Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Thủy Nguyên năm học 2012 – 2013 môn: Toán 847355

UBND HUYỆ N THỦ Y NGUYÊN ĐỀ THI CHỌ N HỌ C SINH GIỎ I CẤ P HUYỆ N PHÒNG GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO TẠ O NĂM HỌ C 2012 – 2013 - MƠN: TỐN Thờ i gian: 120 phút ( Không kể thờ i gian giao đề ) Bài (2,0 điể m) Phân tích đa thứ c sau thành nh ân tử : a) x2 – 2xy + y2 – xz + yz b) - 2x2 + 11x – 15 2 Cho x, y số thự c khác thỏ a mãn x giá trị củ a biể u thứ c P 2xy 2y 2x 6y Hãy tính 3x y 4xy Bài (2,0 điể m) Xác đị nh số hữ u tỉ a b để đa thứ c x + ax + b chia hế t cho đa thứ c x – 2x - Chứ ng minh rằ ng số n2 + 2014 vớ i n nguyên dư ng không số phư ng Bài (2,5 điể m) Cho hình vng ABCD Gọ i E điể m đố i xứ ng củ a điể m A qua điể m D Từ A vẽ AH vng góc vớ i đoạ n BE tạ i H Gọ i M, N theo thứ tự trung điể m củ a AH HE a) Chứ ng minh tứ giác BMNC hình bình hành b) Tính số đo củ a ANC Bài (1,5 điể m) Cho tam giác ABC có A tù, AC > AB H chân đư ng cao hạ từ A Về phía góc BAC dự ng điể m D, E cho AD AB, AD = AB, AE AC AE = AC Gọ i M trung điể m củ a DE Chứ ng minh ba điể m A, H, M thẳ ng hàng Bài (2,0 điể m) Tìm nghiệ m nguyên củ a phư ng trình xy – 2x – 3y + = Cho x, y, z ; 2x + 7y = 2014 3x + 5z = 3031 Tìm giá trị lớ n nhấ t củ a biể u thứ c A = x + y + z =========Hế t ======= ThuVienDeThi.com UBND HUYỆ N THỦ Y NGUYÊN HƯ Ớ NG DẪ N CHẤ M THI HSG CẤ P HUYỆ N PHÒNG GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO TẠ O NĂM HỌ C 2012 – 2013 MƠN: TỐN Bài (2,0 điể m) Phân tích đa thứ c sau thành nhân tử : a) x2 – 2xy + y2 – xz + yz b) - 2x2 + 11x – 15 2 Cho x, y số thự c khác thỏ a mãn x 3x y trị củ a biể u thứ c P 4xy 1b Hãy tính giá Điể m Đáp án Câu 1a 2xy 2y 2x 6y x2 – 2xy + y2 – xz + yz = (x2 – 2xy + y2) – (xz – yz) - 2x2 + 11x – 15 Ta thấ y: x (x = (x – y)2 – z(x – y) = (x – y)(x – y – z) 0,5 = - 2x2 + 6x + 5x – 15 = -2x(x – 3) + 5(x – 3) 0,25 = (x – 3)(- 2x + 5) 0,5 2xy 2y 2x 6y 2xy y ) (2x 2y) (y (x y 1)2 (y 2)2 x y y Do đó: P 3x y 4xy 0,25 x y 4y 4) 0,25 3.( 1)2 ( 2) 4.( 1).( 2) 0,25 Bài (2,0 điể m) Xác đị nh số hữ u tỉ a b để đa thứ c x + ax + b chia hế t cho đa thứ c x – 2x - Chứ ng minh rằ ng số n + 2014 vớ i n nguyên dư ng không số phư ng Câu Đáp án Điể m Đặ t tính chia đa thứ c x + ax + cho đa thứ c x – 2x – đư ợ c thư ng x + dư (a +7)x + (b + 6) 0,5 Để đa thứ c x + ax + b chia hế t cho đa thứ c x2 – 2x – đa thứ c dư phả i bằ ng vớ i mọ i giá trị củ a x nên : a a b b 0,75 ThuVienDeThi.com Vậ y vớ i a = -7 b = - đa thứ c x + ax + b chia hế t cho đa thứ c x – 2x – Nế u n + 2014 mộ t số phư ng n + 2014 = k2 (k 0,25 N) k2 – n2 = 2014 0,25 (k – n)(k + n) = 2014 (*) Vì (k + n) – (k – n) = 2n số chẵ n nên k m phả i chẵ n hoặ c lẻ Mặ t khác (k – n)(k + n) = 2014 chẵ n Nên (k – n), (k + n) đề u chia hế t cho hay (k – n)(k + n) Mà 2014 không chia hế t cho Suy đẳ ng thứ c (*) xả y Vậ y khơng có số ngun dư ng n để số n + 