúng Dường

như có một sự đảm bảo rằng: hàm số đơn điệu trên K thì đồng thời cũng liên tục trên khoảng đó Phân tích các tổ chức toán học liên quan đến khảo sát sự biến thiên của hàm số

sẽ cho phép chúng tôi củng cố hoặc bác bỏ nhận định trên

0

*Phần bài tập (vị trí GV)

Liên quan đến tính đơn điệu của hàm số trong giai đoạn này chủ yếu là kiểu nhiệm vụ T:

“khảo sát sự biến thiên của hàm số”, gồm các kiểu nhiệm vụ con với kĩ thuật và công

nghệ tương ứng như sau:

T tt : Khảo sát sự biến thiên của hàm số cho bằng một công thức không phải là hàm bậc 1

và hàm bậc 2 và không chứa giá trị tuyệt đối trên những khoảng cho trước

2 trên mỗi khoảng (-∞; 2) và (2;+∞); [GKNC10, tr.46]

Kĩ thuật τ 1 tt: Lấy bất kì x ,x1 2K thoả mãn x1 , sau đó so sánh x2 f x , f x   1 2

 Nếu f x 1  f x 2 thì kết luận hàm số f đồng biến (tăng) trên K

 Nếu f x 1  f x 2 thì kết luận hàm số f nghịch biến (giảm) trên K

Kĩ thuật τ 2 tt: Lấy bất kì x ,x1 2K sao cho x1 x2, sau đó, xét dấu của tỉ số

0 thì kết luận hàm số f nghịch biến (giảm) trên K

Công nghệ θ tt : Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến

T b2 : Khảo sát sự biến thiên của hàm số hàm bậc 2 không chứa giá trị tuyệt đối

Ví dụ:

Áp dụng kết quả trên, hãy cho biết sự biến thiên của hàm sốy  x2 4x 3

[GKNC10, tr.57]

Kĩ thuật τ b2: Xét dấu của hệ số a:

 Nếu a 0 thì kết luận hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng

2

b

; a

 Nếu a 0 thì kết luận hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng

2

b

; a

Công nghệ θ b2 : Đồ thị của hàm số bậc hai

“Từ đồ thị của hàm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên sau đây […]” [GKNC10, tr.57]

Xét từ trái qua phải, nếu đồ thị của hàm số “đi lên” trên K thì hàm số đồng biến

(tăng) trên K; nếu đồ thị hàm số “đi xuống” trên K thì hàm số nghịch biến (giảm) trên

K

Công nghệ θ đt : Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

 Nhận xét

Bảng 2.1: Thống kê số lượng nhiệm vụ liên quan đến “khảo sát tính đơn điệu của hàm số”

Qua bảng trên ta thấy, kiểu nhiệm vụ T đt được nhấn mạnh, số lượng nhiệm vụ chiếm đến

55.6% trong các nhiệm vụ liên quan đến khảo sát sự biến thiên của hàm số Kiểu nhiệm vụ

T tt và T b2 chỉ đóng vai trò thứ yếu Điều này cũng được thể hiện rõ trong SGV:

“Với tư tưởng từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, đồ thị được xem là

phương tiện chủ yếu để khảo sát hàm số

1

y

-1

-2 -3

3

0 Hình 2.9

x

[…]

Do cách làm trên, giáo viên cần chú ý luyện tập nhiều cho học sinh về cách nhận biết các tính chất của hàm số thông qua đồ thị của nó (phương pháp đọc đồ thị) Chẳng hạn, học sinh phải nhận biết được sự biến thiên (và biết lập bảng biến thiên) của hàm

số đã cho thông qua đồ thị của nó.” [GKNC10, tr.67]

“ […] SGK chỉ yêu cầu học sinh chứng minh sự đồng biến hay nghịch biến của hàm

số trên những khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn cho trước và đối với các hàm đơn giản (như hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, và hàm số phân tuyến tính) Hơn nữa, các bài toán này chỉ nhằm giúp học sinh nắm vững khái niệm mà thôi

Yêu cầu chủ yếu của bài này là học sinh phải biết dựa vào đồ thị để suy ra sự biến thiên của hàm số, đồng thời biết cách lập bảng biến thiên của nó” [GKNC10, tr.70]

