- Giám thị không giải thích gì thêm... 0.5 Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)
Câu 1
a) Giải bất phương trình
x − x+ ≥ −x x−
b) Giải hệ phương trình:
2
x xy y y
Câu 2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm
2 2
x m y x my
x y xy
− =
Câu 3.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm (2;4), I và các đường thẳng
1: 2 2 0,
d x y− − = d2: 2x y+ − =2 0 Viết phương trình đường tròn ( )C có tâm I sao cho ( )C cắt d tại ,1 A B và cắt d tại ,2 C D thỏa mãn AB2+CD2+ =16 5AB CD
Câu4
1 Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và 3 5 2 5
2
CM
AL = − Tính b
c và cos A.
2 Cho a,b ∈¡ thỏa mãn: (2 )(1 ) 9
2
a b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4
P= +a + +b
Câu 5
Cho f x( ) =x2− +ax b với a,b∈¢ thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên , ,m n p
đôi một phân biệt và 1≤m n p, , ≤9 sao cho: f m( ) = f n( ) = f p( ) =7
Tìm tất cả các bộ số (a;b)
_ Hết _
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ………
Trang 2NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
3 điểm
Điều kiện: 1
2
x≥ Đặt t= 2x−1 (t≥0) thì 2
2x t= +1 Khi đó ta có
1.0
(x t) (2t 1) 0 (x 3 1)(t x t 1) 0
⇔ − ≥x 1 t (do 3 1 0; 1; 0
2
x
≥
Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S= +[2 2;+∞)
1.0
3 điểm
2
(1)
x xy y y
5 4
Th2: y≠0 ta có:
5
(1) x x y y (t y t)( t y t y ty y ) 0
⇔ (t y− ) ( t2+y2 2) + +(t y) (2 t2− +yt y2) 2+ =0
⇔ t=y hay y2 =x
0,5
Thay vào (2): 4x+ +5 x+ =8 6 2
2 4x 37x 40 23 5x
2
23
1 5
x
x
≤
1
y
Đối chiếu đk ta được nghiêm hệ là: ( ; )x y ={(1;1);( 1;1)− } 0.5
Câu2 Hệ đã cho tương đương với:
2 2
0 (1)
0 (2)
my y m
x yx y
Phương trình (2) (ẩn x ) có nghiệm là 2 4 0 0
4
x
y
y y
y
≥
Th1: m=0, ta có y=0, x=0 Suy ra m=0 thỏa mãn 0,5
Trang 3Th2: m≠0.Phương trình (1) (ẩn y ) không có nghiệm thuộc khoảng (−∞ − ∪ +∞; 4] [0; ) (*)
là (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc ( 4;0),− điều kiện là
2 2 1 2
m m y y
− < <
− < <
⇔
2 2 2 2
2
2
m
m m m m m
⇔
2 2
1
0 2
m
m
∈ −∞ − ∪ +∞
− ≤ <
(B)
(với y y là 2 nghiệm của phương trình (1)).1, 2
0.5
(A)
2
m
m
− ≤ < −
⇒(B)⇔ ( ; 4) ( ;1 )
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) (ẩn y ) có ít nhất một
nghiệm thuộc khoảng (−∞ − ∪ +∞; 4] [0; ) hay (*) không xảy ra, điều kiện là
Câu3
3 điểm
Gọi hình chiếu của I trên d d lần lượt là , 1, 2 E F khi đó
Gọi R là bán kính của đường tròn ( ) C cần tìm ( 6
5
R> )
AB= AE= R − CD= CF = R −
1
8R 16 4 (5R 4)(5R 36) 2R 4 (5R 4)(5R 36)
(2R 4) (5R 4)(5R 36)
5
R> )⇔ =R 2 2 ( do 6
5
Vậy phương trình đường tròn ( )C cần tìm là 2 2
( ) : (C x−2) + −(y 4) =8 0.5
4.a
3 điểm
Ta có: AL b AB c AC
b c b c
0.5
CA CB AB AC
CMuuuur= uuur uuur+ = uuur− uuur
0.25
Theo giả thiết: AL CM⊥ ⇔uuur uuuurAL CM. =0 0.25
bAB c AC AB AC bc bc A cb A cb
uuur uuur uuur uuur
0.5
Khi đó:
2
b a c a b
CM = + − = −
0.25
Trang 42 1( ) (2 1 2 2 ) 2( 2 2)
AL = uuur uuurAB AC+ = AB +AC + uuur uuurAB AC = b −a 0.5
−
−
2 2
9
a b
b a
−
−
2
a b
0.5
2
cos
A
4.b
3 điểm
C/M được : a2+b2 + c2+d2 ≥ (a c+ )2+ +(b d)2 ấu bằng xẩy ra khi: a b
c = d 0.5
Áp dụng (1) ta có :
Mặt khác: (1 2 )(1 ) 9
2
a b
2
Mà:
2
1 2
2 4
2 2
a b
a b
ab
+ ≥
+
Từ (1) và (3) suy ra: p≥2 17 Dấu “=” xẩy ra khi: a=1 và 1
2
b=
Vậy: MinP=2 17 Đạt được khi a=1 và 1
2
b=
0.5
2 điểm
3 số f(m),f(n),f(p) hoặc cùng dương, âm hoặc có 2 số cùng dấu nên:
Th1: f(m),f(n),f(p) cùng bằng 7 hoặc -7⇒ loại vì phương trình f(x)-7=0 có 3 nghiệm
Th2: ( )f m = f n( ) 7= và ( )f p = −7
Không mất tính tổng quát,giả sử m>n và m p− ≥ −n p ta có: m,n là nghiệm pt: 2
7 0
x − + − =ax b và p là nghiệm pt: 2
7 0
m n a
n p n p a n p p m
m p m p a
+ =
2
9( ) 7
2
9( ) 7
n p
n m l
p m
n p
p m
− = −
0,5
Th3: ( )f m = f n( )= −7và ( ) 7f p = ,khiđó hoàn toàn tương tự ta có:
(p n m p− )( − )= −14 ⇒ 7
2
m p
p n
− = −
− =
7 2
m p
p n
− =
− = −
0,5
Do m,n,p∈[ ]1;9 nên tìm được 4 bộ là: (a;b)= {(11;17),(13;29),(7; 1),(9;7)− } . 0.5
Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng.