mới có đạo hàm.”(protocol câu 18).
Như vậy, thông qua pha này, HS đã thiết lập được mối quan hệ giữa “điểm gãy” của đồ
thị và đạo hàm của hàm số-tại hoành độ của “điểm gãy” hàm số không có đạo hàm. Một yếu tố quan trọng giúp hợp thức nhận xét trên là “tiếp tuyến”: tại “điểm gãy”, đồ thị không có tiếp tuyến nên hàm số không có đạo hàm. Điều này cho thấy đối với HS, tác động phản hồi của “điểm gãy” được tạo ra thông qua một trung gian “mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm” và rõ ràng mối liên hệ này đã hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ. Vấn đề này
đã được làm rõ bởi Bùi Thị Thu Hiền (2007): “Ở bậc THPT, học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh”.
Tình huống 3’
Kế thừa sự hợp thức từ tình huống 2’, đối với tình huống này, thông qua 3 “điểm gãy” A, B, C, HS nhanh chóng đi đến sự thống nhất: ví dụ của B là đúng.
Pha 4(thiếu chỉ mục)
Với câu hỏi bài học rút ra từ các tình huống là gì? Chúng tôi thu được câu trả lời của 15 nhóm với kết quả như sau:
Tình huống 1’
-14 câu trả lời có ý: hàm sốđồng biến trên một khoảng chưa chắc liên tục trên khoảng đó.
-1 câu trả lời có ý: hàm sốđồng biến trên một đoạn chưa chắc có nghiệm trên đoạn đó.
Tình huống 2’
-10câu trả lời có ý: hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
-3 câu trả lời có ý: hàm số liên tục trên khoảng chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
-1 câu trả lời có ý: tại những điểm đồ thị hàm số không có tiếp tuyến thì hàm số không có
đạo hàm.
-1 câu trả lời có ý: tại những điểm gãy của đồ thị hàm số, hàm số không có đạo hàm.
Tình huống 3’
-15 câu trả lời có ý: hàm số liên tục trên khoảng chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Như vậy, đa số HS trong lớp thực nghiệm đã bước đầu nhận ra được sai lầm trong các quan niệm:
-Hàm sốđơn điệu trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn) thì liên tục trên K.
-Hàm số đơn điệu trên khoảng K thì có đạo hàm tại mọi điểm thuộc K và đạo hàm không dương (không âm) trên K.
-Hàm số liên tục tại một điểm thì có đạo hàm tại điểm đó.
3.2.5 Kết luận về thực nghiệm thứ 2
Thực nghiệm cho thấy sự xuất hiện của phản ví dụđi kèm đồ thị đã bước đầu có những tác động nhất định, tạo sự tiến triển trong mối quan hệ cá nhân của HS trên các mối liên hệ
giữa ba đối tượng đơn điệu, liên tục và khả vi của hàm số. Tuy nhiên, nó cũng cho thấy một vài vấn đề cần quan tâm để hoàn thiện hơn các tình huống hoặc phát triển thành các đồ án dạy học:
-Kĩ thuật chứng minh hàm số đơn điệu trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn) bằng định nghĩa: cần xây dựng lại ở HS và làm rõ vai trò của nó trong một vài trường hợp.
-Mối quan hệ giữa “điểm gãy” của đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số.
-Bảng biến thiên: tồn tại hay không hợp đồng didactic liên quan đến bảng biến thiên: bảng biến thiên phải thể hiện đầy đủ các điểm “đặc biệt” (điểm gián đoạn, điểm gãy hay điểm tại
KẾT LUẬN
Thực hiện đề tài “Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán phổ thông”, chúng tôi đạt được các kết quả sau:
1.Từ việc tổng hợp một số tài liệu, chúng tôi chỉ ra một số tính chất liên quan đến mối liên hệđơn điệu-liên tục, đơn điệu-khả vi, khả vi-liên tục ở cấp độ tri thức khoa học.