Như vậy, liên quan đến khảo sát tính biến thiên của hàm số, kiểu nhiệm vụ T đt đóngvai trò quan trọng và được đặc biệt nhấn mạnh Chính đồ thị trở thành một công cụ đắc lực để khảo sát sự biến thiên của hàm số chứ không phải kĩ thuật dùng định nghĩa hoặc xét dấu tỉ

T đt cùng với ràng buộc ngầm ẩn trong giai đoạn này có thể sẽ hình thành ở HS quan niệm:

hàm số đơn điệu trên khoảng (nửa khoảng, đoạn) nào thì liên tục 8 trên khoảng đó

Một câu hỏi được đặt ra: sau khi khái niệm liên tục được chính thức nghiên cứu, ràng buộc trên có thay đổi không? Có hay không một giải thích hay ví dụ minh hoạ về một hàm đơn điệu trên K nhưng không liên tục trên K?

2.1.1.2 Thời điểm khái niệm liên tục được giảng dạy tường minh

Khái niệm liên tục được chính thức đưa vào ở lớp 11 trong chương Giới hạn, theo tiến trình sau: Giới hạn dãy số→Giới hạn hàm số→Hàm số liên tục Với mục tiêu:

khoảng và trên một đoạn, tính liên tục của các hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng và hiểu được định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lí này

Về kĩ năng

Giúp học sinh biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn và áp dụng định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản.”[GKNC11, tr.203]

Về định nghĩa hàm số liên tục, trước tiên, GKNC11 giới thiệu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm:

b) Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên

x a lim f x f a , lim f x x b f b

[GKNC11, tr.169]

Chúng tôi lưu ý đến nhận xét được GKNC11 đưa ra sau định nghĩa trên:

“Qua các ví dụ đã xét, chẳng hạn ví dụ 3, ta thấy hàm số liên tục trên một khoảng hoặc trên một đoạn có đồ thị là một đường “liền nét” Trong ví dụ 2, hàm số f gián đoạn tại điểm x = -1; đồ thị của nó là một đường không liền nét.” [GKNC11, tr.170] Theo nhận xét trên, một hàm số liên tục trên K thì có đồ thị liền nét trên K, một hàm số không liên tục trên K thì có đồ thị không liền nét trên K Qua đó, noosphere muốn HS biết được ý nghĩa hình học của một hàm số liên tục (không liên tục) trên một khoảng (đoạn, nửa khoảng), nó là cơ sở để đưa ra minh họa bằng hình học của định lí giá trị trung gian mà HS

được học ngay sau đó Liên quan đến mối liên hệ đơn điệu-khả vi, chúng tôi cho rằng đây là

cơ hội để cho một ví dụ minh họa (bằng đồ thị) về một hàm số đơn điệu trên K nhưng không liên tục trên K nhằm loại bỏ quan niệm 9 có thể đã hình thành ở giai đoạn khái niệm liên tục còn hoạt động ngầm ẩn, đáng tiếc một ví dụ như thế đã không xuất hiện GVNC11 cũng không lưu ý gì đến vấn đề này

Các kiểu nhiệm vụ chủ yếu liên quan đến khái niệm hàm số liên tục: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn)

hoặc liên tục trên tập xác định của nó, chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm thuộc

khoảng (a,b) Kĩ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ này được suy ra từ định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm và hàm số liên tục trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn), hoặc định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục Không có một bài tập hay ví dụ nào đề cập đến mối

liên hệ “một hàm số đơn điệu trên khoảng K có thể không liên tục trên K”

Trong chương 1, định lý (*)10 cho thấy vai trò của nó trong việc chứng minh sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản Sau khi khái niệm liên tục được giảng dạy tường minh, (*) đã không được đưa vào, hệ quả kéo theo là sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản (các hàm lượng giác (lớp 11), hàm số mũ, hàm số lôgarit, hàm lũy thừa (lớp 12)) trên miền xác định

của nó được thừa nhận Đây là một lựa chọn hợp lý so với yêu cầu chung “không quá nhấn mạnh tính hàn lâm và yêu cầu quá chặt chẽ về mặt lý thuyết” [GVNC11, tr.4], việc đưa vào định lý (*) cùng với chứng minh đầy đủ về sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản là khá

