Đề thi học sinh giỏi lớp 10 năm học 2007 2008 môn thi : toán thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề51875

Së GD  §T hãa §Ị thi häc sinh giỏi lớp 10 Trường THPT Đông Sơn I Năm học 2007 - 2008 *** -Môn thi : Toán Ngày thi: 04 / 05/ 2008 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao ®Ị -*** C©u 1: (2 ®iĨm) Cho f ( x )  x  2(m  1) x  m  Tìm m để f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 , x tháa m·n x13  x1 x 22  x1  x 23  x x12  x  xy( x  2) Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phương tr×nh  x  x  y  Câu 3: (2điểm) Cho tan a cot a , Tính giá trị biểu thức tan a cot a A   sin a sin a cos a cos a C©u 4: (2điểm) Giải bất phương trình sau: x x  x   x Câu 5: (2điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC ứng với b3 c3 a3  a2  gãc A, B, C Chøng minh r»ng b c a tam giác ABC a b cos C Câu 6: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề vuông gãc Oxy, cho elip ( E ) : x  25 y  225 , gäi F1, F2 hai tiêu điểm (E) Tìm toạ độ ®iÓm M thuéc (E) cho F1 M  F2 M Câu 7: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề vuông góc Oxy cho hai đường tròn (C1 ) : x  y  y   vµ (C2 ) : x  y  x  8y  16 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn Câu 8: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề vuông góc Oxy cho hai điểm A(1 ; 1) B(4 ; -3) Tìm điểm C thuộc ®­êng th¼ng x – 2y – 1= cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB Câu 9: (2điểm) Cho n + số dương a1 , a2 , , an2 tho¶ m·n a1  an1 , a2  an2 , ak2 n  ak  n Chøng minh r»ng:  a  a  k 1 k 1 k 1 k 2 n n Câu 10: (2 điểm) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm x y    x   y   m HÕt -Hä vµ tªn thÝ sinh : Sè b¸o danh : DeThiMau.vn Trường THPT Đông Sơn kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Năm học 2007 - 2008 Hướng dẫn chấm môn toán Câu Nội dung Điểm Điều kiện ®Ĩ f(x) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 '  (m  1)  (m  3)   m  2 x1  x1 x  x1  x  x x1  x 0,5 BiÕn ®ỉi x13  x1 x 22  x1  x 23  x x12  x  ( x  x )[( x  x )  x x  4]  0,75 3 m  1 Do x1  x  ( x1  x2 )2  x1 x2    [2(m  1)]2  2(m  3)  m (loại) Đáp số m = - ( x  x ) y   xy( x  2)    x  x  y  x  x  y  0,5  x  1   x x Hệ phương trình có nghiÖm  ; ; y  y  y  0,5 1,0 0,5  (tan a  cot a)  tan a cot a(tan a  cot a)   3.3  18 0,5 §iỊu kiƯn x  x  x R 0,25 Đặt t  x  x  , t ta có bất phương trình 0,5 0,5 Do tan a  cot a  >2 nên a tồn sin a cos a  cot a(1  tan a) BiÕn ®æi A  tan a(1  cot a)  sin a cos a  tan a  tan a  (tan a  cot a)  cot a  cot a 0,25 X  Suy x  x, y nghiệm phương trình X X     X  x  x  x  x  Suy  hc  y  y  0,5 t 4 t 5  2 0,5 t  1  15 (lo¹i)  t  2t  14    t  1  15 0,5  x  1   15 + Víi t  1  15  x  x   1  15    x  1   15  0,5 VËy bÊt phương trình có tập