(THCS) các dạng toán ứng dụng hệ thức vi ét

Môn Toán ở trường THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc THCS, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục học lên THPT, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN “Các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét” Thuộc lĩnh vực: Toán Người thực hiện: Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS , tháng năm 2019 CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Phịng Giáo dục Đào tạo Hội đồng sáng kiến huyện Số TT Họ tên Ngày tháng năm sinh Nơi cơng tác Chức danh Trình độ Tỷ lệ chun (%) mơn đóng góp vào việc tạo sáng kiến Trường Giáo viên Cao đẳng THCS Toán- Thể 100% dục Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét Chủ đầu tư tạo sáng kiến : Họ tên: - Giáo viên trường THCS Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Lĩnh vực Toán lớp cấp THCS Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử : Ngày 10 tháng năm 2018 Mô tả chất sáng kiến : Mơn Tốn trường THCS có vai trị quan trọng, mặt phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ thái độ mà học sinh lĩnh hội hình thành bậc THCS, mặt khác góp phần chuẩn bị kiến thức, kỹ thái độ cần thiết để tiếp tục học lên THPT, trung học chuyên nghiệp, học nghề vào lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi hiểu biết định Tốn học Chương trình Tốn THCS khẳng định q trình dạy học trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức kỹ Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh kiến thức bản, tìm tịi đủ cách giải tốn để phát huy tính tích cực học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ Trong năm gần đây, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 có tốn phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng Đa số học sinh gặp toán bậc hai vận dụng hệ thức Vi-ét để giải em lại lúng túng không giải chương trình học có tiết chưa đáp ứng nội dung tập cần thiết Vì tơi chọn viết sáng kiến : “Các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét'' để nâng cao chất lượng học tập cho em học sinh, giúp em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải toán bậc hai tốt nhất, góp phần giúp em tự tin kỳ thi tuyển PHẦN I: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài Cơ sở lý luận thực tiễn: Trong năm học qua, kì thi học kì II, thi thử vào lớp 10, thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Sở Giáo dục đào tạo , Phòng giáo dục đào tạo tổ chức triển khai thi đến trường học huyện, tỉnh, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 có tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét phổ biến nhằm đánh giá kết học tập em Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng thực tế chương trình tốn lớp phần Đại số học sinh học tiết Hệ thức Vi-ét ứng dụng : - tiết lý thuyết: học sinh học định lý Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn, lập phương trình bậc hai tìm hai số biết tổng tích chúng - tiết luyện tập: học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Theo chương trình trên, học sinh học Hệ thức Vi-ét ứng dụng khơng có nhiều tiết học sâu khai thác ứng dụng hệ thức Vi-ét nên em nắm vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng hướng dẫn học sinh học tốt kiến thức phần Thực trạng : a Thuận lợi: Tôi trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn Tốn khối năm, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 nên thấy cần thiết phải thực sáng kiến: “Các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét ” b Khó khăn: Thời lượng phân bố tiết cho phần cịn hạn chế, cụ thể chương trình tốn lớp phần Đại số có tiết (1 tiết lý thuyết, tiết luyện tập) Do chưa khai thác hết ứng dụng hệ thức Vi-ét Hầu hết số học sinh trường học sinh vùng q, bố mẹ làm nơng nghiệp Do em trọng nâng cao kiến thức Tơi tiến hành khảo sát học sinh khối lớp trường THCS trước áp dụng sáng kiến với đề kiểm tra tập sử dụng Hệ thức Vi-ét với đề toán