2.Nghiên cứu mối quan hệ thể chế trên cơ sở tham chiếu những kết quả đạt được ở
chương 1 cho phép đi đến kết luận:
- Mối liên hệ đơn điệu-liên tục thể hiện khá mờ nhạt trong chương trình và SGK hiện hành và chỉ xuất hiện trong giai đoạn khái niệm liên tục hoạt động ngầm ẩn thông qua ngôn ngữ biểu đạt đồ thị của hàm số. Một đặc trưng liên quan đến mối liên hệ
này là hàm số luôn liên tục trên khoảng đơn điệu của nó.
- Thể chế chỉ chú trọng đến việc thể hiện mối liên hệ giữa tính đơn điệu của một hàm khả vi trên khoảng với dấu của đạo hàm, điều kiện sinh thái của mối liên hệ này khá phong phú thông qua hệ thống bài tập chủ yếu xoay quanh công nghệ là định lí về điều kiện đủ và định lí mở rộng. Điều này kéo theo ràng buộc, các hàm số luôn khả
vi trên khoảng đơn điệu của chúng, tính đơn điệu của các hàm không khả vi trên khoảng không được đề cập và tất nhiên một minh họa bằng đồ thị cũng không xuất hiện.
- Các tính chất liên quan đến mối liên hệ liên tục-khả vi được thể hiện rõ. Đồ thị được sử dụng làm công cụ minh họa cho mối liên hệ này với đặc trưng trực giác: đồ thị “bị
gãy” tại những điểm mà hàm số liên tục nhưng không khả vi hay đồ thị không liền nét tại những điểm hàm số không liên tục. Tuy nhiên, có rất ít bài tập liên quan đến mối liên hệ này.
3.Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân dưới ảnh hưởng của mối quan hệ thể chếđã cho phép hợp thức các giả thuyết nghiên cứu H1, H2 và trả câu hỏi LK được đặt ra ở cuối chương 2.
Thực nghiệm thứ nhất cho thấy những ràng buộc của thể chếđã ảnh hưởng mạnh mẽđến mối quan hệ cá nhân của HS:
- Hầu hết HS cho rằng “hàm sốđơn điệu trên K thì liên tục trên K”.
- Phần lớn HS có quan niệm “hàm sốđơn điệu trên một khoảng thì có đạo hàm và đạo hàm không âm (không dương) trên khoảng đó”.
Đối với câu hỏi LK, không như chúng tôi hình dung ban đầu, việc thể chế đề cập rõ ràng tính chất “hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó” mà điểm nhấn là các minh họa trực quan bằng đồ thị, đã có những tác động nhất định lên mối quan hệ cá nhân của HS. Thực nghiệm cho thấy, bên cạnh một sốđông HS vẫn còn quan niệm “hàm số
liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó”, một sốđông HS khác đã thoát khỏi quan niệm này. Ở nhiều HS, sự tiến triển thể hiện rõ trong các câu trả lời với ví dụ cụ thể và chứng minh chặt chẽ, đặc biệt là việc xuất hiện các ví dụ bằng đồ thị.
Với mục đích tìm hiểu tác động của đồ thị cũng nhưđiều chỉnh mối quan hệ cá nhân của HS, trong thực nghiệm thứ 2, chúng tôi tổ chức các tình huống nhằm tạo điều kiện cho HS gặp gỡ một yếu tố mới của môi trường. Sự thay đổi rõ ràng đã được nhìn thấy. Qua
đó, có thể nói, đồ thị là một yếu tố môi trường tốt cho việc dạy học Giải tích, tuy nhiên, nó lại chưa được thể chế dạy học Toán Việt Nam chú trọng.
Do hạn chế về mặt thời gian và khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, , chúng tôi chưa có
điều kiện tiến hành thực nghiệm kiểm chứng hai hợp đồng R1 và R2. Việc xây dựng các tình huống kiểm chứng tính thỏa đáng của R1 và R2, cũng như hòan thiện hơn các tình huống trong thực nghiệm thứ 2 hoặc xây dựng một đồ án dạy học nhằm thiết lập các quan niệm đúng ở HS về các mối liên hệ giữa 3 đối tượng đơn điệu, liên tục và khả vi của hàm số
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Annie Bessot, Claude Commiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố
cơ bản của didactic Toán, NXB Đại học Quốc gia TP.HCM.
2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn toán, NXB Giáo dục.
3. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2006), Sách giáo khoa toán đại số 9, NXB Giáo dục.
4. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2006), Sách giáo viên toán đại số 9, NXB Giáo dục.
5. Trần Anh Dũng (2005), Nghiên cứu didactic về khái niệm liên tục, luận văn thạc sĩ,
ĐHSP TP.HCM.
6. G.M.Fichtengon (1977), Cơ sở giải tích toán học tập 1, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
7. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản, NXB Giáo dục.
8. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2007), Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 cơ bản, NXB Giáo dục.
9. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2008), Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, NXB Giáo dục.
10. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản, NXB Giáo dục.
11. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2007), Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 cơ bản, NXB Giáo dục.
12. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản , NXB Giáo dục. 13. Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu
khoa học luận và sư phạm, luận văn thạc sĩ, ĐHSP TP.HCM.
14. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục.
15. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục.
16. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục.
17. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục.
18. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục.
19. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục.
20. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông, NXB Đại học Quốc gia TPHCM.
21. Nguyễn Đình Trí (2008), Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến số, NXB Giáo Dục.
22. Jean-Marie Monier (2002), Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1, NXB Giáo dục.
Tiếng Anh
23. Richard F. Bass (2009), Real Analysis, www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf.
24. Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College Mathematics Journal, Vol. 20, No. 4, p. 282-300, Published by: Mathematical Association of America.
Phụ lục 1: Các phiếu thực nghiệm Thực nghiệm thứ 1 :
Các em thân mến, phiếu này không nhằm mục đích đánh giá mà chỉ phục vụ cho việc nghiên cứu. Các em vui lòng điền đầy đủ thông tin và tự lực (không trao đổi) trả lời các câu hỏi dưới đây. Cảm ơn các em rất nhiều.
Họ và tên :...Lớp... Mã số HS: ... Trường ... Tình huống 1
Cho bài toán:
“Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], f(-1)=-2, f(3)=3 Phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3) không? Vì sao?”
Ba học sinh A, B và C tranh luận như sau: Học sinh A:
f(-1)= -2 và f(3)= 3 suy ra f(-1).f(3)=(-2).3=-6<0 Suy ra f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3).
Học sinh B:
Tớ không đồng ý với A. Vì để có thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3), ta còn cần thêm điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], nhưng đề bài lại không cho biết f(x) có liên tục trên đoạn [-1;3] hay không, nên ta không thểđưa ra kết luận gì.
Học sinh C:
Tớđồng ý với B ở chỗđể có thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3), ta còn cần thêm điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], nhưng B nói “đề bài không cho biết f(x) có liên tục trên đoạn [-1;3] hay không” là không đúng. Vì theo đề bài, ta có hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], suy ra f(x) liên tục trên đoạn [-1;3].Tóm lại tớđề nghị lời giải như sau:
f(-1) = - 2 và f(3) = 3 suy ra f(-1).f(3) = (-2).3 = -6<0.
Hàm số y=f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3] nên f(x) liên tục trên đoạn [-1;3].
Ta có f(-1).f(3) < 0 và f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] nên phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1,3).
Câu hỏi cho em: Em hãy đọc kĩ đoạn tranh luận trên, nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của A, B, C? Vì sao em lại đánh giá như vậy?
--- --- ---
Tình huống 2
Cho bài toán:
“Cho hàm sốy=f(x) có bảng biến thiên như sau:
x -∞ 3 +∞
f(x) Từ bảng biến thiên trên, em có thể kết luận gì vềđạo hàm của hàm sốy = f(x)? ” Hai học sinh A và B tranh luận như sau : Học sinh A: - Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại mọi x(-∞;3) và f’(x)≥0 với mọi x(-∞;3). - Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nên nó có đạo hàm tại mọi x(3;+∞) và f’(x)≤0 với mọi x(3;+∞). Học sinh B: - Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi x(-∞;3) và do đó cũng không thể kết luận f’(x)≥0 với mọi x(-∞;3). - Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi x(3;+∞) và do đó cũng không thể kết luận f’(x)≤0 với mọi x(3;+∞). Câu hỏi cho em: Em hãy đọc kĩ đoạn tranh luận trên, nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy? --- --- ---