Hoc sinh gioi lop 9 vong 1 nam 2017

Trung tuyến AM và BN vuông góc nhau tại G, biết AB = a.[r]

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút Bài (4 điểm):

a) Tìm số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích hai ba số ta 242

b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – xy + y2 = 3.

Bài (4 điểm): Cho biểu thức V =

3 2 2

1 :

1 2 3 5 6

x x x x

x x x x x

      

  

   

        

   

a) Tìm điều kiện x để V xác định b) Rút gọn V

c) Tìm x  Z để V có giá trị nguyên. Bài (4 điểm):

Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tính: a2016 + b2016

Bài (4 điểm): Cho ∆ABC vuông A Trung tuyến AM BN vuông góc G, biết AB = a Tính AC BC ?

Bài (4 điểm): Gọi I điểm nằm ∆ABC, các đường thẳng AI, BI, CI cắt BC, CA, AB M ,N, P

Chứng minh rằng:

AI AN AP

= +

IM NC PB

Bài (1 điểm): Tìm dư phép chia đa thức

x99 + x55 + x11 + x + cho x2 - 1

Hết Lưu ý : Cán coi thi khơng giải thích thêm.

Họ tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….……… Số BD: ………

HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VỊNG 1 MƠN TỐN (2016-2017)

Bài (4 điểm)mỗi câu điểm:

a) Gọi: x - 1, x, x + số tự nhiên liên tiếp

Ta có: x(x - 1) + x(x + 1) + (x - 1)(x + 1) = 242 0,2đ Rút gọn x

2 = 81 0,5đ

Do x số tự nhiên nên x = 0,2đ Ba số tự nhiên phải tìm 8,9,10 0,1đ b) Ta có x2 – xy + y2 =  (x - 2

y

)2 = - 4 3y2

Ta thấy (x - y

)2  - 4 3y2

  -2  y  (x, y nguyên)

 y   

2; 1;

  thay vào phương trình tìm x thử lại, ta các nghiệm

nguyên phương trình là: (x, y)    1, , 1, ; 2, ; 2,1 ; 1,1 ; 1, 1            

Bài (4 điểm):

a) HS giải tìm đúng ĐKXĐ: x0; x4 x9. 1 đ

b) HS rút gọn đúng V =

2 1 x x   1,5 đ

c) Với x0; x4 x9 V =

3 1 1 x   0,5 đ

+ Để V có giá trị nguyên

3 1

x có giá trị nguyên Để

3 1

x có giá trị

nguyên với x  Z x phải số phương khác 9, x 1

ước dương

0,5 đ

Suy x 1 = hoặc x 1 = Suy x = 0. 0,5 đ

Bài (4 điểm):

Ta có: (a2001 + b2001).(a + b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002

Vì: a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002

=> (a+ b) – ab = => (a – 1).(b – 1) = => a = hoặc b =

Với a = => b2000 = b2001 => b = hoặc b = (loại)

Với b = => a2000 = a2001 => a = hoặc a = (loại)

Bài (4 điểm):

∆ABN vuông A, AG  BN

AB2 = BG.BN

a2 =

3BN.BN =

2 3BN2

BN2 = 2a2

AN2 +AB2 = BN2

AN2 = BN2 - AB2 =

2a2 - a2 = 2a2

  =

a

2 C = 2  = 2a

2 = a 2

Khi đó BC2 = AB2 + AC2 = a2 + (a 2)2 = 3a2

C = a

Bài (4 điểm):

1

Qua A kẻ d // BC cắt CP BN E F, ta có: 0.5

AI AF AE

= =

IM BM MC (hệ đ/lýTa-let)

0.75

=

AF+AE

BM+MC (t/c tỷ lệ thức)

0.75

=

AF+AE BC

0.5

=

AF AE + BC BC

0.75

=

AN AP +

NC PB (đ/lýTa-let).

0.75

ta có x99 + x55 + x11 + x + = ( x-1 )( x+1 ).Q

(x) + (ax + b) (*)

trong đó ax + b dư phép chia Với x = thì(*) => 11 = a + b

Với x = -1 thì(*) => = -a + b => a = 4, b =

Vậy dư phép chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 4x+7