Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn Toán năm học 2010 – 20118011

ĐỀ THI HSG LỚP Năm học 2010 – 2011  x2   10  x     Bài 1: Cho biểu thức M =   :  x   x    x  x  3x x    a) Rút gọn M b)Tính giá trị M x = Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Bài 3: a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau : B= 3( x  1) x  x2  x 1 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Với AB = a ; AD = b Từ đỉnh A , kẻ đường thẳng a cắt đường chéo BD E, cắt cạnh BC F cắt tia DC G a) Chứng minh: AE2 =EF.EG b) Chứng minh đường thẳng a quay quanh A thay đổi tích BF.DG khơng đổi Bài Chứng minh x  yz y  xz Với x  y ; xyz  ; yz  ; xz   x(1  yz ) y (1  xz ) Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) ThuVienDeThi.com Giải Bài 1: a) Rút gọn M  x2   x2  10  x         : =   x    : x    x( x  2)( x  2) 3( x  2) x   x   x  x  3x x    M=  M= 6 x2 = ( x  2)( x  2) 2 x b)Tính giá trị M x = 1 x = x = 2 1 Với x = ta có : M = = = 3 2 2 1 Với x = - ta có : M = = = 5 2 2 x = Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT tam giác) (b+c +a) >0 ( BĐT tam giác) (b-c -a) 0 ( BĐT tam giác) Vậy A< Bài 3: a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + = (x-y)2 + (y - 2)2 + Do (x-y)2  ; (y - 2)2  Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 +  Dấu ''='' xãy  x = y y = Vậy GTNN A  x = y =2 b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau : 3( x  1) 3( x  1) 3( x  1) = = = 2 x  x  x  x ( x  1)  x  ( x  1)( x  1) x 1 Do x2 +1>0 nên B =  Dấu ''='' xãy  x = x 1 Vậy GTLN B  x = B= ThuVienDeThi.com Bài 4: a) Chứng minh: AE2 =EF.EG Do AB//CD nên ta có: EA EB AB =  EG ED DG Từ (1) (2)  B E F (1) Do BF//AD nên ta có: EF EB AD =  EA ED FB A D C G (2) EA EF Hay AE2 = EF EG  EG EA b) CMR đường thẳng a quay quanh A thay đổi tích BF.DG khơng đổi Từ (1) (2)  AB FB  DG AD Bài 5: Chứng minh Thì : Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi) x  yz y  xz Với x  y ; xyz  ; yz  ; xz   x(1  yz ) y (1  xz ) xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) Từ GT  (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz)  x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2  x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 =  xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) =  xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) =  (x -y) xy  xyz ( x  y  z )  xz  yz  = Do x - y  nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) Hoàng Minh NGụ Trường trung học sở Phong Bắc ThuVienDeThi.com ... + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) Hoàng Minh NGụ Trường trung học sở Phong Bắc ThuVienDeThi.com ... x  1)( x  1) x 1 Do x2 +1>0 nên B =  Dấu ''='' xãy  x = x 1 Vậy GTLN B  x = B= ThuVienDeThi.com Bài 4: a) Chứng minh: AE2 =EF.EG Do AB//CD nên ta có: EA EB AB =  EG ED DG Từ (1) (2) 