sau (thời gian làm 30 phút): Bài (5,0 điểm): Tìm hai số u v trường hợp sau: a) u + v = 32, u.v = 231 b) u + v = -8, u.v = - 105 Bài (5,0 điểm): Cho phương trình x2 – 6x + = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: a) A = 1 + ; x1 x b) B = x12 − x 22 Kết khảo sát khối lớp năm học 2017-2018 cụ thể sau: Số HS Giỏi Khá TB Yếu 33 17 10 Ghi Kết khảo sát khối lớp năm học 2018-2019 cụ thể sau: Số HS Giỏi Khá TB Yếu Ghi 43 20 16 Từ thuận lợi khó khăn trên, với sáng kiến mong giáo viên giúp em có thêm kiến thức để tự tin kỳ thi Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải dạng tập A Kiến thức *.Nếu x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) thì: b  x + x =−   a  x x = c  a  ( Định lí Vi-ét) * Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a * Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = -1, nghiệm x2 = −c a * Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình x2 – Sx + P = (Điều kiện để có u v S2 - 4P ≥ ) B Bài tập áp dụng tập phát triển, nâng cao I Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn: Dạng đặc biệt: Xét phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (*) a/ Nếu cho x = thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = hay a + b + c = Như vậy: phương trình có nghiệm x1 = nghiệm x2 = c a b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = hay a - b + c = Như vậy: phương trình có nghiệm x1 = -1 nghiệm x2 = −c a Ví dụ: Dùng hệ thức Vi- ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 23x2 - 9x - 32 = (1) b/ 7x2 - 9x +2 = (2) Giải: Ta thấy: Phương trình (1) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1= -1 ,cịn nghiệm x2 = 32 23 Ta thấy: Phương trình (2) có a + b + c = phương trình có nghiệm x = ,cịn nghiệm x2 = Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: a/ 7x2 + 500x - 507 = b/ x2 - 49x - 50 = c/ 1975 x2 + 4x -1979 = d/ 31,1x2 - 50,9x +19,8 = Cho phương trình, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm lại hệ số phương trình: Ví dụ: a/ Phương trình x2 – 2px + = có nghiệm x1 = 2, tìm p nghiệm b/ Phương trình x2 + 5x + q = có nghiệm x1 = 5, tìm q nghiệm c/ Phương trình x2 – 7x + q = có hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d/ Tìm q hai nghiệm phương trình : x –qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm nghiệm lần nghiệm Giải: a/ Ta thay x1 = vào phương trình x2 – 2px + = , ta được: – 4p + = ⇒ p = 5 Theo hệ thức Vi-ét : x1 x2 = suy ra: x2 = x = b/ Ta thay x1 = vào phương trình x2 + 5x + q = , ta được: 25+ 25 + q = ⇒ q = −50 −50 −50 Theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = -50 suy ra: x2 = x = = −10 c/ Vì vai trị x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 - x2 =11 theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = ta có hệ phương trình sau:  x1 − x2 = 11 ⇔   x1 + x2 =  x1 =   x2 = − Suy ra: q = x1 x2 = 9.(-2)= -18 d/ Vì vai trị x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 = 2x2 theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:  x1 = x2 ⇔ x2 = 50 ⇔ x2 = 52 ⇔   x1.x2 = 50  x2 =   x2 = − Với x2 = x1 = 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = + 10 = 15 Với x2 = −5 x1 = −10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15 II Lập phương trình bậc hai : Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 Ví dụ: Cho x1= 3; x2= Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm  S = x1 + x2 =  P = x1.x2 = Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  Vậy x1; x2 nghiệm phương trình có dạng: x2 – Sx + P = ⇔ x2 – 5x + = Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm: a/ x1 = x2 = - b/ x1 = 36 x2 = - 104 c/ x1 = 1 x2 = 10 − 72 10 + ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh năm 2006-2007) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Ví dụ: Cho phương trình x2 – 3x + = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1 = x2 + 1 y2 = x1 + x2 x1 Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: