Thông tin tài liệu
ĐÊ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG NĂM HỌC 2011-2012 Thời gian làm 150 phút Bài Giải phương trình a) x2 + 2x + = x 2x 2x b) 2x 4x 2x 4x Bài Cho a b số thoả mãn: ( a 2011 a)( b 2011 b) 2011 a) Chứng minh: ( b 2011 b) ( a 2011 a) b) Tính: P = a2011 + b2011 + 2011 Bài Cho a, b, c, d số dương, chứng minh: a) a b bc cd da 0 bc cd da ab b) a b c ad bd cd b c a bd cd ad Bài Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = a M trung điểm AB, BC lấy điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng DC P, đường thẳng PB cắt đường thẳng DM Q a) Chứng minh QAB = BAP b) Qua A vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng CM cắt đường thẳng BC H Tính giá trị nhỏ diện tich tam giác AHC theo a Bài Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện x y3 x y 3xy 17 Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ThuVienDeThi.com Bài Bài a) Đáp án x2 + 2x + = x 2x 2x x 1 x x 1 Với ĐKXĐ: x -1 Phương trình trở thành b) x 1 x 1x x 1 x2 x 1 0 x x x x = (TMĐK) Vây phương trình có nghiệm x = Điểm điểm 1đ 1đ 0,5 đ 2x 4x 2x 4x Nhân hai vế phương trình với , ta được: 4x 4x 4x 18 10 4x 0,5 đ 4x 4x 4x 10 4x 25 0,5 đ ( x 1) ( x 5) 0,5 đ 4x 0,5 đ 4x (*) phương trình (*) trở thành x hay x 4x - = x = (TMĐK) Vậy phương trình có nghiệm x = Với ĐKXĐ x Bài 2: a) Từ ( a 2011 a)( b 2011 b) 2011 2 ( a 2011 a)( a 2011 a)( b 2011 b) 2011( a 2011 a) 1đ 0,5 đ 2011( b 2011 b) 2011( a 2011 a) 0,5 đ ( b 2011 b) ( a 2011 a) (1) Tương tự ta có: ( a 2011 a) ( b 2011 b) (2) Từ (1) (2) a = - b Nên P = a2011 + b2011 + 2011 = a2011 - a2011 + 2011 = 2011 Bài 3: a) điểm (a 2011 a )( b 2011 b) 2011( a 2011 a) b) 0,5 đ ab bc cd da BĐT tương đương 1 1 1 1 bc cd da ab ac bd ca db 4 bc cd da ab a c b d 4 bc da cd ab 1 Áp dụng BĐT phụ (HS phải chứng minh) ta có: x y xy 1 a c b d bc da cd ab 4 b d =4 a c abcd abcd ThuVienDeThi.com 1đ 1đ 0,5 đ 0,5 đ điểm 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Dấu “=” xảy a = b= c = d b) 0,5 đ 0,5 đ Do vai trị a, b, c bình đẳng nên ta giả sử a b c a b c a b b c b Ta có: = 1 b c a b a c a a a b 2ab ab c bc ac (a b) (a c)(b c) = = (1) ab ac ab ac (a b) (a c)(b c) ad bd cd Tương tự ta có 3= (a d)(b d) (a d)(c d) bd cd ad Vì a, b, c, d > a b c (a b) (a c)(b c) (a b) (a c)(b c) Nên (3) ab ac (a d)(b d) (a d)(c d) a b c ad bd cd Từ (1), (2) (3) suy b c a bd cd ad Dấu “=” xảy a = b = c A Bài 4: D K (2) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ điểm a M Q N H B C P a) Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt AQ K QK QM QM QB QK QB Ta có: ; KB //AP QA QD QD QP QA QP KBA BAP (sole trong) (1) KBA cân K (Trung tuyến KM vừa đường cao) Nên QAB KBA (2) Từ (1) (2) suy QAB BAP (Đpcm) AHB CMB (g – g) b) HB AB HB CB = MB AB MB CB a a2 (không đổi) a 2 a Ta có SAHC = AB HC = HC Do (SAHC)min HC Min 2 Vì HC = HB + BC nên HC Min HB = CB (vì HB CB khơng đổi) Lúc đó: Tam giác AHC cân A a2 a2 a Vì HB CB HB2 HB = 2 = Vậy SAHC = 2a 2 ThuVienDeThi.com 2đ 1đ 1đ x y3 x y 3xy 17 Bài 5: x y x xy y2 x xy y2 xy 17 x y x xy y xy 17 Do x, y N nên xy + 17 > x xy y Suy ra: x – y – > Vì x y + (1) Lại có x xy y xy 17 nên x y 17 (2) Từ (1) (2) x x N, nên x {3; 4} *) Nếu x = từ (1) y = *) Nếu x = từ (1) y = y = Trong cặp số (x; y) {(3; 0); (4; 0); (4; 1)} có cặp (4; 1) thỏa mãn tốn Vậy x = 4; y = 1 điểm 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ ThuVienDeThi.com ... 2 011 a)( b 2 011 b) 2 011 2 ( a 2 011 a)( a 2 011 a)( b 2 011 b) 2 011 ( a 2 011 a) 1? ? 0,5 đ 2 011 ( b 2 011 b) 2 011 ( a 2 011 a) 0,5 đ ( b 2 011 b) ( a 2 011 ... 2 011 a) (1) Tương tự ta có: ( a 2 011 a) ( b 2 011 b) (2) Từ (1) (2) a = - b Nên P = a2 011 + b2 011 + 2 011 = a2 011 - a2 011 + 2 011 = 2 011 Bài 3: a) điểm (a 2 011 a )( b 2 011 ... 2 011 = 2 011 Bài 3: a) điểm (a 2 011 a )( b 2 011 b) 2 011 ( a 2 011 a) b) 0,5 đ ab bc cd da BĐT tương đương ? ?1? ?? ? ?1? ?? ? ?1? ?? ? ?1 bc cd da ab ac bd ca db 4 bc cd da
Ngày đăng: 18/03/2022, 12:13
Xem thêm:
