Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 647918

Tuyển tập đề thi HSG Toán TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 Tuyển tập đề thi HSG Toán ĐỀ SỐ Thời gian làm 120 phút Câu : (2 điểm) Cho biểu thức A = a + 2a − a + 2a + 2a + a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản Câu 2: (1 điểm) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc = n − cba = (n − 2)2 Câu 3: (2 điểm) a Tìm n để n2 + 2006 số phương b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số Câu 4: (2 điểm) a+n a a Cho a, b, n ∈ N* Hãy so sánh b+n b 11 10 10 − 10 + ; B = 11 So sánh A B b Cho A = 12 10 − 10 + Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên : a1, a2, ., a10 Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng đườngthẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng qui Tính số giao điểm chúng ĐÁP ÁN (a + 1)(a + a − 1) a + a − a + 2a − Câu 1: Ta có: A = = = a + 2a + 2a + (a + 1)(a + a + 1) a + a + Điều kiện a ≠ V1 ( 0,25 điểm) Rút gọn cho 0,75 điểm b.Gọi d ước chung lớn a2 + a – a2+a +1 ( 0,25 điểm) Vì a2 + a – = a(a+1) – số lẻ nên d số lẻ Mặt khác, = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] ⋮ d Nên d = tức a2 + a + a2 + a – nguyên tố ( 0, điểm) Vậy biểu thức A phân số tối giản ( 0,25 điểm) Câu 2: abc = 100a + 10 b + c = n2V1 (1) cba = 100c + 10 b + c = n – 4n + (2) (0,25 điểm) Từ (1) (2) ⇒ 99(aVc) = n – ⇒ 4n – ⋮ 99 (3) (0,25 điểm) Mặt khác: 100 [ n2V1 [ 999 ⇔ 101 [ n2 [ 1000 ⇔ 11 [n[31 ⇔ 39 [4n – [ 119 (4) ( 0, 25 điẻm) Từ (3) (4) ⇒ 4n – = 99 ⇒ n = 26 Vậy: abc = 675 ( , 25 điểm) Câu 3: (2 điểm) a) Giả sử n2 + 2006 số phương ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a∈ Z) ⇔ a2 – n2 = 2006⇔ (aVn) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm) + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm) + Nếu a,n tính chẵn lẻ (aVn) ⋮ (a+n) ⋮ nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mãn (*) (0,25 điểm) Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phương (0,25 điểm) b) n số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho Vậy n2 + 2006 hợp số ( điểm) Bài 4: Mỗi câu cho điểm ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 Tuyển tập đề thi HSG Toán =1 a Ta xét trường hợp b a ⇔ a=b TH1: b =1 TH1: a b >1 a+n b+n >1 a b a+n b + n = a b a b < (0,5 điểm) =1 (0 , ,5 điểm) ⇔ a>b ⇔ a+m > b+n a −b a+n Mà b + n có phần thừa so với b + n a −b a a−b có phần thừa so với b , b + n b < a −b a a+n b nên b + n < b (0,25 điểm) a TH3: b x=0; yV5=12 => y=17 2x+1=3=> x=1; yV5=4=>y=9 (0,25đ) (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4nV5 = 2( 2nV1)V3 (0,25đ) để 4nV5 chia hết cho2nV1 => chia hết cho2nV1 (0,25đ) =>* 2nV1=1 => n=1 *2nV1=3=>n=2 (0,25đ) n=1;2 (0,25đ) c (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15 • B chia hết cho 11=> (7+4+x+6V2V2Vy) chia hết cho11=> (13+xVy)chia hết