Dây cung di động AB của O luôn qua Q.. Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua 1 điểm cố định.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
THÁI NGUYÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT – NĂM HỌC 2011 - 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút – không kể thời gian giao đề
Bài 1: (4 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 cos 6 sin
2
x
f x x trêm đoạn 0;
b) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
sin sin 6 sin 5 10
4
Bài 2: (4 điểm)
Cho đường tròn (O, R) và hai điểm P, Q cố định P nằm ngoài (O), còn Q là điểm nằm trong (O) Dây cung di động AB của (O) luôn qua Q PA, PB lần lượt giao lần thứ hai với (O) tại C và D
Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua 1 điểm cố định
Bài 3: (4 điểm)
Giải hệ phương trình
2
5
1
x y x
x y
Bài 4: (4 điểm)
a) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Có bao nhiêu số gồm có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0 và 1 không đứng cạnh nhau?
b) Tính tổng: 1 2 2 3 3
2 2 2 2 3 2 n n
Bài 5: (4 điểm)
Giải phương trình: sin 2011x cos2011 x
- Hết -
Họ và tên thí sinh: SBD:
Trang 2ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2011 – 2012
Bài 1: (4 điểm)
a) Đặt sin 0;1
2
x
Khảo sát hàm số trên đoạn 0;1 ta được min 0; max arcsin 6 5 10
b) Ta có sin sin 6 sin 2 os os 6 sin 2 os 6 sin
Bài 2: (4 điểm)
Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua I PQCD điểm cố định
Bài 3: (4 điểm)
Hệ phương trình viết thành
2
5
1 1
x y
x y
Đặt a x y
và đặt
1
a
Ta được hệ
1
u b
Ta tìm được u2 b 1 a 1
Từ đó hệ có nghiệm duy nhất x y , 0,1
Bài 4: (4 điểm)
a) Số có dạng ab01cd với giao hoán các chữ số theo giả thiết là 2P5P4 số
Vậy số các chữ số phải tìm là (P6P5)2P5P4 số
b) Xét khai triển 1x1 và đạo hàm hai vế của nó, ta có được n
1 1 2 2
n x x x C x C n x C , từ đó có S2 3n n1
Bài 5: (4 điểm)
Từ sin 2011x 1, os2011 c x 1 và kZ;Q ta được nghiệm duy nhất x 0
- Hết -
PTDT NT