Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn Toán năm 2014 201519297

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI CH N HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG 2, Quận TÂN BÌNH (2014-2015) (NGÀY THI: 30/12/2014) Bài 1: (4 điểm) 1) Cho phương trình ax2  bx  c  có hệ số a, b, c số nguyên lẻ Chứng minh phương trình có nghiệm nghiệm số hữu tỉ 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt mx4   m  3 x2  3m  Baøi 2: (4 điểm) 1) Giải phương trình sau: x  x 1  x  x 1      x3 (2 điểm)  x  y  x  y  15  (2 điểm) 2) Giải hệ phương trình :  x  y  x2  y2     Bài 3: ( điểm) 1 1 1) Cho a, b, c > Chứng minh: (1,5 điểm)  3  3  a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x2  17y  34xy  51 x  y   1740 (1,5 điểm) ax  b có giá trị nhỏ -1 có giá trị lớn (1 điểm) x2  Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BM, CN cắt H Gọi K trung điểm AH Gọi I giao điểm AH MN Chứng minh I trực tâm BKC Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M di chuyển đường tròn (O) Gọi A1 ,B1 ,C1 điểm đối xứng M qua cạnh BC, AC, AB Chứng 3) Tìm a, b để y  minh rằng: 1) Ba điểm A1 ,B1 ,C1 thẳng hàng (2 điểm) 2) Đường thẳng chứa A1 ,B1 ,C1 qua điểm cố định M di chuyển (2 điểm) Bài 6: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn (AB < AD) Tia phân giác góc BAD cắt BC M cắt DC N Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCN Chứng minh tứ giác BKCD nội tiếp   HẾT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Q TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 HƯỚNG DẪN ĐỀ THI CH N HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quận TÂN BÌNH (2014-2015) Bài 1: (4 điểm) 1) Cho phương trình ax2  bx  c  có hệ số a, b, c số nguyên lẻ Chứng minh phương trình có nghiệm nghiệm số hữu tỉ (2 điểm) Do a, b, c số nguyên lẻ nên ta đặt: a  2m  1;b  2k  1;c  2n  với k,m,n  Z Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ thì:   b2  4ac phải số phương lẻ (do b lẻ 4ac số chẵn)     2t  1  b2  4ac   2k  1   2t  1   2m  1 2n  1 2  4k  k  1  4t  t  1   2m  1 2n  1 : vô lí vế trái số chia hết cho vế phải không chia hết cho Do phương trình có nghiệm nghiệm số hữu tỉ 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt mx4   m  3 x2  3m  (2 ñieåm) mx4   m  3 x2  3m  1 Đặt t  x ,phương trình 1 trở thành: mt   m  3 t  3m    a  m;b    m  3 ;c  3m   b  4ac    m  3  4m  3m  m  6m   12m  11m  6m  2 2 2  b m3 S  t1  t2   a  m Theo định lí Vi-et, ta coù:  P  t t  c  3m   a m Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt m  m  a    11m 6m       3  108 3  108    3  108   m   m  m0  11 11 11 S    m  P   m  hay m   3    Vậy 3  108  m  phương trình (1) có nghiệm phân biệt 11 Bài 2: (4 điểm) 1) Giải phương trình sau: x  x 1  x  x 1  x  x 1  x  x 1  Trang x3 x3 (2 điểm) (điều kiện: x  ) Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Q TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG     x 1 1   x 1 1   x 1 1  x3 x3 x 1 1  2014 -2015 x3 x 1 1   x 1 1 TH1: x     x  Khi phương trình trở thành: x   x  x3  x 1  x    x 1 1 x 1 1    2 x  10x  25  16  x  1   x   x    x   nhaän  x    TH1: x      x  Khi phương trình trở thành: x 1 1  x 1 1  Vaäy S  1;5 x3  x    x  1 nhaän          x  y  x  y  15  2) Giải hệ phương trình :  (2 điểm) 2 x y x y       Ta coù:          2 2 2    x  y  x  y  15    x  y  x  y   x  y  x  y  x  y  5  x  y   x  y      x  y  x2  y  x  y  x2  y2       x  y  x  y      x  y   I 2   x  y  x  y    x  y  2x  5xy  2y   x  y  x  2y  2x  y      x  2y     II  2 2 2 x y x y    x y x y    x y x y             y  2x   x  y x  y   III                  x  y x  y    Giải hệ (I)  2  x  y  x  y    y  y     vô lí     x  2y x  2y x    x  2y    Giải hệ (II)   2 2 3y  y   x  y  x  y    2y  y  4y  y        y  2x y  2x x    y  2x    Giải hệ (III)   2 2 3x  y   x  y  x  y    x  2x  x  4x        x  x  hay  Vậy nghiệm hệ phương trình  y  y  Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Q TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 3: ( điểm) 1) Cho a, b, c > Chứng minh: 1 1  3  3  a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc Ta coù:  a  b  (1,5 điểm)    a2  ab  b2  ab   a  b a2  ab  b2  ab  a  b   a3  b3  ab  a  b   a3  b3  abc  ab  a  b  abc  a3  b3  abc  ab  a  b  c    1   3  b  c  abc bc  a  b  c Cmtt, ta coù:  1   3  c  a  abc ca  a  b  c  1  1 a  b  abc ab  a  b  c 2  3 Cộng vế theo vế (1), (2), (3), ta có: 1 1 1  3  3    3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc ab  a  b  c bc  a  b  c  