S = y1 + y2 = x2 + 1 1 1 x+x + x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2 2  x1 x2   1 1 1 P = y1 y2 =  x2 + ÷  x1 + ÷ = x1.x2 + + + = + 1+ 1+ = x1   x2  x1 x2 2  Vậy phương trình cần lập có dạng: 9 y − Sy + P = hay y − y + = ⇔ y − y + = Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1 = x1 + 1 y2 = x2 + x x2 2 (Đáp số: y + y − = ⇔ y + y − = ) 2/ Cho phương trình: x2 - 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1 = x14 y2 = x2 (Đáp số: y − 727 y + = ) III Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình : x2 – Sx + P = (đk: S2 - 4P ≥ 0) Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - tích P = a.b = - Giải: Vì: S = a + b = - tích P = a.b = - Nên a, b hai nghiệm phương trình: x2 + 3x – = giải phương trình ta x1= x2= - Vậy a = b = - a = - b = Bài tập áp dụng: Tìm hai số a, b biết tổng S tích P: a/ S = P = b/ S = -3 P = c/ S = P = 20 Bài tập nâng cao: Tìm hai số a, b biết: a/ a + b = a2 + b2 = 41 b/ a - b = a.b = 36 c/ a2 + b2 =61 a.b = 30 Hướng dẫn: a/ Theo đề ta dã biết tổng hai số a b, để áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm tích hai số a b Từ a + b = ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab = 2 ( 81 − a + b 2 ) = 20  x1 = Suy ra: a, b nghiệm phương trình có dạng: x − x + 20 = ⇔   x2 = Vậy: Nếu a = b = Nếu a = b = b/ Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng: a + b Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = a.c = -36  x1 = − Suy ra: a, c nghiệm phương trình có dạng: x − x − 36 = ⇔   x2 = Do đó: Nếu a = - c = nên b = -9 Nếu a = c = - nên b = Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169 2 2  a + b = −13 ⇒ ( a + b ) = 132 ⇒   a + b = 13 - Với a + b = -13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :  x1 = −4 x + 13 x + 36 = ⇔   x2 = −9 Vậy a = - b = - 9 - Với a + b = 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x = x − 13x + 36 = ⇔   x2 = Vậy a = b = c/ Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:  a + b = −11 2 2 2 Từ a + b = 61 ⇒ ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 11 ⇒   a + b = 11 - Nếu a + b = -11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình :  x = −5 x + 11x + 30 = ⇔   x2 = −6 Vậy a = - b = - hay a = - b = - - Với a + b = 11 ab = 30, nên a, b hai nghiệm phương trình : x = x − 11x + 30 = ⇔   x2 = Vậy a = b = hay a = b = IV Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình: Điều quan trọng toán dạng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng hai nghiệm (S = x + x2 ) tích hai nghiệm ( P = x1 x2 ) để áp dụng hệ thức Vi-ét tính giá trị biểu thức Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2017-2018) Cho phương trình x + 3x − = Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x x  P = 2 + ÷  x2 x1  Khơng giải phương trình háy tính giá trị biểu thức: Khi giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức P cho xuất dạng tổng tích hai nghiệm x1 x2 b + =− =− x2 x1 a x1.x2 = c −1 = a 10 Biến đổi P đồng thời thay vào biểu thức tương ứng để tính tốn: x  x + x22 x  P =  + ÷=   x2 x1   x1 x2  ( x1 + x2 ) − x 1.x2 = ÷ x 1.x2   3  −1  +1 − ÷ − 2 ÷ 2    P = = = −13 1 − − 2 Ví dụ 2: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 x1 x2 Tính ( ) 2 2 a/ x1 + x2 = x1 + x1 x2 + x2 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( ) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) x12 − x1 x2 + x2 = ( x1 + x2 )  ( x1 + x2 ) − 3x1x2    b/ = ( x1 + x2 ) − 3x1.x2 ( x1 + x2 ) ( ) ( ) ( c/ x14 + x2 = x12 + x2 d/ ) 2 = x12 + x2 − x12 x22 =  ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x12 x2   1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 Bài tập áp dụng: Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: 2 a/ x1 − x2 = ? 2 ( HD : x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = ) b/ x1 − x2 = ? 