ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỐN ( VỊNG 1) Năm học 2007 - 2008 Thời gian 120 phút (De 1) I Trắc nghiệm : Hãy chọn phương án câu sau: Khi rút gọn biểu thức 60 ta có kết là: a + b 15 + c - d Một kết khác Giá trị bé biểu thức: A = x x + x x + x x là: a b c d Một kết khác Tập nghiệm phương trình: 19 x 1 + x 1 + 91 x 3 x = a {1;2} b {1;2;3} c {2;3} d {1} Để hàm số Y = (m- 3m)x3 + ( m-3)x2 + x + hàm bậc giá trị m phải là: a m = b m = o m = c m = d với m thuộc R 2 Điểm cố định mà đường thẳng Y = mx toạ độ là: a ( ;1 ) b ( -1; 2) m - luôn qua m thay đổi có 2 c ( ;1 ) d ( 1; 1) Cho ABC vuông A có AB = 2AC, AH đường cao Tỷ số HB:HC là: a b c d Tam giác ABC vuông A, biết AC = 16; AB = 12 Các đường phân giác ngồi góc B cắt AC D E Độ dài DE : a 28 b 32 c 34 d 30 0 Cho góc thoả mãn < < 90 ta có kết luận sau: a sin < cos b tg > cotg c sin b> thì: 2a3 - 12ab + 12b2 + Câu 3: Cho ABC vuông A, đường cao AH Tia phân giác góc HAC cắt HC D Gọi K hình chiếu D AC a Chứng minh ABD cân b Biết BC = 25 cm; DK = 6cm Tính độ dài AB http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com (De 2)ề thi hsg huyện 2007-2008 I.Trắc nghiệm (4điểm) cã nghÜa lµ: x 4 a x>2 ; b x ; c: x < - ; d: x >2 x< -2 Câu 2: số sau có số vô tỉ: 1 (1,25) ; 9;- ; ; 2 - 2 64 a: ; b: ; c: ; d: 5 8 Câu 3: Giá trị biểu thức ( + ) : 133 : (27) lµ: 8 8 338 16 a: ; b: - ; c: ; d: -6 13 Câu 4: Tam giác MNP cã M (-1;0) , N(1;0), P (0;1) lµ: a: cân M; b: cân N ; c: ; d: vuông cân Câu 1: Điều kiện x để biểu thức Câu 5: Giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: x x lµ: 25 5 ; b: ; c: ; d: 4 Câu 6: Có thể nói số đường tròn ®i qua ®iĨm A,B,C cho tríc a: Cã thĨ đường tròn ; b: có đường tròn c: Có thể có đường tròn ; d: Có thể có đường tròn Câu 7: Trong hình sau hình có vô số trục đối xứng a: Hình chữ nhật ; b: Hình tròn c: Hình thoi ; d: Hình vuông Câu 8: Cho ABC O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi D,E,F theo thứ tự trung điểm BC, AC, AB NÕu gãc A gãc B gãc C th× cã thĨ nãi g× vỊ quan hƯ ba đoạn thẳng OD,OE,OF a: OD OE OF ; b: OD OE OF c: ODOE Câu 9: Giá trị biểu thức: tg + cotg = 3.Giá trị A = Sin cos lµ: a: A = ; b: A = ; c: A = ; d: Một kết khác Câu 10: Hàm số y = (t2 2)x + đồng biÕn vµ chØ a: t > ; b: t > ; c: t < - ; d: t = II Tù luËn (6®) a: C©u 1: Cho biĨu thøc A = x x 4x x x 4x x x 4x a Rót gän A b Tìm x để A< Câu 2: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác.Chứng minh a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca) Tìm số phương abcd biết ab – cd = C©u 3: Cho ABC vuông A Đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB, AC, biÕt BH = 4cm, CH = cm a TÝnh độ dài đoạn DE b Chứng minh AD.AB = AE.AC Cho ABC vuông A có AB 2007 D.Một kết khác Câu 6: Đơn giản biÓu thøc A = ( + tg2 )( – sin2 ) - ( + cotg2 )( cos2 ) ta được: A A = B A = C A = cos2 - sin2 D Một kết khác Câu 7: Các chiều cao tam giác 3; 4; Tam giác