de thi + dap an HSG toan 9 vong 2 truong

Đề thi học sinh giỏi toán vòng 2.Năm học 2017 – 2018 Thêi gian 120 Câu 1: ( điểm) 1) Giải phương trình: a) x3 – x2 – x = b) x + + 2x − + x − − 2x − = 2 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1+ 4x + 4x2 + 4x2 − 12x + Câu 2: ( điểm) 15 n2 − ( Víi n ∈ N ; n ≥ ) S = + + + + 16 n a) Chøng minh r»ng S < n -1 b) Chứng minh rằng: với số tự nhiên n ≥ S khơng thể số ngun Câu 3: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH 10cm, đường cao BK 12cm Tính độ dài cạnh tam giác ABC Câu 4: ( 4,0 điểm) Cho tam gi¸c gi¸c nhän ABC Kẻ đờng cao AD, BK Gọi H trực tâm, G trọng tâm tam giác ABC a) Chøng minh r»ng: tgB.tgC = AD HD b) Chøng tá r»ng: HG // BC ⇔ tgB.tgC = Ngµy 26 tháng 10 năm 2017 GV Đáp án biểu ®iÓm Bài Câu (8đ) Nội dung Điểm 1) (4 điểm) a) x3 – x2 – x = ⇔ 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1⇔ 4x3 = ( x + 1) ⇔ x = x + 1⇔ x = 4−1 VậyS 0,5 =   3   − 1 0,5  Khi đó, phương trình cho tương tương với phương b)  Điều kiện: x ≥ trình: 0,5 ( 2x − + 3)2 + ( 2x − − 1)2 = ⇔ 2x − + 3+ 2x − − = ⇔ 1− 2x − = 2x − − 1,0 0,5 0,5  Do đó: 1− 2x − ≥ ⇔ x ≤ 0,5 ≤ x≤  Vậy tập nghiệm phương trình x: ≤ x ≤ 2) (4 điểm)  Ta có: P = 1+ 2x + 3− 2x 1,5  Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có:  Mà: 1+ 2x + 3− 2x ≥ 1+ 2x + 3− 2x = Nên P ≥  Vậy: P đạt giá trị nhỏ (1+ 2x)(3-2x) ≥ ⇔ − ≤ x≤ 2 Câu (4đ) a) (2đ) 22 − 32 − 42 − n2 − S= + + + + 22 32 42 n2 1 1 S = (1− ) + (1− ) + (1− ) + + (1− ) n 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 + + + + ) < n – 2 n Vậy: S < n – (1) b(2đ)  Ta chứng minh: S > n – Thật vậy: 1 1 1 1 + + + + + + + + < (n − 1).n 22 32 42 n2 1.2 2.3 3.4 1 1 1 − ) < (1− ) + ( − ) + ( − ) + + ( 2 3 (n − 1) n n – – (1 - ) = n – + > n -2 n n Vậy: S > n – (2) Từ (1) (2) ta suy ra: n – < S < n – với số nguyên dương n ≥ Mà: n – n – hai số nguyên dương liên tiếp Nên: S không số nguyên S=n–1–( Câu (4,0đ)  Đặt AC = AB = x, BC = y Ta có: tam giác AHC đồng dạng với tam giác BKC ( có góc nhọn C chung) nên: AH BK = AC BC Hay AH.BC = BK.AC Vậy: 5y = 6x (1)  Mặt khác: tam giác AHC vng H ta có: AC2 = AH2 + HC2  y Hay x = 10 +  ÷ (2)  2 25  Từ (1) (2) ta suy ra: x = , y = 15 25 Vậy: AB = AC = cm, BC = 15cm 2 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vẽ hình 0,5 A K Câu (4đ) 1(2đ) Xét ∆ ABD có : tgB = B Xét ∆ ACD có tg C = AD BC AD DC C H 0,25 AD (1) BD.CD  tgB.tg C = 0,25 0,5 BD DH = Ta có ∆ BDH : ∆ ADC (gg) => AD DC 0,25  BD.CD =DH.AD (2) Từ (1) (2) => tgB.tgC = 0,25 AD HD 0,5 b (2đ) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên AM =3 GM Do đó, xét ∆ ADM có: A AM AD = GM HD ⇔ tgB.tgC = HG // BC ⇔ HG // MD ⇔ 0,5 0,5 0,5 K H 0,5 G C B D M Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Ngày 26 tháng 10 năm 2017 ... ban đầu ta có:  Mà: 1+ 2x + 3− 2x ≥ 1+ 2x + 3− 2x = Nên P ≥  Vậy: P đạt giá trị nhỏ ( 1+ 2x)(3-2x) ≥ ⇔ − ≤ x≤ 2 Câu (4đ) a) (2 ) 22 − 32 − 42 − n2 − S= + + + + 22 32 42 n2 1 1 S = (1− ) +. .. (1− ) + (1− ) + + (1− ) n 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 + + + + ) < n – 2 n Vậy: S < n – (1) b (2 )  Ta chứng minh: S > n – Thật vậy: 1 1 1 1 + + + + + + + + < (n − 1).n 22 32 42 n2 1 .2 2.3 3.4... 2x − + 3 )2 + ( 2x − − 1 )2 = ⇔ 2x − + 3+ 2x − − = ⇔ 1− 2x − = 2x − − 1,0 0,5 0,5  Do đó: 1− 2x − ≥ ⇔ x ≤ 0,5 ≤ x≤  Vậy tập nghiệm phương trình x: ≤ x ≤ 2) (4 điểm)  Ta có: P = 1+ 2x + 3− 2x 1,5