a) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao và.. Cho hình chóp SABC có và tam giác ABC[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2012-2013
MƠN TỐN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi:4/4/2013
2
2 2 ,
6 2 3
x k x k k
Câu a) Giải phương trình: b)Tính giới hạn sau
7
2 , ,
6
x k x k k
Câu a) Cho khai triển:
3 01
2
3 2013 013
0
2 1 2.3 3.4 2012.2013 lim
2.3 1 3.4 2012.2013 2012.2013
lim lim
x
x x
x x x x
L
x
x x x x
x x
Chứng minh đẳng thức sau:
*
0
1
lim 0;
n x
ax a
a n
x n
b) Tính tổng:
2011.2012
1 2012 2011.1006 2023066 2
L
1
x
11
1
x
Câu a) Cho tam giác ABC có độ dài đường cao Tính diện tích tam giác ABC.
x x a ax ax a x11 1 111 110 22 110110
b) Cho tam giác ABC có góc thỏa mãn Tính góc tam giác biểu thức sau đạt giá trị nhỏ
11
11 11
11
(2) k k k
k
VT C x
x11 1
11 11
C
11
11 110 11 110
(2) k k1k
k
VP C x a ax ax a x
Câu Cho hình chóp SABC có tam giác ABC
vng B Biết góc hai mặt phẳng (SAB), (SAC) với Tính độ dài SC theo a
11
x Câu Cho dãy số thỏa mãn:
0 10 11 110 111 11 113 11 10 11 11
Ca Ca Ca Ca Ca Ca Tìm
HẾT - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay,
- Giám thị khơng giải thích thêm
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 11
Câu Đáp án Điểm
1a)
3,0 điểm
1
1! ! 1
.
1 ! ! 1 1! 1 ! 1
k k
n n n
C n C
k k k n k n k n k n
Điều kiện: (*)
0,5
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:
2
1
1 2
k k k k
n n
kC kC k k n n
2 2
1 2 n n
n n n n
n n S C C C nC
éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ #################
###################ỵ########
0,5
éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ
#####################################ỵ########
0,5
7
2 , ,
6
x k x k k
TH1:
0,5
éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ #################
###################ỵ######## TH2:
éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ
#####################################ỵ########
0,5
i chiu iu kin ta thấy phương trình cho có họ nghiệm
7
2 , ,
6
x k x k k
(3)1b) 3,0 điểm
3 2013
2
3 2013 2013
0
2 1 2.3 3.4 2012.2013 lim
2.3 1 3.4 2012.2013 2012.2013 1
lim lim
x
x x
x x x x L
x
x x x x
x x 1,0 * 1 lim 0; n x ax a a n x n
Chứng minh công thức: (1)
1,0
Áp dụng (1) ta thu
2011.2012
1 2012 2011.1006 2023066
2
L
1,0 2a) 2,5 điểm
x x 111Xét từ khai triển nhân hai vế với ta có:
11 11 11 110
0 110
1
x x a a x a x a x
(2) 1,0 11 11 11 11
(2) k k k
k
VT C x
x11C 111 11 Hệ số vế trái
0,5
11
11 110
11 110
0
(2) k k k
k
VP C x a a x a x a x
x11Hệ số vế phải
0 10 11
11 11 11 11 11 10 11 11
C a C a C a C a C a C a
Từ suy đẳng thức cần chứng minh
1,0 2b) 2,0 điểm 1 ! !
1 ! ! 1 ! 1 !
k k
n n n
C n C
k k k n k n k n k n
Ta có (3)
0,5 2 1
1 2
k k k k
n n
kC kC k k n n
Áp dụng lần công thức (3) ta được:
0,5
Cho k chạy từ đến n cộng vế đẳng thức ta có
1 2 2 1 22
n n
n n n n
n n S C C C nC
2 3 4
1 1 1 1
2
1 1
2
n n
n n n n n n n
n n
n n n n
C C C C C C nC C C C C
0,5
0 1
1 1 1 1 1
1
1 1
n n
n n n n n n n n n
n
C C C C C C C C C n n
1 2 n S
n n
Vậy
0,5
3a) Xét hai trường hợp:
+) B C khơng tù Khi
2
cos ' sin ,cos
5 5
'
cos '
(4)2,5 điểm
2 ' 5
sin sin cos sin cos '
sin 2
5
BB
A B C C B AB S AB CC A
1,0
+) B C tù
' '
BB CC B C
2
sin ,cos
5
C C
Do nên C tù
4
sin , cos
5
B B sin , 25 5
A AB
25
2
S
Còn (giống trường hợp 1) Suy
0,5
3b)
2,5 điểm
1 cos
3 2
A B C C C
Ta có
0,5
cos 2Acos 2B2cos A B cos A B 2cocCcos A B 2cosC
(3)
cosC 0cosA B 1( Do )
A B C
Dấu (3) xảy
0,5
2
4 2cos 2cos 1 2cos
P C C C
Từ
2
8cos C 2cos C 2cosC
0,5
2
4 2
16cos C 8cos C 1 2cosC 4 4cos C1 2cos C 44
(4)
3
C
Dấu (4) xảy
3
A B C
Vậy P đạt giá trị nhỏ
0,5 0,5
4)
2,5 điểm
Gọi H, K hình chiếu C lên SA, SB. Ta chứng minh
CK⊥(SAB), SA⊥(CHK)
ΔCHK SA⊥ KH Suy vuông
K
α =∠CHK Do
1,0
SC=x>0 Đặt Trong tam giác vuông SAC ta có
1 CH2=
1 CA2+
1
CS2⇒CH
= 3 a
2
x2
3 a2
+x2
1,0 C A
B S
H K x
(5)CK2= 2 a
2x2
2 a2+x2 Tương tự, tam giác vng SBC ta có
2
13 13
sin
19 19
CK CH
2
2
2(3 ) 13
3(2 ) 19
a x a x
SC6a ⇔ x=6 a Ta có , x > Vậy
0,5 5)
2,0 điểm
*
0,
n
a n
2 2
1
2
1
n n
n n n a a
Dễ thấy Từ giả thiết ta có
0.5
*
n
1
4
n n y
a
1
y Với , đặt ta có và
2
2 2 2
1 1
1
2
4
n n n n n n
n n y n y n n y n y y y
n
1,0
2 2
1 2
1
1 1
n
n n
y y
n n n n
2
2
4
16
n
n n a
n n
Do
lima n 4Vậy
0,5
Lưu ý: Mọi cách giải khác mà cho điểm tương ứng