là: A Tam giác vuông B Không phải tam giac vuông C.Tam giác D.Tam giác cân Câu 8: Cho x2 + x = ( x > ) Gi¸ trị x5 + x : A 243 B 125 C 123 D Một kết khác Câu 9: Cho hình bình hành ABCD có BD BC ; AB = a ; A = Diện tích hình bình hành ABCD là: A sin cos B a2 sin2 C a2 cos2 D a2 sin cos C©u 10: Trong mét tam giác, có điểm sau nằm đường thẳng: A.Trực tâm, trọng tâm giao điểm đường phân giác B.Trực tâm, trọng tâm giao điểm đường trung trực A Trực tâm, giao điểm đường phân giác, giao điểm đường trung trực B Cả A, B, C x2 x34 Câu 1: Cho A = x x3 x 3x x x x3 a Rút gọn A b.Tìm giá trị nguyên x để A số nguyên Câu 2: Tìm x, y nguyên dương cho : x2 = y2 + 13 + 2y C©u 3: Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Gọi D, E, F trung điểm c¹nh AB, BC, CA Chøng minh r»ng : a AH AE = 2AD AF b AH AD AF http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com De §Ị thi häc sinh giái khèi (vòng 1) năm học 2007 2008 HÃy chọn phương án trả lời đúng? Câu1: Với x > giá trị biểu thức: x x x x b»ng: a b c x d Một đáp số khác Câu2: Biểu thøc: x x x¸c ®Þnh khi: a Víi mäi x R b x hc x 3 c x d Một đáp án khác Câu3: Giá trị cđa biĨu thøc: a b 2 là: c d Một đáp án kh¸c L thõa bËc cđa lµ: a b.3 c d 2 C©u5: Cho hµm sè:f(x) = ax (a ) ; g(x) = a 1x ta cã: a f(x) + g(x) ®ång biÕn b f(x) - g(x) đồng biến c g(x) f(x) nghịch biến Câu4: Câu6: Đơn giản biểu thức: A = ABC a A = b A = cos sin Ta cos 2 c A= sin d Cả a, b, c sai Câu7: có gócA = gócB + 2gócC độ dài cạnh số tự nhiên liên tiếp Độ dài ba cạnh tam giác là: a 4, 5, b 5, 6, c 2, 3, d C¶ a, b, c sai Câu8: Ta có phát biểu sau: 1) Một điểm O cho trước số phụ r cho trước xác định đươnggf tròn tâm O bán kính r 2) Qua điểm A, B cho trước xác định đường tròn đường kính AB 3) Qua điểm xác định đường tròn Các phát biểu lµ: a ChØ 1) b ChØ 2) c ChØ 3) d Chỉ II/ Phần tự luận: Câu1: Cho biÓu thøc: A = 2x x4 x a) Rút gọ A b) Tìm giá trị lớn A Câu2: Cho a, b, c thoả mÃn a > c , b > c > Chøng minh r»ng: c(a c) c(b c) ab C©u3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD Gọi H, K theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD a) Chøng minh r»ng: CH = DK b) Chøng minh r»ng: SAHKB = SACB + SADB c) TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt cđa tø gi¸c AHKB, biÕt AB = 30cm, CD = 18cm 4http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com De §Ị thi thư HSG khối Môn thi: Toán (Thời gian 90 phút làm bài) A:Phần trắc nghiệm (3 điểm) HÃy chọn phương án câu sau Tính 583 1cã kÕt qu¶ A:10 , B: , C:4 , D: Rót gän biĨu thøc ta kết A:14, B:2 , C: , D:2 Hµm sè y = m 1.x ®ång biÕn A: -1< m < , B: m>-1 , C: m>1 , D: m >1 vµ m o tho¶ m·n xy+ yz+ xz = 1, tÝnh tæng B = x (1 y ).(1 z ) 1 x y (1 z ).(1 x ) 1 y z (1 x ).