“nặng nề” đối với HS phổ thông, nó phù hợp hơn với cấp độ đại học Điều khiến chúng tôi

ngạc nhiên là các nội dung trên cũng không được đề cập trong SGV, dường như noosphere

tầm quan trọng của T đt cùng với đặc trưng của nó có thể sẽ hình thành ở HS quan niệm :

liên tục trên khoảng K là điều kiện cần để hàm đơn điệu trên trên khoảng đó

9 hàm số đơn điệu trên khoảng (nửa khoảng, đoạn) nào thì liên tục trên khoảng đó

10“Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng(giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong khoảng I thuộc khoảng J và lấp đầy khoảng đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng I.” [23, tr.94]

2.1.2 SGK cơ bản

2.1.2.1 Thời điểm khái niệm hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào và khái niệm

hàm số liên tục hoạt động ngầm ẩn

*Phần bài học (vị trí GV)

 Những điểm giống nhau

Về định nghĩa hàm số đơn điệu: định nghĩa hàm số đơn điệu được đưa vào ở đầu lớp 10 trong bài 1-Hàm số, chương 2-Hàm số bậc nhất và bậc hai

“Hàm số y=f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu

Cũng cần lưu ý thêm rằng, định nghĩa này không hẳn giống hoàn toàn với định nghĩa hàm

số đơn điệu của GKNC10 GKNC10 định nghĩa trên khoảng, nửa khoảng, đoạn nhưng sau đó chỉ yêu cầu xét tính đơn điệu trên khoảng, GKCB10 chỉ định nghĩa trên khoảng GVCB10 và

GVNC10 đã không giải thích gì về sự lựa chọn này Đến lớp 12, GVNC12 nêu rõ lí do của việc đưa vào định nghĩa hàm số đơn điệu trên khoảng, nửa khoảng, đoạn, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết hơn trong mục 2.2.1; GVCB12 cũng giới thiệu lại định nghĩa hàm số đơn điệu trên khoảng, nửa khoảng, đoạn nhưng cũng như ở lớp 10, người ta không giải thích rõ về lựa chọn này

Về bảng biến thiên: GKCB10 giới thiệu bảng biến thiên thông qua một ví dụ đi kèm giải thích, trong đó yếu tố “liên tục” được thể hiện ngầm ẩn thông qua “mũi tên”:

“Ví dụ 5 Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số y = x 2

Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào).” [GKCB10, tr.37]

Ở đây, người ta cũng không đề cập đến trường hợp các hàm đơn điệu trên khoảng nhưng

đồ thị không liền nét trên khoảng đó Trong giai đoạn này, các hàm số được xem xét luôn có

đồ thị là đường liền nét (hàm bậc nhất, hàm bậc hai)

 Những điểm khác nhau

GKCB10 không nêu tường minh kĩ thuật xét tính đơn điệu của hàm số bằng tỉ số biến thiên Kĩ thuật này chỉ được giới thiệu trong GVCB10 như một cách diễn đạt thứ hai của định nghĩa:

“Xét đồ thị hàm số y = f(x) = x 2 (h.15a) Ta thấy trên khoảng (-∞;0) đồ thị “đi xuống” từ trái sang phải(h.15b) và với

Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm

Ta nói hàm số y = x 2 nghịch biến trên (-∞;0)

Trên khoảng (0;+∞) đồ thị “đi lên” từ trái sang phải (h.15b) và với

Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm

Ta nói hàm số y = x 2 đồng biến trên (0;+∞) ” [GKCB10, tr.35]

Kĩ thuật ngầm ẩn trên chỉ được dùng một lần duy nhất trong GKCB10 khi nghiên cứu tính biến thiên của hàm số bậc hai:

“Dựa vào đồ thị của hàm số y = ax 2 + bx + c (a≠0), ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp như sau” [GKCB10, tr.45]

Điều đó cho thấy, dường như GKCB10 không chú trọng dùng đồ thị làm công cụ để khảo sát tính biến thiên của hàm số Nó cũng thể hiện rõ qua yêu cầu được đặt ra cho HS trong

GVCB10:

“Học xong chương II học sinh cần đạt được các yêu cầu sau:

1.Nắm vững khái niệm tập xác định và biết tìm tập xác định của một hàm số đã cho bằng công thức

2.Nắm vững các khái niệm đồng biến, nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ, biết lập bảng biến thiên để trình bày kết quả xét chiều biến thiên một hàm số

3.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc nhất, vẽ đồ thị hàm số này

4.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc hai và vẽ đồ thị hàm số này.”[GVCB10,tr.52]

*Phần bài tập (vị trí HS)

Đúng với yêu cầu đặt ra:

“[…]

3.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc nhất, vẽ đồ thị hàm số này

4.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc hai và vẽ đồ thị hàm số này.”[GVCB10,tr.52] Trong GKCB10, liên quan đến tính biến thiên của hàm số chỉ có kiểu nhiệm vụ T: xét tính biến thiên của hàm số với ba kiểu nhiệm vụ con:

T b1 : Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc nhất y ax b a   0

T’ b1 : Khảo sát sự biến thiên của hàm số y ax b a  0

T’ b2 : Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc hai y ax 2bx c a  0

Trong đó, T’b2 có kĩ thuật giải quyết và công nghệ hoàn toàn tương tự Tb2 của GKNC10 nên chúng tôi chỉ nêu ra kĩ thuật và công nghệ của Tb1 và T’b1

T b1 : Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc nhất y ax b a   0

Kĩ thuật τ b1 : Xét dấu của hệ số a:

-Nếu a 0 thì kết luận hàm số đồng biến (tăng) trên R

-Nếu a 0 thì kết luận hàm số nghịch biến (giảm) trên R

Công nghệ θ b1 : Chiều biến thiên của hàm số bậc nhất …[GKCB10, tr.39]

T’ b1 : Khảo sát sự biến thiên của hàm số y ax b a  0

Ví dụ: Bài tập 9 d

Xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số

c) y x 1

[GKCB10, tr.50]

Kĩ thuật τ’ b1 : Phá trị tuyệt đối, chuyển hàm số đang xét thành hàm số cho bởi 2 công thức

dạng ax b Sau đó, sử dụng τb1 để xét sự biến thiên (đồng biến hoặc nghịch biến) trên từng khoảng xác định

Công nghệ θ’ b1 : Định nghĩa giá trị tuyệt đối và θb1

 Nhận xét

Có thể thấy rõ, so với SGK nâng cao, Ttt (khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng định nghĩa hoặc tỉ số biến thiên) và Tđt (khảo sát sự biến thiên của hàm số dựa vào đồ thị của nó) không xuất hiện Điều đó cho thấy việc xét sự biến thiên bằng định nghĩa và đồ thị không được SGK cơ bản chú trọng Đặc biệt, trong SGK nâng cao, đồ thị vốn giữ vai trò trọng tâm khi nghiên cứu tính biến thiên của hàm số thì vai trò này lại khá mờ nhạt trong SGK cơ bản Phân tích lý thuyết và bài tập cho thấy, ở giai đoạn này, noosphere chỉ yêu cầu nghiên cứu tính biến thiên hàm số bậc nhất, hàm trị tuyệt đối của hàm bậc nhất và hàm số bậc hai cùng với yêu cầu vẽ đồ thị của chúng Một ví dụ hay bài tập trong đó hàm số được cho đơn điệu trên một khoảng nhưng lại có đồ thị không liền nét trên khoảng đó không xuất hiện Như vậy, cũng như SGK nâng cao, có thể thấy rõ một ràng buộc ngầm ẩn của noosphere trong giai đoạn này là: hàm số có đồ thị liền nét trên khoảng đơn điệu của chúng

Chúng tôi cũng đặt ra câu hỏi: sau khi khái niệm hàm số liên tục được giảng dạy, ràng buộc trên có thay đổi không? Có hay không một giải thích và ví dụ minh họa về tính chất

“hàm số đơn điệu trên khoảng K có thể không liên tục trên K”?