3 3 2 (HD: x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ) 4 c/ x1 − x2 = ? ( 4 2 ( HD: x1 − x2 = x1 + x2 )(x ) − x2 = ) 2/ Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm Ví dụ : Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, tính: 2 a/ x1 + x2 1 b/ x + x 11  S = x1 + x2 = Giải: Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:   P = x1.x2 = 15 2 2 a/ x1 + x2 = ( x1 + x1 x2 + x2 ) − x1x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = − 2.15 = 34 1 x +x b/ x + x = x x = 15 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 - 3x - = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ x13 + x23 (Đáp án: 99) b/ x + x (Đáp án: − ) 2/ Cho phương trình: x2 + kx + = có nghiệm x1 x2 Hãy biểu thị biểu thức sau theo hệ số k: a/ x12 + x2 (Đáp án: k − 10 ) k b/ x + x (Đáp án: − ) 3/ Cho phương trình: x2 - 3x -7 = có nghiệm x x2 Khơng giải phương trình, tính: a/ x14 + x2 (Đáp án: 802) b/ x1 − x2 (Đáp án: 37 ) 4/ Cho phương trình: x2 - x + = có nghiệm x 1, x2 Không giải phương x12 + 10 x1 x2 + x2 trình, tính: Q = x1 x23 + x13 x2 (HD: Q = ( ) ( ) ( x1 + x2 ) − x1 x2 x1 + 10 x1 x2 + x2 17 = = = ) 3 2 x1 x2 + x1 x2 x1 x2  ( x1 + x2 ) − x1 x2  5.8  − 2.8 80     2 − 2.8 5/ Cho phương trình: x2 + 3x -7 = (1) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức : F= x12 − 3x2 − 2013 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh năm 2012-2013) 12 HD: Vì x1 nghiệm phương trình (1) nên ta có: x12 + 3x1 − = ⇒ x12 = −3x1 + Khi : F = x12 − 3x2 − 2013 = − 3x1 + − 3x2 − 2013 = − 3( x1 + x2 ) − 2006 = − 3.(− 3) − 2006 = − 1997 ) V Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ≥ 0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh năm học 2016-2017) Cho phương trình : x2 - 2mx+ m2-4=0, m tham số Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x12 + x22 = 26 Phương trình cho có ∆ = (−2m) − 4(m − 4) = 16 Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt -Áp dụng hệ thức vi ét b 2m = = 2m a c m2 − x1.x2 = = = m2 − a x1 + x2 = − Giáo viên hướng dẫn HS biến đổi biểu thức từ đẳng thức bình phương tổng hai nghiệm ( x1 + x2 ) = x12 + x1 x2 + x22 ⇒ x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 13 Theo tốn ta có : (2m) − 2.( m − 4) = 26 ⇔ 4m − 2m + = 26 ⇔ 2m = 18 ⇔ m2 = ⇒ m = 3, m = − Ví dụ : Cho phương trình : x2 - 3x +(k-1) = (1) với k tham số Tim k để phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện điều kiện sau : a/ 2x1 - x2 =1 ; b/ x12 - x22 = 6; c/ x12 + x22 = ; d/ x1 x2 hai số nghịch đảo (x1x2 = 1) Giải: Để phương trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thì: ∆ ≥ ⇔ − 4(k − 1) ≥ ⇔ −4k + 13 ≥ ⇔ k ≤ 13 Theo hệ thức vi ét: x1 + x2 = x1x2 = k - a/ Giải hệ:  x1 + x2 =  x1 = Khi k-1 = x x =2 nên k = (t/m) ⇔  x − x = x =   b/ Giải hệ: 2  x1 − x2 = ⇔   x1 + x2 =  x1 − x2 = ⇔  x + x =   x1 = 2,5  x = 0,5  Khi k-1 = x1x2 =1,25 nên k = 2,25 (t/m) c/ Giải hệ: 2 2  x1 + x2 = ⇔ x1 + x2 = (x1 + x2) – 2x1x2   x1 + x2 = ⇔ 3= 9-2(k-1) ⇔ k=4 (khơng t/m) 14 Khi phương trình có dạng x2 -3x + vơ nghiệm ∆ < Khơng tồn k thỏa mãn toán d/ x1 x2 hai số nghịch đảo ⇔ x1x2 = ⇔ k-1 = x1x2 =1 ⇔ k=2 (t/m) Khi phương trình có dạng x2 -3x + có nghiệm ∆ > Vậy k =2 Ví dụ 3: Cho phương trình : x2 - 4x+ 4m-3=0, m tham số Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x12 + x22 = 14 Tìm điều kiện để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt ∆ = 42 − 4(4m − 3) ≥ ⇔ 16 − 16m + 12 ≥ ⇔ − 16m ≥ − 28 ⇔ m≤ Áp dụng hệ thức vi ét b −4 =− =4 a c 4m − x1.x2 = = = 4m − a x1 + x2 = − Giáo viên hướng dẫn HS biến đổi biểu thức từ đẳng thức bình phương tổng hai nghiệm ( x1 + x2 ) = x12 + x1 x2 + x22 ⇒ x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Theo tốn ta có 42 − 2.