(1 y ) 1 z Bµi 2: Chøng minh r»ng : a b c a b c , với a,b,c >0 Bài 3: *1 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH, trung tuyến AM Gọi D E thứ tự hình chiếu H AB AC a Chứng minh AD.AB = AE.AC b Gọi K giao điểm AM vµ DE chøng minh AK DE = AD AE c Tam giác ABC cần có thêm điều kiện để diƯn tÝch tø gi¸c AEHD b»ng mét nưa diƯn tÝch tam giác ABC *2 Dựng hành thang cân ABCD (AB CD) biÕt AB = BC = 3cm vµ AC AD bc ca ab http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com De 6: §Ị thi học sinh giỏi khối (vòng 1) năm học 2007 2008 Với x > giá trị cđa biĨu thøc: x x x x b»ng: a b c x d Một đáp số khác Câu2: Biểu thức: x x xác định khi: a Víi mäi x R b x hc x 3 c x d Một đáp án khác Câu1: Câu3: Giá trị biểu thøc: a b 2 2 là: c d Một đáp án khác Luỹ thõa bËc cđa lµ: a b.3 c d 2 Câu5: Cho hàm số:f(x) = ax (a ) ; g(x) = a 1x ta cã: a f(x) + g(x) ®ång biÕn b f(x) - g(x) ®ång biÕn c g(x) f(x) nghịch biến Câu4: cos sin Câu6: Đơn giản biểu thức: A = Ta cos 1 a A = b A = c A= sin d C¶ a, b, c sai 2 Câu7: có gócA = gócB + 2gócC độ dài cạnh số tự nhiên liên tiếp Độ ABC dài ba cạnh tam giác là: a 4, 5, b 5, 6, c 2, 3, d C¶ a, b, c sai Câu8: Ta có phát biểu sau: 4) Một điểm O cho trước số phụ r cho trước xác định đươnggf tròn tâm O bán kính r 5) Qua điểm A, B cho trước xác định đường tròn đường kính AB 6) Qua điểm xác định đường tròn Các phát biểu là: a ChØ 1) b ChØ 2) c ChØ 3) d ChØ II/ Phần tự luận: Câu1: Cho biểu thøc: A = 2x x4 x c) Rót gä A d) Tìm giá trị lớn A Câu2: Cho a, b, c tho¶ m·n a > c , b > c > Chøng minh r»ng: c(a c) c(b c) ab C©u3: Cho nưa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD Gọi H, K theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD d) Chứng minh r»ng: CH = DK e) Chøng minh r»ng: SAHKB = SACB + SADB f) TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt cđa tø gi¸c AHKB, biÕt AB = 30cm, CD = 18cm 6http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN de I Trắc nghiệm ( Mỗi ý cho 0,4 điểm) Câu Đáp án a c d c a b d II Tự luận Câu 1: ( điểm) a Ta có: A= 4 ( 1) 1 1 2 ( 0,25 điểm); ( 0,25 điểm); c 4 A= 2 d ( 1) 2 =0 b B2 = x - x x x ( x x 4)( x x 4) 10 C ( 0,25 điểm) ( 0,25 điểm) ( 0,5điểm) B2 = x + x + x x (0,25 điểm) B = 2( x 2) ( 0,25 điểm) Câu 2: ( 1,5) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 2a3 - 12b ( a-b) + ( 0,25 điểm) - Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: a2 4b( a- b) (2) ( a - 2b) 0; (đúng) (2) (0.25đ) từ (2) 3a 12b(a-b) (3) (0.25đ) Muốn chứng minh (1) ta chứng minh 2a3 - 3a2 + (4) (0.25đ) 2 2a – 2a – a + 2a2(a - 1) – (a - 1)(a + 1) (a - 1)(2a2 – a - 1) (a - 1)(a2 – a + a2 - 1) a 1 a (a 1) (a 1)(a 1) a 1(2a 1) a 1 (a - 1)2 (2a + 1) (vì a > 0) (4) (0.25đ) 12b (a-b) theo (3) Vì 2a – 12b (a-b) + 2a3 – 3a2 + (theo (4)) (0.25đ) Câu 3: (2,5đ) Vẽ hình (0.25đ) a) (1đ) + Vì AHD = AKD (Cạnh huyền gúc nhọn nhau) (0.25đ) + Suy Dˆ Dˆ (cặp góc tương ứng) (0.25đ) ˆ + D1 BAˆ D (so le trong) (0.25đ) + Suy Dˆ BAˆ D ABD cân B (0.25đ) b) (1.25đ) + Gọi cạnh AB y BD = y (theo (1)) (0.25đ) 2 + Ta có: AB = y = BH.BC = 25 (y-6) (vì HD = DK) (0.25đ) Hay: y = 25y – 150 (0.25đ) y = 25y + 150 = (y – 10) (y – 15) = (0.25đ) AB = 10cm 15cm (0.25đ) 3a2 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com Đáp án toán (de 2) I Trắc nghiệm (4đ) Câu §¸p ¸n d b b d c a II Tù luận (6đ) Câu 1: (1,5đ) ĐKXĐ: x2 4x x(x-4) x - x 4x x x 4x x hc x x hc x b c > 0.