Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Thủy Nguyên năm học 2012 – 2013 môn: Toán 943585

UBND HUYỆ N THỦ Y NGUYÊN ĐỀ THI CHỌ N HỌ C SINH GIỎ I CẤ P HUYỆ N PHÒNG GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO TẠ O NĂM HỌ C 2012 – 2013 - MƠN: TỐN Thờ i gian: 120 phút ( Không kể thờ i gian giao đề ) Bài (2,0 điể m) Rút gọ n biể u thứ c sau: a) A 11 30 11 30 b) B 5 15 15 Tìm số tự nhiên n cho n + 12 n – 77 hai số phư ng Bài (2,0 điể m) Giả i hệ phư ng trình sau: x y x y 13 Cho hai hàm số bậ c nhấ t: y = (m + 3)x + 2m + y = 2m x – m – có đồ thị tư ng ứ ng (d 1) (d2) a) Xác đị nh m để (d1) cắ t (d2) tạ i mộ t điể m nằ m bên phả i trụ c tung b) Chứ ng minh rằ ng m thay đổ i đư ng thẳ ng (d1) qua mộ t điể m cố đị nh Bài (1,75 điể m) Cho nử a đư ng trịn (O) đư ng kính AB Đư ng thẳ ng xy tiế p xúc vớ i nử a đư ng trịn tạ i C (C khác A B) Từ A B vẽ AM BN vng góc vớ i đư ng thẳ ng xy tạ i M N Gọ i D hình chiế u củ a C AB Chứ ng minh rằ ng CD = AM.BN Bài (2,25 điể m) Cho tam giác ABC nộ i tiế p đư ng tròn (O) đư ng kính BC, kẻ đư ng cao AH củ a tam giác ABC Đư ng tròn đư ng kính AH cắ t đư ng trịn (O), cạ nh AB, cạ nh AC lầ n lư ợ t tạ i M, D, E Đư ng thẳ ng DE cắ t đư ng thẳ ng BC tạ i K a) Chứ ng minh ba điể m A, M, K thẳ ng hàng b) Chứ ng minh bố n điể m B, D, E, C thuộ c mộ t đư ng tròn Bài (2,0 điể m) Tìm số nguyên dư ng x, y thỏ a mãn phư ng trình x + y2 – 13(x – y) = Cho x > 0, y > x + y Tìm giá trị nhỏ nhấ t củ a biể u thứ c: P 2x 3y x 10 y ===========Hế t========== ThuVienDeThi.com HƯ Ớ NG DẪ N CHẤ M THI HỌ C SINH GIỎ I KHỐ I LỚ P UBND HUYỆ N THỦ Y NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO TẠ O HUYỆ N THỦ Y NGUYÊN - Mơn thi: Tốn họ c Bài (2,0 điể m) Rút gọ n biể u thứ c sau: 11 30 a) A 11 30 b) B 5 15 15 Tìm số tự nhiên n cho n + 12 n – 77 hai số phư ng 1a 11 30 A 11 30 30 5 6 5 5 15 2 15 15 15 0,25 5 0,5 2 2 5 1b B 0,25 30 5 Điể m Đáp án Câu 0,25 10 2 2 0,25 Vì n + 12 n – 77 hai số phư ng Đặ t n + 12 = a ; n – 77 = b2 (a, b Suy a2 – b2 = 89 Ta có a, b N a > b) N a > b suy a – b, a + b Do ta có : a b a a b 89 b 44 Khi n + 12 = 452 0,25 (a – b)(a + b) = 89 N < a – b < a + b 45 n = 2013 ThuVienDeThi.com 0,25 Bài (2,0 điể m) Giả i hệ phư ng t rình sau: x y x y 13 Cho hai hàm số bậ c nhấ t: y = (m + 3)x + 2m + y = 2mx – m – có đồ thị tư ng ứ ng (d1) (d2) a) Xác đị nh m để (d1) cắ t (d2) tạ i mộ t điể m nằ m bên phả i trụ c tung b) Chứ ng minh rằ ng m thay đổ i đư ng thẳ ng (d1) qua mộ t điể m cố đị nh Đáp án Câu ĐK : x > ; y > -7 v Đặ t u x Ta có : 13 5u 3v x Do ta có : y 0,25 (u, v > 0) y 7u 4v u v 6 x 17 (TMĐK) y 29 Vậ y hệ phư ng t rình có nghiệ m nhấ t (x, y) = (17 ; 29) 2a Điể m 0,25 0,25 0,25 Do hai hàm số cho hàm số bậ c nhấ t nên m m (*) 2m m m 2m m Để (d 1) (d2) cắ t Hoành độ giao điể m củ a (d 1) (d2) nghiệ m củ a phư ng trình 5m (m + 3)x + 2m + = 2mx – 3m – x (do m 3) m Do (d1) cắ t (d2) tạ i mộ t điể m nằ m bên phả i trụ c tung hoành độ giao điể m số dư ng, tứ c 5m (5m 5)(m 3) m hoặ c m > m Vậ y để (d 1) cắ t (d2) tạ i mộ t điể m nằ m bê n phả i trụ c tung m - m < - hoặ c m > ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 2b Giả sử m thay đổ i mà đư ng thẳ ng (d 1) : y = (m + 3)x + 2m + qua điể m cố đị nh (x0 ; y0), tứ c y = (m + 3)x0 + 2m + 0,25 vớ i mọ i m (x x0 vớ i mọ i m 2)m 