(4m − 3) = 14 ⇔ 16 − 8m + = 14 ⇔ −8m = −8 ⇒ m =1 2 Vậy với m=1 phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn x1 + x2 = 14 Ví dụ : Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức : x1 + x2 = x1 x2 15 Giải : Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 : m ≠  m ≠ m − ≠ ⇔ ⇔   2 ∆ ' ≥  ∆ ' = m − 2m + − 9m + 27 ≥ ∆ ' = 3 ( m − 21)  − ( m − 3) m ≥ ( ) m ≠ m ≠ ⇔ ⇔  m ≥ −1 ∆ ' = ( m − 1) ≥ 6(m − 1)  S = x + x =  m Theo hệ thức Vi-ét,Ta có :   P = x x = 9( m − 3)  m Vì x1 + x2 = x1 x2 (giả thiết) Nên 6(m − 1) 9( m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 3m = 21 ⇔ m = ( thỏa mãn) m m Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x x2 thỏa mãn hệ thức : x1 + x2 = x1 x2 Ví dụ : Cho phương trình : x2 – (2m + 1) x + m2 + = Tìm giá trị tham số m để hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức : 3x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Giải : Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 : ( ) ∆ ' = ∆ ' = ( 2m + 1) − m + ≥ ⇔ m ≥  S = x1 + x2 = 2m +  P = x1.x2 = m + Theo hệ thức Vi-ét,Ta có :  Vì 3x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = (giả thiết)  m = 2(TM ) Nên m + − ( 2m + 1) + = ⇔  m = ( KTM )  ( ) Vậy với m = phương trình có nghiệm x x2 thỏa mãn hệ thức : x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = 16 Bài tập áp dụng : 1/ Cho phương trình : x2 + 2x + k = (1) với k tham số Tim k để phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện điều kiện sau : a/ x1 - x2 =14 ; b/ x1 = x2 ; c/ x12 + x22 = 10 2/ Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + m2 – =0 ( m tham số) a/ Giải phương trình m = b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 16 VI Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm : Ví dụ : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = Gọi x x2 nghiệm phương trình Tìm m để: A = x12 + x2 − x1 x2 có giá trị nhỏ  S = x1 + x2 = − ( 2m − 1)  P = x1.x2 = − m Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  Theo đề ta có: A = x12 + x2 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8x1 x2 = ( 2m − 1) + 8m = 4m − 12m + = ( 2m − 3) − ≥ −8 2 Suy ra: A = −8 ⇔ 2m − = ⇔ m = Ví dụ : Cho phương trình: x2 - mx + m - = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biều thức sau: B= x1 x2 x12 + x22 + ( x1 x2 + 1)  S = x1 + x2 = m Giải: Theo hệ thức Vi-ét , Ta có:   P = x1.x2 = m − Theo đề ta có: B = ( m − 1) + 2m + x1 x2 x1 x2 = = = x12 + x22 + ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + m2 + m +2 Giải: Biến đổi B cách thêm, bớt sau: B= ( ) = − ( m − 1) m + − m − 2m + m2 + 2 m2 + 17 Vì ( m − 1) ( m − 1) ≥ 0⇒ m2 + ≥ 0⇒ B≤1 Vậy max B = ⇔ m = Với cách thêm, bớt khác ta lại có: 1 m + 2m + − m − m + 4m + ) − ( m + ) ( m + ) ( 2 B= =2 = − 2 m +2 m +2 ( m2 + ) Vì ( m + ) ≥ ⇒ ( m + 2) 1 ≥ ⇒ B ≥ − Vậy B = − ⇔ m = − 2 m +2 ( ) Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - = với m tham số Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Với giá trị m biểu thức A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị 2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – = Xác định m nghiệm x x2 thỏa mãn điều kiện : a/ A = x1 + x2 − 3x1 x2 đạt giá trị lớn b/ B = x12 + x2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ PHẦN II: KẾT LUẬN Trên nội dung sáng kiến ''Các dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét'' mà tơi hệ thống trình dạy cho học sinh lớp ôn thi vào THPT Bằng cách hệ thống thành nhiều dạng: Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Dạng 2: Lập phương trình bậc hai Dạng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình Dạng 5: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Dạng 6: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm Tôi vận dụng phần sau tiết học lý thuyết tiết luyện tập hệ thức Vi-ét để học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức, đồng thời rèn 18 luyện cho em kỹ trình bày gặp dạng Trong thời gian ôn thi em hệ thống lại cách hoàn chỉnh theo dạng Vì em gặp ''Các dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét'' kỳ thi vào THPT khơng cịn khó khăn em biết vận dụng linh hoạt tiếp tục học lên chương trình THPT Những thơng tin cần bảo mật : Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Hiện với việc dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh việc dạy học theo chủ đề cần thiết * Với giáo viên để áp dụng sáng kiến cần nghiên cứu kỹ tài liệu phương pháp giải dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét *Với học sinh cần có thái độ nghiêm túc học tập, hiểu nghiên cứu kỹ hệ thức Vi-ét Để nhân rộng sáng kiến thân tích cực sưu tầm, tập hợp tốn theo dạng để bổ sung vào nội dung sáng kiến Với việc làm tơi tin tưởng sáng kiến kinh nghiệm “Các dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét” ln khẳng định tính khả thi giá trị áp dụng cho học sinh lớp trường THCS nói riêng, cho học sinh lớp trường THCS huyện nói chung ơn tập để tham gia kỳ thi làm tốt dạng tập Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả : Sau áp dụng sáng kiến “Các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét” tiến hành khảo sát học sinh khối lớp trường THCS với đề kiểm tra tập sử dụng Hệ thức Vi-ét với đề tốn khảo sát phần thực trạng (thời gian làm 30 phút): Bài (5,0 điểm): Tìm hai số u v trường hợp sau: a) u + v = 32, u.v = 23 b) u + v = -8, u.v = - 105 Bài (5,0 điểm): Cho phương trình x2 – 6x + = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: 19 a) A = 1 + ; x1 x b) B = x12 − x 22 Kết khảo sát khối lớp năm học 2017-2018 cụ thể sau: Số HS Giỏi Khá TB Yếu 33 10 19 Ghi Kết khảo sát khối lớp năm học 2018-2019 cụ thể sau: Số HS Giỏi Khá TB Yếu 43 12 26 Ghi Với so sánh đối chiếu kết trước chưa áp dụng sáng kiến sau áp dụng sáng kiến “Các dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét” tơi khẳng định sáng kiến giúp giáo viên giảng dạy chủ đề kiến thức hệ thức Vi-ét nhẹ nhàng đầy đủ hấp dẫn, lôi đối tượng học sinh tham gia học tập Học sinh tích cực, chủ động có nhiều em biểu sáng tạo, say mê, kết làm cao Đặc biệt kì thi tuyển sinh vào THPT năm học 2018-2019 học sinh làm tốt tập dạng Qua trình đúc rút kinh nghiệm việc áp dụng biện pháp nhà trường, sở phân tích, đối chiếu, so sánh, lần tơi khẳng định Sáng kiến “Các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét” có khả áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp trường THCS Sáng kiến việc cần thiết phải phân dạng toán hệ thức Vi-ét việc ứng dụng đồng thời rõ biện pháp cụ thể để thực nội dung Giúp giáo viên có tài liệu để giảng dạy chủ đề Hệ thức Vi-ét cách đầy đủ, hệ thống, khoa học Từ nâng cao chất lượng cho học sinh không giới hạn việc giải tốn Hệ thức Vi-ét mà cịn củng cố rèn luyện nhiều kiến thức toán học khác Góp phần nâng cao kết kì thi vào THPT tạo tiền đề vững cho việc học toán sau em Danh sách người tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu : 20 Số TT Họ Ngày tháng Nơi công Chức tên năm sinh 28/9/1980 tác Trường Trình độ Nội dung cơng việc hỗ danh chuyên môn Giáo Cao đẳng: THCS viên Tốn-Thể dục Vũ Thị 5/11/1979 Trường Giáo Bích Đào THCS Việt viên Đại học: trợ Áp dụng sáng kiến Áp dụng sáng kiến Tốn Ấn Tơi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật , ngày 08 tháng năm 2019 Người nộp đơn http://thcsvantho.daitu.edu.vn/tin-tuc-su-kien/hoat-dong-chuyen-mon/cac-dangtoan-ung-dung-he-thuc-vi-et.html KẾT QUẢ CHẤM CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN NHÀ TRƯỜNG XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU 21 22 23 ... trình trên, học sinh học Hệ thức Vi- ét ứng dụng khơng có nhiều tiết học sâu khai thác ứng dụng hệ thức Vi- ét nên em nắm vận dụng hệ thức Vi- ét chưa linh hoạt Là giáo vi? ?n ta cần phải bồi dưỡng... đáp ứng nội dung tập cần thiết Vì tơi chọn vi? ??t sáng kiến : ? ?Các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi- ét' ' để nâng cao chất lượng học tập cho em học sinh, giúp em biết vận dụng hệ thức Vi- ét để giải toán. .. chiếu kết trước chưa áp dụng sáng kiến sau áp dụng sáng kiến ? ?Các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi- ét? ?? khẳng định sáng kiến giúp giáo vi? ?n giảng dạy chủ đề kiến thức hệ thức Vi- ét nhẹ nhàng đầy đủ hấp