cho 11 xVy=9 (loại) yVx=2 (0,25đ) yVx=2 x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) yVx=2 x+y=15 (loại) B=6224427 (0,25đ) Câu2: a Gọi dlà ước chung 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)V2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) d=1 nên 12n+1 30n+2 nguyên tố 12n + phân số tối giản (0,5đ) 30n + 1 1 b Ta có < = V 1 2 1 1 < = V 2 3 1 1 < = V (0,5đ) 100 99.100 99 100 Vậy 1 1 1 1 + + + < V + V + + V 2 99 100 100 2 1 1 99 + + + 32x = 34 => 2x = => x = c) 52xV3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53 52x = 56 => 2x = => x=3 Bài Vì a số tự nhiên với a ∈ Z nên từ a < ta => a = {0,1,2,3,4} Nghĩa a ={0,1,V1,2,V2,3,V3,4,V4} Biểu diễn trục số cácc số lớn V5 nhỏ V5 => (x + 1) + ( x + ) + + (x + 100) = 5750 x + + x + + x + + + x + 100 ( + + + + 100) + ( x + x 101 x 50 + = 5750 + x + x ) = 5750 100 x = 5750 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = Câu a) abc deg = 10000ab + 100 cd + eg = 9999 ab + 99 cd + ab + cd + eg ⋮ 11 b) 10 28 + ⋮ 9.8 ta có 10 28 + ⋮ (vì có số tận 008) nên 10 28 + ⋮ 9.8 10 28 + ⋮ 72 Câu Gọi số giấy lớp thu x (Kg) ( xV26) ⋮ 11 ( xV25) ⋮ 10 Do (xV15) ∈ BC(10;11) 200 x 300 => xV15 = 220 => x = 235 Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + = 20 hs Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + = 22 hs 21 Câu Số thứ bằng: : = (số thứ hai) 11 22 27 : = (số thứ hai) Số thứ ba bằng: 11 22 22 + 21 + 27 70 (số thứ hai) = (số thứ hai) Tổng số 22 22 70 21 27 Số thứ hai : 210 : = 66 ; số thứ là: 66 = 63 ; số thứ là: 66 = 81 22 22 22 Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng hai nửa mặt phẳng Xét trường hợp a) Nếu điểm A, B, CD thuộc nửa mặt phẳng a khơng cắt đoạn thẳng b) Nếu có điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD c) Nếu có điểm chẳng hạn (A B) thuộc nửa mặt phẳng hai điểm (C D) thuộc mặt 100 x + 5050 ( ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 ) Tuyển tập đề thi HSG Toán phẳng đối a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD ĐỀ SỐ Thời gian làm 120 phút Bài (3đ): a) So sánh: 222333 333222 b) Tìm chữ số x y để số 1x8 y chia hết cho 36 c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 2002 chia cho a có số dư 28 Bài (2đ): Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính S b) Chứng minh S ⋮ Bài (2đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số cho 29 dư chia cho 31 dư 28 Bài (3đ): Cho góc AOB = 1350 C điểm nằm góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC b) Gọi OD tia đối tia OC So sánh hai góc AOD BOD HƯỚNG DẪN Bài (3đ): a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111 (0,5đ) 333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ) 333 222 Suy ra: 222 > 333 b) Để số 1x8 y ⋮ 36 ( ≤ x, y ≤ , x, y ∈ N ) (1 + x + + y + 2) ⋮9 (0,5đ) ⇔  y 2⋮ y ⋮ ⇒ y = {1;3;5;7;9} (x+y+2) ⋮ => x+y = x+y = 16 => x = {6;4;2;0;9;7} (0,25đ) Vậy ta có số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,25đ) c) Ta có a > 28 => ( 2002 V 1960 ) ⋮ a => 42 ⋮ a (0,5đ) => a = 42 (0,5đ) Bài (2đ): a) Ta có 32S = 32 + 34 + + 32002 + 32004 (0,5đ) 2004 − Suy ra: 8S = 32004 V => S = (0,5đ) b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + + 31998(30 + 32 + 34 ) = = (30 + 32 + 34 )( + 36 + + 31998 ) = 91( + 36 + + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S ⋮ (0,25đ) Bài (2đ): Gọi số cần tìm là: a Ta có a = 29q + = 31p +28 (0,5đ) 29(q V p) = 2p + 23 Vì 2p + 23 lẻ nên( q V p) lẻ => q V p ≥ Vì a nhỏ hay q V p = => p = 3; => a = 121 (0,5đ) Vậy số cần tìm 121 (0,25đ) Bài (3đ): a) theo giả thiết C nằm góc AOB tia OC nằm hai tia OB OA => góc AOC + góc BOC = góc AOB => góc AOC = góc AOB V góc BOC => góc AOC = 1350 V 900 = 450 ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 (0,75đ) nên Tuyển tập đề thi HSG Tốn b) OD tia đối tia OC nên C, O, D thẳng hàng Do góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù) => góc AOD = 1800 V góc AOC = 1800 V 450 => góc AOD = 1350 góc BOD = 1800 V 900 = 900 Vậy góc AOD > góc BOD VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV ĐỀ SỐ Thời gian làm 120 phút Bài 1( điểm Tìm chữ số tận số sau: b) 931999 a) 571999 1999 1997 Cho A= 999993 V 555557 Chứng minh A chia hết cho a (0 < a < b) thêm m đơn vị (m > 0) vào tử mẫu phân số lớn Cho phân số b a hay bé ? b Cho số 155 * 710 * * 16 có 12 chữ số chứng minh thay dấu * chưc số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ số ln chia hết cho 396 chứng minh rằng: 1 1 1 1 99 100 b) − + − + + 99 − 100 < a) − + − + − < ; 16 32 64 3 16 3 3 Bài 2: (2 điểm ) Trên tia Ox xác định điểm A B cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xác định điểm M tia Ox cho OM = (a+b) ĐÁP ÁN Bài 1: Tìm chữ số tận số sau: ( điểm ) Để tìm chữ số tận số cần xét chữ số tận số : a) 571999 ta xét 71999 Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499 343 Suy chữ số tận ( 0,25 điểm ) ỵVậy số 571999 có chữ số tận : b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34)499 33 = 81499.27 Suy chữ số tận (0,25 điểm ) Cho A = 9999931999 V 5555571997 chứng minh A chia hết cho Để chứng minh A chia hết cho , ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận ( 0,25 điểm ) Vậy A có chữ số tận 0, A chia hết cho ( 0,25 điểm ) (1 điểm )Theo toán cho a < b nên am < bm ( nhân hai vế với m) ( 0,25 điểm ) ⇒ ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm ) ⇒ a(b+m) < b( a+m) a a+m ⇒ < b b+m 4.