3x y 3x y 0 x0 y0 Vậ y (d 1) qua điể m (-2 ; - 5) cố đị nh 0,25 Bài (1,75 điể m) Cho nử a đư ng trịn (O) đư ng kính AB Đư ng thẳ ng xy tiế p xúc vớ i nử a đư ng trịn tạ i C (C khác A B) Từ A B vẽ AM BN vng g óc vớ i đư ng thẳ ng xy tạ i M N Gọ i D hình chiế u củ a C AB Chứ ng minh rằ ng CD2 = AM.BN Điể m Đáp án Câu Hình vẽ 0,25 y N C M x A D O B Ta có AM // OC // BN (cùng vng góc vớ i đư ng thẳ ng xy) Do A1 Mà A 0,25 ACO (hai góc so le trong) ACO ( AOC cân tạ i O) Suy ra: A1 A2 Chứ ng minh đư ợ c: MAC = DAC (cạ nh huyề n – góc nhọ n) Suy ra: AM = AD (1) 0,25 Chứ ng minh tư ng tự ta đư ợ c: BN = BD (2) 0,25 Chứ ng minh đư ợ c ACD CBD (g.g) AD CD CD CD AD.BD BD Từ (1), (2) (3) suy CD = AM.BN (đpcm) ThuVienDeThi.com 0,25 (3) 0,25 0,25 Bài (2,25 điể m) Cho tam giác ABC nộ i tiế p đư ng trịn (O) đư ng kính BC, kẻ đư ng cao AH củ a tam giác ABC Đư ng trịn đư ng kính AH cắ t đư ng tròn (O) , cạ nh AB, cạ nh AC lầ n lư ợ t tạ i M, D, E Đư ng thẳ ng DE cắ t đư ng thẳ ng BC tạ i K a) Chứ ng minh ba điể m A, M, K thẳ ng hàng b) Chứ ng minh bố n điể m B, D, E, C thuộ c mộ t đư ng tròn Điể m Đáp án Câu Hình vẽ cho phầ n a) 0,25 A M E N F D K B C H O I a Gọ i F tâm đư ng tròn đư ng kính AH Ta có DAE 900 Do DE đư ng kính củ a đư ng tròn (F) 0,25 Suy : D, F, E thẳ ng hàng Mặ t khác (O) (F) cắ t tạ i A M nên OF trung trự c củ a AM OF AM (1) 0,25 (2) 0,25 Gọ i N giao điể m củ a OA DE Ta có OA = OC = R Do OAC cân tạ i O Suy : OAC OCA Lạ i có FA = FE FAE cân tạ i F Mà OCA FAE 900 nên OAC FEA 900 ANE 900 FEA FAE KN OA Ta có F trự c tâm củ a tam giác KAO nên OF Từ (1) (2), suy A, M, K thẳ ng hàng ThuVienDeThi.com KA 0,25 b Gọ i I giao điể m củ a hai đư ng trung trự c củ a DE BC Ta có : AF BC OI BC AF / / OI; IF DE OA 0,25 IF / / OA DE Do tứ giác FAOI hình bình hành Suy : IF = OA FA = OI 0,25 IF OC ; FE OI Mà IFE IOC nên IFE = COI (c.g.c) Suy ra: IE = IC 0,25 Mà IE = ID; IB = IC Nên IB = ID = IE = IC 0,25 Vậ y B, D, E, C nằ m đư ng tròn (I) Bài (2,0 điể m) Tìm số nguyên dư ng x, y thỏ a mãn phư ng trình x + y2 – 13(x – y) = Cho x > 0, y > x + y Tìm giá trị nhỏ nhấ t củ a biể u thứ c: P 2x 3y 10 y Điể m Đáp án Câu x x2 y 13(x y) x y x y (x y) 2 (13 x 0,25 2.13(x y) 132 169 y) 122 52 Do x, y nguyên dư ng nên < x + y < 13 ; < 13 – x + y < 13 Ta có x y 12 13 x x 10 y y x Ta thấ y : P 2x 3y 10 y hoặ c x y 13 x 3x (x y) 2 x y 12 x 5y (x y) 2 Theo bấ t đẳ ng thứ c Cauchy cho số dư ng ta có: Vớ i x > 0, y > x + y 3x x 5y 10 y 4, ta có 2 3x x 5y 10 y y 0,5 10 y 0,25 (1) 0,25 (2) 10 ThuVienDeThi.com (3) 0,25 Từ (1), (2) (3) ta có P 0,25 18 Dấ u “=” xả y x y 3x 5y x 10 y Vậ y minP =18, đạ t đư ợ c x = y = * Họ c sinh làm cách khác vẫ n cho điể m tố i đa ThuVienDeThi.com x y y (TMDK) 0,25 ... (a, b Suy a2 – b2 = 89 Ta có a, b N a > b) N a > b suy a – b, a + b Do ta có : a b a a b 89 b 44 Khi n + 12 = 452 0,25 (a – b)(a + b) = 89 N < a – b < a + b 45 n = 2013 ThuVienDeThi.com 0,25...HƯ Ớ NG DẪ N CHẤ M THI HỌ C SINH GIỎ I KHỐ I LỚ P UBND HUYỆ N THỦ Y NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO TẠ O HUYỆ N THỦ Y NGUYÊN - Mơn thi: Tốn họ c Bài (2,0 điể m) Rút gọ... + 12 n – 77 hai số phư ng 1a 11 30 A 11 30 30 5 6 5 5 15 2 15 15 15 0,25 5 0,5 2 2 5 1b B 0,25 30 5 Điể m Đáp án Câu 0,25 10 2 2 0,25 Vì n + 12 n – 77 hai số phư ng Đặ t n + 12 = a ; n – 77 =