Đề 1 thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn toán năm học 20082009 thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)40422

Sở gd-đt hà tĩnh trường thpt hương khê Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Môn Toán NM HC 2008-2009 Thời gian làm bài:180 (kh«ng kể thời gian giao ) Bài1(8đ) 1) Giải phương trình: x (2009  x )(1   x )2 2) Gi¶i hệ phương trình: x xy y  19( x  y )2   2  x  xy  y  7( x y ) Bài 2(4đ) Cho hai số dương a b Đặt P Tìm giá trị nhỏ cña a3   b3 ; 3 a b Q  a a b b P Q Bài 3(3đ) Gọi I tâm đường tròn néi tiÕp tam gi¸c ABC; h , h , h độ dài a b c đường cao ứng với cạnh BC, CA, AB Chứng minh r»ng:     IA  IB  IC  h h h a b c Bài 4(3đ) Tính góc tam giác ABC biÕt sin A:sin B :sin C  : : Bài 5(2đ) Cho ba số thùc a,b,c tho¶ m·n a + b + c < Biết phương trình ax bx c vô nghiệm HÃy xác định dấu c? HÕt _ DeThiMau.vn Së gd-đt hà tĩnh trường thpt hương khê P N MễN TOÁN NĂM HỌC 2008-2009 Bài 1(8 điểm) 1) Điều kiện:  x  Với điều kiện (1   x )2  nên x  (2009  x )(1   x )2  x(1   x )  (2009  x ) (1   x )(1   x )     x(1   x )  (2009  x ) x x    2009  x  (1   x ) (*) Ta thấy với  x    x    (1   x )2   VP  mà VT  2009  x  2009 nên pt (*) vơ nghiệm Vậy pt cho có nghiệm x = 2)  x  xy  y  19( x  y )2 (1)    x  xy  y  7( x  y ) (2) Ta có (1)  x  y  xy  76( x  y )2  3( x  y )2  ( x  y )2  76( x  y )2  ( x  y )2  25( x  y )2  x  y  5( x  y ) x   x  0; y   x   x  3; y  2 +) x  y  5( x  y)  y  x  (2)   x   x  0; y    x  2  x  2; y  3 +) x  y  5( x  y)  y  x  (2)   Vậy hệ cho có ba nghiệm (x; y) ( 0; 0); ( -2; - 3) (3; 2) Bài (4 đ) Vì a > 0, b > nên áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có: 11  ; a a a3 3a    ; b3    3b b b DeThiMau.vn Cộng vế theo vế ba bđt ta được: 6 a3 a   b3  3(   b) a b a b a3 a a a a a   b3    b  2(   b)     b  2.3 b     b a b a b a b a b a b a b P  P  Q   Q  P 1, đạt a = b = c = Q Vậy giá trị nhỏ Bài (3 đ)Ta dễ dàng chứng minh     aIA  bIB  cIC  Thay a  2S 2S 2S ; b ; c= hb hc ta có điều phải chứng minh Bài (3đ) Từ giả thiết ta có: sin A  a sin B   b  sin C 2 c 2 Áp dụng định lý Sin ta có x a2 b2 c2    x2 2 Ta có cos A  b2  c  a2 x  (2  3) x  x   2bc 2  x  A  450 Tương tự ta tính cos B   B  600 Vậy góc cần tìm : A  450 ; B  600 ; C  750 Bài (2đ) Ta xét hai trường hợp a  a  * Khi a = : phương trình trở thành bx + c = Do phương trình vơ nghiệm nên b = c  Ta có a = b = c  , a + b + c < nên c < * Khi a  : đặt f ( x )  ax2  bx  c Do pt vô nghiệm nên f(x) không đổi dấu R Vì f(1)= a + b + c < nên f(x) < với số thực Do f(0)= c < Vậy c < DeThiMau.vn ... MƠN TỐN NĂM HỌC 2008-2009 Bài 1( 8 điểm) 1) Điều kiện:  x  Với điều kiện (1   x )2  nên x  (2009  x ) (1   x )2  x (1   x )  (2009  x )  (1   x ) (1   x )     x (1   x )... 2009  x  (1   x ) (*) Ta thấy với  x    x     (1   x )2   VP  mà VT  2009  x  2009 nên pt (*) vơ nghiệm Vậy pt cho có nghiệm x = 2)  x  xy  y  19 ( x  y )2 (1)    x ... 3) (3; 2) Bài (4 đ) Vì a > 0, b > nên áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có: ? ?1? ? ?1  ; a a a3 3a    ; b3    3b b b DeThiMau.vn Cộng vế theo vế ba bđt ta được: 6 a3 a   b3  3(   b) a b