(1 điểm ) Ta nhận thấy , vị trí chữ số thay ba dấu số hàng chẵn ba chữ số ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 Tuyển tập đề thi HSG Toán đôi khác nhau, lấy từ tập hợp {1;2;3} nên tổng chúng 1+2+3=6 Mặt khác 396 = 4.9.11 4;9;11 đơi ngun tố nên ta cần chứng minh A = 155 * 710 * * 16 chia hết cho ; 11 Thật : +A ⋮ số tạo hai chữ số tận A 16 chia hết cho ( 0,25 điểm ) + A ⋮ tổng chữ số chia hết cho : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho ( 0,25 điểm ) + A ⋮ 11 hiệu số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ 0, chia hết cho 11 {1+5+7+4+1)V(5+1+6+(*+*+*)}= 18V12V6=0 ( 0,25 điểm ) Vậy A ⋮ 396 5(4 điểm ) 1 1 1 1 1 1 (0,25 điểm ) a) (2 điểm ) Đặt A= − + − + − = − + − + − 16 32 64 2 2 2 1 1 (0,5 điểm ) ⇒ 2A= − + − + − 2 2 26 − ⇒ 2A+A =3A = 1V = a = 898 t BV PHẦN HÌNH HỌC t’ Câu 1; Gọi Ot , Ot, 2tia phân giác kề bù góc xOy yOz Giả sử , xOy = a ; => yOz = 180 – a 1 Khi ; tOy = a t,Oy = ( 180 – a) x 2 z 1 O => tOt, = a + (180 − a ) = 900 2 Câu 2; Giả sử 20 điểm, khơng có điểm thẳng hàng Khi đó, số đường thẳng vẽ là; 19 20:2 = 190 Trong a điểm, giả sử khơng có điểm thẳng hàng.Số đường thẳng vẽ ; (a – ) a : Thực tế, a điểm ta chi vẽ đường thẳng Vậy ta có ; 190 – ( aV 1)a : + = 170 => a = b, ĐỀ SỐ Thời gian làm : 120’ Bài : (3 đ) Người ta viết số tự nhiên liên tiếp đến 2006 liền thành số tự nhiên L Hỏi số tự nhiên L có chữ số Bài : (3đ) Có chữ số gồm chữ số có chữ số ? Bài : (4đ) Cho băng ô gồm 2007 ô sau : 17 36 19 Phần đầu băng ô Hãy điền số vào chố trống cho tổng số ô liền 100 tính : a) Tổng số băng ô b) Tổng chữ số băng ô c) Số điền ô thứ 1964 số ? ĐÁP ÁN Bài : Có số có chữ số từ đến ( 0.25đ) Có 90 số có chữ số từ 10 đến 99 (0.5đ) Có 900 số có chữ số từ 100 đến 999 (0.5đ) ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 Tuyển tập đề thi HSG Toán Các số có chữ số từ 1000 đến 2006 có : 2006 V 1000 + = 1007 số (0.5đ) Số chữ số số tự nhiên L : + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số ) (1.25đ) Bài : Có 900 số có chữ số từ 100 đến 999 (0.25đ) Ta chia 900 sơ thành lớp , lớp có 100 số (0.25đ) có chữ số hàng trăm Lớp thứ gồm 100 số từ 100 đến 199 Lớp thứ hai gồm 100 số từ 200 đến 299 ………………………………… Lớp thứ gồm 100 số từ 900 đến 999 (05đ) Xét lớp lớp thứ 100 số có chữ số hàng trăm lớp lại hàng trăm khác nên chữ số có hàng chục hàng đơn vị (0.25đ) Xét lớp thứ số có chữ số làm hàng đơn vị gồm : 104, 114……194 (có 10 số ) (05đ) số có chữ số làm hàng chục 140,141,142,……… 149 (có 10 số) (0.5đ) Nhưng số 144 có mặt trờng hợp lớp thứ số lợng số có chữ số : 10 + 10 V = 19 (số) (0.25đ) Bảy lớp lại theo quy luật Vậy số lợng số có chữ số có chữ số : 100 + 19.8 = 252 số (0.5đ) Bài : Ta dùng số 1; 2; ………….để đánh số cho ô phần đầu băng ô (0.25đ) 34 10 28 17 19 36 28 17 19 36 28 17 Vì số 4; 5; 6; 3; 4; 5; nên số ô số ô số → ô số 19 (0.5đ) 100 V (17 + 19 + 36) = 28 Vậy ô số số 28 ( 0.25đ) 100 V (17 + 19 + 36) = 28 Vậy số điền ô thứ số 28 ( 0.25đ) số điền ô số số 17 (0.25đ) Ta có : 2007 = 501.4 + Vậy ta có 501 nhóm , d ô cuối ô thứ 2005; 2006; 2007 với số 28; 17; 19 (0.5đ) a) Tổng số băng ô : 100.501 + 28 +17 +19 = 50164 (1đ) b) Tổng chữ số nhóm : + +1 + +1 +9 + + = 37 (0.5đ) Tổng chữ số băng ô : 37.501 + + + + +1 +9 = 18567 (0.5đ) c) 1964 ⋮ số điền ô thứ 1964 số 36 VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV ĐỀ SỐ Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1 điểm)Điền dấu thích hợp vào trống: Nếu ab b10 a 10 Viết tập hợp M số chẵn a thỏa mãn a 10 Có số chẵn nhỏ n (nN) Bài 2: (2 điểm)Cho A = + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng minh A chia hết cho 120 Bài 3: (2 điểm)Cho số 0; 1; 3; 5; 7; Hỏi thiết lập số có chữ số chia hết cho từ sáu chữ số cho Bài 4: (2 điểm) Tổng số trang loại ; loại loại 1980 trang Số trang loại số trang loại Số trang loại số trang loại Tính số trang loại ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 Tuyển tập đề thi HSG Toán Bài 5: (1,5 điểm)Cho có số đo 1250 Vẽ tia oz cho = 350 Tính trường hợp Bài 6: (1,5 điểm) Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng a Biết hai đoạn thẳng BA, BC cắt đường thẳng a Hỏi đường thẳng a có cắt đoạn thẳng AC khơng? Vì sao? HƯỚNG DẪN Bài 1: (1 điểm) Điền dấu thích hợp vào trống ( Nếu ab b10 a 10) 0,25 đ M = 0; 2; 4; 6; 8; 10 0,25 đ Ta phải xét hai trường hợp: + Số n số chẵn, lúc số chẵn nhỏ n là0,25 đ + Số n số lẻ, lúc số chẵn nhỏ n là0,25 đ Bài 2: (2 điểm) Ta nhóm làm 25 nhóm, nhóm số hạng sau: A = (3 + 32 + 33+ 34) +……+ (397+398+399+3100) = (1 + + 32+33)+…….+ 397(1+3+32+33) 0,5 đ Ta lại thấy: + + 32+33 = 40 Nên A = 40 (3 + 35 +39 +………+397 ) 0,5đ = 40.3 (30 + 34 +38 +………+396 ) 0,5đ = 120 (30 + 34 +38 +………+396 ) Điều chứng tỏ A120 (đpcm) 0,5đ Bài 3: (2 điểm) Mỗi số có dạng: ; 0,25đ * Với V Có cách chọn chữ số hàng nghìn (vì chữ số hàng nghìn phải khác 0) 0,5đ V Có cách chọn chữ số hàng trăm V Có cách chọn chữ số hàng chục 0,25đ Vậy dạng có 5.6.6 = 180 số 0,5đ * Với Cách chọn tương tự có 180 số Số thiết lập 180+180=360 số 0,5đ (có chữ số chia hết cho từ chữ số cho) Bài 4: (2 điểm) Ta ký hiệu: Loại 1: LI; Loại : LII; Loại 3: LIII Vì số trang LII số trang LI , nên số trang LII số trang LI 0,5đ Mà số trang VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV ĐỀ SỐ 10 Thời gian làm bài: 150 phút (Năm học 1998V1999) Bài 1: (4 Điểm) Cho A = + 73 + 75 + + 71999 Chứng minh A chia hết cho 35 Bài 2: (4 Điểm) Tìm số nguyên tố p để p + 10 p + 14 số nguyên tố Bài 3: (4 Điểm) m 1 với m, n số tự nhiên Cho = + + + + n 1998 Chứng minh m chia hết cho 1999 Nêu toán tổng quát Bài 4: (4 Điểm) 199919991999 1999 phân số B = Cho phân số A = 200020002000 2000 So sánh A B Bài 5: (4 Điểm) Ơ tơ A từ Hà Nội Phủ Lý, ô tô B từ Phủ Lý lên Hà Nội, chúng gặp lần ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 Tuyển tập đề thi HSG Toán thứ địa Điểm cách Hà Nội 25 Km Khi xe đến Phủ Lý quay trở lại Hà Nội, cịn xe đến Hà Nội quay trở Phủ Lý Cứ lần gặp lần thứ hai xe cách Hà Nội Km Tính quãng đường từ Phủ Lý Hà Nội ĐÁP ÁN Bài 1: A = + 73 + 75 + + 71999 = (7 + 73) + (75 + 77) + + (71997 +71999) A = 7(1 + 72) + 75(1 + 72) + + 71997(1 + 72) A = 7.50 + 75 50 + 79.50 + + 71997.50 => A Chia hết cho (1) A = + 73 + 75 + + 71999 = 7.