Đề thi học sinh giỏi lớp 10 năm 2011 môn thi: toán thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề40362

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM 2011 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề A Phần chung: ( 16,0 điểm) Bài I ( 5,0 điểm) Cho phương trình:  m   x  2(m  2) x  m   (1) Tìm m để phương trình có nghiệm Khi (1) có nghiệm x1 , x2 Tìm m ngun dương nhỏ cho tích hai nghiệm số nguyên Bài II (6,0 điểm) Giải phương trình: x  x   x  (1)     x y  y   Giải hệ phương trình sau :  y2   x   x  Bài III(2,0 điểm) Cho số dương a, b, c : ab  bc  ca  Chứng minh rằng: 1 1    2  a (b  c)  b (c  a )  c (a  b) abc Bài IV (3,0điểm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi A1, B1, C1 hình chiếu vng góc G xuống cạnh     BC, AC, AB Chứng minh rằng: a GA1  b GB1  c GC1  (Với a=BC, b=AC, c=AB) B Phần riêng: ( 4,0 điểm) Bài Va (Dành cho ban khoa hc t niờn) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ ®é Oxy cho tam gi¸c ABC cã diƯn tÝch b»ng , A(2; - 3), B(3; - 2) Träng tâm G ca tam giác ABC thuộc đường thẳng (d) có phương trình: 3x- y- = Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bi Vb (Dành cho ban khoa học bản) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích đường thẳng AB có phương trình x-y=0 Biết điểm I(2;1) trung điểm đoạn thẳng BC, tìm toạ độ trung điểm K đoạn thẳng AC Hết Họ tên thí sinh:………………………… ; Số báo danh:………………………………… DeThiMau.vn Bài ý I(5,0 đ) 1.(2,0 đ) 2.(3,0 đ) ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2011 MƠN:TỐN Nội dung Tìm m để phương trình có nghiệm TH1: m  : (1)  4 x    x  , (Thỏa mãn) TH2: m  : PT (1) có nghiệm  ,   m  0,5 Vậy với m  0, m  phương trình (1) có nghiệm 1,0 0,5 Tìm m ngun dương nhỏ cho tích hai nghiệm số nguyên PT (1) có nghiệm x1 , x2 m  , m  Theo viet: P= x1 x2  m 1  1 , m4 m4 1.(3,0đ ) 1,0 0,5  Z  m   1; m   1; m   3; m   3 m4  m  5; m  3; m  7; m  0,5 Vậy m nguyên dương nhỏ thỏa mã là: m=1 0,5 P  Z II(6,0đ ) Điểm 0,5 Giải phương trình ĐK: x  2 (1)   x  x     x     x  2  x2  x  4 x2 x2 3 20 x  2x  x  2x  x2 Đặt t  ,t 0 x  2x  2 0,5 0,5 t  2, (loai ) Phương trình trở thành 2t  3t     t   Với t  : Phương trình cho có nghiệm x   13 DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,5 0,5 2.(3,0 đ) Giải hệ phương trình: Điều kiện: x, y   x2 y  y  y   x2 y  y  y     Hệ cho tương đương với hệ:   y x  x  x   xy ( x - y )  y - x  y  x  x y  y  y    ( x - y )( x  y  xy  1)    [ x y  y  y 1 x- y 0 , ( Ia ) x y  y  y 1 x  y  xy 1 ,( Ib )  x y  y  y   x3  x  x   ( Ia)    Giải (Ia):  x  y  x  y Giải (Ib): Từ (1), (2) ta có: x  0, y>0   x 1 y Theo BĐT CÔSI: y2   x    y  x  x  y  xy   x2   y  Vậy (Ib) vô nghiệm 0,5 0,5 0,5 { x 1 y 1 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 III.(2 đ) DeThiMau.vn Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có:  ab  bc  ca  3 (abc)  abc  1 Suy ra:  a (b  c)  abc  a (b  c)  a (ab  bc  ca )  3a   (1)  a (b  c) 3a 1 1 Tương tự ta có:  (2),  (3) 2  b (c  a ) 3b  c (a  b) 3c Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta có: 1 1 1 ab  bc  ca    (   )  ฀ 2  a (b  c)  b (c  a )  c (a  b) c b c 3abc abc Dấu “=” xảy ẩ abc  1, ab  bc  ca   a  b  c  1, (a, b, c  0) 0,5 0,5 0,5 0,5 IV.(3, 0đ) (3,0đ) Va        a GA1  b GB1  a GC1   (a GA1  b GB1  a GC1 )         a GA12  b GB12  c Gc12  2a 2b GA1.GB1  2a c GA1.GC1  2b c GB1.GC1  (2) h h h Ta có: GA1  a , GB1  b , GC1  c , aha  bhb  chc  S , 3   GA1.GB1  GA1.GB1.cos(180  C )  GA1.GB1.cosC , -2ab.cos C  c  a  b   GA1.GC1  GA1.GC1.cos(1800  B)  GA1.GC1.cosB, -2ac.cos B  b  a  c   GC1.GB1  GC1.GB1.cos(1800  A)  GC1.GB1.cosA, -2cb.cos A  a  b  c S a S b S c VT(2)     9 S (c  a  b ) S (b  a  c ) S (a  c  b )    0 9 (4,0đ) 0,5 0,5 4ý 1,0 1,0  Gäi C(a; b) CH.AB (1) Ta cã: AB = S= 0,5 Phương trình AB: x - y - = => CH = d(C, AB) = Do ®ã: (1) a b5 a b5   a  b   2 DeThiMau.vn 0,5 a  b  a  b   0,5 a 5 b5 ) ; 3 3(a  5) b  Ta cã: G      3a - b = 3 a  b  a  2 TH1:  => C(-2; -10)  3a  b b 10 Toạ độ G( Chu vi tam gi¸c: 2p = AB + BC + CA = 0,5 0,5  65  89 2S  2p  65  89 a  b  a  TH2:  => C(1; -1)  3a  b  b  1 => r = 0,5 0,5 Chu vi tam gi¸c: 2p = AB + BC + CA =  => r = Vb( 4,0đ) (4,0đ) 5 0,5 Đường thẳng IK qua I song song với AB có phương trình x-y-1=0 1  Chiều cao kẻ từ C tam giác ABC là: h  2 2S  AB  2 h AB AB Ta có IK    K  đường trịn tâm I bán kính IK   2 2  (C ) :  x     y  1  Toạ độ K nghiệm hệ :  x  2   y  12    x  y   0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5  K (1;0)   K (3; 2) 0,5 Chú ý: Các cách giải khác cho điểm -Hết DeThiMau.vn ...Bài ý I(5,0 đ) 1.(2,0 đ) 2.(3,0 đ) ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2011 MƠN:TỐN Nội dung Tìm m để phương trình có nghiệm TH1: m  : (1)  4 x ... a  b   2 DeThiMau.vn 0,5 a  b  a  b   0,5 a 5 b5 ) ; 3 3(a  5) b  Ta cã: G      3a - b = 3 a  b  a  2 TH1:  => C(-2; -10)  3a  b  b 10 Toạ độ G( Chu...   x2   y  Vậy (Ib) vô nghiệm 0,5 0,5 0,5 { x 1 y 1 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 III.(2 đ) DeThiMau.vn Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có:  ab  bc  ca  3 (abc)  abc  1 Suy ra:  a