2.1.2.2 Thời điểm khái niệm hàm số liên tục được chính thức giảng dạy

Về cơ bản, cách đề cập giống với GKNC11 Sau khi khái niệm hàm số liên tục tại một điểm

và hàm số liên tục trên một khoảng được giới thiệu, GKCB11 đưa ra nhận xét:

“Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó (h.56)

Hình 57 cho ví dụ về đồ thị của một hàm số không liên tục trên khoảng (a;b)

”[GKCB11, tr.136]

Qua nhận xét trên, GKCB11 muốn lưu ý về đặc trưng hình học của hàm số liên tục trên

khoảng Rõ ràng ngay lúc này, có thể đưa ra một ví dụ bằng đồ thị để minh họa cho mối liên

hệ “hàm số đơn điệu trên khoảng K nhưng có thể không liên tục trên K” nhưng cũng giống

với GKNC11, một ví dụ như thế đã không được đưa vào

Phần bài tập chỉ gồm các kiểu nhiệm vụ chủ yếu xoay quanh khái niệm hàm số liên tục,

không xuất hiện một bài tập nào đề cập đến tính chất “hàm số đơn điệu trên khoảng K nhưng có thể không liên tục trên K”

Một điểm nữa cần lưu ý thêm, định lý (*)11 không xuất hiện, tính liên tục của các hàm

số sơ cấp cơ bản được SGK cơ bản thừa nhận

2.2 Mối liên hệ đơn điệu-khả vi

Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến được học ở lớp 10, đến lớp 12 khái niệm này được nhắc lại một lần nữa với mục đích dẫn dắt HS nghiên cứu mối quan hệ giữa tính đơn điệu của một hàm số có đạo hàm với dấu đạo hàm của nó Tuy khái niệm hàm số đơn điệu

đã được chính thức giới thiệu ở lớp 10, cuối năm lớp 11 HS được học khái niệm đạo hàm nhưng đến đầu lớp 12 mối liên hệ đơn điệu - khả vi mới được đề cập Vì vậy, trong SGK nâng cao, chúng tôi chỉ chọn phân tích bài “tính đơn điệu của hàm số”- chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của GKNC12; tương ứng trong SGK cơ bản, chúng

11“Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng(giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong khoảng I thuộc khoảng J và lấp đầy khoảng đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng I.”[3, tr.94]

tôi chọn phân tích bài “sự đồng biến, nghịch biến của hàm số”- chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của GKCB10 nhằm làm rõ mối liên hệ đơn điệu - khả vi

đã được thể hiện như thế nào?

2.2.1 SGK nâng cao

*Phần bài học (vị trí GV)

Sau khi nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến đã được học ở lớp 10, kĩ thuật khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng xét dấu tỉ số biến thiên cũng được SGK nhắc lại với cách diễn đạt khác, trong đó có sự xuất hiện của x:

“Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi với x tùy ý thuộc K, ta có

“Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a)Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f’(x)≥0 với mọi x I

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f’(x)≤0 với mọi x I .”(1)

[GKNC12, tr.4]

Tính chất trên là điều kiện cần để một hàm khả vi trên I đơn điệu trên khoảng đó Ngay sau

đó GKNC12 đưa vào định lí:

“Định lí

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a)Nếu f’(x)>0 với mọi x I thì hàm số đồng biến trên khoảng I

b)Nếu f’(x)<0 với mọi x I thì hàm số nghịch biến trên khoảng I

c)Nếu f’(x)=0 với mọi x I thì hàm số không đổi trên khoảng I.”(2)

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b]và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a ;b) thì f đồng biến trên đoạn [a ; b].” [GKNC12 , tr.5]

GVNC12 giải thích việc đưa vào chú ý này là để tạo thuận lợi trong thực hành, ta sẽ thấy rõ

qua trích đoạn sau:

“Đây là một chú ý quan trọng ta chỉ giới thiệu một trường hợp.Tuy nhiên, dựa vào

đó, học sinh có thể nêu được các khẳng định tương tự cho các trường hợp khác : Điều kiện để hàm số nghịch biến hoặc không đổi trên một đoạn, điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc không đổi trên một nửa khoảng

Một vài ví dụ sau đây cho thấy sự cần thiết và lợi ích của việc xét tính đơn điệu của hàm số không chỉ trên một khoảng mà còn cả trên một đoạn và trên một nửa khoảng Đây là một ví dụ cùng với bài giải của một học sinh