( 70 + 72 + 74 + + 71998) => A Chia hết cho (2) Mà ƯCLN(5,7) = => A Chia hết cho 35 Bài 2: • • Nếu p số nguyờn tố chẵn => p = Khi đó: p + 10 = 12 không số nguyờn tố Vậy p = loại Nếu p số nguyờn tố lẻ => p =3 p = 3k + p = 3k + +./ p = => p + 10 = 13 số nguyờn tố p + 14 = 17 số nguyờn tố Vậy p = số nguyờn tố thoả mãn điều kiện đầu +./ p = 3k + (k ∈ N*) => p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) Chia hết cho k + > Nên p + 14 hợp số Vậy p = 3k + loại +./ p = 3k + (k ∈ N*) => p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) Chia hết cho k + > Nên p + 10 hợp số Vậy p = 3k + loại Bài 3: m 1 Từ đến 1998 có 1998 số Nên vế phải có 1998 số hạng ta = + + + + n 1998 ghép thành 999 cặp sau:  1  1  m    + = 1 +   + +  + + + + n  1998   1997   1996   999 1000  1999 1999 1999 1999 = + + + + 1.1998 2.1997 3.1996 999.1000 Quy đồng tất 999 phaan số ta được: m 1999.a1 + 1999.a + 1999.a3 + + 1999.a997 + 1999.a 998 + 1999.a 999 = n 1.2.3.4.5.6.7.8.9 1996.19978.1998 Với a1 , a2 , a3 , , a998 , a999 ∈ N m 1999.(a1 + a + a3 + + a 997 + a 998 + a 999 ) = n 1.2.3 1996.1997.1998 Vì 1999 số nguyên tố Nên sau rút gọn, đưa dạng phân số tối giản tử số thừa số 1999 Vậy m Chia hết cho 1999 Bài 4: 199919991999 1999000000 + 19990000 + 1999 A= = 200020002000 2000000000 + 20000000 + 2000 1999(100000000 + 10000 + 1) 1999.100010001 1999 = = = =B 2000(100000000 + 10000 + 1) 2000.100010001 2000 Vậy A = B Bài 5: Hai xe ngược chiều nhau, gặp lần thứ xe lần quãng đường Hà Nội V Phủ Lý Vì hai xe cách Hà Nội 25 Km xe từ Hà Nội quãng đường 25 Km Vì xe lại quay lại đoạn đường nên phải gặp lần 2, lần gặp xe lần quãng đường Hà Nội V Phủ Lý lần gặp thứ xe lần quãng đường Hà Nội V Phủ Lý ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 Tuyển tập đề thi HSG Toán lần quãng đường Hà Nội V Phủ Lý xe tơ từ Hà Nội 25 Km Vậy lần quãng đường Hà Nội V Phủ Lý xe quãng đường là: 25 Km x = 125 Km Thực tế xe lần quãng đường Hà Nội V Phủ Lý thêm Km Vậy quãng đường Hà Nội V Phủ Lý là: (125 V 5) : = 60 (Km) Đáp số: 60 Km VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV ĐỀ SỐ 11 Thời gian làm bài: 120 phút I TRẮC NGIỆM: Điền dấu x vào ô thích hợp:( điểm) Câu Đúng 1 a Số V5 –5 + 5 80 Số 11 7 Sai (0.25 điểm) (0.25 điểm) 5 –11V 4 (0.25 điểm) 13 d) Tổng V3 + V1 15 (0.25 điểm) c) Số V11 II TỰ LUẬN: Câu 1:Thực phép tính sau: (4 điểm) 2181.729 + 243.81.27 a 2 234 + 18.54.162.9 + 723.729 1 1 b + + +⋯+ + 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 1 1 + + +⋯+ … > 41 42 60 61 62 80 1 1 1 1 Ta có + + ….+ + + + +….