S3b
Liên tục không suy ra khả vi
117 44
Khác hoặc không trả lời 35 13,1
Tổng 266 100
Đối với một bộ phận không nhỏ HS, “liên tục” là điều kiện đủ của “đạo hàm”
Mặc dù mối liên hệ “liên tục-khả vi” được thể chếđề cập rõ nhưng vẫn có đến 114/266 HS có câu trả lời theo S2a, nghĩa là 42,9% HS có quan niệm “liên tục tại điểm nào thì khả vi tại
điểm đó”. Ví dụ:
HS125:
“Theo em B nêu ý kiến sai vì hs liên tục tại xo thì hàm số phải có đạo hàm tại xo. Ý kiến của A là ý kiến đúng vì khi hs đã liên tục tại xo thì phải có đạo hàm tại đó.”
HS132:
“Theo em ý kiến của A là đúng vì khi f(x) liên tục trong (a;b) thì f(x) sẽ liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a;b) cụ thể là xo, mà f(x) đã liên tục thì sẽ có đạo hàm tại điểm đó. Do đó ý kiến của B Là chưa đúng.”
Sự tiến triển trong mối quan hệ cá nhân của HS dưới ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế: “liên tục” không suy ra “đạo hàm”
Có 117/266 (44%) HS có câu trả lời theo S3b. Bên cạnh những câu trả lời “suông” như:
HS122:
“A:Bạn đã phát biểu chưa đúng. Vì hàm số f(x) liên tục tại xo thì chưa chắc có đạo hàm tại
xo. Còn hàm sốf(x) có đạo hàm tại xo thì sẽ liên tục tại xo. B:trái với A nên đúng.”
Chúng tôi thấy xuất hiện nhiều câu trả lời với ví dụ minh họa rất rõ như :
HS157:
HS B đúng. Hàm sốf(x) liên tục tại nhưng chưa chắc có đạo hàm tại xo. Vd: y=f(x)= x
f(x) là hàm liên tục trên R nên liên tục tại x=0 nhưng hàm số này không có đạo hàm tại x=0
0 0 0 1 0 x x f ( x ) f ( ) x lim lim x x
0 0 0 1 0 x x f ( x ) f ( ) x lim lim x x Suy ra hàm số không có đạo hàm tại x= 0.
Một số câu trả lời còn cho thấy vai trò của đồ thị trong việc minh họa cho mối liên hệ này, những điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng không khả vi được HS liên hệ với hình ảnh đồ
thị liền nét nhưng bị “nhọn” tại điểm đó hay “bị gãy” tại điểm đó:
HS159:
Ý kiến của B đúng vì hàm sốy=f(x) liên tục nhưng chưa chắc có đạo hàm hay không, giả sử đồ thị của y=f(x) có dạng
Thì hàm số vẫn liên tục nhưng tại A không có đạo hàm.” HS150:
Em thấy HS B đúng vì hàm số tuy liên tục nhưng những điểm nhọn trên đồ thị thì không có đạo hàm nên kết luận như vậy là thiếu căn cứ.
Như vậy, thực nghiệm cho thấy có một sự tiến triển rất rõ trong mối quan hệ cá nhân HS với mối liên hệ liên tục-khả vi. Bên cạnh một bộ phận không nhỏ HS hiểu sai về mối liên hệ
liên tục-khả vi (“liên tục” thì “khả vi”) (42,9%), số HS hiểu đúng mối liên hệ này (“liên tục” không suy ra “khả vi”) có phần nhỉnh hơn (44%). Nó cũng cho thấy, một minh họa bằng đồ
thị đã ảnh hưởng đáng kể lên mối quan hệ cá nhân của HS với mối liên hệ này.
3.1.6 Kết luận về thực nghiệm thứ nhất
-Về mối liên hệ “đơn điệu-liên tục”, thực nghiệm cho phép khẳng định H1: Đối với HS, hàm số đơn điệu trên K thì liên tục trên K (K là khoảng, nửa khoảng, đoạn ).
-Về mối liên hệ “đơn điệu-khả vi”, thực nghiệm cho phép hợp thức H2: Đối với HS,: hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng thì có đạo hàm và đạo hàm không âm (không dương) trên khoảng đó.
-Về mối liên hệ “liên tục-khả vi”, qua thực nghiệm chúng tôi đi đến kết luận, một bộ phận không nhỏ HS hiểu rõ “liên tục không phải là điều kiện đủ của khả vi” (44%) nhỉnh hơn số
HS có quan niệm sai: “hàm số liên tục tại một điểm thì khả vi tại điểm đó” (42,9%). Đặc
y
O
A
biệt, ở một số HS, mối quan hệ cá nhân với mối liên hệ này có một sự tiến triển rõ rệt thông qua các ví dụ cùng minh họa bằng đồ thị.