Ví dụ.Chứng minh rằng hàm số y = x 3 +3x 2 +3x+2 là đồng biến trên toàn bộ R

Như vậy hàm số đồng biến từ -∞ đến 1 trên khoảng (-∞,1), sau đó đồng biến từ 1 đến +∞ trên khoảng (1 ;+∞) thành thử hàm số đồng biến trên toàn bộ R

Lập luận vừa nêu là không chặt chẽ Đúng ra phải chứng tỏ hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng (-∞,1] và [1 ;+∞) từ đó mới suy ra hàm số đồng biến trên R

Tính đồng biến của hàm số đã cho trên R được chứng minh một cách chặt chẽ tương

tự như ví dụ 3 trong bài

[ ]

Khi xét chiều biến thiên của hàm số, để tránh nặng nề, ta thường chỉ nói tới tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc xét chiều biến thiên của hàm số trên một đoạn hoặc nửa khoảng tỏ ra rất tiện dụng trong thực hành.” [GVNC12, tr.21-22]

Một cách tự nhiên, ta đặt câu hỏi : chiều ngược lại của định lí có đúng không ? Mặc dù không nêu tường minh nhưng với việc trình bày định lý (1) về điều kiện cần và đưa vào ví

dụ 3 cho thấy rõ GKNC12 ngầm lưu ý rằng chiều ngược lại không đúng

“Ví dụ 3 Xét chiều biến thiên của hàm số

Lời giải trong GKNC12 chỉ rõ hàm số trên đồng biến trên R nhưng đạo hàm của hàm số tại x

= 0 vẫn bằng không Ví dụ nêu trên một mặt chỉ rõ chiều ngược lại của định lí là không đúng, đồng thời thông qua đó, GKNC12 đưa vào định lí mở rộng dưới dạng một nhận xét:

“Nhận xét: Qua ví dụ 3, ta thấy có thể mở rộng định lí đã nêu như sau:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f’(x)≥0 với mọi x I ( hoặc f’(x)≤0 với mọi x I ) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I”(3)[GKNC12, tr.7]

So với định lý 2 về điều kiện cần và đủ để một hàm số đơn điệu ngặt12 mà chúng tôi đã nêu

12“Định lý 2: Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên I o Để f tăng nghiêm ngặt, điều kiện cần và đủ là:

ở chương 1 thì (1), (2) và cả định lí mở rộng (3) chỉ là những trường hợp đặc biệt Theo chúng tôi, sự thay đổi trên là hợp lí vì lẽ khái niệm “phần trong” không được học ở phổ thông, hơn nữa một phát biểu đầy đủ như định lý 2 có thể sẽ rất khó hiểu đối với HS và không cần thiết, nó phù hợp hơn với cấp độ đại học

Một giả thiết quan trọng của các định lí (1), (2), (3) là hàm số phải có đạo hàm trên khoảng I Nói cách khác muốn áp dụng định lí, trước hết cần xét xem hàm số có khả vi trên

khoảng cần xét hay không? Tuy nhiên, GKNC12 lại không có một dòng nào lưu ý đến việc này, GVNC12 cũng vậy Trong các ví dụ được cho, hàm số luôn khả vi trên khoảng cần xét, chỉ áp dụng công thức để tính đạo hàm Như vậy, dường như giả thiết “hàm số f có đạo hàm

trên khoảng I” luôn được đảm bảo và học sinh không có trách nhiệm phải kiểm tra giả thiết này

Vấn đề “tồn tại những hàm đơn điệu trên K nhưng lại không khả vi trên K” không được

GKNC12 đề cập, GVNC12 cũng không có một dòng nào bàn đến vấn đề này Trong chương 1, chúng tôi đã chỉ ra một ví dụ minh họa, chúng tôi cho rằng một ví dụ theo kiểu như thế kèm với minh họa bằng đồ thị có thể đưa vào khá đơn giản nhưng noosphere đã không thực hiện

Từ đó có thể thấy rằng, mối liên hệ này không được noosphere chú ý Phân tích phần bài tập

sẽ giúp chúng tôi làm rõ thêm nhận định này

*Phần bài tập (vị trí HS)

Phần bài tập gồm các kiểu nhiệm vụ với kĩ thuật và công nghệ như sau :

T1:Chứng minh hàm số f(x) đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) trên khoảng (nửa khoảng, đoạn) K cho trước