+ + 60 60 60 60 80 80 80 80 20 20 1 + (3) = + = + = = 60 80 12 12 Từ (1) , (2), (3) Suy ra: 1 1 1 + + + + + + > 41 42 43 78 79 80 12 số trang loại Nên số trang Bài 2: Vì số trang vỡ loại loại số trang loại Mà số trang loại loại Nê số trang loại số trang loại Do số trang loại : : = 16 ( loại 3) Số trang loại : = 12 (quỷên loại 3) Vậy 1980 số trang 16 + 12+ = 33(quyển loại 3) Suy ra: Số trang loại 1980 : 33 = 60 ( trang) 60.4 = 80 (trang) Số trang loại 80.3 Số trang loại1 là; = 120 ( trang) Bài 3: Từ 1; 2; ………; n có n số hạng (n + 1).n Suy +2 +…+ n = Mà theo ta có +2 +3+… +n = aaa (n + 1).n = aaa = a 111 = a 3.37 Suy Suy ra: n (n+1) = 2.3.37.a Vì tích n(n+1) Chia hết cho số ngun tố 37 nên n n+1 Chia hết cho 37 b, (1,5 điểm) Ta thấy: ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 Tuyển tập đề thi HSG Toán (n + 1).n có chữ số Suy n+1 < 74 ⇒ n = 37 n+1 = 37 37.38 +) Với n= 37 = 703 ( loại) 36.37 ( thoả mãn) +) Với n+1 = 37 = 666 Vậy n =36 a=6 Ta có: 1+2+3+… + 36 = 666 Bài : A, 1,5 điểm Vì tia với tia cịn lại tạo thành góc Xét tia, tia với tia cịn lại tạo thành góc Làm với tia ta 5.6 góc Nhưng góc tính lần có tất = 15 góc n −1 ) (góc) B, điểm Từ câu a suy tổng quát Với n tia chung gốc có n( Vì số ĐỀ SỐ 14 Thời gian làm 120 phút Bài 1(3 điểm) a.Tính nhanh: 1.5.6 + 2.10.12 + 4.20.24 + 9.45.54 1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 9.27.45 b.Chứng minh : Với k ∈ N* ta ln có : k ( k + 1)( k + ) − ( k − 1) k ( k + 1) = 3.k ( k + 1) Áp dụng tính tổng : S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) Bài 2: (3 điểm) A= ( ) a.Chứng minh : ab + cd + eg ⋮11 : abc deg ⋮11 b.Cho A = + + + + Chứng minh : A ⋮ ; ; 15 Bài 3(2 điểm) Chứng minh : 1 1 + + + + n < 2 2 Bài 4(2 điểm) a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC b.Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt khơng có ba đường thẳng qua điểm Tính số giao điểm chúng 60 ĐÁP ÁN Bài 1.5.6 + 2.10.12 + 4.20.24 + 9.45.54 1.5.6 (1 + 2.2.2 + 4.4.4 + 9.9.9 ) 1.5.6 = a = = 1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 9.27.45 1.3.5 (1 + 2.2.2 + 4.4.4 + 9.9.9 ) 1.3.5 b.Biến đổi : k ( k + 1)( k + ) − ( k − 1) k ( k + 1) = k ( k + 1) ( k + ) − ( k − 1)  = 3k ( k + 1) Áp dụng tính : ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 ... VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV ĐỀ SỐ Thời gian làm bài: 120 phút A – Phần số học : (7 điểm ) Câu 1:( điểm ) a, Các phân số sau có khơng? Vì sao? ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 Tuyển tập đề thi HSG Toán. .. ThuVienDeThi.com Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 Tuyển tập đề thi HSG Toán thứ địa Điểm cách Hà Nội 25 Km Khi xe đến Phủ Lý quay trở lại Hà Nội, xe đến Hà Nội quay trở Phủ Lý Cứ lần gặp lần thứ hai xe cách... Câu Gọi số giấy lớp thu x (Kg) ( xV26) ⋮ 11 ( xV25) ⋮ 10 Do (xV15) ∈ BC(10;11) 200 x 300 => xV15 = 220 => x = 235 Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + = 20 hs Số học sinh lớp 6B là: (235