2014 số phư ng 0,25 Bài (2,5 điể m) Cho hình vng ABCD Gọ i E điể m đố i xứ ng củ a điể m A qua điể m D Từ A vẽ AH vng góc vớ i đoạ n BE tạ i H Gọ i M, N theo thứ tự trung điể m củ a AH HE a) Chứ ng minh tứ giác BMNC hình bình hành b) Tính số đo củ a ANC Điể m Đáp án Câu Hình vẽ câu a) 0,25 B C H M N D A a E Xét HAE có : HM = MA ; HN = NE (gt) MN / /AE MN đư ng trung bình củ a HAE MN AE Lạ i có BC // AD (ABCD hình vng) BC = AD = Do MN // BC (cùng song song vớ i AE) MN = BC ThuVienDeThi.com AE 0,25 0,25 0,5 Suy ra: tứ giác BMNC hình bình hành b Vì MN // BC (cm trên) mà BC Lạ i có AH 0,25 AB nên MN 0,25 AB BN 0,25 Suy M trự c tâm củ a tam giác BAN BM AN mà BM // CN (BMNC hình bình hành) 0,5 NC hay ANC 900 Suy AN Bài (1,5 điể m) Cho tam giác ABC có A tù, AC > AB H chân đư ng cao hạ từ A Về phía góc BAC dự ng điể m D, E cho AD AB, AD = AB, AE AC AE = AC Gọ i M trung điể m củ a DE Chứ ng minh ba điể m A, H, M thẳ ng hàng Điể m Đáp án Câu Hình vẽ 0,25 A B H D C M E F Dự ng hình bình h ành DAEF Ta có M trung điể m củ a DE M trung điể m củ a AF Mà AE AC Nên DF AC BAC CAE BAD 900 Ta có DAE Mà DAE 0,25 AE // DF 900 1800 ADF 1800 (vì AE // DF) Do BAC 0,25 ADF Xét ABC DAF có AB = AD (gt), AC = DF (= AE), BAC Do ABC = DAF (c.g.c) ADF AFD ACB ThuVienDeThi.com 0,25 Mà AFD EAF (vì AE // DF) nên EAF ACB Mặ t khác EAF FAC EAC 900 Do ACB CAF 90 0,25 ACB CAH Hay ba điể m A, H, F thẳ ng hàng nên A, H, M, F thẳ ng hàng Vậ y A, H, M thẳ ng hàng 0,25 Bài (2,0 điể m) Tìm nghiệ m nguyên củ a phư ng trình xy – 2x – 3y + = Cho x, y, z x + y + z ; 2x + 7y = 2014 3x + 5z = 3031 Tìm giá trị lớ n nhấ t củ a biể u thứ c A = a Điể m Đáp án Câu Có xy – 2x – 3y + = 0,25 xy – 2x – 3y + = (x – 3)(y – 2) = 0,25 Vì x, y số nguyên nên x – y – c củ a Ta có bả ng giá trị : x–3 -5 -1 y–2 -1 -5 x -2 y -3 0,25 Vậ y nghiệ m nguyên củ a phư ng trình : b (x, y) = (4 ; 7), (8 ; 3), (2 ; -3), (-2 ; 1) 0,25 Cộ ng từ vế củ a đẳ ng thứ c 2x + 7y = 2014 3x + 5z = 3031 ta đư ợ c : 5(x + y + z) + 2y = 5045 0,25 Như vậ y 5(x + y + z) lớ n nhấ t 0,25 Vì y nên 2y nhỏ nhấ t 2y nhỏ nhấ t y = Khi x = 1007, z = 0,25 Do 5(x + y + z) lớ n nhấ t bằ ng 5045 Vậ y (x + y + z) lớ n nhấ t bằ ng 1009 x = 1007 ; y = ; z = * Họ c sinh làm theo cách khác vẫ n cho điể m tố i đa ThuVienDeThi.com 0,25 ... (xz – yz) - 2x2 + 11x – 15 Ta thấ y: x (x = (x – y)2 – z(x – y) = (x – y)(x – y – z) 0,5 = - 2x2 + 6x + 5x – 15 = -2x(x – 3) + 5(x – 3) 0,25 = (x – 3)(- 2x + 5) 0,5 2xy 2y 2x 6y 2xy y ) (2x 2y)... – 2x – 3y + = 0,25 xy – 2x – 3y + = (x – 3)(y – 2) = 0,25 Vì x, y số nguyên nên x – y – c củ a Ta có bả ng giá trị : x–3 -5 -1 y–2 -1 -5 x -2 y -3 0,25 Vậ y nghiệ m nguyên củ a phư ng trình :... N THỦ Y NGUYÊN HƯ Ớ NG DẪ N CHẤ M THI HSG CẤ P HUYỆ N PHÒNG GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO TẠ O NĂM HỌ C 2012 – 2013 MƠN: TỐN Bài (2,0 điể m) Phân tích đa thứ c sau thành nhân tử : a) x2 – 2xy + y2 – xz + yz