Së GD §T hãa §Ị thi häc sinh giỏi lớp 10 Trường THPT Đông Sơn I Năm học 2007 - 2008 *** -Môn thi : Toán Ngày thi: 04 / 05/ 2008 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao ®Ị -*** C©u 1: (2 ®iĨm) Cho f ( x ) x 2(m 1) x m Tìm m để f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 , x tháa m·n x13 x1 x 22 x1 x 23 x x12 x xy( x 2) Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phương tr×nh x x y Câu 3: (2điểm) Cho tan a cot a , Tính giá trị biểu thức tan a cot a A sin a sin a cos a cos a C©u 4: (2điểm) Giải bất phương trình sau: x x x x Câu 5: (2điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC ứng với b3 c3 a3 a2 gãc A, B, C Chøng minh r»ng b c a tam giác ABC a b cos C Câu 6: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề vuông gãc Oxy, cho elip ( E ) : x 25 y 225 , gäi F1, F2 hai tiêu điểm (E) Tìm toạ độ ®iÓm M thuéc (E) cho F1 M F2 M Câu 7: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề vuông góc Oxy cho hai đường tròn (C1 ) : x y y vµ (C2 ) : x y x 8y 16 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn Câu 8: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề vuông góc Oxy cho hai điểm A(1 ; 1) B(4 ; -3) Tìm điểm C thuộc ®êng th¼ng x – 2y – 1= cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB Câu 9: (2điểm) Cho n + số dương a1 , a2 , , an2 tho¶ m·n a1 an1 , a2 an2 , ak2 n ak n Chøng minh r»ng: a a k 1 k 1 k 1 k 2 n n Câu 10: (2 điểm) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm x y x y m HÕt -Hä vµ tªn thÝ sinh : Sè b¸o danh : DeThiMau.vn Trường THPT Đông Sơn kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Năm học 2007 - 2008 Hướng dẫn chấm môn toán Câu Nội dung Điểm Điều kiện ®Ĩ f(x) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 ' (m 1) (m 3) m 2 x1 x1 x x1 x x x1 x 0,5 BiÕn ®ỉi x13 x1 x 22 x1 x 23 x x12 x ( x x )[( x x ) x x 4] 0,75 3 m 1 Do x1 x ( x1 x2 )2 x1 x2 [2(m 1)]2 2(m 3) m (loại) Đáp số m = - ( x x ) y xy( x 2) x x y x x y 0,5 x 1 x x Hệ phương trình có nghiÖm ; ; y y y 0,5 1,0 0,5 (tan a cot a) tan a cot a(tan a cot a) 3.3 18 0,5 §iỊu kiƯn x x x R 0,25 Đặt t x x , t ta có bất phương trình 0,5 0,5 Do tan a cot a >2 nên a tồn sin a cos a cot a(1 tan a) BiÕn ®æi A tan a(1 cot a) sin a cos a tan a tan a (tan a cot a) cot a cot a 0,25 X Suy x x, y nghiệm phương trình X X X x x x x Suy hc y y 0,5 t 4 t 5 2 0,5 t 1 15 (lo¹i) t 2t 14 t 1 15 0,5 x 1 15 + Víi t 1 15 x x 1 15 x 1 15 0,5 VËy bÊt phương trình có tập nghiệm S (;1 15 ] [1 15 ;) 0,25 b3 c3 a3 a b c a (b c) b bc c a bca b c2 a2 1 cos A A 600 (1) bc 2 Ta cã a2 b2 c2 b2 c2 b c ab Tõ (1) vµ (2) ta suy tam giác ABC a b cos C a b DeThiMau.vn (2) 0,5 0,5 0,75 0,25 x y2 suy c a b 25 16 25 1 Do tam giác F1 MF2 vuông M nªn OM F1 F2 2c c 2 2 x y 16 OM c 02 Gäi M ( x ; y0 ) Ta cã 9 x 25 y0 225 M (E) Ta cã ( E ) : 175 x x 16 y y 81 16 9 ; VËy cã điểm cần tìm M 4 (C1) có tâm I1(0; 2), bán kính R1 = 3; (C2) có tâm I2(3; 4), bán kính R2 = 3; 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 I I (3;2) , tiếp tuyến cần tìm có phương trình dạng: x y c 0,5 06c 49 c 13 Vậy phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2) lµ x x 13 x 1 y 1 x 3y Đường thẳng AB có phương trình Do C thuộc đường thẳng x 2y 1= nên C = (2c + 1; c) Ta cã d (C; AB ) 4(2c 1) 3c + Víi c C (7;3) 0,5 Ta cã I1 I 13 R1 R2 I1 I R1 R2 (C1) (C2) hai đường tròn cắt có bán kính nên chúng có ®óng hai tiÕp tun chung, hai tiÕp tun nµy song song với đường thẳng qua I1 I2 Ta cã d ( I ; ) R1 0,25 32 c 11c 30 c 27 / 11 43 27 + Víi c 27 / 11 C ; 11 11 43 27 VËy cã hai ®iĨm C (7;3) ; C ; 11 11 ¸p dơng bất đẳng thức Côsi ta có ak2 a ak ak2 ak 1 ak 2 ak víi k = ;2 ; ; n k 1 2 ak 1 ak 2 ak 1 ak 2 0,5 0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 0,25 0,5 n n ak2 a ak k 1 ak Suy k 1 a k 1 a k k 1 k 1 0,5 n ak2 a a3 an1 an2 ak k 1 ak 1 ak k 1 0,5 n n ak2 n n ak k 1 k 1 a k 1 a k n 0,25 DÊu “=” x¶y a1 a2 an 0,25 DeThiMau.vn 10 u v Đặt u x , v y , ®iỊu kiƯn ≤u, v ≤ Ta cã hÖ u v m 0,25 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta chọn hai vect¬ a (u; ), b (v; ) 0,5 áp dụng bất đẳng thức a b a b ta u v (u v) ( ) 17 15 2 0,5 Đẳng thức xảy xa a, b cïng híng, 45 u v u x 3 15 tøc lµ u Khi ®ã v 3 v y 15 Hệ bất phương trình ®· cho cã nghiƯm vµ chØ m lín giá trị u v nhá nhÊt cđa biĨu thøc u v víi ®iỊu kiƯn 0 u, v Vậy giá trị m cần tìm m 17 15 Chú ý : - Híng dÉn chÊm cã 03 trang - §iĨm toàn làm tròn đến 0,5 - Thí sinh giải cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 ...Trường THPT Đông Sơn kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Năm học 2007 - 2008 Hướng dẫn chấm môn toán Câu Nội dung Điểm Điều kiện ®Ĩ f(x) cã hai nghiƯm ph©n biƯt... u, v Vậy giá trị m cần tìm m 17 15 Chú ý : - Híng dÉn chÊm cã 03 trang - §iĨm toàn làm tròn đến 0,5 - Thí sinh giải cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 ... n ak2 n n ak k 1 k 1 a k 1 a k n 0,25 DÊu “=” x¶y a1 a2 an 0,25 DeThiMau.vn 10 u v Đặt u x , v y , ®iỊu kiƯn ≤u, v ≤ Ta cã hÖ u v m 0,25 Trong mặt phẳng