ca  a  b  c   1 c a b  3  3  a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc  a  b  c   1 1  3  3  a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 3 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x2  17y  34xy  51 x  y   1740 (1,5 điểm)  x2  17 y  2xy   x  y   1740 Do x nguyên nên x có dạng: x  17k  r với r0,1,2,3,4,5,6,7,8 k  Z  x2 17n,17n  1;17n  4,17n  9,17n  8,17n  2,17n  15,17n  13 với n  Z Ta thấy vế phải 1740 cho cho 17 có số dư Trong vế trái chia cho 17 trường hợp số dư Vậy phương trình cho nghiệm nguyên 3) Tìm a, b để y  ax  b có giá trị nhỏ -1 có giá trị lớn (1 điểm) x2  ax  b có giá trị nhỏ -1 có giá trị lớn x2  ax  b  , a,b neân 1  x 1  a  a2  ax  b  x     b   , a,b  1 , a,b x  ax  b   , a,b 2   x      ax  b  , a,b 4x  ax  b   , a,b  a  a2 2x     b   , a,b  x     16  Vì y  Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Q TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015  a2  a2 a2   b 1    5   a  4 a  a  4   hay    42   42 16   b  b  b   a  b    a  b    16    a  a  4 ax  b hay  Vậy  y  có giá trị nhỏ -1 có giá trị lớn x 1 b  b  Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BM, CN cắt H Gọi K trung điểm AH Gọi I giao điểm AH MN Chứng minh I trực tâm BKC A K T M I H O B Gọi F giao điểm AH BC Gọi T giao điểm BI KC Xét FKN FMI , ta có: NFK  MFI     FKN  FMI  2NMH  FK FN   FKN FMI  g  g   FM FI  FN.FM  FI.FK Maø FB.FC  FN.FM  FNB  x  Neân FB.FC  FI.FK  Neân FBI C F FCM FB FI  Maø BFI  KFC  90 FK FC   FKC  IBF  IKT  hai góc tương ứng  Mà BIF  KIT  đối đỉnh Nên IKT  KIT  IBF  BIF  900  KTI  900  BT  KC Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M di chuyển đường tròn (O) Gọi A1 ,B1 ,C1 điểm đối xứng M qua cạnh BC, AC, AB Chứng minh rằng: Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Q TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 A B1 E F B H A1 O D K C1 T C S M 1) Ba điểm A1 ,B1 ,C1 thẳng hàng (2 điểm) Gọi S, K, T giao điểm MC1;MA1;MB1 với AB, BC, AC Chứng minh được: S, K, T thẳng hàng (đường thẳng Simpson) S trung điểm MC1   K trung điểm MA1 T trung điểm cuûa MB   SK // C1A1  ST // C1A1 Dùng đường trung bình chứng minh được:   C1A1  A1B1  KT // A1B1  ST // A1B1   A1 ,B1 ,C1 thẳng hàng (1) 2) Đường thẳng chứa A1 ,B1 ,C1 qua điểm cố định M di chuyển (2 điểm) Vẽ AD, BE, CF đường cao ABC cắt H Ta ch ng minh được: BHD  ACB  AMB  AC1 B t / c đối xứng  BHD  AC1B  Tứ giác AC1BH nội tiếp  AHC1  ABC1  ABM  t / c đối xứng  (1) Chứng minh tương tự ta được: AHB1  ACM   Từ (1) (2) cộng vế ta được: AHC1  AHB1  ABM  ACM  C1HB1  1800  C1 ,H,B1 thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy ra: điểm  A1 ,B1 ,C1 ,H thẳng hàng Mà H cố định Nên đường thẳng chứa A1 ,B1 ,C1 qua điểm H cố định M di chuyển Bài 6: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn (AB < AD) Tia phân giác góc BAD cắt BC M cắt DC N Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCN Chứng minh: tứ giác BKCD nội tiếp Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Q TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 K N B M A C D Chứng minh: tứ giác BKCD nội tiếp Ta có: DAN  MAB AM tia phân giác BAD   DAN  DNA  DAN cân D  DNA  MAB hai góc so le vaø AB // DN      DN  DA Maø DA = BC (tứ giác ABCD hình bình hành) Nên DN = BC Ta coù : NMC  DAN  BC // AC   MNC  MAB  AB // DN   NMC  MNC  CMN cân C  DAN  MAB     CM  CN Mà KM = KN (bán kính (K)) Nên KC đường trung trực MN  CK  MN Ta coù : BC  DN  BC  CM  DN  CN  BM  DC  CM  CN CMN cân C có CK đường cao (…) Nên CK đường phân giác CMN  MCK  NCK (1) Ta có : KM = KC  KMC cân K  KMC  MCK   Từ (1) (2) suy : KMC  NCK Maø KMC  BMK  NCK  DCK  1800  BMK  DCK BM  DC  Xét BMK DCK , ta coù : BMK  DCK  BMK  DCK c  g  c  MBK  CDK KM  KC   Tứ giác BKCD nội tiếp (tứ giác có đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc nhau)   HẾT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Q TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com ...CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 HƯỚNG DẪN ĐỀ THI CH N HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quận TÂN BÌNH (2014- 2015) Bài 1: (4 điểm) 1) Cho phương trình ax2  bx  c... kiện: x  ) Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Q TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG     x 1 1   x 1 1   x 1 1  x3 x3 x 1 1  2014 -2015... nghiệm hệ phương trình  y  y  Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Q TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 3: ( điểm) 1) Cho a, b, c