Đề thi học sinh giỏi Toán 9 vòng 2 năm học 2010 – 2011

Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC...  Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có:..[r]

Trường THCS Nghĩa Đồng Nhãm To¸n (mong bạn đọc góp ý: hongtamdo1982@gmail.com) §Ò thi häc sinh giái to¸n vßng 2.N¨m häc 2010 – 2011 Thêi gian 120 phót Câu 1: ( điểm) 1) Giải phương trình: x   2x   x   2x   2 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =  4x  4x  4x  12x  Câu 2: ( điểm) 15 n2  S      ( Víi n  N ; n  ) 16 n a) Chøng minh r»ng S < n -1 b) Chứng minh rằng: với số tự nhiên n  thì S không thể là số nguyên Câu 3: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH 10cm, đường cao BK 12cm Tính độ dài các cạnh tam giác ABC Câu 4: ( 4,0 điểm) Cho tam gi¸c gi¸c nhän ABC KÎ c¸c ®­êng cao AD, BK Gäi H lµ trùc t©m, G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC a) Chøng minh r»ng: tgB.tgC = AD HD b) Chøng tá r»ng: HG // BC  tgB.tgC = Ngµy 26 th¸ng 10 n¨m 2010 GV NguyÔn Hång T©m Lop8.net §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm Bài Nội dung Điểm Câu 1) (4 điểm) (8đ)  Điều kiện: x  0,5  Khi đó, phương trình đã cho tương tương với phương trình: ( 2x   3)2  ( 2x   1)2   2x    2x    1,0 0,5   2x   2x   05  Do đó:  2x    x  0,5  Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: 0,5 x3  Vậy tập nghiệm phương trình là x:  x  2) (4 điểm)  Ta có: P =  2x   2x  Mà:  2x   2x   2x   2x  Nên P   Vậy: P đạt giá trị nhỏ (1+ 2x)(3-2x)    x 2 Câu a) (2đ) (4đ) 22  32  42  n2      S= 22 n 1 1 S = (1  )  (1  )  (1  )   (1  ) n 1 1 S = n – – (     ) < n – n Vậy: S < n – (1) b(2đ)  Ta chứng minh: S > n – Thật vậy: Lop8.net 0,5 1,5 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 1 1         < 1.2 2.3 3.4 (n  1).n n 1 1 1  ) < (1  )  (  )  (  )   ( 2 3 (n  1) n <1n 1 Do đó: S > n – – (1 - ) = n – + > n -2 n n Vậy: S > n – (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: n – < S < n – với số nguyên dương n  Mà: n – và n – là hai số nguyên liên tiếp Nên: S không là số nguyên Câu  Đặt AC = AB = x, BC = y (4,0đ) Ta có: tam giác AHC đồng dạng với tam giác BKC ( vì có góc nhọn C chung) nên: AH BK  AC BC Hay AH.BC = BK.AC Vậy: 5y = 6x (1)  Mặt khác: tam giác AHC vuông H ta có: AC2  AH  HC2 y Hay x  10    (2) 2 25  Từ (1) và (2) ta suy ra: x = , y = 15 25 Vậy: AB = AC = cm, BC = 15cm 2 Vẽ hình đúng 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 A 0,5 K H B Lop8.net C Câu (4đ) 1(2đ) Xét  ACD có tg C =  tgB.tg C = 0,25 AD BC AD DC Xét  ABD có : tgB = 0,25 AD (1) BD.CD Ta có  BDH :  ADC (gg) => 0,25 0,5 BD DH  AD DC 0,25  BD.CD =DH.AD (2) Từ (1) và (2) => tgB.tgC = AD HD 0,5 b (2đ) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AM 3 GM Do đó, xét  ADM có: AM AD  HG // BC  HG // MD  GM HD A  tgB.tgC = K H C D M Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa Ngày 26 tháng 10 năm 2010 Gv: Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net 0,5 0,5 0,5 G B 0,5