nghiệm S (;1  15 ]  [1   15 ;) 0,25 b3  c3  a3  a  b  c  a (b  c)  b  bc  c  a bca b  c2  a2 1    cos A   A  600 (1) bc 2 Ta cã a2  b2  c2  b2  c2   b  c ab Tõ (1) vµ (2) ta suy tam giác ABC a b cos C  a  b DeThiMau.vn (2) 0,5 0,5 0,75 0,25 x y2   suy c  a  b  25   16 25 1 Do tam giác F1 MF2 vuông M nªn OM  F1 F2  2c  c 2 2  x  y  16 OM  c  02 Gäi M ( x ; y0 ) Ta cã  9 x  25 y0  225 M  (E) Ta cã ( E ) :   175  x    x  16   y    y  81  16   9 ;  VËy cã điểm cần tìm M 4 (C1) có tâm I1(0; 2), bán kính R1 = 3; (C2) có tâm I2(3; 4), bán kính R2 = 3; 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 I I (3;2) , tiếp tuyến cần tìm có phương trình dạng: x y c 0,5 06c 49   c  13 Vậy phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2) lµ x  x   13  x 1 y 1   x 3y Đường thẳng AB có phương trình Do C thuộc đường thẳng x 2y 1= nên C = (2c + 1; c) Ta cã d (C; AB )   4(2c  1)  3c  + Víi c   C  (7;3) 0,5 Ta cã I1 I  13  R1  R2  I1 I  R1 R2 (C1) (C2) hai đường tròn cắt có bán kính nên chúng có ®óng hai tiÕp tun chung, hai tiÕp tun nµy song song với đường thẳng qua I1 I2 Ta cã d ( I ; )  R1  0,25  32 c    11c   30   c  27 / 11  43 27  + Víi c  27 / 11  C    ;   11 11   43 27  VËy cã hai ®iĨm C  (7;3) ; C    ;   11 11  ¸p dơng bất đẳng thức Côsi ta có ak2 a ak  ak2 ak 1  ak 2  ak víi k = ;2 ; ; n  k 1 2 ak 1  ak 2 ak 1  ak 2 0,5 0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 0,25 0,5 n n ak2 a  ak    k 1   ak Suy  k 1 a k 1  a k  k 1 k 1 0,5 n ak2 a  a3   an1  an2     ak k 1 ak 1  ak  k 1 0,5 n n ak2 n n   ak  k 1 k 1 a k 1  a k  n  0,25 DÊu “=” x¶y a1  a2   an  0,25 DeThiMau.vn 10 u v Đặt u  x , v  y , ®iỊu kiƯn ≤u, v ≤ Ta cã hÖ   u   v   m 0,25 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta chọn hai vect¬ a  (u; ), b  (v; ) 0,5 áp dụng bất đẳng thức a b a b ta u v   (u  v)  (  )  17  15 2 0,5 Đẳng thức xảy xa a, b cïng h­íng,  45  u  v  u  x  3  15    tøc lµ  u Khi ®ã  v   3  v  y     15 Hệ bất phương trình ®· cho cã nghiƯm vµ chØ m lín giá trị u v nhá nhÊt cđa biĨu thøc u   v  víi ®iỊu kiƯn  0  u, v Vậy giá trị m cần tìm m 17 15 Chú ý : - H­íng dÉn chÊm cã 03 trang - §iĨm toàn làm tròn đến 0,5 - Thí sinh giải cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 ...Trường THPT Đông Sơn kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Năm học 2007 - 2008 Hướng dẫn chấm môn toán Câu Nội dung Điểm Điều kiện ®Ĩ f(x) cã hai nghiƯm ph©n biƯt... u, v Vậy giá trị m cần tìm m 17 15 Chú ý : - H­íng dÉn chÊm cã 03 trang - §iĨm toàn làm tròn đến 0,5 - Thí sinh giải cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 ... n ak2 n n   ak  k 1 k 1 a k 1  a k  n  0,25 DÊu “=” x¶y a1  a2   an  0,25 DeThiMau.vn 10 u v Đặt u  x , v  y , ®iỊu kiƯn ≤u, v ≤ Ta cã hÖ   u   v   m 0,25 Trong mặt phẳng