TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỐN VỊNG II NĂM HỌC 2012 – 2013 (Thời gian làm 150 phút) Bài 1:(5 điểm) a 2a a a) Tính giá trị biểu thức Q = a5 a 25 16 Biết ( x z) ( z y )(2 x y z ) x y xz 1 1 b) Cho số nguyên a, b, c thoả mãn: a b c abc 2 Chứng minh rằng: a b c số phương Bài 2: (4 điểm) x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x( x + x + 1) = 4y( y + 1) Bài 3: (4 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương cho a c, b c Chứng minh a) Giải phương trình: c a c c b c ab b) Giả sử f(x) đa thức bậc với hệ số nguyên Chứng minh r»ng: NÕu f(x) víi x th× tõng hƯ sè cđa f(x) cịng Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM ( AB BC CA) c) Tam giác ABC biểu thức ( AA ') ( BB ') (CC ') đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông MNPQ, lấy điểm E thuộc cạnh MQ, điểm F thuộc cạnh NP cho: ME = PF Các đường thẳng MF NE cắt đường thẳng PQ C B Kéo dài MB NC cắt A Chứng minh tam ABC tam giác vng .Hết ( Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm.) Họ tên thi sinh Số báo danh ThuVienDeThi.com TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG TOÁN NĂM HỌC 2012 - 2013 Bài a 5,0đ 3,0đ b 2,0đ Nội dung a 5a 5a Ta có x y x z z y 2x y z 25 (5 a )(5 a ) Suy = = ( x z ) ( z y )(2 x y z ) 16 25 a = = ( z y )(2 x y z ) ( z y )(2 x y z ) Suy 25 – a2 = 16 a2 = a= 3 a 2a a a (a 2) (a 2) Mặt khác Q = = = a5 a5 (a 2)(a 1) = = a – 2, với a - a5 Với a = P = với a = - P = - Ta có: Điểm 0,5 0,75 0,5 0,75 0,5 1 1 ab bc ca a b c abc a ab bc ca a a(a b) c(a b) (a b)(a c) 0,5 b ab bc ca b b(a b) c(a b) (a b)(b c) c2 ab bc ca c2 b(a c) c(a c) (a c)(b c) 0,5 (1 a )(1 b )(1 c2 ) (a b)2 (b c)2 (a c)2 (a b)(b c)(c a) 0,5 Vì a, b, c số nguyên (a b)(b c)(c a) Z (1 a )(1 b )(1 c2 ) số phương a 4,0đ 2,0đ x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 40 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 x 258 17 19 21 23 x 258 Vậy phương trình có nghiệm x = 258 0,5 Ta có: ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 b 2,0đ + Phương trình biến đổi thành: (x + 1)(x + 1) = (2y + 1) 0,5 + Ta chứng minh (x + 1) (x + 1) nguyên tố Vì d = UCLN (x+1, x + 1) d phải số lẻ (vì 2y+1 lẻ) x2 x d x 1 d x 1 d x 1 d d mà d lẻ nên d = x d x 1 d x 1 d 0,5 + Nên muốn (x + 1)(x + 1) số phương Thì (x+1) (x + 1) phải số phương x2 k Đặt: x t k k 1 (k + x)(k – x) = x x 0,5 + Với x = (2y + 1) = y = y = - 1.(Thỏa mãn pt) Vậy nghiệm phương trình là: (x; y) = (0; 0), (0; 1) a 4,0đ 2,0đ 0,5 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với c ac c bc 1 b a a b x y Áp dụng bđt Cauchy xy Với x 0, y Đẳng thức xảy x = y ta có 1c a c 1 c ac c 1 b a 2b a 2 b 1c bc 1 c bc c 1 a b 2a b 2 a c a c b 0,5 0,5 0,5 Cộng vế với vế hai bđt ta bđt cần chứng minh: Đẳng thức xảy b c ac c bc ab c b a a b ab Gi¶ sư f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Do f(0) = e nªn e 2,0đ 0,5 0,5 f (1) a b c d e a c f (1) a b c d e b d Mặt khác f (2) 16a 8b 4c 2d e 4a c f (1) 16a 8b 4c 2d e 4b d 0,75 a c 3a a b d 3b b vµ a c c c 4b d d d 0,5 Vậy hệ số f(x) chia hÕt cho 0,25 => ThuVienDeThi.com A 5,0đ C’ H N x B’ M I A’ C B D a 1,5đ Ta có: S HBC S ABC HA'.BC HA' ; AA' AA'.BC S HAB HC' S HAC HB' Tương tự: ; S ABC CC' S ABC BB' HA' HB' HC' S HBC S HAB S HAC 1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC b 1,5đ 0,5 0,5 Áp dụng tính chất phân giác vào ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI 0,5 BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN CM BN IC AM 0,5 c 2,0đ 0,5 0,5 Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx - Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD 0,5 - BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 => AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 => 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 0,75 - Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 ( AB BC CA) 4 ( AA ') ( BB ') (CC ') Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC = BC ABC ThuVienDeThi.com 0,25 ( AB BC CA) ABC Vậy GTNN ( AA ') ( BB ') (CC ') 0,5 2,0đ F E 2,0đ Áp dụng định lí Talet ta có : ME MN EQ Vì ME = PF BQ (1); PF PC (2) FN MN 0,5 ME PF (3) EQ FN Từ (1); (2); (3) MN PC MQ PC BQ MN QB NP Suy hai tam giác vuông BMQ NCP đồng dạng với 0,5 0,25 => MBQ + NCP = CNP + NCP = 900 Suy : ABC vuông A Chú ý: + Hướng dẫn chấm có 04 trang, chấm theo thang điểm 20 + Điểm toàn tổng điểm thành phần khơng làm trịn + Bài số phải có hình vẽ chấm + Mọi cách làm khác cho điểm tối đa tương ứng với nội dung ThuVienDeThi.com 0,75 ... 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 40 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 x 258 17 19. ..TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG TOÁN NĂM HỌC 2012 - 2013 Bài a 5,0đ 3,0đ b 2,0đ Nội dung a 5a 5a Ta có x y x z z y 2x... AB2 + AD2 (BC+CD)2 => AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 => 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 0,75 - Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 ( AB