ĐỀ THI HSG LỚP Năm học 2010 – 2011 x2 10 x Bài 1: Cho biểu thức M = : x x x x 3x x a) Rút gọn M b)Tính giá trị M x = Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Bài 3: a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau : B= 3( x 1) x x2 x 1 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Với AB = a ; AD = b Từ đỉnh A , kẻ đường thẳng a cắt đường chéo BD E, cắt cạnh BC F cắt tia DC G a) Chứng minh: AE2 =EF.EG b) Chứng minh đường thẳng a quay quanh A thay đổi tích BF.DG khơng đổi Bài Chứng minh x yz y xz Với x y ; xyz ; yz ; xz x(1 yz ) y (1 xz ) Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) ThuVienDeThi.com Giải Bài 1: a) Rút gọn M x2 x2 10 x : = x : x x( x 2)( x 2) 3( x 2) x x x x 3x x M= M= 6 x2 = ( x 2)( x 2) 2 x b)Tính giá trị M x = 1 x = x = 2 1 Với x = ta có : M = = = 3 2 2 1 Với x = - ta có : M = = = 5 2 2 x = Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT tam giác) (b+c +a) >0 ( BĐT tam giác) (b-c -a) 0 ( BĐT tam giác) Vậy A< Bài 3: a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + = (x-y)2 + (y - 2)2 + Do (x-y)2 ; (y - 2)2 Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + Dấu ''='' xãy x = y y = Vậy GTNN A x = y =2 b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau : 3( x 1) 3( x 1) 3( x 1) = = = 2 x x x x ( x 1) x ( x 1)( x 1) x 1 Do x2 +1>0 nên B = Dấu ''='' xãy x = x 1 Vậy GTLN B x = B= ThuVienDeThi.com Bài 4: a) Chứng minh: AE2 =EF.EG Do AB//CD nên ta có: EA EB AB = EG ED DG Từ (1) (2) B E F (1) Do BF//AD nên ta có: EF EB AD = EA ED FB A D C G (2) EA EF Hay AE2 = EF EG EG EA b) CMR đường thẳng a quay quanh A thay đổi tích BF.DG khơng đổi Từ (1) (2) AB FB DG AD Bài 5: Chứng minh Thì : Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi) x yz y xz Với x y ; xyz ; yz ; xz x(1 yz ) y (1 xz ) xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) Từ GT (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2 x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = (x -y) xy xyz ( x y z ) xz yz = Do x - y nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) Hoàng Minh NGụ Trường trung học sở Phong Bắc ThuVienDeThi.com ... + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) Hoàng Minh NGụ Trường trung học sở Phong Bắc ThuVienDeThi.com ... x 1)( x 1) x 1 Do x2 +1>0 nên B = Dấu ''='' xãy x = x 1 Vậy GTLN B x = B= ThuVienDeThi.com Bài 4: a) Chứng minh: AE2 =EF.EG Do AB//CD nên ta có: EA EB AB = EG ED DG Từ (1) (2)