áp dụng bất đẳng thức Cosi ta cã: ca c c a c ca ab bc (1) ab 2b a ab cb c c b c cb ab ac (2) ab 2a b ab Céng vÕ theo vÕ (1) vµ (2) Ta cã: ca c cb c ab (®pcm) ca c + ab cb c ab Câu3: (3đ) a.(0,75đ)Gọi I trung điểm cđa CD => IC = ID (1) =>OI vu«ng gãc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD) Mà O trung điểm AB nên I trung điểm HK hay IH = IK (2) Tõ (1) vµ (2) => CH = DK b (1,5đ) Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt AH BK E F Ta cã: HIE KIF g c g => SAHKB = SAEFB Kẻ II, CC, DD vuông góc với AB Mà SAEFB = AB II (vì AB = EF) nªn SAHKB = AB.II’ (3) SABC+ SADB = CC '.AB DD'.AB CC ' DD' AB AB.II ' (4) 2 Tõ (3) vµ (4) Ta cã: SAHKB= SABC + SADB c.(0,75đ) Trong tam giác vuông ICO co: OI2 = OC OI 15 12(cm) SAHKB = AB II’ AB IO = 30 12 = 360(cm2) (v× IO II’ ) VËy SAHKB lín nhÊt b»ng 360cm2 I K D E C F H C’ I’ O D’ 10 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com B Dap an de I/ Phần trắc nghiệm:(4đ) Câu Đáp số a b c d a b II/ PhÇn tù luËn ( điểm) Câu1: (1,5đ) a (1đ) A = c (0,5đ) A = A= x2 x 3x x x2 x x2 2 c x 2 b x DÊu “ =” x¶y x = Vậy giá trị lớn cđa x = d C©u2: (1,5đ) Với a>c>0 b>c>0 (gt) a c > b c > 0.áp dụng bất ®¼ng thøc Cosi ta cã: ca c c a c ca ab bc (1) ab 2b a ab cb c c b c cb ab ac (2) ab 2a b ab ca c Céng vÕ theo vÕ (1) vµ (2) Ta cã: + ab ca c cb c ab (đpcm) cb c ab Câu3: (3đ) a.(0,75đ) Gọi I trung điểm CD => IC = ID (1) =>OI vu«ng gãc víi CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD) Mà O trung điểm AB nên I trung điểm cđa HK hay IH = IK (2) Tõ (1) vµ (2) => CH = DK b (1,5®) Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt AH BK ë E vµ F Ta cã: HIE KIF g c g => SAHKB = SAEFB Kẻ II, CC, DD vuông góc với AB Mà SAEFB = AB II (vì AB = EF) nên SAHKB = AB.II’ (3) SABC+ SADB = CC '.AB DD'.AB CC ' DD' AB AB.II ' (4) 2 Tõ (3) vµ (4) Ta cã: SAHKB= SABC + SADB c.(0,75®) Trong tam giác vuông ICO co: OI2 = OC OI 15 12(cm) SAHKB = AB II’ AB IO = 30 12 = 360(cm2) (v× IO II’) VËy SAHKB lín nhÊt b»ng 360cm2 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 11 ... AB = BC = 3cm vµ AC AD bc ca ab http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com De 6: §Ị thi học sinh giỏi khối (vòng 1) năm học 2007 2008 Với x > giá trị biÓu thøc: x x x ... minh (1) ta chứng minh 2a3 - 3a2 + (4) (0.25đ) 2 2a – 2a – a + 2a2(a - 1) – (a - 1)( a + 1) (a - 1)( 2a2 – a - 1) (a - 1)( a2 – a + a2 - 1) a 1 a (a 1) (a 1)( a 1)? ??... AE = 2AD AF b AH AD AF http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com De §Ị thi häc sinh giái khèi (vòng 1) năm học 2007 2008 HÃy chọn phương án trả lời đúng? Câu1: Với x > giá trị